2026年浙江省杭州萧山区一模：第十题 针对性练习

**基本信息** 聚焦几何计算与变换的专项训练，通过真题与变式构建四边形、折叠、圆等模型的综合应用体系 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |真题|1道|平行四边形中含中点、垂直的线段比计算|以平行四边形性质为基础，结合中点性质与垂直条件构建等量关系| |变式练习|14道|几何计算（线段比/长度/面积比），含折叠、相似、圆等模型|四边形性质→折叠变换→相似与勾股综合，强化几何直观与推理意识|

2026年浙江省杭州萧山区一模：第十题针对性练习 【真题】 10.己知，如图平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，连接DE,过点E作EF⊥DE交 BC过于点F,若AB=22,BC=3,∠B=45,则的值为() A B.号 c D唱 A C 【答案】B 【变式练习】 1.如图，在△ABC中，AD和BE分别是BC,AC边上的高，且相交于F点，若BF=AF ，器=多，则架的值为) A.2 B号 C.3 D子 【答案】D 【解析】解：：器=是， ·设BD=5a,CD=2a, ·BC=BD+CD=7a, :在△ABC中，AD和BE分别是BC,AC边上的高， ·∠BDF=∠AEF=90°，∠BEC=∠ADC=90°，∠AEF=∠ADC=90°， 在△BDF和△AEF中 I∠BDF=∠AEF=90 ∠BFD=∠AFE ABF-AF ·△BDF≌△AEFAAS, :DF=EF, ·BF+EF=AF+DF, BE=AD 1 在△BEC和△ADC中， (∠BEC=∠ADC=90° ∠C=∠C BE-AD ·△BEC≌△AD C(AAS), :BC=AC=7a, 在△AEF和△ADC中， ∠FAE=∠CAD,∠AEF=∠ADC=90°， ·△AEF∽△ADC, 服=器， =器， 器=， DF=EF, “器=： 故选：D. 根据器=号，设BD=5a,CD=2a,则BC=BD十CD=7a,先证明△BDF和 △AEF全等得DF=EF,进而得BE=AD,由此可判定△BEC和△ADC全等得 BC=AC=7a,再证明△AEF和△ADC相似得能-器，由此得器=子，然后根据 DF=EF即可得出答案， 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形 的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键 2.如图，M,N分别是矩形ABCD边AD,BC上的两个点，连接MN,将矩形ABCD 分为两个全等的四边形ABNM,CDMN,分别在两个四边形的内部作圆，两个圆与所在 四边形的四条边都相切.若AM:DM=1:3,则AB:BC的值为() 2 43 B. 2-5 D 3 3-7 【答案】A 【解析】 【分析】根据切线长定理，得AM+BN=AB+MN,设AM=x,则BN=DM=3x, 设AB=y,则4x=y+MN即MN=4x-y,过点M作MQ⊥BC于点Q,则四边形 ABQM是矩形，得到NQ=BN-BQ=2x,MQ=y,根据勾股定理，得 (4x-y小2=2+4r,解得y=x,解答即可。 2 本题考查了矩形的性质，勾股定理，切线长定理，熟练掌握定理是解题的关键。 【详解】解：如图，设⊙O与各边的切点依次为E,F,G,H, 根据切线长定理，得AE=AH,BE=BF,NF=NG,MH=MG, AH +HM BF+NF=AE+MG+BE+NG, .AM+BN AB+MN, A HM B FO W 矩形ABCD分为两个全等的四边形ABNM,CDMN,且AM:DM=1:3, ∴.AM=CN,BN=DM, 设AM=x,则BN=DM=3x,设AB=y, ∴.4x=y+MN, 故MN=4x-y, 过点M作MQ⊥BC于点Q, 则四边形ABQM是矩形， .AM =BO,AB=MO, .NO=BN-BO=2x,MO=y, 根据勾股定理，得(4x-y)2=y2+4x2, 3 解得y=2X 3 x ·AB:BC=2 3, x+3x8 故选：A. 3.如图是一张矩形纸片ABCD,点E是AD中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠， 点A、B的对应点分别为A'、B,A'E与BC相交于点G,BA的延长线经过点C.若 GC2,则D BF 1 的值为() AB B A B A.22 8.4v10 c.215 D. 5 3 2 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接CA,过点G作GT⊥AD于点T,然后设AB=x,AD=y,BF=k ，GC-2k,得出AE=DE=2y,由翻折的性质知AE=EA'=2y,BF=FB=-k, ∠AEF=∠GEF,求出EG=FG=y-3k,接着推出 ·求出E7 EG=5k3k=2k,最后利用勾股定理求出AB,即可得出结果. 【详解】如图，连接CA,过点G作GT⊥AD于点T, B F B 设AB=x,AD=y, BF 1 GC=2' 设BF=k,则GC=2k, 点E是AD中点， .AE-DE-7Y 1 由翻折的性质知AE=EA'=。y,BF=FB=k,∠AEF=∠GEF, AD//CB, ∴.∠AEF=∠EFG, ∴.∠GEF=∠GFE, ∴.EG=FG=y-3k, 65-y-)=t-. C,A',B共线，GAIFB, .CG_GA CF FB' 2k36-1 3张-2， y-k k .y2-7y+10k2=0, .y=2k(舍去)或y=5k, AE-DE- .四边形CDTG是矩形， ∴CG=DT=2k,ET=k, ∴.EG=5k3k=2k, B-60-6=vc-r2r--5 AD 5k 215 :AB西k 3 2 故答案为：C. 【点晴】本题考查了翻折变换、矩形的性质、平行线分段成比例及勾股定理等知识，学会利 用参数构建方程解决问题是解题的关键 4己知AB是⊙O直径，弦CD1AB于点E,OE=BE.点P是劣弧AD上任一点（不与 A、D重合)，CP交AB于点M,AP与CD的延长线相交于点F,已知 ∠F=3∠PCD时，则A4 的值为() BM M E D A.S 86 3 C.√5 D.25 5 【答案】C 【解析】 【分析】连接OD,BD,PO,由线段垂直平分线的性质得到△ODB是等边三角形，设 ∠PCD=&,由圆周角定理得到∠A=∠POB=30°+a,由直角三角形的性质即可求出 ∠PFE=60°-C.由∠AFE=3∠PCD,求出a=15°，得到∠POB=90°，因此 OM OP OP∥CE,推出△POM∽aCEM,得到- EM CE ,设圆的半径是r,OM=x,代入 有关数据即可求出OM的长，得到AM,BM的长，即可得到答案. 【详解】解：连接OD,BD,PO, B 弦CD⊥AB于点E,OE=BE, .OD=BD, :0D=0B, .△ODB是等边三角形， .∠BOD=60°， 设∠PCD=o, ∴.∠POD=2a, .∠POB=60°+20， 6 ∠A=∠P0B=30°+a, 2 ∴.∠PFE=90°-∠A=60°-a. ,∠AFE=3∠PCD, ∴.60°-0=30， ∴.0=15°， ∴.∠POD=2∠PCD=30°， ∴.∠POB=90°， :OP∥CE, ∴△POM∽aCEM, OM OP EM CE :直径AB⊥CD, .DE CE, :OM、Op EM DE 设圆的半径是r,OM=x, EM DE- 2 1 2 x=(2-3)r, .0M=(2-3)r, :AM =A0+OM=3r-3r,BM=0B-OM=3r-r, AM3r-√3r 'MB3r-r 5. 故答案为：√3. 【点晴】本题考查圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和 性质，关键是证明△POM∽aCEM,求出OM与半径的数量关系，从而解决问题， 5.如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE:CE=2:3,连接AE、BE、BD,且 7 AE、BD交于点F,则SADEF:SAADF:S△MBr=() D B A.4:10:25 B.4:9:25 C.2:3:5 D.2:5:25 【答案】A 【解析】 【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，得到DE∥AB,DC=BA,得到△DEF∽△BAF, 得到SDEr:SAABF=( -8=-；所--- BA' DC 25'FA BA DC 5 从而得到 2 SADEF :SAADF=5 整理即可： 【详解】因为四边形ABCD是平行四边形， 所以DE∥AB,DC=BA, 所以△DEF∽△BAF, 所SADES)=P=行4 BP DEDE2 BC 25'FA BC-DC-5' EF 2 所以S△DEF:S△ADF= FA 5 所以SpEr:SAMr:SAABF=SSOEF号S6DEr: .5 2 2 S6DEr=4:10:25, 故选A. 【点晴】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的 判定和性质是解题的关键， 6.如图，在菱形ABCD中，∠ABC-60°，AC是一条对角线，E是AC上一点，过点E 作EF⊥AB,垂足为F,连结DE.若AE=BF,则DE:BC的值为() B A.2:3B.万：3C.2.5:3D.6 :3 【答案】B 7.如图，己知在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限，点A在y轴上，点B在x轴 上，对角线AC∥x轴，反比例函数y=(k>0)的图象与菱形的边AD,BC分别交于 点E，F,当k的值发生变化时，图中线段的比值不变的为() B A.DE B.AE C.AG D.AE CG AG CG BF 【答案】D 【解析】 【分析】通过建立坐标系，设出点A、B的坐标，利用菱形的性质确定点C、D的坐标， 进而求出直线AD、BC的解析式，联立反比例函数解析式得到关于x的一元二次方程，利 用根与系数的关系或求根公式找出E、F横坐标的关系，进而判断线段比值。 【详解】解：设A(0,a),B(b,0),其中a>0,b>0, 连接BD, .四边形ABCD是菱形，AC∥x轴， :AC⊥BD,且AC、BD互相平分， :D点横坐标与B点相同，为b;C点纵坐标与A点相同，为a, 由菱形对称性可知C(2b,a),D(b,2a), 直线AD过点(0，a),(b,2a),解析式为y=ax+a, 直线BC过点6,0)，(2b,a),解析式为y=2x-a, 联立直线AD:y=2x+a与y=,得 a x+a, b x h 整理得x2+ax-k=0, 9 即x2+bx bk=0 设E点横坐标为xE,则xE是方程的正根， -b+,b2+ 4bk a' XE=- 2 联立直线BC:y= x-a与y=,得-8 a x-a, x b 整理得x2-ar-k=0, h 即x2-br-k=0, Q 设F点横坐标为xF,则x是方程的正根， 4bk b+,b2+ Xf=- a, 2 b+,b2+ 4bk -b+,B2+4b a .XE-XE=- a=b' 2 2 即xE-b=XE, :A点横坐标为0，B点横坐标为b, ..XE-XA=XE,XF-XB=XE-b, ∴.XE-XA=XF一XB, 即线段AE与BF在x轴上的投影长度相等， ADl BC, 4g=-=左 AD xp-x b' BFXp-xn=Xr-b BC e-b .'XE=Xp-b, .E BF AD BC 10 又.菱形ABCD中AD=BC, :AE BF, 即AE BE 1 故选D 8.如图是第七届国际数学教育大会(ICME-7)的会徽，由其主体图案中相邻两个直角三角 形组合而成.作菱形CDEF,使点D,E,F分别在边OC,OB,BC上，过点E作 EH1AB于点H,若AB=BC,∠BOC=30,则EH-（) OA ICME-7 图1 图2 A.1:2 B.√2：V5 c.1:3 D.4:9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质， 熟练掌握以上知识点是解题的关键.设CD=α，根据菱形的性质，含30°角的直角三角形 生质，勾股定理可得OB=Ba,EBV3a,证明△BEH∽△BOA,即可得 案 【详解】解：设CD=a, ·四边形CDEF为菱形， ∴.CD=DE=EF=FC=a,DE∥CB, ,'△OBC和△OBA为直角三角形，且∠OBC=∠A=90°， ∠0ED=∠0BC=90°， 在Rt△ODE中，∠B0C=30°， ∴.OD=2DE=2a, 由勾股定理得：OE=VOD2-DE2=√5a, ∴.OC=OD+CD=2a+a=3a, 11 在Rt△OBC中，LB0C=30°，OC=3a, .BC= 3 , 由g般定理得：0B=0c2-BC-5a, 8=08-0E=-i-5, :EH⊥AB,∠A=90°， ∴.EH∥OA, ∴.△BEH∽△BOA, EH EB 2 OA OB 3 故选：C 9.如图，在口ABCD中，AG平分∠BAD分别交BD,BC,DC延长线于点F,G, E,记△4DF与△CEG的积分别为S,S,若AB:AD23,则令的值是( D S 81 C. D. 18 9 【答案】c 【解析】 【分析】由平行四边形的性质结合角平分线的定义得出∠BAG=∠AGB,推出AB=BG, 设AB=2x,AD=3x,则AB=CD=BG=2x,AD=BC=3x,GC=x,证明 △CEGABAG,得出SMG=4S.cG,证明△ADFAGBF,得出BF-BG_2x_2 DF AD 3x 3 推出SD 2 12 出S.BHG=SABF+SBFG= m得%45-号5e·年可胸首案 9 9 【详解】解：，四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,AD∥BC, .∠DAG=∠AGB, .AG平分∠BAD, ∴.∠BAG=∠DAG, .∠BAG=∠AGB, .AB=BG, AB:AD=2:3, .设AB=2x,AD=3x,则AB=CD=BG=2x,AD=BC=3x, ..GC=x, AB∥CD, ∴.△CEG∽△BAG, :Sc= x 21 SBAG 2x =41 S.MG =4S.CEG AD∥BC, ∴.△ADFP△GBF, .BF=BG_2x 2 ·DF=AD=3x=3' .S.DE= 329SE=3 ·SBFG 2 =4’SABF 三一， 4 .SAABF=2S△ADF’S.BFG= 3 9 S。ADF' 10 .SBHG=S。ABF+SBFG= 9 SADF' 10 :.4S.CEG= 9 S。ADF 18, S,5 S,18 故选：C 10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=13,AC=5,点D在边AB上（不与 13 CD 点A,B重合)，过点B作BE⊥CD,垂足为点E,则 的最小值是一 DE 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，隐圆问题.作CF⊥AB于点F, 作EK14B于点K,利用ScAC-BC=)AB-CF计算出CF,证 2 △EDKCDF,推出CD-CF ，可得EK取最大值时， CD -取最小值；点D运动过程 DE EK DE 中，始终保持BE⊥CD,所以点E在以BC中点O为圆心， 1BC长为半径的圆上，当点 E,K,O共线时，EK取最大值，由此可解. 【详解】解：作CF⊥AB于点F,作EK⊥AB于点K, F .·ABC中，∠ACB=90°，AB=13,AC=5, ∴.BC=√AB2-AC2=12, S mwc-AC.BC-AB-CF. 2 2 CF=4C,BC-5x1260 AB1313 CF⊥AB,EK⊥AB, ∴.∠EKD=∠CFD=90°， 又.∠EDK=∠CDF, 14 .∴.△EDK∽ACDF, .CDCF DE EK C℉= 60 13 是定值， EK取最大值时， CD 取最小值： DE 点D运动过程中，始终保持BE⊥CD, ∴点E在以BC中点O为圆心， 1BC长为半径的圆上， .当点E,K,O共线时，EK取最大值，如图， D B ,'∠BKO=∠BCA=90°，∠KBO=∠CBA, ∴.△KBO∽△CBA, :K0=B0 AC AB 即0、6 513 K0=30 13 EK=0E-K0=6-30=48 最大值为 48 1313 即EK 13 60 此时 CD_CF-13_5 DE EK484' 13 CD 5 的最小值是二， DE 故答案：4 11.在△ABC中，∠ABC=150·,将△ABC沿AB折叠得到△ABD,延长CB交AD于点E, 若=，则的值为--。 15 A B 【答案】吗 12.已知矩形ABCD,AB=5,AD=3,E是BC上一点，连结DE,将△DCE沿着DE折叠， 点C的对应点C'恰好落在边AB上，连结AE,与CD交于F,则 DE D E F A B 【答案】铝 【分析】作CH∥AD,交AE于点H,由矩形的性质得CD=AB=5,BC=AD=3,BE ∥AD,∠B=∠BAD=90°，则C'H∥BE,所以△AC'H∽△ABE,由折叠得C'D= CD=5,C'E=C=3-那，求得AC'=4,则BC'=1,器=船=青，由勾股 定理得124BE2=(3-BE)2,求得BE=青，C'H=青BE=,再证明△4DF∽△HC ‘F,行器=铝=铝，于是得到问题的答案， 【解答】解：作CH∥AD,交AE于点H, ,四边形ABCD是矩形，AB=5,AD=3,点E在BC上， .CD=AB=5,BC=AD=3,BE∥AD,∠B=∠BAD=90°， .CH∥BE, .△ACH∽△ABE, ,·将△DCE沿DE折叠，点C的对应点C落在边AB上， ..C D=CD=5,C E=CE=3-BE, ∴4C=VCD2-AD2=52-32=4, 16 ∴BC'=AB-4C=1,器=6=青， .BC12+BE2=C'E2, ∴.12+BE2=(3-BE)2, 解得BE=号， ∴C”H=青BE=青×号=， AD∥CH, ∴.△ADF∽△HC'F, :器=品==。 故答案为：铝。 H E C'B 13.如图，矩形ABCD是一张长宽比为√2：1的标准纸，将矩形纸片沿DE折叠，使得点C 落在点C处，且A,C,E三点在同一直线上，则CD CE 【答案】√2+1#1+√2 【解析】 【分析】设矩形ABCD的长为√2a,宽为a,根据矩形的性质得AD=BC=√2a, AB=CD=a,∠B=∠C=90°，根据折叠的性质得∠DCE=∠C=90°，CE=CE, CD=CD=a,则∠DC'A=90°，利用勾股定理求出AC'=a,设C'E=CE=x,在 Rt△ABE中利用勾股定理列出方程，求出x的值，即可解答. 【详解】解：设矩形ABCD的长为√2a,宽为a, 则AD=BC=√2a,AB=CD=a,LB=LC=90°， 17 由折叠的性质得，∠DCE=∠C=90°，CE=CE,CD=CD=a, ∴.∠DCA=90°， :AC'=AD2-C'D2=a, C'E CE=x,AE=AC'+C'E=a+x,BE BC-CE=2a-x, 在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2, .a2+2a-x=(a+x)2, 解得x=2+1 a .CE=- a 2+1' CD=a_=2+1 .CE a 2+1 14.如图，在ABC中，∠BAC=90°，AD为BC上的中线，将△ADC沿直线AD翻折 得到△ADC',C'D与AB交于点F,连接CC与AB,AD分别交于点E,O,连接 BC,则∠CCB=.若BE=3, BF E4,则 FE B 【答案】 ①.90° ②.14 3 【解析】 【分析】由折叠的性质可得AD垂直平分线段CC',DC=DC',即∠DOC=90°，由题 意可得BD=DC=DC',推出∠CCB=90°，进而可得AD‖BC',由中位线定理可得 OD=】BC',设BC'=2m,则OD=m,再由平行线分线段成比例定理计算即可得解 【详解】解：，将△ADC沿直线AD翻折得到△ADC', .AD垂直平分线段CC',DC=DC' ∴.∠D0C=90°， 18 ,AD为BC上的中线， .BD=DC DC', ∴.∠CCB=90°， ∴.∠CCB=∠DOC, .AD‖BC', DC=DB,CO=OC', :.OD=IBC, 设BC'=2m,则OD=m, ,AO∥BC', BC'=BE 3 OA AE4' 8 0A=3m, 11 ∴.AD=OD+OA= 3n, :AD‖BC', BF BC 21m6 :AF AD 11 11, 3 m BE 3 AE4 ∴设BE=3k,则AE=4k,AB=7k, ..BF= AB=42 , 17 17 9 ∴.EF=BE-BF=k, 17 14 EF 9 1> 3 故答案为：900,14 19 2026年浙江省杭州萧山区一模：第十题针对性练习 【真题】 10. 已知，如图平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，连接DE,过点E作EF⊥DE交BC过于点F，若AB=,BC=3,∠B=450,则的值为（ ） A. B. C. D. 【变式练习】 1.如图，在中，AD和BE分别是BC，AC边上的高，且相交于F点，若，，则的值为(    ) A. 2 B. C. 3 D. 2.如图，，分别是矩形边，上的两个点，连接，将矩形分为两个全等的四边形，，分别在两个四边形的内部作圆，两个圆与所在四边形的四条边都相切．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 3.如图是一张矩形纸片，点E是中点，点F在上，把该纸片沿折叠，点A、B的对应点分别为、，与BC相交于点G，的延长线经过点C．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4.已知是直径，弦于点，．点是劣弧上任一点（不与、重合），交于点，与的延长线相交于点，已知时，则的值为（ ） A. B. C. D. 5.如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：CE＝2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则＝（　　） A. 4：10：25 B. 4：9：25 C. 2：3：5 D. 2：5：25 6.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC 是一条对角线，E 是AC 上一点，过点 E 作EF⊥AB，垂足为 F，连结DE.若AE=BF，则DE：BC的值为 （　　) A．2：3 B． C．2.5：3 D． ：3 7.如图，已知在平面直角坐标系中，菱形在第一象限，点在轴上，点在轴上，对角线轴，反比例函数的图象与菱形的边，分别交于点，，当的值发生变化时，图中线段的比值不变的为（ ） A. B. C. D. 8.如图是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽，由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形，使点D，E，F分别在边，，上，过点E作于点H，若，，则（　　） A. B. C. D. 9.如图，在中，平分分别交，，延长线于点，，，记与的面积分别为，，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 10.如图，在中，，，，点在边上（不与点，重合），过点作，垂足为点，则的最小值是_____． 11.在中，，将沿折叠得到，延长交于点，若，则的值为。 12.已知矩形ABCD，AB＝5，AD＝3，E是BC上一点，连结DE，将△DCE沿着DE折叠，点C的对应点C′恰好落在边AB上，连结AE，与C′D交于F，则　 　 ． 13.如图，矩形是一张长宽比为的标准纸，将矩形纸片沿折叠，使得点C落在点处，且A，，E三点在同一直线上，则______． 14.如图，在中，，为上的中线，将沿直线翻折得到，与交于点，连接与，分别交于点，，连接，则______．若，则______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $