1 方法技巧专题(1) 构造等腰三角形的方法&大单元整合与素养提升-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（北师大版·新教材）

10.解：如图所示，点P和P1即为所求。 第10题图 第11题图 11.解：BE=CF。证明：连接DC,DB。,点D在∠BAC的平分线上，DE」 AB,DFLAC,,∴.DE=DF,∠BED=∠F=90°。又，点D在BC的垂直平 分线上，∴.DB=DC。∴.Rt△DBE≌Rt△DCF(HL)。∴.BE=CF。 12.证明：(1)，∠1=∠2，.OA平分∠BAC。又CD⊥AB,BE⊥AC, .OD=OE,∠BDO=∠CEO=90°。在△BOD和△COE中， ∠BDO=∠CEO, OD-OE, .△BOD≌△COE(ASA)。.OB=OC。 ∠BOD=∠COE, ∠BDO=∠CEO, (2)在△BOD和△COE中， ∠BOD=∠COE,∴.△BOD≌△COE(AAS)。 OB=OC, ∴.OD=OE。又CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,∴.OA平分∠BAC, 即∠1=∠2。 第2课时三角形的角平分线 知识储备 相等 基础练 1.B2.33.(1)32(2)3:4:54.C5.C6.47.1408.309.5 10.811.(1)证明：过点O作OM⊥AB于点M。BD平 分∠ABC,OE⊥BC于点E,OM⊥AB于点M,∴.OE=OM。 M .OE=OF,.OM=OF。又：OF⊥AC,.点O在∠BAC 的平分线上。(2)解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，ACB =5,BC=12,∴.AB=13。连接OC。S△ABc=S△0B十S△0Bc十S△A0c2 AC·BC=-2AB·OM+7·BC·OE+2AC·OP。OM=OE=OF,AC =5,BC=12.AB=13.2×5×12=号×18·0E+号×12·0E+号× 5·OE。∴.OE=2。 微专题三角平分线十平行线→等腰三角形 【例】2cm∠2∠C∠2∠C2 【针对练习】 1.B2.(1)5(2)EF=BE-CF 方法技巧专题（一）构造等腰三角形的方法 1.解：∠ACE=∠B十∠ECD。理由如下：延长CE交AB于点 F。.AD平分∠BAC,∴.∠BAD=∠CAD。,CELAD, ∴.∠AEC=∠AEF=90°。又.AE=AE,△AEC≌△AEF (ASA)。∠ACE=∠AFE。又，∠AFE=∠B十∠DCE, ∴.∠ACE=∠B+∠ECD。2.证明：延长BA,CD相交于点Q。 .∠CAQ=∠BAE=∠BDC=90°，∴.∠ACQ+∠Q=90°， ∠ABE+∠Q=90°。∴.∠ACQ=∠ABE。在△ABE和 ∠ABE=∠ACQ, △ACQ中，AB=AC, ∴.△ABE≌△ACQ ∠BAE=∠CAQ, B (ASA)。.BE=CQ。BD平分∠ABC,.∠QBD= ∠CBD。∠BDC=90°，.∠BDC=∠BDQ=90°。在△QDB和△CDB (∠QBD=∠CBD, 中，BD=BD, ∴.△QDB≌△CDB(ASA)。∴.CD=DQ。∴BE= ∠BDQ=∠BDC, CQ=2CD。3.A4.证明：过点D作DG∥AE,交BC于点 G,则∠DGF=∠ECF,∠GDF=∠E。,DF=EF,∴.△DGF≌ △ECF(AAS)。 ∴.DG=EC。:AB=AC,.∠B=∠ACB。∴.∠DGB= ∠ACB。∴∠DBG=∠DGB。∴.DG=BD,∴.BD=CE 第一章大单元整合与素养提升 典例导航 【例】(1)2(2)△CEF(3)37.5(4)72(5)13(6)解：依题意，得AD 垂直平分BE,∴AB=AE。又EF是AC的垂直平分线，∴.AE=EC。 .AB=EC。:△ABC的周长是13cm,AC=6cm,.AB+BE+EC= 7cm。即2DE+2EC=7cm。.DE+EC=DC=3.5cm。 考点过关 1.A2.证明：AC∥DF,∴.∠ACB=∠F。AB∥DE,∠B=∠DEF。 「∠ACB=∠F, 在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF,∴.△ABC≌△DEF(AAS)。.BC AC-DF. =EF。∴.BC-EC=EF-EC。.BE=CF。3.C4.B5.56.等边三 角形7.D8.239.130°或90°10.A11.80°12.413.50°14.15 15.116.解：【问题解决】CF+CE=CD 【类比探究】CF=CE十CD。理由如下：过点D作DG∥AB 交AC的延长线于点G,则∠A=∠G,∠B=∠BDG :△ABC是等边三角形，∠A=∠B=60°。.∠G= ∠BDG=60°。∴.△GDC是等边三角形。.DG=CG= DC。:△DEF是等边三角形，∴.ED=FD,∠EDF=60°。 ∴.∠EDF=∠GDC。∴.∠EDG=∠CDF。∴.△EDG≌△FDC(SAS). ∴.EG=CF。:EG=EC+CG=EC+CD。∴.CF=CE十CD。 第二章不等式与不等式组 1不等式及其基本性质 第1课时不等关系 知识储备 1.不等式2.≤ ≥ 基础练 1.B2.(1)<(2)>3.B4.>5.17≤t≤256.(1)a-b<0(2)a >5(3)x2+1≤4(4)3a-6≥27.D8.0.3x十50≤12009.解：根据 题意，得415.x+150(80-x)<20000.10.解：1.5×10+2(x-10)≥25。 第2课时不等式的解集 知识储备 1.成立2.解集3.解集 基础练 1.D2.B3.C4.D5.-30,3,5,4-4,-5,-106.A7.B 8.x≤29.A10.x-1≤0,2x≤2等（答案不唯一）11.C12.-1(答案 不唯一)13.解：由方程根的定义，把x=3代入ax十12=0可得a=一4，把 a=一4代入(a十2)x<-6,得-2x<-6。∴.不等式(a十2)x<-6的解集 是x>3。 第3课时不等式的基本性质 知识储备 1.b<a2.a<c3.代数式不变>4.正数不变>>5.负数 改变 基础练 1.(1)>(2)>(3)(4)2.B3.A4.C5.(1)不等式的基本方法技巧专题（一） 构造等腰三角形的方法 类型一角平分线十垂线→等腰三角形 类型二利用平行线构造等腰三角形 解题技巧 解题技巧 当垂线段与角平分线垂直时，延长垂线与角的另 作平行线构造等腰三角形。 一边相交，利用全等构造等腰三角形 3.如图，在△ABC中，BO,CO 1.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,CE⊥ 分别平分∠ABC和∠ACB, AD于点E。猜想∠ACE,∠B,∠ECD之间 OE∥AB交BC于点E,B 的数量关系并说明理由。 OF∥AC交BC于点F,若BC=12,AB=8, AC=6,则△OEF的周长是 () A.12 B.8 C.6 D.20 4.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AB 上，点E在AC的延长线上，DE交BC于点 F。若DF=EF,求证：BD=CE。 2.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=90°，BE 是角平分线，CD⊥BE交BE的延长线于点 D。求证：BE=2CD。 请完成培优专训（一）、（二) 23八年级数学下册·BS 第一章大单元整合与素养提升 01典例导航 考点三等腰三角形 3.如图，直线a∥b,直线l与直线a,b分别相交 【例】如图，在△ABC中，AD⊥BC,EF垂直平分 AC,交AC于点F,交BC于点E,且BD=DE。 于点A,B,点C在直线b上，且CA=CB。若 (1)图中至少有个等腰三角形； ∠1=32°，则∠2的度数为 () (2)与△AEF全等的三角形是 A.32 B.58° C.74° D.75 (3)若∠BAE=30°，则∠C的度数为 (4)若AE平分∠BAC,则∠B= (5)若AD=12cm,BE=10cm,则AB= cm; B (6)若△ABC的周长是13cm,AC=6cm,求 第3题图 第4题图 DC长。 4.如图，△ABC是等边三角形，BO为中线，延 长BA至点D,使AD=AO,则∠DOB的度 数为 () A.105° B.120° C.135° D.150 5.如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中 ∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线CF相 交于点F,过点F作DF∥BC,交AB于点 02考点过关 D,交AC于点E,若BD=9cm,DE=4cm, 考点一三角形内角和定理 则CE的长为 cm。 1.一个三角形三个内角度数之比是2：3：4，则 这个三角形是 () A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 第5题图 第6题图 考点二全等三角形 6.如图，D是等边三角形ABC的边AC上的一 2.点B,E,C,F在同一条直线上，AC=DF, 点，E是等边三角形ABC外一点，若BD=CE, AC∥DF,AB∥DE,求证：BE=CF。 ∠1=∠2，则△ADE的形状是 考点四直角三角形 7.下列可以判定两个直角三角形全等的条件是 () A.斜边相等 B.两对锐角对应相等 C.面积相等 D.一直角边和斜边对应相等 助学助教优质高数24 8.如图，在△ABC中，∠ACB= 线CP交AB于点D。若BD=3,AC=10,则 90°，∠ABC=30°，CD⊥AB △ACD的面积是 于点D,如果AD=1,那么BC 9.在△ABC中，AB=AC,∠BAC=100°，点D 在边BC上，连接AD,若△ABD为直角三 角形，则∠ADC的度数为 第14题图 第15题图 考点五线段的垂直平分线 03素养提升 10.如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆 15.如图，在△ABC中，AB=AC=2,P是BC 心，大于AC长为半径画孤，两孤相交于点 上任意一点，PE⊥AB于点E,PF⊥AC于 M,N,作直线MN分别交BC,AC于点D, 点F,若S△ABC=1,则PE十PF= E。若AE-3cm,△ABC的周长为19cm, 16.如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC 上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE 则△ABD的周长为 () 为一边作等边三角形DEF,连接CF。 A.13 cm B.16 cm C.10 cm D.6 cm 【问题解决】 如图1，若点D在边BC上，则CF,CE,CD 之间的数量关系是 /D ) 【类比探究】 第10题图 第11题图 如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究 11.如图，在△ABC中，D是边BC上一点，且在 线段CE,CF与CD之间存在怎样的数量关 线段AB的垂直平分线上，∠B=25°，∠C= 系？并说明理由。 50°，则∠DAC的度数是 考点六角平分线 12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分 ∠BAC,交BC于点D,若AB=16,△ABD 的面积是32，则CD= 图 图2 B 第12题图 第13题图 13.如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相 等，若∠BOC=115°，则∠A= 14.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,BC 于点E,F,再分别以点E,F为圆心，大于 EF的长为半径面弧，两孤交于点P,作射 25八年级数学下册·BS