专题01 有理数（考点清单，5个考点清单+9种题型解读）-2024-2025学年六年级数学下学期期末考点大串讲（人教版2024五四制）

专题01 有理数（考点清单，5个考点清单+9种题型解读） 【清单01】有理数的分类 注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界； （2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数． （3）如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数． 要点归纳：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用： 作用 举例 表示数的性质 0是自然数、是有理数 表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示 表示某种状态 表示冰点 表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数 【清单02】数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线． 要点归纳：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 【清单03】相反数 只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 要点归纳：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 【清单04】绝对值 （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 【清单05】有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 【考点题型一】正数和负数（共7题） 1．（2023秋•东辽县期末）在有理数，0，，，3.7，中，非负数的个数为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2023秋•南木林县校级期末）有理数，0.618，中，非正数的个数为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2023秋•通州区期末）《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若气温为零上记作，则表示气温为　　 A．零上 B．零下 C．零上 D．零下 4．（2023秋•攸县期末）微信收付款具有“二维码收款”和“向商家付款”两项功能，若使用二维码收款100元记作元，那么向商家付款50元记作　　 A． B． C．元 D．元 5．（2023秋•寿光市期末）某零食包装袋上标有如下文字：净含量，以下容量中不符合标注的是　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•鹿寨县期末）某公交车上原有22人，经过3个站点时上、下车情况如下（上车记为正，下车记为负），，，则车上还有 　　人． 7．（2023秋•海淀区校级期末）某种零件，标明要求是表示直径，单位：毫米），有一个零件的直径为，则这个零件 　　．（填“合格”或“不合格” 【考点题型二】正负数的应用（共4题） 1．（2023秋•肇庆期末）精美的点心是来自爱的滋养．高要区七年级劳动课，开展创意点心制作比赛活动．按比赛要求，点心的规格做了有关说明．小龙制作了一盒精美点心（共计6枚）．现在他把6枚点心质量称重后统计列表如下：（单位：克） 第枚 1 2 3 4 5 6 质量 68.4 71.3 70.7 68.6 69.1 72 （Ⅰ）为了简化运算，小龙依据比赛的标准质量，他把超出部分记为正，不足部分记为负，列出下表（数据不完整），请你把表格补充完整： 第枚 1 2 3 4 5 6 质量 　　 　　 　　 （Ⅱ）按照比赛说明上标记，一盒点心的总质量合格标准为克．那么，小龙制作的这盒点心的实际总质量是合格的．你知道为什么吗？请说明理由． 2．（2023秋•贵州期末）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．每天以为标准，多于的记为“”，不足的记为“” 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程 0 （1）这7天里路程最多的一天比最少的一天多走 　47　； （2）请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ （3）已知汽油车每行驶大约需用汽油7升，汽油价为8元升：而新能源汽车每行驶耗电量大约为20度，每度电价为0.8元，请估计小明家换成新能源汽车后，这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 3．（2023秋•蔡甸区期中）某股民在上星期五买进某种股票1000股，每股24元，如表是本周每天该股票的涨跌情况（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每般涨跌 已知股票买进时需支付成交额的手续费，卖出时需支付成交额的手续费和的交易费，求： （1）上星期五这位股民支付了多少手续费？ （2）本星期二收盘时每股价格是多少？如果在本星期二收盘前将全部股票一次性地卖出，他需要支付的手续费与交易费共多少元？ （3）如果在本星期四收盘前将全部股票一次性地卖出，他的收益情况如何？ 4．（2023秋•武昌区期中）某路公交车从起点经过、、、站到达终点，一路上下乘客如表所示．（用正数表示上车的人数，负数表示下车的人数） 起点 终点 上车的人数 18 15 13 8 6 0 下车的人数 0 （1）到终点下车 　　人； （2）车行驶在哪两站之间车上的乘客最多？　　站和 　　站； （3）若每人上车需买票2元，问该车出车一次能收入多少钱？ 【考点题型三】有理数（共5题） 1．（2023秋•仓山区期末）定义：有序有理数，满足，则称有序有理数，为“共生有序有理数”．若有序有理数，是“共生有序有理数”，则下列各组有序有理数组合中一定属于“共生有序有理数”的是　　 A．， B．， C．， D．， 2．（2023秋•丹阳市期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是　　 A．39 B．63 C．165 D．179 3．（2023秋•平阴县期末）请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里． 1，0.0708，，，0，3.14，，． 正有理数集合： 　 　， 负整数集合： 　 　 ， 正分数集合： 　　 ， 非负整数集合： 　　 ． 4．（2021秋•耒阳市期末）把下列各数填在相应的集合圈里： ，0.628，，，0，，5.9，． 5．（2023秋•湘潭期末）观察下列两个等式：，，给出定义如下： 我们称使等式成立的一对有理数，为“一中有理数对”，记为，如：数对，都是“一中有理数对”． （1）数对，中是“一中有理数对”的是 　 　； （2）若是“一中有理数对”，求的值； （3）若是“一中有理数对”，则是否为“一中有理数对”？请说明理由． 【考点题型四】有理数的大小比较（共8题） 1．（2023秋•东阳市期末）若、为有理数，，，且，那么，，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•惠城区期末）如图所示， 根据有理数，，在数轴上的位置， 比较，，的大小关系是　　 A ． B ． C ． D ． 3．（2023秋•临渭区期末）比较大小： 　　．（用“”“ ”或“”连接） 4．（2023秋•邻水县期末）比较大小： 　　（填“”或“” ． 5．（2023秋•射阳县期末）规定：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，表示最接近的整数，为整数），例如：，，．当时，化简的结果是 　 ． 6．（2023秋•东辽县期末）如图，已知四个有理数、、、在一条缺失了原点和刻度的数轴上对应的点分别为、、、，且，则在，，，四个有理数中，绝对值最小的一个是　 　． 7．（2023秋•潮南区期末）如果，那，，的大小顺序是 　 　．（请用“”连接） 8．（2023秋•思明区校级期末）数轴上点，，的位置如图所示．请回答下列问题： （1）表示有理数的点是点 　 　，将点向左移动4个单位长度得到点，则点表示的有理数是 　　； （2）在数轴上标出点、，其中点、分别表示有理数和1.5； （3）将，0，，1.5这四个数用“”号连接的结果是 　　 ． 【考点题型五】数轴与相反数（共7题） 1．（2023秋•安新县期末）如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是　　 A．0.5 B． C． D． 2．（2023秋•三元区期末）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对应刻度．则数轴上点所对应的数为　　 A．2 B．1 C．0 D． 3．（2023秋•蚌埠期末）下列两个数中，互为相反数的是　　 A．和 B．3和 C．和 D．和 4．（2023秋•铜川期末）如图，数轴上，两点表示的数是互为相反数，且点与点之间的距离为4个单位长度，则点表示的数是 　 　． 5．（2023秋•郸城县期末）已知是数轴上的一个点．把向左移动3个单位后，这时它到原点的距离是4个单位，则点表示的数是 　 　． 6．（2023秋•高安市期末）若、、是数轴上三点，且点表示的数为，点表示的数为4，点表示的数为，当其中一点到另外两点的距离相等时，则的值可以是 　 　． 7．（2023秋•无锡期末）如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒5个单位和每秒1个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则　 　． 【考点题型六】数轴的应用（共5题） 1．（2023秋•平舆县期末）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字1，2，3，4，先让圆周上数字1所对应的点与数轴上的数2所对应的点重合，再让圆沿着数轴向左滚动，数轴上的数1与圆周上的数2重合，数轴上的数与圆周上的数　　重合． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2023秋•郴州期末）如图，在数轴的原点处有甲、乙两只电子蚂蚁，它们都向右爬行，已知甲蚂蚁的速度是每秒爬2个单位长度，乙蚂蚁的速度是每秒爬3个单位长度，现在甲蚂蚁先爬行5秒，乙蚂蚁再出发，当乙蚂蚁追上甲蚂蚁时，此时甲、乙蚂蚁的位置用有理数表示为　　 A．15 B．25 C．30 D．50 3．（2023秋•潮阳区期末）点从距原点1个单位的点处向原点方向跳动：第一次跳动到的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，，如此不断跳动下去，则第6次跳动后，线段的长度为 　 　． 4．（2023秋•石景山区校级期末）一只小球落在数轴上的某点，第一次从向左跳1个单位到，第二次从向右跳2个单位到，第三次从向左跳3个单位到，第四次从向右跳4个单位到，若小球从原点出发，按以上规律跳了6次时，它落在数轴上的点所表示的数是　　；若小球按以上规律跳了次时，它落在数轴上的点所表示的数恰好是，则这只小球的初始位置点所表示的数是　　． 5．（2023秋•广州期末）在数轴上，点在原点的左侧，点在原点的右侧，点距离原点12个单位长度，点距离原点2个单位长度． （1）点表示的数为 　 　，点表示的数为 　　，两点之间的距离为 　　； （2）若点为数轴上一点，且，求的值； （3）若点、、同时向数轴负方向运动，点从点出发，点从原点出发，点从点出发，且点的运动速度是每秒6个单位长度，点的运动速度是每秒8个单位长度，点的运动速度是每秒2个单位长度．运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？ 【考点题型七】绝对值的代数意义（共12题） 1．（2023秋•濠江区期末）若，则　 　． 2．（2023秋•玉环市期末）已知是正整数，设，例如：当，时，，若，则　 　． 3．（2023秋•锦江区校级期末）若，，，，则　　． 4．（2023秋•绥阳县期末）如，2，，我们叫集合，其中1，2，叫做集合的元素．集合中的元素具有确定性（如必然存在），互异性（如，，无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，1，，我们说．已知集合，0，，集合，若．则的值是 　　． 5．（2023秋•江北区期末）若、、为整数，且，则　 　． 6．（2023秋•临江市期末）满足的自然数有 　　个． 7．（2023秋•柳州期末）若，则　　． 8．（2023秋•凉州区期末）若与互为相反数，求的值． 9．（2023秋•闽侯县期末）阅读下列材料：，即当时，，当时，，运用以上结论解决下面问题： （1）已知，是有理数，当时，则　0　； （2）已知，，是有理数，当时，求的值； （3）已知，，是有理数，，且，求的值． 10．（2023秋•龙岗区期末）对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，，则2和3关于1的“美好关联数”为3． （1）和5关于2的“美好关联数”为 　　； （2）若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值； （3）若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，，和关于41的“美好关联数”为1，． ①的最小值为 　　； ②的最小值为 　　． 11．（2023秋•宁强县期末）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即，，时，则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则． 综上所述，值为3或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）已知，是不为0的有理数，当时，则的值是 　　； （2）已知，，是有理数，当时，求的值； （3）已知，，是有理数，，，求的值． 【考点题型八】绝对值的几何意义（共5题） 1．（2023秋•余干县期末）有理数、、在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“”或“”填空： 　 　0， 　　0， 　　0． （2）化简：． 2．（2022秋•龙亭区校级期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【阅读】表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 （1）数轴上表示5与的两点之间的距离是 　　； （2）①若，则　　； ②若使所表示的点到表示2和的点的距离之和为5，所有符合条件的整数的和为 　　； 【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： （3）折叠纸面，若1表示的点和表示的点重合，则4表示的点和 　　表示的点重合； （4）折叠纸面，若3表示的点和表示的点重合， ①则10表示的点和 　　表示的点重合； ②这时如果，在的左侧）两点之间的距离为2022，且，两点经折叠后重合，则点表示的数是　　，点表示的数是 　　； 【拓展】 （5）若，则　　． 3．（2022秋•张店区校级期末）在学习了为数轴上表示数的点到原点的距离之后，爱思考和探究的小明同学想知道“数轴上，点到点与到点的距离相等时，表示点的数与表示点和点的两个数之间有怎样的数量关系”．小明采取了数学上常用的从特殊到一般的归纳法，请勤奋智慧的你和小明同学一起完成如下问题： 【选取特例】在数轴上，点到点与到点的距离相等，请填写下列表格： 数轴 点表示的数 点表示的数 点表示的数 2 6 　　 5 　　 1 　　 【发现规律】通过表格可以得到，数轴上，若点到点与到点的距离相等，则表示点的数是表示点和点这两个数的 　　； 【归纳总结】若数轴上、两点表示的数分别为、，到点与到点的距离相等的点表示的数为，则　　，请说明理由； 【迁移应用】如图，数轴上点、、表示的数分别为、、1，且点到点与到点的距离相等，求的值． 4．（2023秋•福田区校级期末）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律； 例如：若数轴上点，表示的数分别为，，，两点之间的距离记为，则； 若数轴上点，表示的数分别为，，数轴上一点到点，的距离相等，则点表示的数为． 【问题情境】 如图，数轴上点表示的数为．点表示的数为8，点从点出发．以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发．以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 （1）①秒后，点表示的数为 　 　，点表示的数为 　　．（用含的式子表示） ②求，两点之间的距离． ③当，两点重合时，的值为 　　． （2）若数轴上点到点，的距离相等，点到点，的距离相等，则在点的运动过程中，，两点之间的距离是否发生变化？若变化．请说明理由；若不变，请求出，两点之间的距离． 5．（2023秋•广陵区期末）阅读下面材料：若已知点表示数，点表示数，则、两点之间的距离表示为，则． 回答下列问题： （1）①点表示数，点表示数1，则、两点之间的距离表示为 　 　； ②点表示数，点表示数1，如果，那么的值为 　　； （2）①如果，那么　　，　　； ②当代数式取最小值时，相应的整数的个数为 　　； （3）在数轴上，点表示的数是最大的负整数、是原点、在的右侧且到的距离是9，动点沿数轴从点开始运动，到达点后立刻返回，再回到点时停止运动．在此过程中，点的运动速度始终保持每秒2个单位长度，设点的运动时间为秒．在整个运动过程中，请直接用含的代数式表示． 【考点题型九】数轴的折叠（共7题） 1．（2023秋•东莞市校级期末）如图，在数轴上点表示数，点表示数，、满足，点是数轴原点． （1）点表示的数为 　　，点表示的数为 　　； （2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数 　　表示的点重合； （3）点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在线段上找一点，使，则点在数轴上表示的数为 　　； （4）若点以的速度向左移动，2秒后，点以的速度向右移动，则出发几秒后，、两点相距1个单位长度？ 2．（2023秋•夏邑县期末）引入 如图1，已知数轴上有三点、、．其中、两点所表示的数分别为和5，点表示的数为． 观察 （1）求、两点之间的距离； （2）当点距离点个单位长度时，求； 操作 （3）折叠数轴，使、两点重合，则折痕与数轴的交点表示的数是 　　；用此方法，则数轴上表示的点与表示 　　的点重合； （4）如图2，将此数轴沿、两处虚线剪开，将中间的一段对折，使其左右两端重合，这样连续对折2次后，再将其展开，直接写出最右端的折痕与数轴的交点表示的数． 3．（2022秋•拱墅区校级期末）如图，在数轴上点表示的数，点表示的数，点表示的数，是最小的正整数，且，满足． （1）求　　，　　，　　； （2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则与点重合的点对应的数是 　　； （3）若点以每秒0.2个单位的速度向右运动，点以每秒0.3个单位的速度向左运动，直至两点相遇时停止运动． ①若两点同时开始运动，求相遇处的点所表示的数； ②若点先运动秒后，点开始运动，，两点恰好在点处相遇，求的值； ③若两点同时开始运动，点是否有可能比点多运动1.5个单位？说明理由． 4．（2023秋•秀屿区校级期中）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化． （1）平移运动： ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动5个单位长度，再向正方向移动8个单位长度，这时笔尖的位置表示数是 　　； ②一只小球落在数轴上的某点，第一次从向左跳1个单位到，第二次从向右跳2个单位到，第三次从向左跳3个单位到，第四次从向右跳4个单位到，，若按以上规律跳了200次时，它落在数轴上的点所表示的数恰好是2023，则这只小球的初始位置点所表示的数是 　　； （2）翻折变换： ①若折叠数轴，表示的点与表示2的点重合，则表示3的点与表示 　　的点重合； ②数轴上有，，三点，点，点表示的数分别为和2，现按照①的条件将数轴折叠，点对应的点为；再以点为折点，将数轴折叠，点对应的点落在数轴上，若、之间的距离为2，求点表示的数． 5．（2023秋•宝丰县期末）综合与探究 【背景知识】数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题： 【问题情境】（1）平移运动 一机器人从原点开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是 　　；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是 　　． （2）翻折变换 ①若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 　　的点重合． ②若数轴上、两点经折叠后重合，两点之间的距离为在的左侧，且折痕与①折痕相同），则点表示 　　，点表示 　　． ③一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是、8，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在点的右边，并且线段的长度为3，请直接写出点表示的数 　　． 6．（2024秋•林州市月考）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化． （1）平移运动． ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动5个单位长度，再向正方向移动8个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是 　 　； ②一只小球落在数轴上的某点，第一次从向左跳1个单位到，第二次从向右跳2个单位到，第三次从向左跳3个单位到，第四次从向右跳4个单位到．若按以上规律跳了200次时，它落在数轴上的点所表示的数恰好是2023，则这只小球的初始位置点所表示的数是 　　； （2）翻折变换． ①若折叠数轴，表示的点与表示2的点重合，则表示3的点与表示 　　的点重合； ②数轴上有，，三点，点，点表示的数分别为和2，现按照①的条件将数轴折叠，点对应的点为；再以点为折点，将数轴折叠，点对应的点落在数轴上，若、之间的距离为2，求点表示的数． 7．（2022秋•萨尔图区校级期末）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，且，满足，． （1）　 　，　　； （2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数　　表示的点重合． （3）在（1）的条件下，若点为数轴上一动点，其对应的数为，求当取何值时代数式取得最大值，并求此最大值． （4）点从点处以1个单位秒的速度向左运动；同时点从点处以2个单位秒的速度也向左运动，在点到达点后，以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒，求第几秒时，点、之间的距离是点、之间距离的2倍？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2 / 49 专题01 有理数（考点清单，5个考点清单+9种题型解读） 【清单01】有理数的分类 注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界； （2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数． （3）如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数． 要点归纳：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用： 作用 举例 表示数的性质 0是自然数、是有理数 表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示 表示某种状态 表示冰点 表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数 【清单02】数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线． 要点归纳：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 【清单03】相反数 只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 要点归纳：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 【清单04】绝对值 （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 【清单05】有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 【考点题型一】正数和负数（共7题） 1．（2023秋•东辽县期末）在有理数，0，，，3.7，中，非负数的个数为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据大于或等于零的数是非负数，可得答案． 【解答】解：0，，3.7，共3个， 故选：． 【点评】本题考查了非负数，大于或等于零的数是非负数． 2．（2023秋•南木林县校级期末）有理数，0.618，中，非正数的个数为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据非正数指的是负数与0解答即可． 【解答】解：有理数中，非正数为，，，0，，共5个． 故选：． 【点评】本题考查的是有理数，熟知非正数指的是负数与0是解题的关键． 3．（2023秋•通州区期末）《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若气温为零上记作，则表示气温为　　 A．零上 B．零下 C．零上 D．零下 【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：若零上记为正，则零下就记为负，直接得出结论即可． 【解答】解：若气温为零上记作，则表示气温为零下． 故选：． 【点评】此题主要考查正负数的意义，关键是理解正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负． 4．（2023秋•攸县期末）微信收付款具有“二维码收款”和“向商家付款”两项功能，若使用二维码收款100元记作元，那么向商家付款50元记作　　 A． B． C．元 D．元 【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【解答】解：使用二维码收款100元记作元，那么向商家付款50元记作元， 故选：． 【点评】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键． 5．（2023秋•寿光市期末）某零食包装袋上标有如下文字：净含量，以下容量中不符合标注的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据标注的容量可知符合标注的容量为，分析判断即可． 【解答】解：零食包装袋上标注的容量为， 符合标注的容量为：． 容量中不符合标注的是． 故选：． 【点评】本题考查了正数和负数，解题的关键是理解标注的文字的意义． 6．（2023秋•鹿寨县期末）某公交车上原有22人，经过3个站点时上、下车情况如下（上车记为正，下车记为负），，，则车上还有 　　人． 【分析】根据有理数的加法，原有人数，上车为正，下车为负，可得答案． 【解答】解：（人， 故答案为：21． 【点评】本题考查了正、负数在生活中的应用．车上人数原有人数上车人数下车人数． 7．（2023秋•海淀区校级期末）某种零件，标明要求是表示直径，单位：毫米），有一个零件的直径为，则这个零件 　　．（填“合格”或“不合格” 【分析】先求出合格直径范围，再判断即可． 【解答】解：由题意得，合格直径范围为：， 若一个零件的直径是，则该零件合格． 故答案为：合格． 【点评】本题考查了正数和负数的知识，解答本题的关键是求出合格直径范围． 【考点题型二】正负数的应用（共4题） 1．（2023秋•肇庆期末）精美的点心是来自爱的滋养．高要区七年级劳动课，开展创意点心制作比赛活动．按比赛要求，点心的规格做了有关说明．小龙制作了一盒精美点心（共计6枚）．现在他把6枚点心质量称重后统计列表如下：（单位：克） 第枚 1 2 3 4 5 6 质量 68.4 71.3 70.7 68.6 69.1 72 （Ⅰ）为了简化运算，小龙依据比赛的标准质量，他把超出部分记为正，不足部分记为负，列出下表（数据不完整），请你把表格补充完整： 第枚 1 2 3 4 5 6 质量 　　 　　 　　 （Ⅱ）按照比赛说明上标记，一盒点心的总质量合格标准为克．那么，小龙制作的这盒点心的实际总质量是合格的．你知道为什么吗？请说明理由． 【分析】（1）根据正数和负数的实际意义即可求得答案；（2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可． 【解答】解：（1）由题意可得标准质量为（克， 则第1枚的质量记为；第3枚的质量记为；第5枚的质量记为； 故答案为：；；．（2） ， ，这盒月饼的实际总质量是合格的． 【点评】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 2．（2023秋•贵州期末）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．每天以为标准，多于的记为“”，不足的记为“” 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程 0 （1）这7天里路程最多的一天比最少的一天多走 　47　； （2）请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ （3）已知汽油车每行驶大约需用汽油7升，汽油价为8元升：而新能源汽车每行驶耗电量大约为20度，每度电价为0.8元，请估计小明家换成新能源汽车后，这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 【分析】（1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （3）结合（2）中所求列式计算即可． 【解答】解：（1）， 即这7天里路程最多的一天比最少的一天多走， 故答案为：47； （2） （千米）， 即小明家的新能源汽车这七天一共行驶了400千米； （3） （元， 即这7天的行驶费用比原来节省160元． 【点评】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 3．（2023秋•蔡甸区期中）某股民在上星期五买进某种股票1000股，每股24元，如表是本周每天该股票的涨跌情况（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每般涨跌 已知股票买进时需支付成交额的手续费，卖出时需支付成交额的手续费和的交易费，求： （1）上星期五这位股民支付了多少手续费？ （2）本星期二收盘时每股价格是多少？如果在本星期二收盘前将全部股票一次性地卖出，他需要支付的手续费与交易费共多少元？ （3）如果在本星期四收盘前将全部股票一次性地卖出，他的收益情况如何？ 【分析】（1）根据题意直接利用有理数的乘法计算即可； （2）先计算出周二收盘时的价格，然后再由题意计算手续费即可； （3）分别求出买入时算上手续费总共付出的本金以及卖出后减去手续费和交易后的总收益，将总收益减去本金，可知收益情况． 【解答】解：（1）（元， 支付了36元手续费； （2）周二收盘时每股价格为：（元， （元， 收盘时每股价格是30元， 在本星期二收盘前将全部股票一次性地卖出， 他需要支付的手续费与交易费共75元； （3）周四收盘时的价格为（元， 买入时总花费为：（元， 卖出后的收入： （元， （元， 赚了901.5元． 【点评】本题考查有理数的混合运算，属于基础题，认真仔细审题，理解题意是解决问题的关键． 4．（2023秋•武昌区期中）某路公交车从起点经过、、、站到达终点，一路上下乘客如表所示．（用正数表示上车的人数，负数表示下车的人数） 起点 终点 上车的人数 18 15 13 8 6 0 下车的人数 0 （1）到终点下车 　　人； （2）车行驶在哪两站之间车上的乘客最多？　　站和 　　站； （3）若每人上车需买票2元，问该车出车一次能收入多少钱？ 【分析】（1）根据正负数的意义，上车为正数，下车为负数，求出、、、站以及中点站的人数，即可得解； （2）根据（1）的计算解答即可； （3）根据各站之间的人数，乘以票价1元，然后计算即可得解． 【解答】解：（1）依题意，得： （人， 故到终点下车还28人． 故答案为：28； （2）根据图表：易知站和站之间人数最多． 故答案为：；； （3）依题意，得： （元． 答：该车出车一次能收入120元． 【点评】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算．解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．一般情况下具有相反意义的量才是一对具有相反意义的量． 【考点题型三】有理数（共5题） 1．（2023秋•仓山区期末）定义：有序有理数，满足，则称有序有理数，为“共生有序有理数”．若有序有理数，是“共生有序有理数”，则下列各组有序有理数组合中一定属于“共生有序有理数”的是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】根据“共生有序有理数”的定义可得，然后将各项计算后进行判断即可． 【解答】解：有序有理数，是“共生有序有理数”， ， ， 不符合题意； ， 不符合题意； ， 不符合题意； ， 符合题意； 故选：． 【点评】本题考查有理数的运算，理解新定义是解题的关键． 2．（2023秋•丹阳市期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是　　 A．39 B．63 C．165 D．179 【分析】根据题意，分别算出三根绳子上打的结表示的数，再相加即可． 【解答】解：（天， 故选：． 【点评】本题考查了用数字表示事件，解题的关键是弄清每根绳子上打的结表示的数． 3．（2023秋•平阴县期末）请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里． 1，0.0708，，，0，3.14，，． 正有理数集合： 　 　， 负整数集合： 　 　 ， 正分数集合： 　　 ， 非负整数集合： 　　 ． 【分析】根据有理数的分类填写即可． 【解答】解：正有理数集合：，0.0708，3.14，，， 负整数集合：，， 正分数集合：，3.14，，， 非负整数集合：，0，． 故答案为：1，0.0708，3.14，；；0.0708，3.14，；1，0． 【点评】本题考查了有理数的知识，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数． 4．（2021秋•耒阳市期末）把下列各数填在相应的集合圈里： ，0.628，，，0，，5.9，． 【分析】根据负有理数，分数，以及非负数的定义判断即可得到结果． 【解答】解：负有理数集合：，，，，； 分数集合：，0.628，，，5.9； 非负数集合：0.628，0，5.9． 【点评】此题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类法是解本题的关键． 5．（2023秋•湘潭期末）观察下列两个等式：，，给出定义如下： 我们称使等式成立的一对有理数，为“一中有理数对”，记为，如：数对，都是“一中有理数对”． （1）数对，中是“一中有理数对”的是 　 　； （2）若是“一中有理数对”，求的值； （3）若是“一中有理数对”，则是否为“一中有理数对”？请说明理由． 【分析】（1）由定义即可判断； （2）由题意可得，求出即可； （3）由已知得，再由，可知不是“一中有理数对”． 【解答】解：（1），， 不是“一中有理数对”， ，， 是“一中有理数对”， 故答案为：； （2）是“一中有理数对”， ， 解得； （3）不是“一中有理数对”，理由如下： 是“一中有理数对”， ， ， 不是“一中有理数对”． 【点评】本题考查新定义，有理数，理解定义，能够根据定义，将所求问题转化为有理数运算是解题的关键． 【考点题型四】有理数的大小比较（共8题） 1．（2023秋•东阳市期末）若、为有理数，，，且，那么，，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【分析】根据，，且，可得，，，据此判断出，，的大小关系即可． 【解答】解：，，且， ，，， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 2．（2023秋•惠城区期末）如图所示， 根据有理数，，在数轴上的位置， 比较，，的大小关系是　　 A ． B ． C ． D ． 【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大， 可得答案 ． 【解答】解： 由题意， 得 ， 故选：． 【点评】本题考查了有理数的大小比较， 利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解题关键 ． 3．（2023秋•临渭区期末）比较大小： 　　．（用“”“ ”或“”连接） 【分析】先通分，再比较其绝对值的大小，进而可得出结论． 【解答】解：，， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知负数比较大小的法则是解题的关键． 4．（2023秋•邻水县期末）比较大小： 　　（填“”或“” ． 【分析】先算出两个数运算的结果，再进行比较即可． 【解答】解：， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是根据两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小． 5．（2023秋•射阳县期末）规定：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，表示最接近的整数，为整数），例如：，，．当时，化简的结果是 　 ． 【分析】分三种情况讨论的范围：①，②，③即可得到答案． 【解答】解：①时， ； ②时， ； ③时， ． 故的结果是，，0． 故答案为：，，0． 【点评】本题考查了学生对表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，表示最接近的整数，为整数）的理解，难度适中，解此题的关键是分类讨论思想的应用． 6．（2023秋•东辽县期末）如图，已知四个有理数、、、在一条缺失了原点和刻度的数轴上对应的点分别为、、、，且，则在，，，四个有理数中，绝对值最小的一个是　 　． 【分析】根据题意得到与化为相反数，且中点为坐标原点，即可找出绝对值最小的数． 【解答】解：绝对值最小的数是， 故答案为： 【点评】此题考查了有理数大小比较，数轴，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 7．（2023秋•潮南区期末）如果，那，，的大小顺序是 　 　．（请用“”连接） 【分析】利用乘除运算法则，以及有理数的大小比较，利用法则解题即可． 【解答】解：． ，则， ，则， ，则． ，，． ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查有理数的乘除运算法则，以及有理数的大小比较，掌握法则是解题的关键． 8．（2023秋•思明区校级期末）数轴上点，，的位置如图所示．请回答下列问题： （1）表示有理数的点是点 　 　，将点向左移动4个单位长度得到点，则点表示的有理数是 　　； （2）在数轴上标出点、，其中点、分别表示有理数和1.5； （3）将，0，，1.5这四个数用“”号连接的结果是 　　 ． 【分析】（1）根据图中的数轴，即可解答； （2）在数轴上准确找到各数对应的点，即可解答； （3）利用（2）的结论，即可解答． 【解答】解：（1）表示有理数的点是点．将点向左移动4个单位长度，得到点，则点表示的有理数是， 故答案为：，； （2）如图： 点、即为所求； （3）由（2）可得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，数轴，准确熟练地在数轴上找到各数对应的点是解题的关键． 【考点题型五】数轴与相反数（共7题） 1．（2023秋•安新县期末）如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是　　 A．0.5 B． C． D． 【分析】设小手盖住的点表示的数为，则，再根据每个选项中实数的范围进行判断即可． 【解答】解：设小手盖住的点表示的数为，则， 则表示的数可能是． 故选：． 【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键． 2．（2023秋•三元区期末）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对应刻度．则数轴上点所对应的数为　　 A．2 B．1 C．0 D． 【分析】根据数轴上，在直尺上的长度是5.4，得出数轴上一个单位长度是；直尺测得、两点的长度是，算出数轴上两点，继而得出点对应的数． 【解答】解：数轴上， 直尺测量， ， 数轴上一个单位长度的长是， 直尺测量， ， 数轴上， 点对应的数是0． 故选：． 【点评】本题考查的是数轴的有关知识，解题的关键数轴上6个单位长度是，得出有关单位长度是． 3．（2023秋•蚌埠期末）下列两个数中，互为相反数的是　　 A．和 B．3和 C．和 D．和 【分析】根据相反数的性质解答即可． 【解答】解：、，故不是相反数，不合题意； 、3和不是相反数，不合题意； 、和不是相反数，不合题意； 、，，是相反数，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了相反数，解题的关键是根据相反数的性质化简多重符号． 4．（2023秋•铜川期末）如图，数轴上，两点表示的数是互为相反数，且点与点之间的距离为4个单位长度，则点表示的数是 　 　． 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 【解答】解：， 则这两个数是和． 故答案为：． 【点评】本题考查了相反数的定义，数轴的知识，熟记互为相反数的两个数的绝对值相等是解题的关键． 5．（2023秋•郸城县期末）已知是数轴上的一个点．把向左移动3个单位后，这时它到原点的距离是4个单位，则点表示的数是 　 　． 【分析】首先由这时它到原点的距离是4个单位，得出现在表示4或，再分别把4或向右移动3个单位，向右移动3个单位得到点． 【解答】解：点移动后到原点的距离是4个单位， 现在表示4或， 把4或向右移动3个单位，得7或． 故答案为：7或． 【点评】此题考查数轴，搞清数轴上点的移动规律是解决问题的关键． 6．（2023秋•高安市期末）若、、是数轴上三点，且点表示的数为，点表示的数为4，点表示的数为，当其中一点到另外两点的距离相等时，则的值可以是 　 　． 【分析】根据题目要求，点为一个动点，所以需要分情况讨论，，，点与，重合将这四种情况结合数轴分别得出的值． 【解答】解：①当时，， 解得：； ②当时，， 解得：； ③当时，； ④当点与，重合时，或4， 综上分析可知，的值可以是1或10或． 故答案为：或1或4或10或． 【点评】本题主要考查的是绝对值的几何意义以及方程的应用，掌握绝对值的几何意义和方程是解题的关键． 7．（2023秋•无锡期末）如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒5个单位和每秒1个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则　 　． 【分析】先求出、的长度，再分别用含有的代数式写出、、的长度，得出，根据的值在某段时间内不随着的变化而变化，即可求解． 【解答】解：，， ，， 点对应的数为，点对应的数是5， 设经过秒，则， ，， 若时， ， 当，即时，的值在某段时间内不随着的变化而变化； 若时， ， 当，即时，的值在某段时间内不随着的变化而变化； 综上所述，当或时的值在某段时间内不随着的变化而变化． 故答案为：或． 【点评】本题考查了数轴上两点之间距离，解决本题的关键是在不知道哪个点在右边时，别忘了加上绝对值． 【考点题型六】数轴的应用（共5题） 1．（2023秋•平舆县期末）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字1，2，3，4，先让圆周上数字1所对应的点与数轴上的数2所对应的点重合，再让圆沿着数轴向左滚动，数轴上的数1与圆周上的数2重合，数轴上的数与圆周上的数　　重合． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次，则根据规律即可解答． 【解答】解：由题意得：圆滚动一周，将沿着数轴滚动4个单位长度， ， 数轴上的数与圆周上的数3重合． 故选：． 【点评】此题综合考查了数轴、循环的有关知识，把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，难度适中． 2．（2023秋•郴州期末）如图，在数轴的原点处有甲、乙两只电子蚂蚁，它们都向右爬行，已知甲蚂蚁的速度是每秒爬2个单位长度，乙蚂蚁的速度是每秒爬3个单位长度，现在甲蚂蚁先爬行5秒，乙蚂蚁再出发，当乙蚂蚁追上甲蚂蚁时，此时甲、乙蚂蚁的位置用有理数表示为　　 A．15 B．25 C．30 D．50 【分析】设乙蚂蚁爬行的时间为，根据乙蚂蚁追上甲蚂蚁时，甲、乙蚂蚁表示的数相同列方程求出的值，然后再计算此时甲、乙蚂蚁的位置表示的数即可． 【解答】解：设乙蚂蚁爬行的时间为， 由题意得：， 解得：， ， 即此时甲、乙蚂蚁的位置用有理数表示为30， 故选：． 【点评】本题考查了数轴，掌握一元一次方程的应用是解题的关键． 3．（2023秋•潮阳区期末）点从距原点1个单位的点处向原点方向跳动：第一次跳动到的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，，如此不断跳动下去，则第6次跳动后，线段的长度为 　 　． 【分析】由题意可知，点第次从点跳动到的中点处，此时，从而得出第6次跳动后，，即可求出线段的长度． 【解答】解：由题意可知，， 点第一次从点跳动到的中点处，此时， 第二次从点跳动到的中点处，此时， 第三次从点跳动到的中点处，此时； 观察可知，点第次从点跳动到的中点处，此时， 第6次跳动后，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了图形类规律探索，含乘方的有理数混合运算，根据图形发现一般规律是解题关键． 4．（2023秋•石景山区校级期末）一只小球落在数轴上的某点，第一次从向左跳1个单位到，第二次从向右跳2个单位到，第三次从向左跳3个单位到，第四次从向右跳4个单位到，若小球从原点出发，按以上规律跳了6次时，它落在数轴上的点所表示的数是　　；若小球按以上规律跳了次时，它落在数轴上的点所表示的数恰好是，则这只小球的初始位置点所表示的数是　　． 【分析】根据题意，可以发现题目中每次跳跃后相对于初始点的距离，从而可以解答本题． 【解答】解：由题意可得， 小球从原点出发，按以上规律跳了6次时，它落在数轴上的点所表示的数是， 小球按以上规律跳了次时，它落在数轴上的点所表示的数恰好是，则这只小球的初始位置点所表示的数是：， 故答案为：3，2． 【点评】此题考查数字的变化规律，数轴的认识、有理数的加减，明确题意列出算式，找出其中的变化规律是解题的关键． 5．（2023秋•广州期末）在数轴上，点在原点的左侧，点在原点的右侧，点距离原点12个单位长度，点距离原点2个单位长度． （1）点表示的数为 　 　，点表示的数为 　　，两点之间的距离为 　　； （2）若点为数轴上一点，且，求的值； （3）若点、、同时向数轴负方向运动，点从点出发，点从原点出发，点从点出发，且点的运动速度是每秒6个单位长度，点的运动速度是每秒8个单位长度，点的运动速度是每秒2个单位长度．运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？ 【分析】（1）先由点在原点的左边，距离原点12个单位长度确定点对应的数是，同理可得点表示的数，根据右边的数左边的数两点的距离可得，两点的距离； （2）分点在点的左边和右边，根据线段的和差可得的长； （3）设移动的时间为秒，分别表示三个动点，，表示的数，分四种情况讨论，列等式可解答． 【解答】解：（1）点在原点的左边，距离原点12个单位长度， 点对应的数是， 同理可得点表示的数为2， ，两点之间的距离为：， 故答案为：，2，14； （2）分两种情况： ①当点在点的右边时，； ②当点在点的左边时，； 综上，的值是16或12； （3）设移动的时间为秒，则动点，，对应的数分别为，，， 分三种情况： ①点是的中点时，， ， ， 此时，点表示的数为：， 点表示的数为：， 点表示的数为：． ②点是的中点时，， ， （舍， ③点是的中点时，因为点的速度小，所以此种情况不存在． ④与重合时，， ， ； 这时三个点表示的数各是：，，． 【点评】此题重点考查解一元一次方程，列一元一次方程解应用题，数轴上的动点问题的求解等知识与方法，正确地用代数式表示移动过程中的点对应的数是解题的关键． 【考点题型七】绝对值的代数意义（共12题） 1．（2023秋•濠江区期末）若，则　 　． 【分析】根据非负数的性质列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，，， 解得，， 所以，． 故答案为：． 【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 2．（2023秋•玉环市期末）已知是正整数，设，例如：当，时，，若，则　 　． 【分析】当时，，当时，；然后表示出，即可计算出的值． 【解答】解：当时， ； 当时， ； ， ， ， ． 故答案为：2024． 【点评】本题考查了绝对值的应用，分类讨论是解题的关键． 3．（2023秋•锦江区校级期末）若，，，，则　　． 【分析】因为，，所以，；因为，所以；因为，所以，，；将代数式进行化简即可求得． 【解答】解：，， ，． ， ． ， ，，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是绝对值的有关内容，关键在于根据题意分析出，，，然后进行化简即可． 4．（2023秋•绥阳县期末）如，2，，我们叫集合，其中1，2，叫做集合的元素．集合中的元素具有确定性（如必然存在），互异性（如，，无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，1，，我们说．已知集合，0，，集合，若．则的值是 　　． 【分析】运用分类讨论的数学思想即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为，且， 所以， 则． 当时， 解得． 若，则， 故舍去． 若，则， 故舍去． 当时， 则为非负数． 又因为， 所以，且是非负数，满足要求． 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查绝对值，分类讨论思想的巧妙运用是解题的关键． 5．（2023秋•江北区期末）若、、为整数，且，则　 　． 【分析】利用数的非负性求出、、的关系，再分情况利用绝对值求出答案即可． 【解答】解：、、为整数， 与 为非负整数， ， 或， 当， 时，，， ， ． 当， 时，，， ， ． 综上，答案为4或5． 故答案为：4或5． 【点评】本题考查了绝对值，非负性数的性质的应用是解题关键． 6．（2023秋•临江市期末）满足的自然数有 　　个． 【分析】根据绝对值的几何意义，在数轴上表示数与所对应的两点之间的距离，表示数与6所对应的两点之间的距离，因为数轴上表示的点与表示6的点之间的距离为9，所以到6之间的所有点均满足等式，即；又因为为自然数，所以满足条件的有0，1，2，3，4，5，6，共7个． 【解答】解：在数轴上表示数与所对应的两点之间的距离，表示数与6所对应的两点之间的距离， 数轴上表示的点与表示6的点之间的距离为9， 到6之间的所有点均满足等式，即； 为自然数， 满足条件的有0，1，2，3，4，5，6，共7个． 故答案为：7． 【点评】本题考查的是绝对值的有关内容，关键在于理解绝对值的几何意义，分析出；又因为为自然数，所以满足条件的有7个． 7．（2023秋•柳州期末）若，则　　． 【分析】根据非负数的性质求出，的值，代入代数式求值即可． 【解答】解：，， ，， ，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了非负数的性质：绝对值，掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0是解题的关键． 8．（2023秋•凉州区期末）若与互为相反数，求的值． 【分析】根据非负数互为相反数，可得，，可得、的值，根据有理数的加法，可得答案． 【解答】解：与都具有非负性且互为相反数， ，， ，， ． 【点评】本题考查了非负数的性质，利用非负数互为相反数得出，是解题的关键． 9．（2023秋•闽侯县期末）阅读下列材料：，即当时，，当时，，运用以上结论解决下面问题： （1）已知，是有理数，当时，则　0　； （2）已知，，是有理数，当时，求的值； （3）已知，，是有理数，，且，求的值． 【分析】（1）由，可得，即可得到答案； （2）先判断、、全负或者两正一负，再分情况化简绝对值，最后计算即可； （3）先判断、、两正一负，再结合（2）的结论即可得到答案． 【解答】解：（1）当时，与同时为1或同时为， 则； 故答案为：0． （2）， ，，全负或，，两正一负， ①当，，全负时， ； ②当，，两正一负时， 当，，时， ； Ⅱ当，，时， ； Ⅲ当，，时， ； 综上所述，求的值为1或； （3）， ，，， ， 又， ，，两正一负， 由（2）可知的值的值为或3． 【点评】本题主要考查的是有理数的四则混合运算，化简绝对值，熟练的化简绝对值是解本题的关键． 10．（2023秋•龙岗区期末）对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，，则2和3关于1的“美好关联数”为3． （1）和5关于2的“美好关联数”为 　　； （2）若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值； （3）若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，，和关于41的“美好关联数”为1，． ①的最小值为 　　； ②的最小值为 　　． 【分析】（1）认真读懂题意，利用新定义计算即可； （2）利用新定义计算求未知数； （3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算； ②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，一一分析到2、4、6、8、、40的距离和为1的时候两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值． 【解答】解：（1）， 故答案为：8； （2）和2关于3的“美好关联数”为4， ， ， 解得或； （3）①和关于1的“美好关联数”为1， ， 在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1， 有最小值1， 故答案为：1； ②由题意可知： ， ，， 的最小值； ， ，， 的最小值； 同理，，的最小值； ，的最小值； ； ，的最小值； 的最小值： ． 故答案为：820． 【点评】本题考查了绝对值的应用，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离． 11．（2023秋•宁强县期末）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即，，时，则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则． 综上所述，值为3或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）已知，是不为0的有理数，当时，则的值是 　　； （2）已知，，是有理数，当时，求的值； （3）已知，，是有理数，，，求的值． 【分析】（1）仿照题目给出的思路和方法，解决（1）即可； （2）（3）根据已知等式，利用绝对值的代数意义判断出，，中负数有2个，正数有1个，判断出的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可． 【解答】解：（1），是不为0的有理数，当时，，，或，， 当，时，； 当，时，． 故答案为：0． （2）， 、、都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当、、都是负数，即，，时， 则：； ②、、有一个为负数，另两个为正数时，设，，， 则； （3），，为三个不为0的有理数，且得，，，． ，，中只有一个负数，另两个为正数时，设，，， ． 【点评】本题主要考查了绝对值的意义、分类讨论思想方法，能不重不漏的分类，会确定字母范围和字母的值是关键． 【考点题型八】绝对值的几何意义（共5题） 1．（2023秋•余干县期末）有理数、、在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“”或“”填空： 　 　0， 　　0， 　　0． （2）化简：． 【分析】（1）根据数轴判断出、、的正负情况，然后分别判断即可； （2）去掉绝对值号，然后合并同类项即可． 【解答】解：（1）由图可知，，，且， 所以，，，； 故答案为：，，； （2） ． 【点评】本题考查了绝对值的性质，数轴，熟记性质并准确识图观察出、、的正负情况是解题的关键． 2．（2022秋•龙亭区校级期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【阅读】表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 （1）数轴上表示5与的两点之间的距离是 　　； （2）①若，则　　； ②若使所表示的点到表示2和的点的距离之和为5，所有符合条件的整数的和为 　　； 【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： （3）折叠纸面，若1表示的点和表示的点重合，则4表示的点和 　　表示的点重合； （4）折叠纸面，若3表示的点和表示的点重合， ①则10表示的点和 　　表示的点重合； ②这时如果，在的左侧）两点之间的距离为2022，且，两点经折叠后重合，则点表示的数是　　，点表示的数是 　　； 【拓展】 （5）若，则　　． 【分析】（1）根据数轴上两点间距离的求法解题即可； （2）①根据题意可得方程或，求出的值即可； ②根据绝对值的几何意义可知时，，求出符合条件的整数即可； （3）利用中点坐标公式求出折痕点，再求解即可； （4）①利用中点坐标公式求出折痕点，再求解即可； ②设点表示的数是，则点表示的数是，根据中点坐标公式求出，即可求解； （5）根据绝对值的几何意义，分情况讨论即可． 【解答】解：（1）表示5和两点之间的距离是， 故答案为：6； （2）①， 或， 解得或， 故答案为：1或； ②使所表示的点到表示和2的点的距离之和为5， ， 与2的距离是5， ， 是整数， 的值为，，，0，1，2， 所有符合条件的整数的和为， 故答案为：； （3）表示的点和表示的点重合， 折叠点对应的数是0， 表示的点与表示的点重合， 故答案为：； （4）①表示的点和表示的点重合， 折叠的点表示的数是， ， 表示的点和表示的点重合， 故答案为：； ②设点表示的数是，则点表示的数是， ， 解得， 点表示的数，点表示的数是1010， 故答案为：；1010； （5）， 则， 或， 或， 或， 或不成立， 或， 解得：或． 【点评】本题考查了实数与数轴，掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点公式解决折叠问题是解题的关键． 3．（2022秋•张店区校级期末）在学习了为数轴上表示数的点到原点的距离之后，爱思考和探究的小明同学想知道“数轴上，点到点与到点的距离相等时，表示点的数与表示点和点的两个数之间有怎样的数量关系”．小明采取了数学上常用的从特殊到一般的归纳法，请勤奋智慧的你和小明同学一起完成如下问题： 【选取特例】在数轴上，点到点与到点的距离相等，请填写下列表格： 数轴 点表示的数 点表示的数 点表示的数 2 6 　　 5 　　 1 　　 【发现规律】通过表格可以得到，数轴上，若点到点与到点的距离相等，则表示点的数是表示点和点这两个数的 　　； 【归纳总结】若数轴上、两点表示的数分别为、，到点与到点的距离相等的点表示的数为，则　　，请说明理由； 【迁移应用】如图，数轴上点、、表示的数分别为、、1，且点到点与到点的距离相等，求的值． 【分析】选取特例：根据数轴可得点表示的数； 发现规律：根据点、、三个数在数轴上的位置可得答案； 归纳总结：根据点、、三个数在数轴上的位置可得； 迁移应用：根据题意可得，解方程即可得的值． 【解答】解：选取特例： ，，． 故答案为：4，2，； 发现规律：表示点的数是表示点和点这两个数的和的一半 故答案为：和的一半； 归纳总结：， 理由如下： ， 由题意得， ， ， ． 故答案为：； 迁移应用： 由上述结论得， 解方程得 故的值为． 【点评】本题主要考查了绝对值，实数与数轴，解题的关键是了解数轴上两点间的距离的含义，利用数形结合解决问题． 4．（2023秋•福田区校级期末）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律； 例如：若数轴上点，表示的数分别为，，，两点之间的距离记为，则； 若数轴上点，表示的数分别为，，数轴上一点到点，的距离相等，则点表示的数为． 【问题情境】 如图，数轴上点表示的数为．点表示的数为8，点从点出发．以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发．以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 （1）①秒后，点表示的数为 　 　，点表示的数为 　　．（用含的式子表示） ②求，两点之间的距离． ③当，两点重合时，的值为 　　． （2）若数轴上点到点，的距离相等，点到点，的距离相等，则在点的运动过程中，，两点之间的距离是否发生变化？若变化．请说明理由；若不变，请求出，两点之间的距离． 【分析】（1）①由题意可知点、点表示的数分别为、，于是得到问题的答案； ②由，求得、两点之间的距离为； ③当，两点重合时，则，求得，于是得到问题的答案； （2）可求得点表示的数为，点表示的数为，则，可知，两点之间的距离不发生变化，，两点之间的距离是5． 【解答】解：（1）①点向右运动，点向左运动，且，， 点、点表示的数分别为、， 故答案为：，． ②点、点表示的数分别为、， ， 、两点之间的距离为． ③当，两点重合时，则点与点表示的数相等， ， 解得， 故答案为：2． （2），两点之间的距离不发生变化， 点表示的数为，点表示的数为， ， ，两点之间的距离不发生变化，，两点之间的距离是5． 【点评】此题重点考查整式的加减、数轴与绝对值、一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地有代数式表示运动过程中的点所对应的数是解题的关键． 5．（2023秋•广陵区期末）阅读下面材料：若已知点表示数，点表示数，则、两点之间的距离表示为，则． 回答下列问题： （1）①点表示数，点表示数1，则、两点之间的距离表示为 　 　； ②点表示数，点表示数1，如果，那么的值为 　　； （2）①如果，那么　　，　　； ②当代数式取最小值时，相应的整数的个数为 　　； （3）在数轴上，点表示的数是最大的负整数、是原点、在的右侧且到的距离是9，动点沿数轴从点开始运动，到达点后立刻返回，再回到点时停止运动．在此过程中，点的运动速度始终保持每秒2个单位长度，设点的运动时间为秒．在整个运动过程中，请直接用含的代数式表示． 【分析】（1）①把，代入，即可求得、两点之间的距离； ②，那么．所以或，解方程即可求得的值； （2）①根据两个非负数相加得0，这两个非负数均为0，可得，，解方程可得，的值； ②代数式取最小值，那么数轴上表示的点到表示以及2的点的距离之和最小，所以在数轴上的和2之间，计算和2之间的整数个数即可； （3）易得点表示的数是，表示的数是0，表示的数是9，点的运动路程为．那么，，．当点从向运动过程中，在点、之间，在点、之间，当点从向返回过程中，在点、之间，在点、之间，画出相关图形，分四种情况探讨的长度即可． 【解答】解：（1）①点表示数，点表示数1， 、两点之间的距离表示为：． 故答案为：； ②点表示数，点表示数1，， ． 或． 解得：或． 故答案为：7或； （2）①， ，． ，． 故答案为：，2； ②代数式取最小值， 数轴上表示的点到表示以及2的点的距离之和最小． 在数轴上的和2之间． 为整数， 可取的整数值为：，0，1，2共4个数． 故答案为：4； （3）点表示的数是最大的负整数，是原点，在的右侧且到的距离是9， 点表示的数是，表示的数是0，表示的数是9． ，，． 点的运动速度始终保持每秒2个单位长度，点的运动时间为秒， 点的运动路程为：． 当点从向运动过程中，恰好到达点时，所用时间；恰好到达点时，所用时间； 当点从向返回过程中，恰好到达点时，所用时间；恰好到达点时，所用时间． ①当点从向运动过程中，在点、之间，即时． ，， ； ②当点从向运动过程中，在点、之间，即时． ，， ； ③当点从向返回过程中，在点、之间，即时． ，，点的运动路程为， ； ④当点从向返回过程中，在点、之间，即时． ，，点的运动路程为， ． 综上：时，； 当时，； 当时，； 当时，． 【点评】本题考查绝对值的应用．理解两点间的距离的意义是解决本题的关键．用到的知识点为：数轴上两点间的距离等于数轴上表示这两个点的数的差的绝对值；两个非负数相加得0，这两个非负数均为0． 【考点题型九】数轴的折叠（共7题） 1．（2023秋•东莞市校级期末）如图，在数轴上点表示数，点表示数，、满足，点是数轴原点． （1）点表示的数为 　　，点表示的数为 　　； （2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数 　　表示的点重合； （3）点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在线段上找一点，使，则点在数轴上表示的数为 　　； （4）若点以的速度向左移动，2秒后，点以的速度向右移动，则出发几秒后，、两点相距1个单位长度？ 【分析】（1）根据平方数和绝对值的非负性即可得出； （2）由题知先求、中点，再根据对称性可求； （3）设点在数轴上表示的数为，根据列出方程即可得到答案； （4）设秒后、两点相距1个单位长度，用的代数式表示、运动后表示的数，从而表示出，列方程即可得到答案． 【解答】解：（1）， ，， ，， 故答案为：5，； （2）由题知折叠点为的中点，即折叠点表示的数是， 根据对称性知原点与表示2的点关于1对称， 故答案为：2； （3）设点在数轴上表示的数为，则，， ， ， 解得， 故答案为：； （4）设出发秒后，、两点相距1个单位长度，则运动后表示的数是，运动后表示的数是，根据题意得： ， 解得或， 答：出发4秒或秒后，、两点相距1个单位长度． 【点评】本题主要考查了一元一次方程和数轴的知识，根据已知的数量关系列出方程是解题的关键． 2．（2023秋•夏邑县期末）引入 如图1，已知数轴上有三点、、．其中、两点所表示的数分别为和5，点表示的数为． 观察 （1）求、两点之间的距离； （2）当点距离点个单位长度时，求； 操作 （3）折叠数轴，使、两点重合，则折痕与数轴的交点表示的数是 　　；用此方法，则数轴上表示的点与表示 　　的点重合； （4）如图2，将此数轴沿、两处虚线剪开，将中间的一段对折，使其左右两端重合，这样连续对折2次后，再将其展开，直接写出最右端的折痕与数轴的交点表示的数． 【分析】（1）直接利用数轴上两点间的距离公式求出答案即可； （2）根据数轴上两点间的距离公式，列出关于的方程，解方程即可； （3）根据已知条件求出的一半，从而求出折痕与数轴的交点表示的数，然后再根据表示的点与点的位置，从而得到表示的点到点的距离等于与重合的点到点的距离相等，从而求出答案即可； （4）根据，求出折叠2次后最右端的折痕表示的数即可． 【解答】解：（1）、两点所表示的数分别为和5， ， 、两点之间的距离为8； （2）点表示的数为，点距离点个单位长度， ， ， 或， 或1； （3）由（1）得， ， 折叠数轴，使、两点重合，则折痕与数轴的交点表示的数是， 点表示的数是，与重合， 数轴上表示的点与表示6的点重合， 故答案为：1，6； （4）设最右端的折痕与数轴的交点表示的数为， 由（1）可知，对折2次后最右端的折痕表示的数为， 最右端的折痕与数轴的交点表示的数为：3． 【点评】本题主要考查了数轴，解题关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式，利用数形结合的思想求出答案． 3．（2022秋•拱墅区校级期末）如图，在数轴上点表示的数，点表示的数，点表示的数，是最小的正整数，且，满足． （1）求　　，　　，　　； （2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则与点重合的点对应的数是 　　； （3）若点以每秒0.2个单位的速度向右运动，点以每秒0.3个单位的速度向左运动，直至两点相遇时停止运动． ①若两点同时开始运动，求相遇处的点所表示的数； ②若点先运动秒后，点开始运动，，两点恰好在点处相遇，求的值； ③若两点同时开始运动，点是否有可能比点多运动1.5个单位？说明理由． 【分析】（1）利用非负数的性质可求出，，再利用最小的正整数求出； （2）先将对称点求出，再利用与点重合的数和点到对称点的距离相等即可求解； （3）①两点同时开始运动秒后相遇，点表示的数为，点表示的数为，根据两数相等列方程，解方程求出，再求相遇点所表示的数； ②设点开始运动秒后，，在点相遇，根据，相遇后所表示的数为1列方程组，求出，的值； ③设，运动的时间为秒，根据求出与12比较即可判断． 【解答】解：（1）， ，， 解得，， 是最小的正整数， ， 故答案为：，1，4； （2）， ， ， 与点重合的点对应的数是， 故答案为：； （3）①两点同时开始运动秒后相遇，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得：， 解得， 此时， 相遇处的点所表示的数为0.4； ②设点开始运动秒后，，在点相遇， 根据题意得：， 解得， 的值为5； ③不可能．理由： 设，运动的时间为秒， 由题意得：， 解得， 点不可能比点多运动1.5个单位． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，绝对值的非负性，数轴上两点间的距离，数形结合是解题的关键． 4．（2023秋•秀屿区校级期中）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化． （1）平移运动： ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动5个单位长度，再向正方向移动8个单位长度，这时笔尖的位置表示数是 　　； ②一只小球落在数轴上的某点，第一次从向左跳1个单位到，第二次从向右跳2个单位到，第三次从向左跳3个单位到，第四次从向右跳4个单位到，，若按以上规律跳了200次时，它落在数轴上的点所表示的数恰好是2023，则这只小球的初始位置点所表示的数是 　　； （2）翻折变换： ①若折叠数轴，表示的点与表示2的点重合，则表示3的点与表示 　　的点重合； ②数轴上有，，三点，点，点表示的数分别为和2，现按照①的条件将数轴折叠，点对应的点为；再以点为折点，将数轴折叠，点对应的点落在数轴上，若、之间的距离为2，求点表示的数． 【分析】（1）①当点向负方向移动时，点所表示的数减小，点向正方向移动时，点所表示的数变大，据此可解决问题． ②令表示的数为，再根据点所表示的数是2023建立关于的方程即可解决问题． （2）①由表示的点与表示2的点重合，可得到折点位置，进而可解决问题． ②先求出点所表示的数，再根据点与点表示的数之间的距离为2，可得出点所表示的数，最后根据点和点关于点对称即可解决问题． 【解答】解：（1）①因为当点沿数轴向负方向运动时，点所表示的数变小， 当点沿数轴向正方向移动时，点所表示的数变大， 且笔尖放在数轴的原点处， 所以笔尖先向负方向移动5个单位长度，再向正方向移动8个单位长度时， 点所表示的数是：． 故答案为：3． ②令点所表示的数为， 则根据点的运动方式可知， 点表示的数是：； 点表示的数是：； 点表示的数是：； 点表示的数是：； 由此可见，当为奇数时，点表示的数是：； 当为偶数时，点表示的数是：； 则时，点表示的数是：， 又点所表示的数恰好是2023， 所以， 解得． 即点所表示的数是1923． 故答案为：1923． （2）①因为数轴折叠后，表示的点与表示2的点重合， 且， 所以折点所表示的数是． 又， 则表示3的点与表示的点重合． 故答案为：． ②因为点表示的数是，点和点关于折点对称， 且折点表示的数是， 所以点表示的数是1． 又点和点之间的距离是2，且点表示的数是2， 所以点表示的数是0或4． 又点和点是以点为折点折叠重合的， 且，， 所以点表示的数是． 【点评】本题考查数轴及点的运动规律，熟知数轴上的点所表示的数的特征及由点所表示的数得出点所表示的数是解题的关键． 5．（2023秋•宝丰县期末）综合与探究 【背景知识】数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题： 【问题情境】（1）平移运动 一机器人从原点开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是 　　；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是 　　． （2）翻折变换 ①若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 　　的点重合． ②若数轴上、两点经折叠后重合，两点之间的距离为在的左侧，且折痕与①折痕相同），则点表示 　　，点表示 　　． ③一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是、8，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在点的右边，并且线段的长度为3，请直接写出点表示的数 　　． 【分析】（1）根据机器人的运动方式，依次求出每次跳完落在数轴上时所表示的数，发现规律即可解决问题． （2）根据折叠后重合的点到折点的距离相等即可解决问题． 【解答】解：（1）根据机器人的运动方式可知， 它跳完第1次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第2次时，落在数轴上的点表示的数是：1； 它跳完第3次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第4次时，落在数轴上的点表示的数是：2； 它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第6次时，落在数轴上的点表示的数是：3； ， 由此可见，它跳完第次时，落在数轴上的点表示的数是， 它跳完第次时，落在数轴上的点表示的数是； 当，即时， ， 所以它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是； 当，即时， 可得它跳完第2024次时，落在数轴上的点表示的数是1012； 故答案为：，1012． （2）①由表示的点与表示3的点重合可知， ， 则折点所表示的数为1． 因为， 所以表示5的点与表示的点重合． 故答案为：． ②因为折痕与①的折痕相同， 所以这次折叠的折点所表示的数也为1． 又因为，，， 所以点表示的数为，点表示的数为1013． 故答案为：，1013． ③由折叠可知， ， 因为点、表示的数分别是、8， 所以． 又因为点落在点的右边，并且线段的长度为3， 所以． 因为，， 所以点表示的数为． 故答案为：． 【点评】本题考查图形变化的规律，熟知折叠后能重合的两个点到折点的距离相等是解题的关键． 6．（2024秋•林州市月考）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化． （1）平移运动． ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动5个单位长度，再向正方向移动8个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是 　 　； ②一只小球落在数轴上的某点，第一次从向左跳1个单位到，第二次从向右跳2个单位到，第三次从向左跳3个单位到，第四次从向右跳4个单位到．若按以上规律跳了200次时，它落在数轴上的点所表示的数恰好是2023，则这只小球的初始位置点所表示的数是 　　； （2）翻折变换． ①若折叠数轴，表示的点与表示2的点重合，则表示3的点与表示 　　的点重合； ②数轴上有，，三点，点，点表示的数分别为和2，现按照①的条件将数轴折叠，点对应的点为；再以点为折点，将数轴折叠，点对应的点落在数轴上，若、之间的距离为2，求点表示的数． 【分析】（1）①根据有理数的加法法则即可判断；②探究规律，利用规律即可解决问题； （2）①根据对称中心是，即可解决问题；②先求出，再根据题意求出或，再利用分类的思想求解． 【解答】解：（1）①先向负方向移动5个单位长度，再向正方向移动8个单位长度，这时笔尖的位置表示的数为3，算式表示以上过程及结果是：； 故答案为：； ②设点为，由题意得：， 解得：； 故答案为：1923； （2）①， 对称中心为， ， 表示3的点与表示的点重合， 故答案为：； ②按照①的条件将数轴折叠，点对应的点为； 即， 解得：， 再以点为折点，将数轴折叠，点对应的点落在数轴上， 若、之间的距离为2，则或； 当时，； 当时，； 点表示的数为：或． 【点评】本题考查了数轴、有理数的加减混合运算、中心对称等知识，理解题意，灵活应用所学知识是解决问题的关键． 7．（2022秋•萨尔图区校级期末）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，且，满足，． （1）　 　，　　； （2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数　　表示的点重合． （3）在（1）的条件下，若点为数轴上一动点，其对应的数为，求当取何值时代数式取得最大值，并求此最大值． （4）点从点处以1个单位秒的速度向左运动；同时点从点处以2个单位秒的速度也向左运动，在点到达点后，以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒，求第几秒时，点、之间的距离是点、之间距离的2倍？ 【分析】（1）根据绝对值和偶次方的非负性求解即可． （2）根据折叠点为点与点的中点，列式求解即可． （3）将（1）中所得的与的值代入代数式，再根据数轴上两点之间的距离与绝对值的关系可得出答案． （4）先求得线段的长，再求得其一半的长，然后分类计算即可：当时，点表示的数为，点表示的数为；当时，点表示的数为，点表示的数为． 【解答】解：（1）， 又，， ，， ，． 故答案为：，9． （2）将数轴折叠，使得点与点重合， 折叠点表示的数为：， ， 点与数5表示的点重合． 故答案为：5． （3），． ， 代数式表示点到点的距离减去点到点的距离， 当时，取得最大值为． （4）， ， 当时，点表示的数为，点表示的数为， ， ， ， ， ， ． 当时，点表示的数为，点表示的数为， ， ， ， ， 当时， ， ， ； 当时， ， ． 第秒，第秒，第28秒时，点、之间的距离是点、之间距离的2倍． 【点评】本题考查了数轴上的两点之间的距离、绝对值与偶次方的非负性及一元一次方程在数轴上的动点问题中的应用，熟练掌握相关运算性质及正确列式是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$