6 大单元整合与素养提升-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（北师大版·新教材）

CE,..AD一AF=BC-CE。,.DF=BE。.△ABE≌ △CDF(SAS)。(2)解：连接EF,如图。添加BE=CE, 则四边形ABEF是平行四边形。理由如下：，AF=CE, BE=CE,.AF=BE。,四边形ABCD是平行四边形，∴，BE AD∥BC。.四边形ABEF是平行四边形。8.(1)证明：在平行四边形 ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,∴.OA=OC。,AE=EF,∴.OE∥ CF,OE=2CF。·∠EBC=∠FCB,∠BEF=∠CFE。:P是BC中点， BP=CP。∴△PBE≌△PCF(AAS)。.PE=PF。又：BP=CP,.四 边形CFBE是平行四边形：(2)：口ABCD.OB=2BD=3,OC=2AC =4。由(1)知四边形CFBE是平行四边形.OE=2CF,.BE=CF,OE 号BE.0E=30B=3×3=1.:CELBD.∠CE0=90。CE= √OC-OE=√42-1产=√15。 第六章核心素养专练 1.D2.B3.A4.4cm5.(1)证明：BD∥CE∥GF, ∠ABD+∠GFE=180°，∴.∠ACE=∠ABD,∠DEC= B ∠GFE。则∠ACE+∠DEC=180°，∴BC∥DE。∴.四边形 C BCED是平行四边形；(2)解：，四边形BCED是平行四边 形，.CE=BD=20cm。延长AC交GF于H,连接AG。 CE∥FH,BC∥DE,∴.四边形CEFH是平行四边形。∴.FH= -----H F CE=20 cm,CH=EF...GH=GF-FH=80-20=60 cm.AC=CG= EF,CH=EF,∴.AC=CG=CH=50cm。∴.∠A=∠CGA,∠HGC= ∠CHG。又.，∠A+∠AGC+∠HGC+∠CHG=180°，.2（∠AGC+ ∠HGC)=180°，即∠AGH=90°。∴.AG=√AH-GH=√1002-60= 80cm。答：椅子最高点到地面的距离为80cm。 综合与实践设计美丽的镶嵌图案 任务1：正六边形正五边形任务2：2241任务3：360任务5： 解：答案不唯一，如：遇到的困难：变形后无法密铺或图形不整齐，有间隙；克 服的方法：保证相对的边形状完全匹配；经验：密铺需要基本图形相对的边 可以匹配。用到的数学知识：几何图形的内角和；判断图形能否平铺；平移、 轴对称等知识。 第六章大单元整合与素养提升 典例导航 【例1】(1)证明：：∠AEB=∠CFD=90°，∴.∠AEF=∠CFE=90°。∴.AE ∥CF。:四边形ABCD是平行四边形，∴.AB∥CD,AB=CD。∴∠ABD =∠CDB。.△ABE≌△CDF(AAS)。AE=FC。又AE∥CF,∴.四边 形AECF是平行四边形；(2)解：由勾股定理，得BF=√AB十AF产= V6+8=10,∴AE=-华.由勾股定理得：EF=VAP-AF V6-()-8。【例21)证明：连接EF,AE。:点 E,F分别为BC.AC的中点，EF∥AB,EF=号AB。又D :AD=?AB,.EF=AD。且EF∥AD,四边形AEFD是平行四边形。 ∴.AF与DE互相平分。∴.AP=FP;(2)在Rt△ABC中，AC= VBC-AB=V10-6=8。F是AC中点，AF=号AC=4。:AD =AB..AD=2×6=3。在R△ADF中，DF=V3+=5。 考点过关 1.A2.B3.C4.15√35.2（答案不唯一）6.OA=OC(答案不唯一) 7.88.(1)证明：E为CD中点，.CE=DE。:CF∥BD,∴.∠CFE= ∠DBE,∠FCE=∠BDE。△CEF≌△DEB。∴.CF=DB。.四边形 DBCF是平行四边形；(2)解：，四边形DBCF是平行四边形，CF=BD =6。:∠ACB=90°，∠A=30°，∴.AB=2BC。设BC=x,则AB=2x。在 Rt△ACB中，AC+BC=AB。.(43)2+x2=(2x)。解得x=±4（负 值舍去)。..AB=8。,.AD=AB-BD=8-6=2.9.B10.111.C 12.(1)证明：：BF=BE,CG=CE,∴.BC为△FEG的中位线。∴.BC∥FG, BC=号FG。又：H是FG的中点，FH=2FG。∴BC=FH。又：四边 形ABCD是平行四边形，.AD∥BC,AD=BC。.AD∥FH,AD=FH。 .四边形AFHD是平行四边形。(2)40° 期末单元复习（一）三角形的证明及其应用 重难点突破 例1C例2A例3证明：·CE是△ABC的角平分线，∴.∠FCE= ∠BCE。:EF∥BC,∴.∠FEC=∠BCE。.∠FCE=∠FEC。.FE= FC。∴△CEF是等腰三角形。例422.5°例5证 明：连接BP,CP。点P在BC的垂直平分线上，BP CP。AP是∠DAC的平分线，PD⊥AB,PE⊥AC,.PD =PE。在Rt△BDP和Rt△CEP中，PDPE' ,∴.Rt△BDP≌Rt△CEP(HL)。.∴.BD=CE 对点训练 1.C2.A3.B44586,证明：1)：E是∠A0B的平分线上一点， EC⊥OA,ED⊥OB,∴.EC=ED。∴.∠ECD=∠EDC。(2)在Rt△OCE 和R△0DE中，OE-8E:R△0XEeR△ODEL.X0D ∴.点O,E都在线段CD的垂直平分线上。∴.OE是CD的垂直平分线。 备考集训 1.B2.A3.B4.A5.B6.B7.C8.69.52°10.611.90 12.2413.解：相等的线段：AD=AF。过点A作AG⊥BC D A 于点G。AB=AC,∴.∠1=∠2。：DE⊥BC,∴.AG∥DE .∠2=∠D,∠1=∠AFD。:∠1=∠2，∴.∠D=∠AFD .AD=AF。14.解：(1)，△DAF的周长是16，∴.AD+B∠ DF+AF=16。DE,FG分别是AB,AC的垂直平分线， EG AD=BD,AF=CF。.BD+DF+CF=16=BC,即BC的长为16。(2) BD=AD,AF=CF,∴.∠B=∠BAD,∠C=∠FAC。..∠DAB+∠FAC= ∠B+∠C。,∠DAF=20°，.∠DAB+∠B+∠C+∠FAC=180°-20°= 160°。.∠DAB+∠FAC=80°。.∠BAC=80°+20°=100°。15.(1)3 (2)证明：：△ABC是等边三角形，∴.AB=AC,∠BAC=60°。又 △ADE是等边三角形，∴.AD=AE,∠DAE=60°。.∠BAC+∠CAD= ∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE。在△ABD和△ACE中， AB=AC, ∠BAD=∠CAE,.△ABD≌△ACE(SAS). AD-AE, 期末单元复习（二）不等式与不等式组 重难点突破 例1解：由①得7x≤14，则x≤2。由②得2x十6>x十4，则x>一2。故原 不等式组的解集为一2<x≤2。在数轴上表示其解集如图。 -5-4-3-2-1012345 例2D例3解：(1)设购买每盒A种礼品要x元，每盒B种礼品要y元， 由题意，00鲜行二0爷：肉买行金A种礼品要1第六章大单元整合与素养提升 01典例导航 02考点过关 【例1】如图，在□ABCD中，E,F是对角线BD 考点一 平行四边形的性质与判定 上的两点（点E在点F左侧），且∠AEB= 1.(2025·郑州期末)如图，在□ABCD中， ∠CFD=90°。 ∠ADC的平分线DE交BC于点E,若 (1)求证：四边形AECF是平行四边形； AB=11,BE=4,则AD的长为 () (2)若AB⊥AF,AB=8,AF=6,求线段EF长 A.15 B.11 C.20 D.52 B E 第1题图 第2题图 2.如图，在口ABCD中，下列结论不一定成立的 是 () A.∠1=∠2 B.AD=DC C.∠ADC=∠CBAD.OA=OC 3.(2025·湖北)如图，☐ABCD的对角线交点 在原点。若A(一1,2)，则点C的坐标是 () A.(2,-1) B.(-2,1) C.(1,-2) D.(-1,-2) 【例2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，E,F 分别是BC,AC的中点，延长BA到点D,使 AD=AB,连接DE,DF,DE交AF于点P。 第3题图 第4题图 (1)求证：AP=FP; 4.如图，直线AB∥CD,点E,F分别在AB,CD (2)若BC=10,AB=6,求DF的长。 上，∠AEF=60°，EF=30,则AB与CD之间 的距离是 5.【新中考·结论开放】(2025·河北)平行四边 形的一组邻边长分别为3,4，一条对角线长为 n。若n为整数，则n的值可以为 6.【新中考·条件开放】在四边形ABCD中，对 角线AC,BD相交于点O。如果AB∥CD,请 你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平 行四边形，这个条件可以是 (写出一种情况即可) 助学助教优质高数106 7.如图，梯形ABCD中，AD∥ 10.如图，在Rt△ABC中， BC,对角线AC与BD交于点 ∠C=90°，D,E分别为 0.80}若△AB0的面积 CA,CB的中点，AF平分 ∠BAC,交DE于点F,若AC=3,BC=4,则 是2，则△BDC的面积是 EF的长为 8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为边AB 上一点，连接CD,E为CD中点，过点C作 03素养提升 CF∥BD交BE的延长线于点F,连接DF交 11.(2025·安徽)在如图所 AC于点G。 示的□ABCD中，E,G (1)求证：四边形DBCF是平行四边形； 分别为边AD,BC的中 (2)若∠A=30°，AC=4√3，CF=6,求AD的长。 点，点F,H分别在边AB,CD上移动（不与 端点重合)，且满足AF=CH,则下列为定值 的是 () A.四边形EFGH的周长 B.∠EFG的大小 C.四边形EFGH的面积 D.线段FH的长 12.如图，四边形ABCD为平行四边形，E为 AD上的一点，连接EB并延长，使BF BE,连接EC并延长，使CG=CE,连接FG。 H为FG的中点，连接DH。 (1)求证：四边形AFHD为平行四边形； (2)若CB=CE,∠EBC=75°，∠DCE=10°， 则∠DAB的度数是 考点二三角形的中位线 9.如图，在四边形ABCD中， AD=BC,P是对角线BD的 中点，M是DC的中点，N是 AB的中点，∠A=70°，∠ABC=80°，则 ∠PNM的度数是 () A.10°B.15° C.20° D.25° 107八年级数学下册·BS