5 5.3 分式方程-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（北师大版·新教材）

且a≠0，a≠1且a≠0。a=-1或2。当a=-1时，原式=1=-1；当 a=2时原式=日。8解：原式-公 而g。a ,“，-6。a-2十(6-3)2=0，…a2,6=3。当4=2.6=3时，原式 b=3 3a 4 a2。 9解：原式=a+2。-2·。2-。2 3 aa+2a+2a+2=- a十2·解不等式3(a+1)-5<4,得a<2。:a为不等式的最大整数解，a 1. 1。当a=1时，原式三十)二 =一10解：原式=号 x-2 》》骨解不等式粗得 一2<x<2。.-2<x<2的整数解有-1,0,1。又，x≠士1，.x=0。当x -0时原式--8-1。.解：原式=红-2》3行=（女 x+1 -2)×+1=-x-1。x2-4x-5=0,∴(x-5)(x+1)=0。x=5或 2一x x=-1。x+1≠0,2-x≠0，∴x≠-1，x≠2。x=5。此时原式=-5 -1=-6。 3分式方程 第1课时分式方程的概念 基础练 1.B2.+5=-3(答案不唯-)3.70=50 x-1 841500800围 x+20 5.120-220X1.56.A7)x+66(2)解：(+ 1 xx+20 +6)X3+(x-3)X +61。 第2课时分式方程的解法 知识储备 1.分母最简公分母整式检验2.最简公分母0增根 基础练 1.A2.A3.24.(1)2(x+3)4+3(x+3)=7-2-22(x+3)= 2X(一2十3)=2≠0x=一2(2)①解：方程两边同乘x(x一1)，得3x=2 (x一1)。解得x=一2。检验：当x=一2时，x(x一1)≠0，.x=一2是原分 式方程的根；②解：方程两边同乘x一3，得x一3十2=4。解得x=5。检 验：当x=5时，x一3≠0。所以x=5是原分式方程的根；③解：方程两边 同乘3(3x一1D.得2(3x-1)+3x=1.解得x=号.检验：当x=号时，9x 3=0。所以原分式方程无解。5.(1)①去分母时，常数项漏乘最简公分 母(2)x=号6.B7.C8.C9.1)号(2)号10.解：方程两边乘(x -1)(x+2),得x(x十2)一(x-1)(x十2)=3。解得x=1。检验：当x=1 时(x-1)(x十2)=0。∴原分式方程无解。11.解：(1)x1=c,2=”; (2)方程变形，得y+2y十4+1-26 辛2一等。y+2士y+25+5。可得y十2=5或 y叶2=号.解得y=3%=一号 9 微专题五利用分式方程有增根或无解求字母的值 1.32.1(答案不唯一)3.(1)D(2)D 第3课时分式方程的应用 知识储备 已知未知等量关系未知数分式分式分式方程 基础练 1.A2.3002x300300300-300=3x=5050503.解：设原 计划每天绿化的面积是x万m。根据题意列方程，得 72 x(1十20%)x 20。解得x=0.6。经检验，x=0.6是所列方程的根。答：原计划每天绿化 的面积是0,6万m。4A5北-号6，解：设该商品打折前每件 丘元，则打折后每件0.8x元。根据题意，得400+2心。解得x=50,盈 检验，x=50是所列方程的根。答：该商品打折前每件50元。7.解：(1)设 未老师原计划的速度是xkmh,根据题意，得1十180十子=10。解乳 1.5x x=60。经检验，x=60是所列方程的根。答：朱老师原计划的速度是 60kmh:(2)第-天用时180÷60-号=2号h:第二天用时180÷(60× 1.2)=受4，号-2号-名h=10(min.答：来回行驶的时间相差10min 8.解：(1)设购进的第一批医用口罩有x包，则购进的第二批医用口罩有(1 十50%)：包：根据题意，得a703z40=0.5,解得-200，经 7500 检验，x=2000是所列方程的根。答：购进的第一批医用口罩有2000包； (2)设药店销售该口罩每包的售价是y元，根据题意，得[2000+2000×(1 +50%)]y-4000-7500≤3500。解得y≤3。答：药店销售该口罩每包的 最高售价是3元。9.解：(1)设大巴车的平均速度为xkm/h,则小车的平 均连度为1.5xkm,根据题意，得2沿7十合十子解得x-40。经检 验，x=40是原方程的根。所以1.5x=60。答：大巴车的平均速度为40km h,小车的平均速度为60km/h;(2)设苏老师赶上大巴车的地点到基地的 路程有ykm,根据题意，得+00’_90之。解得y一30。答：苏老师道上 大巴车的地点到基地的路程有30km。 情境串联专题分式方程的应用 1.(1)解：设第二次购买材料xt,则第一次购买材料2xt。根据题意，得 45000-100=21000。解得x=15。经检验，x=15是所列方程的根。 2x .2x=30t。答：第一次购买材料30t,第二次购买材料15t。(2)解：设加 速前卡车的平均速度为akn小根超题意，得园-(+H)-号.解 得m=60。经检验，m=60是所列方程的根。答；加速前卡车的平均速度是 60kmh。(3)解：①80©根据题意：得。+22%20×1+ 20%)a≤58400。解得a≤2000。∴.a的最大值为2000。答：a的最大值为 2000.2.解：(1)设“芝士年糕鸡”的单价为x元，则“石锅拌饭”的单价为 x一5)元。根据题意列分式方程，得5=。解得x=33。经检验x→ 33是所列方程的根。∴.x-5=33-5=28。答：“石锅拌饭”的单价为28元， “芝士年糕鸡”的单价为33元；(2)设点“芝士年糕鸡”的有m人，则点“石 锅拌饭”的有(20-m)人。根据题意，得33m十28(20一m)≤600。解得m≤ 8。答：点“芝士年糕鸡”的最多有8人。 第五章大单元整合与素养提升 典例导航 【例1】(1)@③④⑥(2)≠3(3)=1(4)(a+3)(a-3)(a+3(a-3) a2-3a+6 【懈：原式=器··=，一41+0 233 分 第1课时 分 01基础练 必备知识梳理·一 知识点一分式方程的概念 1.【概念辨析】下列方程中，是分式方程的是 A号=0 B.1=5 xx+3 C.+2-1 D.x=2x-5 2.【新中考·结论开放】请利用代数式x一1， x十5，一3组成一个分式方程： 知识点二列分式方程 3.(2025·毕节期中)为了营造自觉爱绿、植绿、 护绿的浓厚氛围，甲、乙两组学生踊跃参加植 树造林活动.已知甲组每小时比乙组多植2 棵树，甲组植70棵树用时与乙组植50棵树 用时相同.设甲组每小时植x棵树，根据题意 列出方程为 4.(2025·深圳期末)为了落实“双减”政策，进 一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球 和足球。已知每个篮球的价格比每个足球的 价格多20元，用1500元购进篮球的数量比 用800元购进足球的数量多5个。如果设每 个足球的价格为x元，那么可列方程为 5.一种药品有两种大小的包装，每个大瓶比每 个小瓶多装20g药品。已知120g药品单独 装满小瓶的瓶数是单独装满大瓶的瓶数的 1.5倍。设每个小瓶可装药品xg,根据题意 列方程为 式方程 式方程的概念 02综合练 雪关能能力提升一 6.(2025·贵阳期末)某种型号油电混合动力汽 车从甲地开往乙地时，纯用电行驶，花充电费 24元，沿相同路线返程时用纯燃油行驶，花 燃油费72元。已知每行驶1km,纯燃油费 用比纯用电费用多0.6元。晓华根据这一情 境中的数丝关系列出方程为生-， x+0.6,则 未知数x表示的意义为 A.每行驶1km纯用电的费用 B.每行驶1km纯燃油的费用 C.每1元电费可行驶的路程 D.每1元油费可行驶的路程 7.某工程在进行招标时，接到甲、乙两个工程队 的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投 标书测算，有如下方案： ①甲队单独完成这项工程刚好如期完成； ②乙队单独完成这项工程要比规定日期多6天； ③若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队 单独做也正好如期完成。 (1)设甲队单独完成这项工程需要x天，请将 下表补充完整。 统计量 工程总量 所用时间/天 工程效率 甲队 乙队 (2)根据题意及表中所得到的信息列方程。 助学助教优质高效84 第2课时 分 知识储备 1.解分式方程的一般方法和步骤：(1)去 ,方 程两边同乘以 ,化成整式方程； (2)解 方程：(3) 2.检验的方法：将整式方程的解代入 ,若最简公分母的值不为 ,则整式方 程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原 分式方程的解，称它为原分式方程的 +…++…++…+…十…+十十十++十…+++…++十+++ 01基础练 }必备知识梳理一 知识点一 分式方程的解法 1.解分式方程2 3 3一1=3°x,去分母后正确 的是 () A.2-(x-3)=-3B.2-x-3=-3 C.2-(3-x)=3 D.2-3-x=3 2分式方程，5-1的解是 () A.x=6 B.x=-6 C.x=5 D.x=-5 3.已知关于x的方程，96一9-1的解为= 3,则k的值是 0 4.(1)(答题模板)解分式方程： 237 x+322x+6 解：方程两边同乘以最简公分母 得 解得x= 检验：当x= 时， 最简公分母 所以 是原方程的根。 (2)【针对练习】解下列方程： @,1 2 85八年级数学下册·BS 式方程的解法 2=4 ②1-3-x-x-3 1 易错点○去分母时，常数项漏乘最简公分母 致错 5.小明解方程上_一2=1的过程如下所示。 解：方程两边乘x,得1-（x-2)=1。…① 去括号，得1一x-2=1。 …………。 ② 合并同类项，得一x一1=1。 …… ③ 移项，得一x=2。………… ④ 系数化为1，得x=一2。 ⑤ .原方程的根为x=一2。 …………………… ⑥ (1)以上解方程从第 步开始出错，错误的 原因是 (2)此方程的根是 0 知识点二分式方程的增根 6,若关于2的分式方程二1名十1有增 根，则这个增根是 () A.x=0 B.x=1 C.x=2 D.x=-1 7若关于x的分式方程=1-有增 03素养练 源李科去养给有一 根，则的值为 11.【新中考·解题方法型阅读理解题】先阅读 A.-1 B.-2 C.-3 D.4 下面的材料，然后回答问题： 8.如果关于x的方程2x十”-1的根是正数，那 方程x十是-2+号的报为=2-： x-1 x 1 么m的取值范围是 ( ) 方程x+3+3的根为=3， 3 A.m<-1 B.m>-1 1 C.m<-1且m≠-2D.m≤-1且m≠-2 方程x十-4十的根为西=4， 4 9.(1)当a= 时，关于x的方程ax x-1 (1)观察上述方程的根，猜想方程x+” ,二=1的根与方程，4=3的根相同。 2 x c十”m的根是 (2)【T9(1)变式】当x= 时，x一5一2 (2)请根据上述方程及其根的特征，对方程 与十1互为相反数。 y牛9选行变形，并写山方程 10.解分式方程：是1-x-x+2 的根。 微专题团 利用分式方程有增根或无解求字母的值 解题技巧 分式方程的“增根”就是使最简公分母为0的 3.1)若关于x的分式方程-2开无解， 未知数的值。解决此类问题的方法是：①化分式方 则m的值是 程为整式方程；②令最简公分母为0，求增根；③把 增根代入整式方程中求相关字母的值。此外应注 A.0 B.4或6 意分式方程无解有两种情况：①化简后的整式方程 C.6 D.0或4 无解；②整式方程的解使最简公分母为零。 (2)【T3(1)变式】若关于x的分式方程 【针对练习】 mtx 1.(2025·郑州月考)若关于x的分式方程 2xx21有解，则实数m应满足的 二2十2告有增根，则a的值是 条件是 A.m=-1 B.m≠-1 2.【新中考·结论开放】若想让关于x的分式 方程是二3十”没有猫根，则m的值 C.m=1 D.m≠1 为 (填一个)。 助学助教优质高数86 第3课时 分 知识储备 列分式方程解决实际问题的步骤： 审：审清题意，弄清 量和 量： 找：找出 设：设 列：列出 方程； 解：解所列出的 方程： 验：既要检验所得的根是不是所列 的根，又要检验所得的根是否符合实际问题的 要求： 答：写出答案。 01基础练 必备知识梳理一 知识点一工程问题 1.(2025·郑州月考)甲、乙两个工程队共同修 一条道路，其中甲工程队需要修9km,乙工 程队需要修12km。已知乙工程队每个月比 甲工程队多修1km,最终用的时间比甲工程 队少半个月。若设甲工程队每个月修xkm, 则可列出方程为 () A.912 1 B.12-9=1 xx+12 x+1x2 D.1291 xx十12 2.（答题模板)某社区积极响应正在开展的“创 文活动”，组织甲、乙两个志愿工程队对社区 的一些区域进行绿化改造。已知甲工程队每 小时能完成的绿化面积是乙工程队每小时能 完成的绿化面积的2倍，并且甲工程队完成 300m的绿化面积比乙工程队完成300m 的绿化面积少用3h,乙工程队每小时能完成 多少平方米的绿化面积？ 解：设乙工程队每小时能完成xm的绿化面 积，请完成下列填表： 87八年级数学下册·BS 式方程的应用 工作总量 工作效率工作时间 甲工程队 300 2x 乙工程队 根据题意列方程，得 解得 经检验，x= 是所列方程的根。 答：乙工程队每小时能完成 m2的绿化 面积。 3.“绿水青山就是金山银山”，为了迎接雨季的 到来，某工程队承接了72万m的荒山绿化 任务，实际工作时每天的工作效率比原计划 提高了20%，结果提前20天完成了这一任 务。求原计划每天绿化的面积。 知识点二行程问题 4.一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行 81km所需的时间与逆水航行69km所需的 时间相同。已知水流速度是2km/h,则轮船 在静水中航行的速度是 () A.25 km/h B.24 km/h C.23 km/h D.22 km/h 5.甲、乙两位同学同时从家出发，分别到距家7km 和11km的实践基地参加劳动。若甲、乙的速 度之比是3：4，结果甲比乙提前20min到达 基地，求甲、乙的速度。设甲的速度为 3.xkm/h,根据题意列方程为 知识点三商品销售问题 6.【教材P147习题T5变式】某网店开展促销 活动，其商品一律按八折销售，促销期间用 400元在该网店购得某商品的数量较打折前 多出2件。该商品打折前每件多少元？ 02综合练 身关锭能力提升一 7.朱老师从家出发，驾车去离家180km的风景 区度假，出发1h内按原计划的速度匀速行 驶，1h后以原计划速度的1.5倍匀速行驶， 并提前40min到达风景区。 (1)朱老师原计划的速度是每小时多少千米？ (2)若第二天返回时以去时原计划速度的1.2 倍行驶回到家，那么来回行驶的时间相差 多少分钟？ 8.某药店用4000元购进若干包医用外科口 罩，很快售完，该店又用7500元钱购进第二 批同种口罩，第二批购进的包数比第一批多 50%,每包口罩的进价比第一批每包的进价 多0.5元，请解答下列问题： (1)求购进的第一批医用口罩有多少包？ (2)政府采取措施，在这两批医用口罩的销售 中，售价保持不变，若售完这两批口罩的 总利润不高于3500元，那么药店销售该 口罩每包的最高售价是多少元？ 03素养练 手学科大养塔有一 9.【教材P150复习题T13变式】某 校组织八年级学生乘大巴车前往 “研学旅行”基地开展爱国教育活 动，基地离学校有90km,队伍8：00从学校 出发。苏老师因有事情，8：30从学校自驾小 车以大巴车1.5倍的速度追赶，追上大巴车 后继续前行，结果比队伍提前15min到达基 地。问： (1)大巴车与小车的平均速度各是多少？ (2)苏老师追上大巴车的地点到基地的路程 有多远？ 助学助教优质高数88