6 方法技巧专题(4) 平行四边形判定方法的选择-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（北师大版·新教材）

方法技巧专题（四） 平行四边形判定方法的选择 解题技巧 3.如图，在四边形ABCD中，AD=BC,点E,F 判定四边形是平行四边形的方法可概括为三类： 在对角线AC上，且DE∥BF,∠ADE= (1)边的关系；(2)角的关系；(3)对角线的关系。运用 ∠CBF 时选择哪一种方法，应根据具体情况而定，常规解题 思路和方法如下：①当已知条件中出现一组对边相等 求证：四边形ABCD是平行四边形。 时，一般考虑通过证明另一组对边相等或者这组对边 平行；②当已知条件中出现一组对边平行时，一般考 虑通过证明另一组对边平行或这组对边相等；③当已 知条件出现一组对角相等，可选择证明另一组对角相 等；④当已知条件中出现对角线，且可以得到一条对 角线的中点时，一般考虑证明该点也是另一条对角线 的中点。 01分类突破 类型一已知一组对边相等 1.(2025·深圳校级期末)如图，AB=CD, 类型二已知一组对边平行 DE⊥AC,BF⊥AC,E,F是垂足，DE=BF。 4.如图，在□ABCD中，点E在AD上，连接 求证：四边形ABCD是平行四边形。 BE,DF∥BE交BC于点F,AF与BE相交 于点M,CE与DF交于点N。 (1)求证：DE=BF; (2)求证：四边形MFNE为平行四边形。 2.如图，△ABC是等边三角形，点D,F分别在 线段BC,AB上，∠EFB=60°，EF=DC。 求证：四边形EFCD是平行四边形。 助学助教优质高数102 类型三已知条件与对角线有关 (2)连接EF。请添加一个与线段相关的条 5.如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于 件，使四边形ABEF是平行四边形，并说 点O,点E,F在AC上，点G,H在BD上，且 明理由。 AE=CF,BG=DH,连接EG,FH,EH,GF。 求证：四边形EGFH是平行四边形。 8.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于 点O,P是BC中点，连接AP交BD于点E, 点F在AP延长线上，且AE=EF,连接CE, 6.(2025·郑州期末)如图，在□ABCD中，过 CF,BF。 AC中点O的直线分别交CB,AD的延长线 (I)求证：四边形CFBE是平行四边形； 于点E,F,连接CF,AE,求证：四边形AECF (2)若CE⊥BD,AC=8,BD=6,求CE的长。 是平行四边形。 02素养提升 7.(2025·贵阳期未)如图，在□ABCD中，点 E,F分别在边BC,AD上，AF=CE。 请完成培优专训（九） (1)求证：△ABE≌△CDF; 103八年级数学下册·BS∠ABE,.∴.AF=EF。又∠DAE=∠AEB,∠AFD=∠EFC,.∴.△AFD≌ △EFC。.DF=CF。又，AF=EF,∴.四边形ACED是平行四边形。 第3课时平行线间的距离及平行四边形判定方法的选择 基础练 1.C2.C3.44.C5.证明：，AD⊥AC,BC⊥AC,.∠CAD=∠BCA =90°。又AB=CD,AC=CA,.Rt△ABC≌Rt△CDA。.AD=BC。又 ,AB=CD,∴.四边形ABCD是平行四边形。6.②③7.7或178.证 明：(1).□ABCD,∴.AD∥BC,AD=BC。,AM⊥BC,CN⊥BC,∴.AM∥ CN。又.AN∥CM,.四边形AMCN是平行四边形。.CM=AN。.AD -AN=BC-CM,即DN=BM。(2):□ABCD,.AB=CD,AB∥CD。 ∴.∠ABE=∠CDF。.AM∥CN,∴.∠AEF=∠CFE。∠AEB= ∠CFD,又'AB=CD,∠ABE=∠CDF,∴.△AEB≌△CFD。∴.AE=CF。 又.AE∥CF,∴.四边形AECF是平行四边形。 3三角形的中位线 知识储备 1.中点2.平行 -半DE/BC.DE=2BC 基础练 1.C2.D3.94.25.66.C7.B8.证明：D,E,F分别是△ABC 的边AB,BC,AC的中点，.EF∥AB,DE∥AC。∴.四边形ADEF是平行 四边形。9.C10.30°11.证明：连接ME,MF,NE, NF。E,M分别是AD,BD的中点，.ME∥AB,ME )AB.同理可得FN∥AB,FN=号AB。∴ME∥FN. ME=FN。∴.四边形EMFN是平行四边形。∴.EF与 MN互相平分。12.(1)证明：连接BD,取BD的中点O,连接OE,OF。在 M △ABD中，E,O分别是AD,BD的中点，∴OE=号AB,OE∥ AB。∠OEF=∠BMF.同理可证：OF=CD,∠OFN ∠CNF。,∠BMF=∠CNF,∴.∠OFN=∠OEF。.OE= OF。∴.AB=CD。(2)2.5 图1 微专题八构造三角形中的中位线巧解题 1.6.52.√6I3.D 方法技巧专题（四）平行四边形判定方法的选择 1.证明：，DE⊥AC,BF⊥AC,.∠DEC=∠AFB=90°。在Rt△DEC和 R△BFA中，BBR:R△DCa Ri△BFACHL三∠DCA ∠BAC。AB∥CD。又，AB=CD,∴.四边形ABCD是平行四边形。 2.证明：，△ABC是等边三角形，∴.∠ABC=60°。，∠EFB=60°， ∠ABC=∠EFB。.EF∥DC。又：EF=DC,∴.四边形EFCD是平行四 边形。3.证明：DE∥BF,.∠DEC=∠AFB。又∠ADE=∠CBF, .∠DEC-∠ADE=∠AFB-∠CBF,即∠DAE=∠BCF。.AD∥BC 又，AD=BC,∴.四边形ABCD是平行四边形。4.证明：(1)，四边形 ABCD是平行四边形，∴AD∥BC。,DF∥BE,∴.四边形BEDF是平行四 边形。.DE=BF;(2)四边形ABCD是平行四边形，.AD=BC,AD ∥BC。:DE=BF,AD-DE=BC-BF,即AE=CF。又，AE∥CF, 四边形AECF是平行四边形。∴AF∥CE。又：BE∥DF,∴.四边形 MFNE是平行四边形。5.证明：，四边形ABCD是平行四边形，∴.OA= OC,OB=OD.AE=CF,BG=DH,..OA-AE=OC-CF.OB-BG= OD-DH,即OE=OF,OG=OH。∴.四边形EGFH是平行四边形 6.证明：四边形ABCD是平行四边形，.BC∥AD。∴∠CEO=∠AFO。 .O是AC的中点，∴.OC=OA。又.∠COE=∠AOF,∴.△CEO≌△AFO。 ∴.OE=OF。又.OA=OC,.四边形AECF是平行四边形。7.(1)证明： :四边形ABCD是平行四边形，∴.AB=CD,AD=BC,∠B=∠D。,AF= CE,..AD一AF=BC-CE。,.DF=BE。.△ABE≌ △CDF(SAS)。(2)解：连接EF,如图。添加BE=CE, 则四边形ABEF是平行四边形。理由如下：，AF=CE, BE=CE,.AF=BE。,四边形ABCD是平行四边形，∴，BE AD∥BC。.四边形ABEF是平行四边形。8.(1)证明：在平行四边形 ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,∴.OA=OC。,AE=EF,∴.OE∥ CF,OE=2CF。·∠EBC=∠FCB,∠BEF=∠CFE。:P是BC中点， BP=CP。∴△PBE≌△PCF(AAS)。.PE=PF。又：BP=CP,.四 边形CFBE是平行四边形：(2)：口ABCD.OB=2BD=3,OC=2AC =4。由(1)知四边形CFBE是平行四边形.OE=2CF,.BE=CF,OE 号BE.0E=30B=3×3=1.:CELBD.∠CE0=90。CE= √OC-OE=√42-1产=√15。 第六章核心素养专练 1.D2.B3.A4.4cm5.(1)证明：BD∥CE∥GF, ∠ABD+∠GFE=180°，∴.∠ACE=∠ABD,∠DEC= B ∠GFE。则∠ACE+∠DEC=180°，∴BC∥DE。∴.四边形 C BCED是平行四边形；(2)解：，四边形BCED是平行四边 形，.CE=BD=20cm。延长AC交GF于H,连接AG。 CE∥FH,BC∥DE,∴.四边形CEFH是平行四边形。∴.FH= -----H F CE=20 cm,CH=EF...GH=GF-FH=80-20=60 cm.AC=CG= EF,CH=EF,∴.AC=CG=CH=50cm。∴.∠A=∠CGA,∠HGC= ∠CHG。又.，∠A+∠AGC+∠HGC+∠CHG=180°，.2（∠AGC+ ∠HGC)=180°，即∠AGH=90°。∴.AG=√AH-GH=√1002-60= 80cm。答：椅子最高点到地面的距离为80cm。 综合与实践设计美丽的镶嵌图案 任务1：正六边形正五边形任务2：2241任务3：360任务5： 解：答案不唯一，如：遇到的困难：变形后无法密铺或图形不整齐，有间隙；克 服的方法：保证相对的边形状完全匹配；经验：密铺需要基本图形相对的边 可以匹配。用到的数学知识：几何图形的内角和；判断图形能否平铺；平移、 轴对称等知识。 第六章大单元整合与素养提升 典例导航 【例1】(1)证明：：∠AEB=∠CFD=90°，∴.∠AEF=∠CFE=90°。∴.AE ∥CF。:四边形ABCD是平行四边形，∴.AB∥CD,AB=CD。∴∠ABD =∠CDB。.△ABE≌△CDF(AAS)。AE=FC。又AE∥CF,∴.四边 形AECF是平行四边形；(2)解：由勾股定理，得BF=√AB十AF产= V6+8=10,∴AE=-华.由勾股定理得：EF=VAP-AF V6-()-8。【例21)证明：连接EF,AE。:点 E,F分别为BC.AC的中点，EF∥AB,EF=号AB。又D :AD=?AB,.EF=AD。且EF∥AD,四边形AEFD是平行四边形。 ∴.AF与DE互相平分。∴.AP=FP;(2)在Rt△ABC中，AC= VBC-AB=V10-6=8。F是AC中点，AF=号AC=4。:AD =AB..AD=2×6=3。在R△ADF中，DF=V3+=5。 考点过关 1.A2.B3.C4.15√35.2（答案不唯一）6.OA=OC(答案不唯一)