专题02 有理数的运算（期末复习课件，知识必备+17大重难题型+过关验收）六年级数学下学期新教材人教版五四制

这是一份人教版五四制初中数学六年级下学期期末复习课件，围绕有理数运算专题，构建“考情分析-知识梳理-题型突破-分层验收”学习支架，涵盖核心考点、运算技巧、实际应用及分层练习，助力学生系统复习。 资料特色突出核心素养，通过无人机飞行、游客人数统计等实例培养数学眼光，以幻生有理数对、二进制计算等题型发展运算推理思维，结合科学记数法、近似数强化数学语言表达。分层设计适配不同学生，典例变式结合提升解题能力，为教师提供高效复习资源，帮助学生巩固基础并培养应用意识。六年级下学期学生处于小学到初中过渡阶段，需重点巩固有理数运算基础，培养规范运算习惯和逻辑推理能力，本资料通过系统梳理和分层训练，助力学生夯实基础，适应初中数学学习节奏。

专题02 有理数的运算 六年级数学下学期 期末复习大串讲 人教版五四制 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期末考情 第一部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 2 核心考点 复习目标 考情规律 有理数的加法法则 能正确地进行有理数的加法运算 基础必考点，是考试的基础题型 有理数加法运算律 能熟练运用加法的运算律 基础必考点，常出现在小题 有理数的减法法则 掌握有理数的减法法则 基础必考点，常出现在计算题，注意符号 有理数加减混合运算 熟练运用加减法法则进行运算 高频考点，经常在计算题考查 有理数乘法法则 能正确进行有理数的乘法运算 基础考点，常出现在小题 有理数乘法运算律 能熟练运用乘法的运算律 基础必考点，是考试的基础题型 核心考点 复习目标 考情规律 倒数 掌握倒数的概念，学会倒数的运算 高频易错点，常忘记倒数的符号 有理数除法法则 能正确进行有理数的除法运算 基础必考点，经常在计算题考查 有理数乘方运算 能正确进行有理数的乘方运算 基础必考点，经常在计算题考查 有理数四则运算的实际应用 准确找出数量关系并计算出结果，同时要注意答案符合实际情况 高频考点，经常出现在解答题 科学记数法 能正确的用科学记数法表示一个数 基础必考点，一般出现在小题中 近似数 掌握近似数的相关概念，确定近似数的有效数字 易错必考点，一般出现在小题中 记•必备知识 第二部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 有理数加减法法则 知识点01 1．有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 【注意】 （1）异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. （2）绝对值相等时，两数之和为0； （3）一个数与0相加，仍得这个数； 特别注意 有理数加减法法则 知识点01 2．有理数加法运算律 （1）有理数相加，两个数相加，交换加数的位置，和不变； （2）有理数相加，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 【注意】有理数加法中的一些计算技巧： （1）相反数结合法：互为相反数的两个数先相加； （2）同号结合法：符号相同的数先相加； （3）同分母结合法：分母相同的数先相加； （4）凑整法：几个数相加能够得到整数的先相加. 特别注意 有理数加减法法则 知识点01 3．有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数， 4．有理数加减混合运算 （1）利用减法运算法则，将有理数加减混合运算转化为有理数加法运算； （2）去掉括号和括号前的加号（有绝对值的要先去掉绝对值后再计算）； （3）利用加法法则和加法运算律进行计算. 有理数乘除法法则 知识点02 1.有理数乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）0与任何数相乘都得0； （3）任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数； 2.有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等； （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等； （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 有理数乘除法法则 知识点02 3.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. 【注意】单独的一个数不能称为倒数；0与任何数相乘都等于0，不可能等于1，所以0没有倒数. 4.有理数除法法则 （1）除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数； （2）两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； （3）0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义. （4）一个非零的数除以它的本身等于1. 特别注意 有理数乘除法法则 知识点02 5.有理数乘除混合运算 （1）有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； （2）要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 有理数乘除法法则 知识点02 6.利用运算律简便计算 （1）有理数运算律包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律及乘法分配律等； （2）一些计算优先结合会简便很多： 相反数结合；凑整结合；正、负分别结合； 同分母结合；倒数结合 有理数乘除法法则 知识点02 7.有理数的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 同级运算，按照从左到右的顺序进行； 如果有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次计算；如需去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 【注意】在有理数混合运算中，通常情况下，带分数要先化成假分数，小数要先化成分数，再进行计算，有些计算是可以同时进行的. 有理数的乘方运算 知识点03 1. 求相同因数的积的运算叫做乘方，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方的运算结果叫做幂. 一般地， 记作，读作“a的n次方”，其中a叫做底数，n叫做指数，当看作a的n次方的计算结果时，也可以读作“a的n次幂”. 有理数的乘方运算 知识点03 2.有理数乘方的运算：有理数乘方运算的符号法则 正数的任何次幂都是正数； 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； 0的任何正整数次幂都是0； 任何一个数的偶数次幂都是非负数. 【注意】 （1）1的任何次幂都是1； （2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1； （3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 特别注意 科学记数法 知识点04 1. 科学计数法的定义：一般地，一个大于10的数可以写成的形式，其中1≤|a|＜10，n是正整数，这种记数方法称为科学记数法. 近似数 知识点05 1.准确数：在日常生活或生产实际中，能准确地表示一些数的量，成为准确数. 2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数. 3.精确度：近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 【注意】对于带单位的数或用科学记数法表示的近似数，a的末位数字在还原后的数中是哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 有效数字的概念：从左边第一位非0的数字到精确数位的所有的数字. 破•重难题型 第三部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 有理数的加减法运算 题型一 解｜题｜技｜巧 熟悉有理数加减法运算的法则，注意计算时符号的问题； 【典例1】（24-25六年级上·山东·期末）计算： (1)； (2) （1）解： ； （2）解： ． 【典例2】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． （1）解：原式 （2）解： ； 【典例2】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． （3）解：原式 （4）解：原式 【变式1】（24-25七年级上·浙江温州·期末）若用符号表示a，b两数中的较大数，用符号表示a，b两数中的较小数，则的值为（   ） 解：∵用符号表示，两数中的较大数，用符号表示，两数中的较小数，且，， ∴， 故选：B． B 【变式2】（24-25七年级上·吉林长春·期末）计算： (1)． (2)． （1）解： ， （2）解： ． 有理数加减法的应用 题型二 解｜题｜技｜巧 加减法的应用，关键在于找到等量关系，然后进行求解计算； 【典例1】（24-25七年级上·福建泉州·期末）2024年12月15日，在福建安溪举行的2024百茶百戏文化周“百茶百戏奇妙游”演出中，百架无人机呈现出震撼的夜空灯光秀．其中一架无人机从场地内某一初始高度开始表演，上升的高度记作正数，下降的高度记作负数，其中五次飞行高度记录如下：，，，，（单位：米） (1)求无人机最后所在的位置比开始位置高还是低?高了或低了多少米? (2)无人机五次共飞行了多少米? （1）解：依题意：（米）， 答：无人机最后所在位置比开始位置高，高了37米． （2）解：（米） 答：无人机五次共飞行了103米． 【典例2】（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）张掖七彩丹霞景区是张掖唯一的级景区，在今年“十一黄金周”（国庆期间）更是火热，若在9月30日的游客人数为3万人，如表为7天假期末每天接待游客的人数与前一天相比的变化情况（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）： (1)请判断七天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？ (2)“十一黄金周”（7天），丹霞景区共接待游客多少人？ 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化/万人 +0.2 （1）解： 10月1日的游客人数：（万人）； 10月2日的游客人数：（万人）； 10月3日的游客人数：（万人）； 10月4日的游客人数：（万人）； 10月5日的游客人数：（万人）； 10月6日的游客人数：（万人）； 10月7日的游客人数：（万人）； 则七天内游客人数最多的是10月3日，最少的是10月7日， （万人）， 即它们相差1.8万人； （2）解：（万人）， 即“十一黄金周”（7天），丹霞景区共接待游客34.3万人． 【变式1】（24-25七年级上·河南许昌·期末）某校举办了“废纸回收、变废为宝”活动，各班收集的废纸均以为标准，超过的记为“+”、不足的记为“−”，七年级六个班级的废纸收集情况如表所示，统计员小新不小心将一个数据弄脏看不清了，但他记得七（3）班收集废纸最少，且收集废纸最多和最少的班级的废纸量相差． (1)表格中七（6）班看不清的数据应为 ； (2)若七年级计划总共收集废纸，他们达到预期目标了吗？请说明理由． 【详解】（1）经分析，六班收集废纸的质量最多，超出标准质量为，记为 六班收集废纸的质量为． 故答案为： （2）他们达到预期目标， 理由：， 答：他们达到预期目标； 【变式2】（24-25七年级上·河南新乡·期末）元旦期间，小红与同学相约去公园游玩，妈妈通过微信红包给了她元零花钱，如图是她微信钱包零钱明细的截图，请你解决如下问题（假设她初始余额为元）： (1)截图中哪一笔支出金额最大，最大金额为多少？ (2)小红回家后想起来，她删了一条蛋糕店的交易记录，微信零钱最终显示余额为 元，请帮她计算出在蛋糕店的支出金额． （1）解：因为， 所以截图中给超市的这笔支出金额最大，最大金额为元． （2）解：（元）． （元）． 答：小红在蛋糕店的支出金额为元． 有理数加减混合运算（提高） 题型三 【典例1】（24-25七年级上·全国·期末）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． （1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【典例2】（24-25七年级上·全国·期末）计算 ． 2 解：原式． 【变式1】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）已知有理数1，，，，通过有理数的加减混合运算，使其运算结果最大，则这个运算结果最大值是（   ） A．23 B．22 C．21 D．3 解：要使加减混合运算的结果最大，则利用所有的正有理数之和减去所有的负有理数之和． 即， 即这个运算结果最大值是21，故选：C． C 【变式2】（24-25七年级上·河南郑州·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． （1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 有理数加减中的简便运算 题型四 解｜题｜技｜巧 1、相反数结合；2、凑整结合；3、正、负分别结合；4、同分母结合；5、倒数结合 35 【典例1】（24-25七年级上·江西吉安·期末）阅读下列计算过程，解决问题． 计算： 解：原式 ． 上面的解题方法叫作拆项法. (1)仿照上面方法，可将拆为_____，将拆为_____； (2)用拆项法计算：． （1）解：拆为，拆为， 故答案为：，； （2）解： ． 【典例2】（24-25七年级上·陕西延安·期末）阅读下面的文字，并回答问题： 对进行计算，我们可以用下面的方法：．这种方法称为分离带分数法． 请你运用上面的方法，计算： (1)．(2)． （1）解： （2）解： ． 【变式1】（24-25七年级上·山西忻州·期末）阅读下面的解题过程并解决问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） … (1)上面的计算过程中，第一步变形的依据是_____________； (2)为了计算简便，第二步应用的运算律是_____________；（用符号表示） (3)上面的计算过程，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是_____________； (4)请写出正确的解答过程． 【详解】（1）有理数的减法法则（减去一个数等于加上这个数的相反数）． 故答案为：有理数的减法法则． （2）加法交换律：． 故答案为：． （3）从第二步开始出错，错误原因是：将误写为，符号处理错误． 故答案为：二；写成了． （4）原式 【变式2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）阅读下列的计算方法，解决问题： (1)． 解：原式． 上面这种方法叫拆项法．按这种方法，可将拆为_____，拆为______． (2)类比上述计算方法，请计算：． （1）解：可将拆为，拆为； 故答案为：，； （2）解：原式 ． 省略加法和括号的形式 题型五 解｜题｜技｜巧 省略加法和括号的时候要注意符号的问题，尤其是前面是“—”时，省略时要记得加“—”号； 【典例1】把写成省略加号的形式是（    ） A． B． C． D． 解：根据有理数的加减混合运算的符号省略法则化简， ．故选：B． B 【典例2】（24-25七年级上·广西防城港·期末）为计算简便，把(﹣1.4)﹣(﹣3.7)﹣(+0.5)+(+2.4)+(﹣3.5)写成省略加号的和的形式，并按要求交换加数的位置正确的是(    ) A．﹣1.4+2.4+3.7﹣0.5﹣3.5 B．﹣1.4+2.4+3.7+0.5﹣3.5 C．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5﹣3.5 D．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5+3.5 解：原式＝﹣1.4+3.7﹣0.5+2.4﹣3.5＝﹣1.4+2.4+3.7﹣0.5﹣3.5，故选A. A 44 【变式1】（24-25七年级上·山东临沂·期末）把写成省略括号和加号的形式为 ． 解：把写成省略括号和加号的形式为． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·期末）将式子写成省略加号的形式 ． 解：，，，， ，则原式 ； 故答案为：． ． 解｜题｜技｜巧 有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 有理数的乘除法运算 题型六 【典例1】（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）计算： (1)； (2)． （1）解 ； （2） ． 【典例2】（23-24七年级上·河南南阳·期末）计算： (1) (2) （1）原式 （2）原式 48 【变式1】（23-24七年级上·吉林松原·期末）计算： (1)； (2)． （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2】（24-25七年级上·河北邢台·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、 ，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 解｜题｜技｜巧 找到数量关系进行求解； 有理数乘除法的实际应用 题型七 【典例1】（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）一辆长的货车，以的速度匀速通过一条长为的隧道，隧道内壁顶上有一盏灯，垂直向下发光，下列说法中正确的是（   ） ①灯光照在车身上的时间是；  ②灯光照在车身上的时间是；③从车头进入隧道到车尾离开隧道所用的时间是； ④从车头进入隧道到车尾离开隧道所用的时间是． A．只有正确 B．只有正确 C．只有正确 D．只有正确 解：， ， 故说法正确，说法错误； ， 故说法正确，说法错误； 综上，正确的说法有：， 故选：． 【典例2】（23-24七年级下·陕西渭南·期末）已知某通讯公司所收取的电话费（元）随用户通话时间（分钟）的变化情况如下表：（不足1分钟按1分钟算） 若小明通话6分钟，则需要付电话费（   ） A．0.85元 B．0.9元 C．1.2元 D．1.35元 解：根据题意得：， ∴小明通话6分钟，则需要付电话费元， 故选：B 通话时间t/分钟 1 2 3 4 … 电话费y/元 … 【变式1】（24-25七年级上·江苏镇江·期末）丹阳某一个啤酒厂为了回收空啤酒瓶，规定每3个空啤酒瓶可以换一瓶啤酒，李琛3人一共买了一箱（共12瓶），可以借1个空瓶，那么他们还可以再兑换 瓶啤酒． 解： (瓶) (瓶)…1(个) (瓶) (瓶) (瓶) 他们还可以再兑换6瓶啤酒． 故答案为：6． 【变式2】（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图所示，点，，把一条300米环形跑道分为相等的3段．若甲、乙两人分别从，两处同时相向出发，甲每秒跑3米，乙每秒跑2米．相遇后不改变方向，经过800秒时，两人恰好第 次相遇． 解：由题意得：两人第一次相遇的时间为秒， 之后每次相遇所需时间为秒， 所以第一次相遇后又相遇了次， 所以经过800秒时，两人恰好第14次相遇， 故答案为：14． 解｜题｜技｜巧 1、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等； 2、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等； 3、乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 有理数乘法运算律 题型八 【典例1】计算下列各题 (1)； (2)； (3)； (4)． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【典例2】（24-25六年级上·上海·期末）计算： 解：原式 【变式1】（24-25七年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)； (3)． （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【变式2】（24-25六年级上·上海宝山·期末）计算：． 解： ． 解｜题｜技｜巧 1、先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2、同级运算，按照从左到右的顺序进行； 3、如果有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次计算；如需去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 有理数四则混合运算 题型九 【典例1】（24-25七年级上·广东广州·期末）计算：． 解：原式= ． 【典例2】（24-25七年级上·河南洛阳·期末）计算： (1) (2) （1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25七年级上·河北邢台·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·广东茂名·期末）如果一对有理数a、b使等式成立，那么这对有理数a、b叫做“幻生有理数对”，记为．根据上述定义，下列四对有理数；；；中不是“幻生有理数对”的是 ． 解：对于：， ∴，故是幻生有理数对． 对于 ： =， +=， =，故是幻生有理数对． 对于：， ，故是幻生有理数对． 对于：， ，故不是幻生有理数对． 故答案为：． 有理数四则混合运算的实际应用 题型十 【典例1】（24-25七年级上·福建泉州·期末）为了确保能够按时完成农田小麦收割任务，某小麦收割机配件车间需要在一周内完成2000件配件的生产任务．该车间接到任务后，计划平均每天加工400件，由于各种原因，每天实际加工的件数与每天计划加工的件数相比有出入，把超额或不足的部分分别用正、负数来表示，下表是这周加工这种配件的记录情况： 星期 一 二 三 四 五 与每天的计划量相比的差值单位：件 (1)这周共加工了______件小麦收割机配件． (2)这周内加工最多的一天比加工最少的一天多加工了______件． (3)已知该厂对这个车间实行计件工资制，每加工1件得10元，若超额完成任务，则超额部分每件再奖5元；若没有完成任务，则每少一件倒扣5元，求该车间这周的总收入． （1）解：件， 即这周共加工了2020件小麦收割机配件． 故答案为：2020． （2）（件）， 即这周内加工最多的一天比加工最少的一天多加工了110件． 故答案为：110． （3） 元， 即该车间这周的总收入为20300元． 【典例2】根据背景素材，探索解决问题． 周末小明一家打算去露营基地野餐 素材1 野餐准备计划路线图：家→炸鸡店→面包店→水果店→奶茶店→露营基地； 素材2 这条路线近似看成东西走向．如果规定向东为正，向西为负，他这天行车里程（单位：km）如下：，，，，； 素材3 滴滴车价目表：起步价（不超过时）车费8元，超过时，超出部分每千米车费加价2元，原价消费满10元赠送一张8折优惠券和一张7折优惠券（每种优惠券只能使用一次）． 问题解决 任务1 求露营基地在家的哪个方向，并求出与家的距离； 任务2 计算炸鸡店到面包店所用的车费； 任务3 说说该路线如何正确使用优惠券，使总车费最低，并求出最低总车费． 解：任务1：由题意可得：， 答：露营基地在家的西边处； 任务2：由题意可得：（元）， 答：炸鸡店到面包店所需费用14元； 任务3：由题意可得水果店到奶茶店的原价费用为（元），奶茶店到露营基地的原价费用为（元），， 则水果店到奶茶店用8折券，奶茶店到露营基地用7折券， （元） 答：水果店到奶茶店用8折券，奶茶店到露营基地用7折券，共用车费元． 【变式1】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）根据国家卫健委发布的《儿童青少年近视防控适宜技术指南》，建议中学生使用电子产品的时间不超过2小时，某校想了解该校学生每天使用电子产品的时间情况，特制作了调查表进行调查，下表是该校某学生某周每天使用电子产品的时间情况（标准使用时间为每天2小时，超过记为正、不超过记为负）； (1)该生周三使用电子产品用了多少个小时? (2)该生使用电子产品的时间最多的一天比时间最少的一天多多少小时? (3)该生这一周使用电子产品共用了多少小时? 星期 一 二 三 四 五 六 七 增减 3 2 1 -0.5 -1.5 5 6 （1）解：由题意得：（小时）， 该生周三使用电子产品共用了3小时； （2）解：由题意得：（小时）， 该生使用电子产品时间最多的一天比时间最少的一天多7.5小时； （3）由题意得：（小时）， （小时）， 该生这一周使用电子产品共用了29小时． 【变式2】（24-25七年级上·山西朔州·期末）中国铁路太原局不断拓展1，2，3小时高铁出行圈，进一步扩大城际和市域快线列车开行范围，努力实现“有流就有车，有客就有票”．太原至晋中某列高铁载客情况如图所示，目标载客数为800人，目标载客数上方条形图表示超过目标人数的数量，下方则表示不足目标人数的数量． (1)若超过目标人数的部分记为正，不足目标人数的部分记为负，如：12月4日的数据可记作“”，则12月7日的数据可记作______．(2)求这4天的总载客人数． （1）解：根据题意可得12月7日的数据可记作； （2）解：人， 答：这4天的总载客人数为人． 解｜题｜技｜巧 计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. （1）1的任何次幂都是1； （2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1； （3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 有理数的乘方运算 题型十一 【典例1】（24-25七年级上·江苏无锡·期末）计算： (1)； (2)； (3)． （1）解：原式； （2）原式 ； （3）原式 ． 【典例2】（24-25六年级上·上海虹口·期末）计算：． 解： ． 【变式1】（23-24七年级上·全国·期末）计算： (1) (2) （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2】（23-24六年级上·上海徐汇·期末）计算：． 解： ． 程序流程图与算24点 题型十二 【典例1】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，则第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，，第次结果为（    ） A． B． C． D． 解：第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， ， 从第次开始，以，依次循环， 因为，所以第次输出的结果为． 故选：A． A 【典例2】（23-24六年级下·山东威海·期末）根据图中的程序，当输入，输出的结果，将计算结果再次输入，记为第二次输入，则第2024次输出的结果为（    ） A． B． C．2 D．无法确定 解：第1次输入，则输出的结果， 第2次输入，则输出的结果， 第3次输入，则输出的结果， … 输出的结果以，，2循环， ∵， ∴第2024次输出的结果为，故选：B． B 【变式1】有一数值转换机如图所示，输入x的值是3，第一次输出的结果是10，第二次输出的结果是5，…，则第2024次输出的结果是（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 解：由题知， 当输入x的值是3时， 第一次输出的结果是10； 第二次输出的结果是5； 第三次输出的结果是16； 第四次输出的结果是8； 第五次输出的结果是4； 第六次输出的结果是2； 第七次输出的结果是1； 第八次输出的结果是4； 第九次输出的结果是2； 第十次输出的结果是1； B 第十一次输出的结果是4； …， 依次类推，输出的数从第五次开始按4，2，1循环出现， 又因为余1， 所以第2024次输出的结果为4． 故选：B． 【变式2】（23-24七年级上·山东济南·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的x的值为，我们发现第1次输出的结果为，第2次输出的结果为，…，第2024次输出的结果为 ． 解：由题知， 开始输入的的值为， 所以第1次输出的结果为； 第2次输出的结果为； 第3次输出的结果为； 第4次输出的结果为； 第5次输出的结果为； 第6次输出的结果为； ， 依次类推，从第3次输出的结果开始按，循环出现， 又 ， 所以第2024次输出的结果为；故答案为：． -3 解｜题｜技｜巧 1、用科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式而已，可以方便地表示日常生活中遇到的一些很大或很小的数. 2）一个负数也可以用科学记数法表示. 科学记数法 题型十三 【典例1】（24-25七年级上·重庆·期末）地震震级是划分震源放出的能量大小的等级．级地震释放的能量大约是级地震的倍．级地震释放的能量大约是级地震的 倍（用科学记数法表示） 根据题意，级地震释放的能量大约是级地震的倍，从级地震到级地震，震级差为级，即增加了两次两级，故能量释放增加倍数为，用科学记数法表示为 ． 故答案为： ． 【典例2】（24-25七年级上·吉林长春·期末）2021年7月1日，中国共产党建党100周年，党员数量从建党初期的50余人发展到如今的余人，将数据用科学记数法表示为 ． 解：，故答案为：． 【变式1】（23-24七年级下·四川巴中·期末）今年政府工作报告提出，从今年开始拟连续几年发行超长期特别国债，今年先发行1万亿元．5月17日，首批发行400亿元30年期国债，年利率为2.57％．某大型企业购买了5000万元国债，该企业一年的国债利息收益为 元（用合适的记数法表示）． 解：(元)， 所以该企业一年的国债利息收益为元．故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·山西运城·期末）随着“一带一路”走深走实，中国已成为140多个国家和地区的主要贸易伙伴．近十年国内生产总值年均增长，达到121万亿元，是全球经济发展的最大动力源．数据“121万亿元”用科学记数法表示为（    ）A．元 B．元 C．元 D．元 解：121万亿元．故选D． 解｜题｜技｜巧 准确数：在日常生活或生产实际中，能准确地表示一些数的量，成为准确数. 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数. 精确度：近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 有效数字的概念：从左边第一位非0的数字到精确数位的所有的数字 近似数 题型十四 【典例1】（24-25七年级上·河南洛阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．数精确到千分位是 B．将数精确到千位是 C．按科学记数法表示的数，其原数是 D．近似数精确到 解：A、数精确到千分位是，故A选项错误； B、将数精确到千位是，故B选项正确； C、按科学记数法表示的数，其原数是，故C选项错误； D、近似数精确到，故D选项错误； 故选：B． 【典例2】（24-25六年级上·山东烟台·期末）按括号内的要求，用四舍五入法取近似数，其中正确的是（    ） A．（精确到十分位） B．（精确到0.1） C．39.37亿亿（精确到个位） D．（精确到0.0001） 解：A．2.604≈2.6（精确到十分位），所以A选项不符合题意； B．（精确到0.1位），所以B选项符合题意； C．39.37亿37000000（精确到个位），所以C选项不符合题意； D．（精确到0.0001），所以D选项不符合题意． 故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）用四舍五入法将取近似数精确到十分位是 ． 解：根据四舍五入， 取近似数精确到十分位是， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·湖北黄石·期末）2021年5月15日，“祝融号”火星车登陆火星．火星与地球最近距离约54000000千米，横线上的数读作( )，改写成用“亿”作单位的数是( )亿千米． 解：54000000读作五千四百万，54000000≈0.54亿． 故答案为五千四百万，0.54亿． 解｜题｜技｜巧 有理数的规律计算问题，主要掌握计算公式： 有理数中规律计算问题 题型十五 【典例1】（24-25七年级上·湖南永州·期末）观察算式：按规律填空： ． 解：根据题意得： ， 故答案为：2500． 【典例2】（23-24七年级上·辽宁朝阳·期末）观察下列算式：，，，，，，，，，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ． 【详解】∵，，，，，，，，， ∴， ∴末位数字是， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）观察下列等式：；；；；； 按照以上规律，解决下列问题： (1)请写出两个等式： ， ； (2)根据以上式子的规律，请写出第个式子；（为正整数） (3)利用这个规律计算的值． （1）解：根据所给等式的规律可知：，， 故答案为：，； （2）解：根据所给等式的规律可知，第个等式为： ； （3）解： ． 有理数运算中的新定义问题 题型十六 【典例1】（24-25七年级上·湖北恩施·期末）【用数学的眼光观察】 观察下列等式，定义运算： ，； ，， ；，． 【用数学的语言表达】 （1）思考上述运算，归纳运算法则： 两数进行运算时：同号两数运算_____________，异号两数运算_____________，特别地，和任何数进行运算，或任何数和进行运算，仍_____________． 【用数学的思维思考】 （2）计算写出最后化简结果： ①__________； ②____________； （3）若，，求的值． 解：（1）两数进行运算时，同号两数运算结果为正，并将两数的绝对值相加，异号两数运算结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值，特别地，和任何数进行运算，或任何数和进行运算，仍得这个数． 故答案为：结果为正，并将两数的绝对值相加；结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值；得这个数 （2）①； ②． 故答案为：①；② （3） ， ∴与同号，即， ． ， ∴与异号，即， ． ． 答：的值为． 【典例2】（24-25七年级上·河南洛阳·期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：． (1)求的值； (2)的值． （1）解： ； （2） ， ． 【变式1】（24-25七年级上·山东德州·期末）定义关于a，b的新运算：，其中a，b为整数，且为a与b的乘积，例如，，，，若，则的结果为（　 　） A．1 B． C．4 D． 解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． A 二进制计算 题型十七 【典例1】（24-25七年级上·山东济宁·期末）二进制只用0和1两个数字，例如就是二进制数101的简单写法，将其转化为十进制数为：（规定），则下列选项的二进制数中转化为十进制后等于11的是（   ） A． B． C． D． 解：A、. ，不符合题意； B、. ，不符合题意； C、. ，不符合题意； D、. ，符合题意 故选：D． D 【典例2】（24-25七年级上·河南信阳·期末）进位制的认识与探究是新教材重要的综合实践活动．进位制是人们为记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．十进制的自然数可以写成2的方幂和的形式，如：，即十进制的数21对应二进制的数10101；，即六进制的数345对应十进制的数137根据上述规则，解答下列问题： (1)二进制的数对应的十进制的数是_______； (2)计算：，（结果用十进制表示）．（规定当时，） （1）解：二进制的数对应的十进制的数是， 故答案为：27； （2）解：， ， ∴． 【变式1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将换算成十进制数应为：，可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．按此方式，将二进制换算成十进制数的结果是 ． 11 解：， 故答案为：11． 过•分层验收 第四部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 1．（24-25七年级上·山东德州·期末）将十进制数2025转成八进制数是（    ） A．2751 B．2752 C．3751 D．3752 解：， ， ， ， 十进制数2025转成八进制数是3751， 故选：C． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） C 2．（24-25六年级下·上海静安·期末）若，且，则的值为（  ） A．5或1 B．或 C．5或 D．或1 A 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴或； 故选A． 3．（24-25七年级下·广东河源·期末）如果，，，那么a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 解： ， ， ， ， ， 故选：D． D 4．（24-25七年级上·河南商丘·期末）按如图所示的程序计算，当输入x 的值为时，则输出的值为（   ） A．7 B．8 C．17 D．25 解：，∴输出的结果为8，故选：B． B 5．（24-25七年级上·山东·期末） . 解：原式 ．故答案为：． -8 6．（24-25七年级上·广东广州·期末）规定图形 表示运算，图形 表示运算，则 + ． 解：根据题意得： + 2 7．（24-25七年级上·山东枣庄·期末）如果与互为相反数，那么的值为 ． 解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． -8 8．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）甲、乙、丙、丁四位医生轮流到农村卫生所义诊，但计划有所改变，当丙要第3次去义诊时因为生病而没有去，那天就由丁去义诊，之后按甲、乙、丙、丁的顺序继续轮流．丁第1次义诊是在星期四，当丁第8次去义诊时，是星期 ． 丁第1次去是星期四说明甲第一次去是星期一，由于丙那一次没去， 所以丁第八次去的时候是第（天），（天）， 所以是星期三． 故答案为：三． 三 1．（24-25七年级上·山东滨州·期末）以下是我县12月份连续四天的天气预报信息，如图所示，其中日温差最大的一天是（   ） A．12月10日 B．12月11日 C．12月12日 D．12月13日 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 解：12月10日的温差为， 12月11日的温差为， 12月12日的温差为， 12月13日的温差为， ∴温差最大的一天是12月13日， 故选：D． 2．我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图1可列式计算为，由此推算图2可列的算式为（   ） A． B． C． D． 解：6个小棍正放表示，8个小棍斜放表示， 因此图2可列的算式为， 故选：B． 3．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）下表列出了国外几个城市与北京的时差（正数表示同一时刻比北京时间早）． 2025年元月6日，我国中央广播电视总台综合频道CCTV-1《新闻联播》节目开始播放时，下列各城市的时间表示错误的是（   ） A．纽约是2025年元月6日 B．巴黎是2025年元月7日 C．东京是2025年元月6日 D．上海是2025年元月6日 城市 纽约 巴黎 东京 与北京的时差/h 解：A、纽约与北京的时差为，， 故纽约此时时间为：2025年元月6日，故选项A不符合题意； B、巴黎与北京的时差为，， 故巴黎此时时间是2025年元月6日，故选项B符合题意； C、东京与北京的时差为，， 故东京此时时间为2025年元月6日，故选项C不符合题意； D、上海与北京没有时差，故上海是2025年元月6日，故选项D不符合题意； 故选：B． 4．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）若，则的取值不可能是（   ） A．0 B．1 C．2 D． 解：∵，∴， ①当同号时，原式或原式； ②当异号时，原式，故的值不可能是，故选B． 5．（24-25七年级上·辽宁·期末）绝对值小于的所有奇数的和为 ． 解：绝对值小于5.2的所有奇数是：，，， 故答案为：0． 6.（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）如果对于任意非零有理数a、b，定义运算“※”如下：，则 . 解：∵， ∴ ． 7.（24-25七年级上·四川雅安·期末）计算： (1)； (2)． （1）解：原式； （2）解：原式． 8. （24-25七年级上·吉林·期末）小李家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车．他将汽车充满电后连续7天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第六天行驶了． (1)在“ ”处的数为 ，这7天路程最多的一天比最少的一天多行驶 ； (2)已知小李家这款汽车在行驶结束时，若剩余续航不足总续航的时，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示。 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 （1）解：∵该汽车第六天行驶了． ∴， ∴在“ ”处的数为； ∵， ∴， ∴这7天路程最多的一天比最少的一天多行驶； （2）解： 则 ∴ ∴，故行车电脑不会发出充电提示． 1．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）已知，且，则的积（    ） A．一定是正数 B．一定是负数 C．一定是非零数 D．不能确定 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） D 解：∵，且， ∴一定为正，一定为负，可能为正，可能为负也可能为0， 故的积也可能为正，可能为负，也可能为0． 故选：D 2．（24-25七年级上·福建泉州·期末）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．例如：，，则等于（   ） A．7.2 B．7.8 C．8.2 D．8.8 解： ； 故选A． 3．（24-25七年级上·四川泸州·期末）如图，点在数轴上所对应的数为．点在点右边距点6个单位长度，点以每秒1个单位长度沿数轴向左运动，同时点以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点处时，，两点间距离等于（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 解：∵A在数轴上所对应的数为，点B在点A右边距A点6个单位长度， ∴点B所对应的数为：， ∴点B所对应的数是； ∵点A以每秒1个单位长度沿数轴向左运动，点A运动到， ∴， ∵点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动， ∴点B运动到：， ∴A，B两点间距离为：． 故选：C． 4.（24-25七年级上·重庆渝北·期末）已知，且，则 ． 解：∵， ∴，， ∵， ∴， 当，时，，符合题意，则； 当，时，，符合题意，则； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 综上，的值为5或9， 故答案为：5或9． 5. （23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）六月份某天，利民生鲜超市以每千克6元的价格从批发市场购进一批香瓜．连续销售6天后还剩余18千克因质量不佳无法继续售卖（其他损耗不计）．若按平均每天出售120千克香瓜为标准，超过的数量记为“”，不足的数量记为“”，下表记录的是该超市连续六天香瓜销售量情况： (1)根据记录可知，销售量最多的一天比销售量最少的一天多出售多少千克香瓜？ (2)利民超市这次共购进香瓜多少千克？ (3)若利民超市以每千克12元的价格开始出售这批香瓜，销售四天后，最后两天决定按原售价打折让利销售．试计算利民超市在这批香瓜销售过程中共获得利润多少元？ 日期 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 销售量（千克） （1）解：（千克） 答：销售量最多的一天比销售量最少的一天多出售41千克香瓜． （2）解：（千克） 答：利民超市这次共购进香瓜760千克． （3）解：千克， 元 千克 元， 元， 元， 答：利民超市在这批香瓜销售过程中共获得利润3618元． 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 $