6 6.2 平行四边形的判定-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（北师大版·新教材）

2 平行四边形的判定 第1课时 平行四边形的判定1,2 知识储备 5.如图，在□ABCD中，点E,F分别在AB,CD 上，且AE=CF。 1.两组对边分别 的四边形是平行四边形。 (1)求证：AF=CE: 2.两组对边分别 的四边形是平行四 (2)求证：四边形AECF是平行四边形。 边形。 3.一组对边 的四边形是平行四 边形 01基础练 增必备知识梳理一 知识点一 两组对边分别平行的四边形是平行 四边形 1.如图，在四边形ABCD中，点 E在BC的延长线上，AD∥ BC,若∠DCE=70°，当∠B 时，四边 知识点三 一组对边平行且相等的四边形是平 形ABCD是平行四边形。 行四边形 2.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,∠B=∠D。 6.【判定辨析】如图，可判定四边形ABCD是平 求证：四边形ABCD为平行四边形。 行四边形的依据是 A.两组对边分别平行的四 120 边形是平行四边形 660 B.对角线互相平分的四边 形是平行四边形 C.一组对边相等、另一组对边平行的四边形 知识点二两组对边分别相等的四边形是平行 是平行四边形 四边形 D.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 3.【判定辨析】在四边形ABCD中，AB=5cm, 7.【教材P161例1变式】如图，在□ABCD中， BC=3cm,当CD= AD= E,F分别是边BC,AD上的点，且DF=BE。 时，四边形ABCD是平行四边形。 求证：四边形AECF是平行四边形。 4.如图，A是直线1外一点，在1 D 上取两点B,C,分别以点A,C 为圆心，BC,AB的长为半径 B 画弧，两弧交于点D,连接AB,AD,CD,则四 边形ABCD是平行四边形，理由是 助学助教优质高效96 02综合练 膏关健能力提升 03素养练 季李科去米路有一 8.已知四边形的四条边长分别为a,b,c,d,其中 11.如图，在四边形ABCD中， A-P D a,c为一组对边的边长，且满足a2十c2十 AD∥BC,AD=12cm,BC= √b-d=2ac,则四边形一定是 15cm,动点P,Q分别从A,BQ A.任意四边形 C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向 B.平行四边形 D运动，点Q以3cm/s的速度由C向B运 C.对角线相等的四边形 动，其中一动点到达终点时，另一动点随之 D.等腰梯形 停止运动，设运动时间为ts。 9.如图，在4×4的方格图中，△ABC的三个顶 (1)AP= ,BQ= 点都在格点上。 ;(分别用含有t的式 (1)画出□ABEC,其中E是格点； 子表示) (2)请用平行四边形的判定方法说明(1)中所 (2)【分类讨论思想】当点P,Q与四边形 画图形的合理性。 ABCD的任意两个顶点所形成的四边形 是平行四边形时，求出t的值。 10.如图，在□ABCD中，∠C=60°，M,N分别 是AD,BC的中点，BC=2CD。求证： (1)四边形MNCD是平行四边形； (2)BD=√3MN。 解题妙招 动点问题的求解方法： 解决动点问题的基本思路是变“动”为“静”， 用“静”去理解“动”。解决动点平行四边形问题要 在掌握平行四边形判定条件的基础上，根据已知的 一个条件，再找一个合适的条件，使四边形成为平行 四边形，此外还应注意分类讨论思想的应用，如T11。 97入年级数学下册·BS 第2课时 平行四边形的判定3 01基础练 量必务如识梳理一 5.【教材P168习题T7变式】如图，在四边形 ABCD中，AC,BD相交于点O,AE⊥BD, 知识点对角线互相平分的四边形是平行四边形 CF⊥BD,垂足分别为E,F,BE=DF,AF∥ 1.如图，在四边形ABCD中，OA=OC,BD= CE。试判断四边形ABCD的形状，并说明理 6cm,则当OB的长为 cm时，四边形 由。 ABCD是平行四边形。 B 第1题图 第2题图 2.小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用 了一种方法：如图所示，将两根木条AC,BD 的中点重叠并用钉子固定，则四边形ABCD 就是平行四边形。这种方法的依据是 3.如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD 相交于点O,AO=CO,AD∥BC。 02综合练 身关健能力提升一 求证：四边形ABCD是平行四边形。 6.如图，在□ABCD中，∠BAD的平分线AE 交CD于点F,交BC的延长线于点E。 (1)求证：BE=CD: (2)若BF恰好平分∠ABE,连接AC,DE,求 证：四边形ACED是平行四边形。 4.【教材P163随堂练习T1变式】如图， □ABCD中，对角线AC与BD交于点O。 点E,F,G,H分别在OA,OB,OC,OD上，且 AE=专0A,CG=30C,BF=专B0,DH= 号DO.求证：四边形EFGH是平行四边形. 助学助教优质高数98 第3课时 平行线间的距离及平行四边形判定方法的选择 01基础练 5.(2025·中山期中)如图，AD⊥AC,BC⊥AC, @必备知识梳理· 且AB=CD。求证：四边形ABCD是平行四 知识点一平行线间的距离 边形。 1.如图，l1∥L2,AB∥CD,CE⊥l2于点E,FG⊥ 2于点G,则下列说法错误的是 () D E A.AB=CD B.CE=FG 02综合练 身关健能力提升一 6.【新中考·条件开放】在四边形ABCD中，对角 C.l1与l2之间的距离就是线段CD的长度 线AC与BD相交于点O。下列条件：①AB∥ D.A,B两点之间的距离就是线段AB的长度 CD:②AD=BC;③AD∥BC;④OA=OC,从中 2.如图，直线l1∥12，△ABC的面积为10，则 任取两个，使四边形ABCD是平行四边形，可以 △BDC的面积 选择的条件是 (写出一个即可)。 A.大于10 7.设AB,CD,EF是同一平面内三条互相平行 B.小于10 的直线，已知AB与CD的距离是12cm,EF C.等于10 与CD的距离是5cm,则AB与EF的距离 D.不能确定 是 cm。 3.如图，a∥b,点A在直线a上，点B,C在直线 8.如图，□ABCD中，过点A作AM⊥BC于点 b上，AC⊥b。如果AB=5cm,BC=3cm,那 M,交BD于点E,过点C作CN⊥BC,交 BD,AD于点F,N,连接AF,CE。 么平行线a,b之间的距离是 cm。 求证：(1)BM=DN; (2)四边形AECF是平行四边形。 第3题图 第4题图 知识点二平行四边形判定方法的选择 4.如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相 交于点O,下列条件中，不能判定四边形 ABCD是平行四边形的是 () A.AO=OC,DO=BO B.OA=OC,AB∥CD C.∠ABD=∠ADB,AD∥BC 请完成进阶测评（七） D.AB=DC,AD=BC 99八年极数学下册·BS.S四边形AEFB=S四边形DEFc,即直线EF将□ABCD的面积二等分。应用：连接 AC,BD相交于点O,作直线OP,则直线OP两旁的四边形面积相等。 微专题七平行四边形中的面积问题的基本模型 1.52.93.3 2平行四边形的判定 第1课时平行四边形的判定1,2 知识储备 1.平行2.相等3.平行且相等 基础练 1.70°2.证明：AB∥CD,.∠B+∠C=180°。∠B=∠D,.∠D+ ∠C=180°。AD∥BC。又，AB∥CD,.四边形ABCD为平行四边形。 3.5cm3cm4.两组对边分别相等的四边形是平行四边形5.证明： (I),□ABCD,.AB=CD,AD=BC,∠B=∠D。,AE=CF,.AB-AE =CD-CF,即BE=DF。∴.△BEC≌△DFA(SAS)。∴AF=CE;(2)由 (1)知EC=FA,又AE=CF,..四边形AECF是平行四边形。6.D 7.证明：：四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC,AD∥BC。又BE= DF,∴AD-DF=BC-BE,即AF=CE。又AF∥CE,∴.四边形AECF 是平行四边形。8.B9.解：(1)如图，□ABEC即为所求； (2)设小正方形方格的边长为1，由勾股定理，得AC=√2，AB =√5，BE=√2，CE=√5。∴.AC=BE,AB=CE。∴.四边形 ABEC是平行四边形。10.证明：(1)，四边形ABCD是平 行四边形，.AD∥BC,AD=BC。,M,N分别是AD,BC的中点，∴.MD= VC,MD∥NC,.四边形MNCD是平行四边形； (2)连接DN。N是BC的中点，BC=2CD,∴.CD=NC。, ∠C=60°，∴.△DCN是等边三角形，∴.ND=NC,∠DNC ∠NDC=60,∴.ND=NB=CN,.∠DBC=∠BDN=30°，∴. ∠BDC-=∠BDN+∠NDC=90°，∴.BD=√/BC-CD=√(2DC)-DC=√3CD .四边形MNCD是平行四边形，∴.MN=CD。∴.BD=√3MN。11.解：(I)tcm (15-3t)cm(2)如图1，当四边形PDCQ是平行四边形时，.AD∥BC,.PD=CQ, 即12-t=3t,解得t=3;如图2，当四边形PABQ是平行四边形时，，AD∥BC, AP-EQ,即1=15-3，解得1-5，如图3，当四边形PDQB是平行四边形时，：AD ∥CPD=Q.即12-1=15-3，解得1=号.综上所述d的值为3或或号. 图1 图2 图3 第2课时平行四边形的判定3 基础练 1.32.对角线互相平分的四边形是平行四边形3.证明：.AD∥BC, ∴.∠DAC=∠ACB,∠ADB=∠CBD。又OA=OC,∴.△AOD≌△COB ∴.OD=OB。又AO=CO,.四边形ABCD是平行四边形。4.证明： ABCO.AO-CO.BO-DO.AE-30A.CG-C.BF-B0, DH=3OD,.AE-CG,BF-DH.AO-AE-CO-CG,BO-BF=DO 一DH。即OE=OG,OF=OH。∴.四边形EFGH是平行四边形。 5.解：四边形ABCD是平行四边形，理由如下：AE⊥BD,CF⊥BD,AE ∥CF。又AF∥CE,.四边形AECF是平行四边形。∴.OA=OC,OE= OF。又BE=DF,.BE+EO=DF+OF,即BO=DO。又AO=CO,. 四边形ABCD是平行四边形。6.证明：(1)：□ABCD,.AB=CD,AD ∥BC。∴∠DAE=∠AEB。,AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE。 ∠BAE=∠AEB。.BA=BE。,∴.BE=CD;(2).BE=BA,BF平分 ∠ABE,.∴.AF=EF。又∠DAE=∠AEB,∠AFD=∠EFC,.∴.△AFD≌ △EFC。.DF=CF。又，AF=EF,∴.四边形ACED是平行四边形。 第3课时平行线间的距离及平行四边形判定方法的选择 基础练 1.C2.C3.44.C5.证明：，AD⊥AC,BC⊥AC,.∠CAD=∠BCA =90°。又AB=CD,AC=CA,.Rt△ABC≌Rt△CDA。.AD=BC。又 ,AB=CD,∴.四边形ABCD是平行四边形。6.②③7.7或178.证 明：(1).□ABCD,∴.AD∥BC,AD=BC。,AM⊥BC,CN⊥BC,∴.AM∥ CN。又.AN∥CM,.四边形AMCN是平行四边形。.CM=AN。.AD -AN=BC-CM,即DN=BM。(2):□ABCD,.AB=CD,AB∥CD。 ∴.∠ABE=∠CDF。.AM∥CN,∴.∠AEF=∠CFE。∠AEB= ∠CFD,又'AB=CD,∠ABE=∠CDF,∴.△AEB≌△CFD。∴.AE=CF。 又.AE∥CF,∴.四边形AECF是平行四边形。 3三角形的中位线 知识储备 1.中点2.平行 -半DE/BC.DE=2BC 基础练 1.C2.D3.94.25.66.C7.B8.证明：D,E,F分别是△ABC 的边AB,BC,AC的中点，.EF∥AB,DE∥AC。∴.四边形ADEF是平行 四边形。9.C10.30°11.证明：连接ME,MF,NE, NF。E,M分别是AD,BD的中点，.ME∥AB,ME )AB.同理可得FN∥AB,FN=号AB。∴ME∥FN. ME=FN。∴.四边形EMFN是平行四边形。∴.EF与 MN互相平分。12.(1)证明：连接BD,取BD的中点O,连接OE,OF。在 M △ABD中，E,O分别是AD,BD的中点，∴OE=号AB,OE∥ AB。∠OEF=∠BMF.同理可证：OF=CD,∠OFN ∠CNF。,∠BMF=∠CNF,∴.∠OFN=∠OEF。.OE= OF。∴.AB=CD。(2)2.5 图1 微专题八构造三角形中的中位线巧解题 1.6.52.√6I3.D 方法技巧专题（四）平行四边形判定方法的选择 1.证明：，DE⊥AC,BF⊥AC,.∠DEC=∠AFB=90°。在Rt△DEC和 R△BFA中，BBR:R△DCa Ri△BFACHL三∠DCA ∠BAC。AB∥CD。又，AB=CD,∴.四边形ABCD是平行四边形。 2.证明：，△ABC是等边三角形，∴.∠ABC=60°。，∠EFB=60°， ∠ABC=∠EFB。.EF∥DC。又：EF=DC,∴.四边形EFCD是平行四 边形。3.证明：DE∥BF,.∠DEC=∠AFB。又∠ADE=∠CBF, .∠DEC-∠ADE=∠AFB-∠CBF,即∠DAE=∠BCF。.AD∥BC 又，AD=BC,∴.四边形ABCD是平行四边形。4.证明：(1)，四边形 ABCD是平行四边形，∴AD∥BC。,DF∥BE,∴.四边形BEDF是平行四 边形。.DE=BF;(2)四边形ABCD是平行四边形，.AD=BC,AD ∥BC。:DE=BF,AD-DE=BC-BF,即AE=CF。又，AE∥CF, 四边形AECF是平行四边形。∴AF∥CE。又：BE∥DF,∴.四边形 MFNE是平行四边形。5.证明：，四边形ABCD是平行四边形，∴.OA= OC,OB=OD.AE=CF,BG=DH,..OA-AE=OC-CF.OB-BG= OD-DH,即OE=OF,OG=OH。∴.四边形EGFH是平行四边形 6.证明：四边形ABCD是平行四边形，.BC∥AD。∴∠CEO=∠AFO。 .O是AC的中点，∴.OC=OA。又.∠COE=∠AOF,∴.△CEO≌△AFO。 ∴.OE=OF。又.OA=OC,.四边形AECF是平行四边形。7.(1)证明： :四边形ABCD是平行四边形，∴.AB=CD,AD=BC,∠B=∠D。,AF=