4 重点强化专题(1) 因式分解的五点关注&大单元整合与素养提升-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（北师大版·新教材）

重点强化专题（一 一、关注提公因式后不要忘了余下的“1” 1.把下列各式因式分解： (1)x2-2xy+x; (2)m2(m-2)-2m(m-2)+(m-2)。 二、关注用公式法因式分解时系数的识别 2.把下列各式因式分解： (1)4(a十b)2-1; (2)36x2-48xy+16y2。 三、关注正确提取公因式 3.把下列各式因式分解： (1)-4mn-16m2n3-16m3n2; (2)6a(1-b)2-2(b-1)2。 69八年级数学下册·BS 因式分解的五点关注 四、关注是因式分解还是整式乘法 4.把下列各式因式分解： (1)(5a+3b)2-(3a+5b)2: (2)(a+1)3-2(1+a)2+a+1。 五、关注因式分解是否彻底 5.把下列各式因式分解： (1)x2y-x5; (2)m-18m2+81: (3)x2(x-y)+9(y-x)。 请完成培优专训（六） 第四章大单元 01典例导航 【例】下面是小黄同学对多项式(x2一6x十8)(x2 6x十10)十1进行因式分解的过程。 解：设x2-6x=y, ∴.原式=(y+8)(y十10)十1（第一步） =y2十18y+81(第二步) =(y十9)2（第三步） =(x2-6x十9)2。（第四步） 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 A.提公因式法 B.平方差公式法 C.完全平方公式法 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？ (填“彻底”或“不彻底”)；若不彻底，请直接 写出因式分解的最后结果： (3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2一2) (x2一6)十4进行因式分解。 02 考点过关 考点一因式分解的有关概念 1.下列变形是因式分解的是 A.(x+1)(x+2)=x2+3x+2 B.x2-2x+1=x(x-2)+1 C.x+1=x(1+)） D.a2-b2=(a+b)(a-b) 整合与素养提升 2.多项式x2y+2xy与x2y-4y的公因式是 ( A.y B.x+2 C.x-2 D.y(x+2) 考点二因式分解的方法 3.把多项式x2一3x因式分解的结果是() A.x(x+3)》 B.x(x-3) C.(x+3)2 D.(x+3)(x-3) 4.已知多项式a2一2a十1，无论a取何值，它的 值一定是 () A.正数 B.非正数 C.负数 D.非负数 5.若x2-kx十9能用完全平方公式因式分解， 则k的值是 () A.±3 B.3 C.±6 D.6 6.已知a,b,c是三角形的三边长，那么式子 (a-b)2-c2的值 () A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.不能确定 7.已知x-y=6,则x2一y2-12y= 8【新中考·结论开微】在多项式+}中添加 一个单项式，使得到的多项式可以用完全平 方公式进行因式分解，则添加的单项式可以 是 。(只写一个符合条件的单 项式) 9.计算： (1)38.52-36.52= (2)482+48×24+122= (3)13.2×1.34+13.2×10.66-26.4= 10.把下列各式因式分解： (1)x2-x4; 助学助教优质高效70 (2)-a3+2a2-a; (3)9(x+y)2-6(x+y)+1; (4)利用因式分解计算：992+198+1。 11.已知xy=15,且满足(x2y一xy2)一(x一 y)=28。 (1)求x-y的值； (2)求x2+y2,x十y的值。 12.龙年春晚首次在演播大厅部署了沉浸式舞 台交互系统，现场观众可以看到李白带你云 游长安、大熊猫花花上春晚教学八段锦… AR与AI的技术融合让人耳目一新，淇淇 同学深受智能技术触动，发明了一个智能关 联盒。当输入数或式时，盒子会直接加4后 输出。 (1)第一次淇淇输入为n+2,则关联盒输出 为 ;若关联盒第二次输出为n十 8,则淇淇输入的是 (n>0); (2)在(1)的条件下，若把第一次输入的式子 71八年级数学下册·BS 作为长方形甲的宽，输出的式子作为长， 其面积记作S,把第二次输入的式子作 为长方形乙的宽，输出的式子作为长，其 面积记作S2。 ①请用含n的代数式分别表示S1和S2 (结果化成多项式的形式)； ②淇淇发现S2十4可以化为一个完全平 方式，请解释说明。 03素养提升 13.【观察】 (2+3)2-2=(2+3+2)(2+3-2)=7×3, (4+3)2-42=(4+3+4)(4+3-4)=11×3, (6+3)2-6=(6+3+6)(6+3-6)=15×3, …… 【猜想】比任意一个偶数大3的数与这个偶 数的平方差能被3整除。 【验证】 (1)若这个偶数是10，通过计算说 明13和10的平方差能否被3 整除； (2)若设这个偶数为2n,试说明比2n大3的 数与2n的平方差能否被3整除； 【延伸】 (3)试说明比任意一个整数大9的数与这个 整数的平方差能否被9整除。基础练 1.B2.C3.(1)4(2)±64.(1)①(2x)22xyy2(2x+y)2②@ (a+b)552(a+b-5)2(2)(x-3)25.A6.(1)2(x+1)2(2)2m (x-y)27.(1)解：原式=a(a-3b)2；(2)解：原式=-b(1-2b+b2)=- b(1-b)2;(3)解：原式=(x-y+1)2.8.D9.410.等边11.(1)a +b2(2)412.(1)解：原式=(a-b)(a2-)=(a-b)2(a十b)；(2)解： 原式=(x+2)(x-2)2;(3)解：原式=(x十y-2)2.13.(1)C(2)(x -2)(3)解：设x2+2x=y,则原式=y(y+2)+1=y2十2y+1=(y+1)2 =(x2十2x+1)2=(x十1)4。 微专题四利用十字相乘法因式分解 1.【问题解决】(1)(x十1)(x十4)(2)(x一1)(x一5)(3)(x十8)(x-1) (4)(x-9)(x+3)【拓展训练】(1)(2x+1)(x+1)(2)(x-1)(3x-2) 2.2(x+1)(x-6)3.x(x+3)(x-1) 重点强化专题（一）因式分解的五点关注 1.解：(1)原式=x(x-2y+1);(2)原式=(m一2)(m2-2m+1)=(m-2) (m-1)2.2.解：(1)原式=[2(a+b)]2-12=(2a+2b+1)(2a+2b-1): (2)原式=4(9x2-12xy+4y2)=4[(3x)2-2×3.x·2y+(2y)2]=4(3x 2y)2.3.解：(1)原式=-4m2n(m2+4n2+4mn)=-4mn(m+2n)2； (2)原式=(b-1)2(6a-2)=2(b-1)2(3a一1)。4.解：(1)原式=[(5a十 3b)+(3a+5b)][(5a+3b)-(3a+5b)]=(8a+8b)(2a-2b)=16(a+b)(a -b);(2)原式=(a+1)[(a+1)2-2(a+1)+1]=(a+1)[(a+1)-1]2= a(a+1)。5.解：(1)原式=x2(y-x)=x2(y2+x2)(y2-x2)=x2(y2+ x2)(y十x)(y-x)；(2)原式=(m2)2-2·m2·9+92=(m2-9)2=[(m十 3)(m-3)]2=(m十3)2(m-3)2；(3)原式=(x-y)(x2-9)=(x-y)(x+ 3)(x—3)。 第四章大单元整合与素养提升 典例导航 【例】(1)C(2)不彻底(x-3)(3)解：设x2一2=y。则原式=y(y-4) +4=y2-4y十4=(y-2)=(x2-2-2)2=(x2-4)2=(x+2)2(x-2)2。 考点过关 1.D2.D3.B4.D5.C6.B7.368.x(答案不唯一)9.(1)150 (2)3600(3)13210.(1)解：原式=x2(1-x2)=x2(1十x)(1-x); (2)解：原式=-a(a2-2a+1)=-a(a-1)2;(3)解：原式=[3(x+y)] 6(x+y)+1=(3.x+3y-1)2;(4)解：原式=992+2×99×1+1=(99+ 1)2=1002=10000.11.解：(1)(x2y-xy2)-(x-y)=28xy(x-y) (x-y)=28(x-y)(xy-1)=28。.xy=15,.14(x-y)=28。.x-y =2。(2)x2+y2=(x-y)2+2xy=22+2×15=34;(x+y)2=x2+2xy+y =34+2×15=64,.x+y=士8.12.解：(1)n+6n十4(2)①S1=(n +2)(n+6)=n2+8n+12,S2=(n+8)(n+4)=n2十12n+32。②S2+4=n +12m十32+4=n2+12n+36,,n2+12n+36=n2+12n+62=(n+6)2,. S2+4可以化为一个完全平方式。13.解：(1)132-102=(13+10)(13- 10)=69.69÷3=23,.能被3整除。(2)(2n+3)2-(2n)2=(2n+3十 2n)(2n十3-2n)=3(4n十3)，∴.能被3整除。(3)设这个数为n,比n大9 的数为n十9。(n十9)2一n=(n十9十n)(n+9一n)=9(2n十9)，∴.能被9整除。 第五章分式与分式方程 1分式及其基本性质 第1课时分式及其相关概念 基础练 2x+1_2×1+1_ 1.C2.A3.24.-0.55.解：当x=1时，x-3=1-3 3 x=2时，2+}22+1=5；当x=-1时，2+-2X1)士1=号 x2-322-3 x2-3(-1)2-3-2 6.B7,600是8.C9.Dx<5(2)任意实数10.81L.二 x2-36 (答案不唯一) 22