2026届全国1卷高考数学模拟冲刺卷（3）

**基本信息** 2026届全国1卷高考数学模拟冲刺卷（3）聚焦三轮冲刺，通过函数导数、解析几何等综合大题及文化情境题（如五岳旅游概率），考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，适配高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|随机变量、双曲线、解三角形等|第9题以五岳文化为情境，考查排列组合与概率| |填空题|3题15分|函数对称性、二项式定理、曲线公切线|第14题结合曲线与圆的位置关系，考查直观想象| |解答题|5题77分|数列（等比证明与求和）、立体几何（二面角）、概率统计（条件概率）、抛物线（定点证明）、函数导数（单调性与零点）|分问设计层次分明，如第19题递进考查单调区间、不等式证明及零点问题，体现逻辑推理能力|

2026届全国1卷高考数学模拟冲刺卷（3）（详解版） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知随机变量，则（    ） A．0.12 B．0.16 C．0.22 D．0.26 【答案】B 【详解】随机变量， ． 2．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，故，， 故. 3．已知实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】时，，，， 又时，取，，此时， 所以，则“”是“”的充分不必要条件. 4．已知双曲线与的渐近线重合，则与的实轴长之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助渐近线定义计算可得，即可得解. 【详解】由题得，解得， 所以与的实轴长之比为. 5．已知数列的通项公式为，若是数列的最大项，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据数列的通项公式，结合为最大项得到关于的不等式组并结合确定的值. 【详解】由题意得，，又因为， 所以， 解得，又因为，所以． 6．若函数为奇函数，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据奇函数性质建立关于方程求解. 【详解】由可得， ， 若为奇函数，则有， 即，整理得， 则，解得， 当时，，令，解得或， 此时定义域为关于原点对称， 符合为奇函数，故符合题意． 7．已知的外接圆圆心为，角所对的边分别为，且，，若，则（    ） A．8 B．13 C．16 D．32 【答案】B 【分析】由余弦定理化简可得，再根据向量数量积运算律与数量积几何意义计算求解. 【详解】由余弦定理可得， 因为，代入化简可得，所以， 因为， 所以为边的中点，， 取的中点为， 因为是的外接圆圆心， 所以， 由数量积的几何意义可知， 同理， 所以. 8．已知正实数x，y满足，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】将条件等价转化为，构造函数证明，从而，求得取等号时的，，解出. 【详解】由题意得，，，， 则等价于． 设，则，则在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，当且仅当时等号成立． 由得，， 则， 又， 所以，即， 则． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．中国的五岳是指在中国境内的五座名山，分别是东岳泰山，西岳华山，南岳衡山，北岳恒山，中岳嵩山.小明与其父母共人计划在五一假期出游，每人选一个地方，则下列说法正确的是（   ） A．人选择的地点均不同的方法总数为 B．人均不选泰山的方法总数为 C．恰有人选同一个地方的方法总数为 D．恰有人选华山的概率是 【答案】ABD 【分析】利用排列、组合计数问题，结合分步乘法计数原理及排除法逐项列式计算判断. 【详解】对于A，人选择的地点均不同的方法总数为，故A正确； 对于B，人均不选泰山的方法总数为，故B正确； 对于C，恰有人选同一个地方的方法总数为，故C错误； 对于D，恰有人选华山的方法数为，人所有的方法数为， 所以恰有人选华山的概率是，故D正确． 10．如图，在长方体中，，点是棱上的动点（不含端点），过点作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为，则（   ） A．截面是平行四边形 B．若，则 C．存在点，使得截面为长方形 D．截面的面积存在最小值 【答案】AD 【详解】如图： 对A：设平面交棱于点，连接，. 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以. 同理，所以四边形为平行四边形，即截面是平行四边形，故A正确； 对B：因为，，所以，. 又和中，，，. 所以，所以，. 连接，，则， 且， ， ， 所以，又，所以，所以，故B错误； 对C：假设存在点，使得截面为长方形. 设，则，. 由， 即或. 这与矛盾，所以假设错误.故不存在点，使得截面为长方形.即C错误； 对D：设，，则，， 在中，由余弦定理，， 所以. 所以. 所以截面四边形的面积为， 所以当时，截面的面积最小，为.故D正确. 11．对于函数和，下列说法正确的是（    ） A．与有相同的最小正周期 B．与有相同的零点 C．与的图象有相同的对称轴 D．与有相同的单调递增区间 【答案】ABC 【分析】对于选项A分别求出与的最小正周期；化简可得与关于轴对称，可判断选项B、C；分别求出与的单调递增区间可判断选项D. 【详解】周期，周期， 所以与有相同的最小正周期， 选项A正确； ， 与关于轴对称， 所以与有相同的零点，图象有相同的对称轴， 选项B、C正确； 令，， 所以的单调递增区间为， 令，， 所以的单调递增区间为， 与的单调递增区间不同， 选项D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．设函数，若函数图像关于直线对称，求曲线的长度为__________． 【答案】 【分析】首先根据对称的性质求出的值，然后将的解析式表示出来，进而可求出曲线的长度. 【详解】∵函数图像关于直线对称， ∴，即，所以， 所以，那么， 画出图象如图所示， 所以曲线段的长度为． 故答案为：. 13．若，且，则______. 【答案】或 【分析】由，利用两角和余弦公式化简求解. 【详解】 ， 结合， 所以，即或. 因为，得或，即或. 14．若曲线和圆存在4条公切线，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】借助导数的几何意义表示出曲线在处的切线方程，则该切线也是圆的切线，即可用圆的切线的性质得到与有关方程，再利用存在4条公切线，计算即可得. 【详解】对，有， 则曲线在处的切线方程为， 整理得， 由该切线也是的切线，则， 整理得， 由曲线和圆存在4条公切线， 故关于的方程有四个不同根， 故关于的方程有两个不同正根，设为、， 则，解得， 由，则，， 故时，该方程有两个不同正根， 即此时曲线和圆存在4条公切线， 故的取值范围是. 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知数列的首项，且满足. (1)证明：数列为等比数列，求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）通过对已知递推公式两边取倒数构造出目标等比数列求得其通项，进而解出原数列的通项公式； （2）将通项化简后拆分为两部分，对“等差数列乘以等比数列”结构的部分运用错位相减法，最后将两部分结果相加即可. 【详解】（1）因为，所以. 所以，则. 因为，所以， 所以数列是首项和公比均为的等比数列. 所以，所以. （2）由（1）得，所以，所以. 所以 . 设， 则， ， ， ， 所以. 16．（15分）底面为正方形，侧面垂直于底面且为正三角形，，. (1)若H为中点，求证：平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点O点，连接，可证平面，建立空间直角坐标系，利用向量法可证明平面. （2）求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，进而利用向量法可求得平面与平面所成二面角的余弦值. 【详解】（1）取中点O点，连接，由为正三角形，得到 又侧面垂直于底面，平面平面 所以平面，如图建立空间直角坐标系 于是，，，， 所以，， 由，得到平面. （2）利用得到 在平面中，，， 设平面的一个法向量为 则得到：， 不妨设，则 又由平面与平面垂直，，平面平面， 则平面，则为平面的一个法向量， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 17．（15分）某中学高三年级各班人数相同．一次模拟考试后，（1）班有学生的数学成绩低于135分，（2）班有学生的数学成绩低于135分． (1)从（1）班、（2）班中随机抽取一人，已知该学生的数学成绩低于135分，求该学生为（1）班学生的概率． (2)在数学成绩高于145分的学生中，（1）班有3名，（2）班有5名，现从这8名学生中选3人在全年级学生大会上作学习经验报告，记3人中来自（2）班的人数为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由互斥事件的和事件概率公式及条件概率计算公式即可求解； （2）确定的可能取值，求得相应概率即可求解. 【详解】（1）在（1）班、（2）班中随机抽取一人，设事件“该学生来自（1）班”，事件“该学生的数学成绩低于135分”， 则由题意得． ， 该学生为（1）班学生的概率． （2）由题意，的所有可能取值为， 则， ， ． 18．（17分）已知点，抛物线的焦点为，线段的中点在上． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于、两点． （ⅰ）已知的准线为，作于点，证明：直线过定点； （ⅱ）过点与平行的直线与交于点、．判断是否为定值，若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）是，且定值为. 【分析】（1）求出线段的中点坐标，将该中点坐标代入抛物线的方程，可得出关于的等式，解出正数的值，即可得出抛物线的方程； （2）（i）设点、，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，计算得出，即可证得结论成立； （ii）设点、，设直线的方程为，则，将该直线方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式计算出的值，即可得出结论. 【详解】（1）由、得线段的中点坐标为， 将点的坐标代入抛物线的方程得，即， 因为，解得，故抛物线的方程为. （2）（i）设点、，由题意可知直线的斜率不为， 设直线的方程为，联立可得， ，由韦达定理可得，， 抛物线的准线方程为，则， 设坐标原点为点，则，， 所以、、三点共线，即直线过定点； （ii）由（i）知，， 设点、，设直线的方程为， 联立得，， 由韦达定理可得，， 因为直线过点，所以， 所以 ， 所以为定值. 19．（17分）已知函数，． (1)当时，求的单调区间； (2)若，证明：； (3)设函数，若有两个不同的零点，，且，求的取值范围． 【答案】(1)在 上单调递增，在 上单调递减 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据导数与单调性的关系求解即可. （2）构造函数，结合导数与单调性及最值的关系分别证明不等式的左边及右边，即可得证. （3）通过分离常数将原问题转化为方程有两个不同的实根的问题，构造函数，结合导数与单调性及最值的关系作出简图，求出当时，的值，进一步讨论求解即可. 【详解】（1）当时，， 由题意得，． 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以在上单调递增，在上单调递减． （2）若，那么函数． 要证明，即证明，即． 设，由，可得，待证不等式转化为． 左边：设，则， 所以在上单调递增，故，即； 右边：设，则， 因此函数在上单调递减，故，即． 综上，当时，. （3）由题意知. ，是有两个不同的零点，即方程有两个不同的实根． 令，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以在上单调递增，在 上单调递减，则， 且当时，，当时，． 则的大致图像如图，可知若曲线与直线有两个交点， 交点的横坐标分别为，，则，且． 先考虑的情形： 此时，则，所以， 所以，此时． 当时，，，从而，不符合条件； 当时，，，从而，符合条件， 所以要使，必须，所以． 故的取值范围是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届全国1卷高考数学模拟冲刺卷（3） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知随机变量，则（    ） A．0.12 B．0.16 C．0.22 D．0.26 2．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 3．已知实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知双曲线与的渐近线重合，则与的实轴长之比为（   ） A． B． C． D． 5．已知数列的通项公式为，若是数列的最大项，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．若函数为奇函数，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 7．已知的外接圆圆心为，角所对的边分别为，且，，若，则（    ） A．8 B．13 C．16 D．32 8．已知正实数x，y满足，则（   ） A． B． C． D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．中国的五岳是指在中国境内的五座名山，分别是东岳泰山，西岳华山，南岳衡山，北岳恒山，中岳嵩山.小明与其父母共人计划在五一假期出游，每人选一个地方，则下列说法正确的是（   ） A．人选择的地点均不同的方法总数为 B．人均不选泰山的方法总数为 C．恰有人选同一个地方的方法总数为 D．恰有人选华山的概率是 10．如图，在长方体中，，点是棱上的动点（不含端点），过点作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为，则（   ） A．截面是平行四边形 B．若，则 C．存在点，使得截面为长方形 D．截面的面积存在最小值 11．对于函数和，下列说法正确的是（    ） A．与有相同的最小正周期 B．与有相同的零点 C．与的图象有相同的对称轴 D．与有相同的单调递增区间 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．设函数，若函数图像关于直线对称，求曲线的长度为__________． 13．若，且，则______. 14．若曲线和圆存在4条公切线，则的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知数列的首项，且满足. (1)证明：数列为等比数列，求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 16．（15分）底面为正方形，侧面垂直于底面且为正三角形，，. (1)若H为中点，求证：平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值大小. 17．（15分）某中学高三年级各班人数相同．一次模拟考试后，（1）班有学生的数学成绩低于135分，（2）班有学生的数学成绩低于135分． (1)从（1）班、（2）班中随机抽取一人，已知该学生的数学成绩低于135分，求该学生为（1）班学生的概率． (2)在数学成绩高于145分的学生中，（1）班有3名，（2）班有5名，现从这8名学生中选3人在全年级学生大会上作学习经验报告，记3人中来自（2）班的人数为，求． 18．（17分）已知点，抛物线的焦点为，线段的中点在上． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于、两点． （ⅰ）已知的准线为，作于点，证明：直线过定点； （ⅱ）过点与平行的直线与交于点、．判断是否为定值，若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 19．（17分）已知函数，． (1)当时，求的单调区间； (2)若，证明：； (3)设函数，若有两个不同的零点，，且，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $