第23章 一次函数 章末复习教学设计 2025-2026学年人教版数学八年级下册

该初中数学教学设计聚焦一次函数章末复习，核心梳理一次函数的概念、图象、性质、解析式求法，以及与方程、不等式、方程组的内在联系。通过明确学习目标、展示知识框图、问题串引导回顾，帮助学生构建完整知识网络，搭建系统复习的学习支架。 此资料以问题串驱动学生自主梳理知识，结合考点例题归纳方法，分层练习兼顾基础与拓展。突出数学眼光（几何直观）、数学思维（推理意识）、数学语言（模型意识），如通过一次函数与方程的联系例题深化数形结合，助力学生提升综合应用能力，为教师提供高效系统的复习教学方案。

教学设计 《第23章 一次函数 章末复习》教学设计 课型 新授课口 复习课☑ 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 本课是一次函数这一单元知识的系统复习与总结课．本课以教材的知识结构图和回顾问题为蓝本，引导学生系统梳理一次函数的概念、图象、性质、解析式求法等核心知识点，构建完整的知识网络．同时，重点整合一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组之间的内在联系，深化数形结合思想．通过对实际问题建模步骤的归纳，帮助学生形成解决函数应用问题的通法．本课既是对单元知识的全面巩固，也是对数学思想方法的综合提升，为后续学习更复杂的函数知识奠定坚实的基础． 学习者分析 学生已学完一次函数单元的全部内容，对一次函数的概念、图象、性质及简单应用有一定的掌握．但学生对知识的理解多停留在孤立层面，缺乏系统性和关联性，难以将一次函数与方程、不等式等知识灵活结合．同时，学生在解决综合性实际问题时，建模思路不够清晰，对“数形结合”思想的应用不够熟练．复习课需要引导学生打破知识壁垒，自主构建知识网络，提升综合分析与解决问题的能力． 教学目标 1．系统梳理一次函数的概念、图象、性质、解析式求法． 2．整合一次函数与方程、不等式、方程组的联系，形成知识网络． 3．归纳一次函数解决实际问题的建模步骤与常见类型． 教学重点 系统梳理一次函数的知识体系，整合一次函数与方程、不等式的联系，构建完整的知识网络． 教学难点 引导学生自主构建一次函数知识网络，并能灵活运用数形结合思想解决综合性问题． 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：学习目标 教师活动1： 师出示学习目标： 1．系统梳理一次函数的概念、图象、性质、解析式求法． 2．整合一次函数与方程、不等式、方程组的联系，形成知识网络． 3．归纳一次函数解决实际问题的建模步骤与常见类型． 学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标 活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性． 环节二：知识框图 教师活动2： 出示知识框图 学生活动2： 学生认真听老师的讲本章知识架构 活动意图说明： 通过出示本章知识框图，让学生对本章所学内容有明确的了解，为进一步进行知识回顾做好准备 环节三：回顾思考 教师活动3： 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． 1．什么样的函数是一次函数？什么样的函数是正比例函数？ 预设：一般地，形如y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数，其中x是自变量．特别地，当b＝0时，y＝kx＋b即y＝kx．形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数，叫作正比例函数，其中k叫作比例系数． 2．正比例函数的图象有什么特点？一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是什么形状？怎样画一次函数的图象？ 预设：一般地，正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx． 一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象也是一条直线，我们称它为直线y＝kx＋b． 因为两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要确定两个点，再过这两个点画直线就可以了．通常取直线与坐标轴的两个交点，即点(0，b)和点(-，0)． 3．常数k对一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象有什么影响？由此能说明y与x之间的什么变化规律？ 预设：常数k决定了直线的倾斜程度． 当k＞0时，直线y＝kx＋b从左向右上升；y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线y＝kx＋b从左向右下降；y随x的增大而减小． 4．由一条不平行于坐标轴的已知直线，能求出它对应的一次函数的解析式吗？如果能，应怎样求？由此体会由形到数的转化． 预设：通常可以根据已知直线上的两个点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式． 用待定系数法求一次函数解析式的步骤 （1）设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)； （2）将已知的x，y的对应值（至少两组）代入所设的解析式中，得到关于系数k，b的方程组； （3）解方程组求得系数k，b的值； （4）把k，b的值代入所设的解析式，写出解析式． 5．一次函数与一元一次方程有什么关系？一次函数与一元一次不等式有什么关系？一次函数与二元一次方程（组）有什么关系？请举例说明． 预设：因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax＋b＝0（a≠0）的形式，所以解一元一次方程，从函数值考虑，相当于在某个一次函数y＝ax＋b的函数值为0时，求自变量x的值；从函数的图象考虑，相当于已知直线y＝ax＋b，求它与x轴的交点的横坐标． 对于可化为ax＋b＞0或ax＋b＜0（a≠0）的一元一次不等式，在求它的解集时，从函数值考虑，相当于在某个一次函数y＝ax＋b的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围；从函数的图象考虑，相当于已知直线y＝ax＋b，确定这条直线上的点的纵坐标大于0或小于0时横坐标的取值范围． 一般地，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线．从“数”的角度看，解这样的方程组相当于求当自变量为何值时相应的两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解这样的方程组相当于确定两条直线交点的坐标． 6．请举例说明利用一次函数解决实际问题的过程． 预设：利用一次函数解决问题时，关键在于分析问题中变量之间的对应关系，并考虑如何表示这种关系，从而将实际问题转化为一次函数问题． 利用一次函数解决实际问题的步骤 （1）分析问题，确定变量 （2）建立函数模型 （3）利用函数性质求解 （4）结合实际意义，确定最优方案 （5）检验并作答 学生活动3： 学生先独立思考，然后在小组合作探究中完成老师提出的问题 活动意图说明： 以问题串的形式创设情境，引起学生的认知冲突，使学生对旧知识设疑并回顾，从而激发学生的学习兴趣和求知欲望 环节四：考点梳理 教师活动4： 考点一：确定一次函数解析式 例1：已知关于的函数． (1)若该函数是正比例函数，求的值； (2)若点在函数图像上，求的值． 解：（1）∵关于的函数是正比例函数， ∴， 解得：， ∴的值为； （2）∵点在函数的图像上， ∴， 解得：， ∴的值为． 例2：已知一次函数的图象经过点，且与直线平行，求一次函数的解析式． 解：设一次函数的解析式为． ∵一次函数的图象平行于直线， ∴， ∵一次函数的图象经过点， ， ∴， ∴一次函数的解析式为． 归纳：用待定系数法确定一次函数解析式要注意： （1）函数解析式中有几个未知系数，就需要已知几个点的坐标（即x与y的对应值）． （2）在有关平移（平行也一样）的问题中，可先通过平移得到k的值，再根据直线上任一点的坐标求出b的值． 考点二：一次函数的图象及性质的应用 例3：若，是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是______（填，或） 答案： 解：在一次函数中， ， 随的增大而减小. 的横坐标为，的横坐标为，且， . 归纳：解决此类问题的三个常用方法 （1）性质法：先根据k的符号判断函数的增减性，再由自变量的大小关系判断函数值的大小； （2）图象法：此法最直观，画出函数的图象，由点的位置关系确定函数值的大小； （3）特殊值法：根据题目要求代入特殊数值，求出相应的函数值，可直接得到大小关系． 考点三：一次函数与方程（组）、不等式 例4：如图，根据图中信息解答下列问题： (1)关于的方程的解是 ； (2)关于的不等式的解集是 ； (3)当为何值时，？ (4)直接写出关于的不等式组的解集． 解：（1）由函数图象可知，直线与x轴交于点， ∴关于的方程的解是； （2）由函数图象可知，关于的不等式的解集是； （3）由函数图象可知，当，； （4）由函数图象可知，关于的不等式的解集为， 关于的不等式的解集为， ∴关于的不等式组的解集为． 归纳：上为大、下为小，要求解集图中找： 根据函数图象，求出两直线的交点坐标，其中直线在上方表示对应的函数值大，直线在下方表示对应的函数值小． 考点四：一次函数的应用 例5：某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，乙厂直接按印刷数量收取印刷费．甲、乙两厂的印刷费用（千元）与证书数量（千个）的函数关系图象分别如图中甲、乙所示． (1)甲厂的制版费为________千元，甲厂的印刷费为________元/个； (2)当时，求乙厂的印刷费用（千元）与证书数量（千个）之间的函数关系式； (3)当印制证书8千个时，应选择哪个印刷厂节省费用？节省费用多少元？ 解：（1）根据图象可得，当时，， ∴甲厂的制版费为1千元． 根据图象可得甲厂的印刷单价为：（元／个）． （2）当时，设与间的函数解析式为， 将点代入中，得： ， 解得：， ∴． （3）当时， ， 当时， ， ∵，且千元元． ∴当印制证书8千个时，选择乙厂，节省费用500元． 归纳：（1）在实际问题中求一次函数解析式时，除了应用待定系数法以外，也可以根据两个变量之间的数量关系获得． （2）在一些实际问题中，自变量的取值范围是受某些条件限制的，根据求出的自变量的取值范围来选择方案． 学生活动4： 学生先独立完成例题，然后小组合作交流，并派代表班内汇报交流 活动意图说明： 通过例题，考查查学生对本章所学知识的掌握情况，提高学生综合运用知识解决相关问题能力． 环节五：课堂小结 教师活动5： 问题：请同学们总结一下本节课所复习的主要内容？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动5： 学生积极对本节课所复习的内容进行总结 活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所复习的知识，将所学的知识进一步整合，完善本章知识体系． 板书设计 课题：第23章 一次函数 章末复习 一、知识框图 二、考点梳理 1. 确定一次函数解析式 2. 一次函数的图象及性质的应用 3. 一次函数与方程（组）、不等式 4. 一次函数的应用 教师板演区 学生展示区 课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列y是x的一次函数的是（    ） A． B． C． D． 答案：D 2．如图函数和的图象交于点，关于，的方程组的解是________ ． 答案： 3．如图在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，直线 与x轴交于点B，与y轴交于点C．直线与直线交于点． (1)求，的值； (2)求的面积； (3)直线上存在一点E使，求点的坐标； 解：（1）点在直线上， 将点代入可得， 点的坐标为， 将点代入可得，解得． 综上，，． （2）根据（1）可知，， 分别令，， 解得，， 则点的坐标为，点的坐标为， 由可得． （3）如图，过点作轴，交于点， 当时，，解得：，则 将代入，则 ∴，则 设， ∵ ∴，即 解得：或 ∴或 选做题： 4．如图，四边形、、均为正方形，点、、在直线上，点、、在轴正半轴上，若，则点的坐标为__________． 答案： 【综合拓展类练习】 5．五一黄金周即将来临之际，重百超市准备大量购进磁器口陈麻花咸口和甜口两种口味麻花，一袋甜口的进价比咸口的进价多5元，用750元购进甜口麻花和用600元购进咸口的袋数相同． (1)求甜口和咸口的麻花每袋的进价各是多少？ (2)超市计划用不超过1320元的资金购进两种口味麻花共60袋，其中咸口麻花的数量不超过甜口麻花数量的两倍，该超市将甜口麻花每袋的售价定为40元，咸口麻花每袋的售价定为32元，并计划在五一节期间开展优惠促销活动，对每袋甜口麻花售价优惠2元，咸口不变，要使售完这60袋麻花获总利润最大，该如何进货？ 解：（1）设一袋咸口麻花的进价为每袋元，则一袋甜口麻花的进价为每袋元， 由题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解， （元）． 答：甜口麻花每袋进价25元，咸口麻花每袋进价20元． （2）设甜口麻花进货袋，则咸口麻花进货袋， 由题意得：， 解得：， 设销售两种麻花共获利元， 由题意得：， ， 随的增大而增大， 当时获利最大，即购进甜口麻花24袋，咸口麻花36袋时，总利润最大． 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．已知函数（m是常数）的y随x的增大而增大，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 答案：B 2．如图，直线与交于点，则不等式的解集是_____． 答案： 3．在2026年春晚舞台，宇树科技的与两款机器人表演《武BOT》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元． (1)甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ (2)已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和15人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？ 解：（1）设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元， 依题意，得 解得 答：甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元． （2）设购买甲型机器人台，则购买乙型机器人台． 依题意，得 解得． 设6台机器人每天服务客人的人数为， 则． ， 随的增大而增大， ∴当时，取得最大值 ∴购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大. 选做题： 4．一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②关于的方程的解是；③当时，；④当时，．其中正确的是（   ） A．①③ B．①②④ C．②③ D．①④ 答案：B 【综合拓展类作业】 5．如图1，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点和点． (1)求一次函数的表达式． (2)如图2，点C在线段上．将沿折叠，点O恰好落在直线上的点D处．求线段的长． (3)若点P在y轴上，且是以为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 解：（1）∵一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点和点． ∴ 解得 ∴一次函数的表达式为； （2）∵和 ∴ ∵ ∴， ∵翻折， ∴， 设，则， ∵ ∴ 解得 ∴线段的长为； （3）如图： 当时，∵ ∴点的纵坐标为或 ∴或 当时，由于， 则， ∴此时， 综上：当是以为腰的等腰三角形，点P的坐标为或或． 教学反思 本课通过知识结构图和问题链，引导学生梳理了一次函数的知识体系，大部分学生能构建出知识网络．但在整合函数与方程、不等式的联系时，部分学生仍显吃力，对综合性问题的分析能力有待提升．后续需增加针对性练习，强化数形结合思想的应用，鼓励学生多维度思考，提升知识迁移与综合应用能力． 学科网（北京）股份有限公司 $