山东济南市商河弘德中学2025-2026学年高二下学期第二次月考数学试题

**基本信息** 商河弘德中学高二下数学月考卷，聚焦导数、概率统计核心知识，融入五一观影、员工套餐等生活情境，通过基础巩固到创新应用的分层设问，考查数学抽象、运算推理与数据应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|导数定义、排列组合、正态分布|第2题以五一观影为背景，考查分步乘法计数原理| |多选|3/18|分布列、条件概率|第11题结合员工套餐选择，通过递推概率考查数据意识| |填空|3/15|导数计算、排列组合|第13题商品排列融合相邻与不相邻问题，提升综合应用| |解答|5/77|函数单调性、概率应用|第18题以选拔测试为情境，综合分布列与期望考查数学建模|

商河弘德中学高中2024级高二下第二次月考 数学试题 学科组长： 命题人： 考试时间：2026年5月15日 第I卷（选择题 共58分） 注意事项：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不涂在答题卡上，只答在本卷上无效。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设是可导函数，且，则（ ） A. 2 B. C. -1 D. -2 2. 五一假期，小明和他的同学一行四人决定去看电影，从《功夫熊猫4》、《维和防暴队》、《哥斯拉大战金刚2》这三部电影中，每人任选一部电影，则不同的选择共有（    ） A. 9种 B. 36种 C. 64种 D. 81种 3．已知随机变量，若，则（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 4. 已知函数在x=1处取得极大值，则m的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 2或 5. 若直线是曲线的一条切线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在定义域内存在单调递减区间，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7．已知随机事件A，B，若，则（   ） A． B． C． D． 8. 设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 有极大值 B. 有极小值 C. 有极大值 D. 有极小值 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知离散型随机变量的分布列为： 且，则（ ） A. B. C. D. 10.甲罐中有个红球、个黑球，乙罐中有个红球、个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则(    ) A. B. C. D. 11.某公司员工食堂每天都有米饭和面食两种套餐，已知员工甲每天中午都会在这两种套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份元，面食套餐的价格是每份元，如果甲当天选择了某种套餐，他第二天会有的可能性换另一种类型的套餐，假如第天甲选择了米饭套餐，第关选择米饭套餐的概率为，给出以下论述正确的是（） D:前天甲午餐总费用的数学期望为． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的导函数为，且满足，则______. 13.某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，不同的排法共有       种．用数字作答 14．若随机变量，且，则 ． 四、解答题：本题共3小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数是函数的一个极值点. （1）求函数的单调递增区间； （2）当，求函数的最小值. 16. 已知． （1）求； （2）若，求的值． 17. 已知函数，曲线在处的切线斜率为2. （1）求的值； （2）求不等式的解集. 18.甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的道题．规定每次考试都从备选的道题中随机抽出道题进行测试，答对一题加分，答错一题不答视为答错减分，至少得分才能入选． Ⅰ求乙得分的分布列和数学期望； Ⅱ求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．   19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性. 数学试题答案 1【答案】B 【详解】 ，即 . 2【答案】D【详解】四人依次选择电影，每人都有3种选择， 则不同的选择共有种. 故选：D. 3．C【详解】因为，所以 由，可得， 故选：C. 4【答案】B【详解】由题意得：，因为在x=1处取得极大值， 所以，解得或， 当时，， 令，解得或， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以在处取得极小值，不符合题意，故舍去， 当时，， 令，解得或， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以在处取得极大值，故满足题意 综上. 故选：B 5【答案】C【详解】，则， 设直线l与曲线C的切点，则直线l的斜率， 由于直线斜率为，则，解得， 所以，即切点为， 故，解得． 故选：C. 6【答案】C【详解】的定义域为，，令，得， 因为在内存在单调递减区间，所以在上有解，所以， 设，则的图象是开口向下的抛物线，所以， 所以，的取值范围是， 故选：C. 7．B【详解】因为，故，而，故， 故，同理， 故，故选：B. 8【答案】A【详解】函数的图象如图所示， 当时，；当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减， 有极大值，无极小值， 故选：. 9【详解】由分布列的性质和期望公式可得，解得， 所以离散型随机变量的分布列为 故， ，BCD都对，A错. 10【答案】AD 【解析】解：对于选项，由题意可知：  ，故选项正确； 对于选项，因为表示事件“从甲罐取出的球是红球”，设  表示事件“从甲罐取出的球是黑球”，可得  ，   ，  ，  ，  ，故选项不正确； 对于选项，结合选项可得，  ，故选项错误 对于选项，结合选项可得，  ，故选项正确． 11【答案】AB C 【解答】 解：甲在第天选择了米饭套餐，所以，故正确； 若甲在第天选择了米饭套餐，那么在第天有的可能性选择米饭套餐， 甲在第天选择了面食套餐，那么在第天有的可能性选择米饭套餐， 所以第天选择米饭套餐的概率，故正确； 由得，，所以， 又由题意得，，所以，所以，故正确； 前天甲午餐总费用的数学期望为 ，故错误． 故选：A． 12【答案】 【详解】由题设，则. 故答案为： 13【答案】 【解答】 解：由题意知把甲乙看成一个商品，先不考虑丙丁， 可以甲乙，也可以乙甲，是一个整体 有种结果 其中包含丙丁在一起的，把甲乙、丙丁都放一起，共个全排， 共有种结果， 共有种结果， 故答案为：． 14．【详解】因为随机变量，可知正态分布曲线的对称轴是， 所以正态分布的对称性可得，故， 故答案为：. 15【详解】（1）由题意 ，则 ，当时，； 当时，；当时，. 所以，函数的单调递增区间为和 （2）当时，的变化情况如下表 x 0 1 2 ＋ 0 － 0 ＋ 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 当. 当. 所以当时，函数的最小值为. 16【小问1详解】 当时，，① 当时，，② ①②相加得：， 所以. 【小问2详解】 由题意知分别为展开式中的系数， 由的二项展开式的通项为：， 所以由， 即， 所以， 即， 所以，解得：. 17【小问1详解】 ， 所以， 由题意可得，所以， 所以，所以. 所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 所以在上单调递增， ， 所以为奇函数， ，即， 即， 所以，即， 即，解得， 所以不等式的解集为. 18【答案】解：Ⅰ设乙答题所得分数为，则的可能取值为，，，． ；；；    乙得分的分布列如下：         Ⅱ由已知甲、乙至少答对题才能入选，记甲入选为事件，乙入选为事件． 则 ，                           故甲乙两人至少有一人入选的概率  19【小问1详解】 当时，则，， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 函数的定义域为， 又， 当时，恒成立，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当，即时恒成立，所以在上单调递增； 当，即时，当或时，当时， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 当，即时，当或时，当时， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 综上可得，当时的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当 时的单调递增区间为，，单调递减区间为. 学科网（北京）股份有限公司 $