2026届全国1卷高考数学模拟冲刺卷（2）

**基本信息** 2026届全国1卷高考数学模拟冲刺卷（2）聚焦三轮冲刺需求，以集合、统计、立体几何、函数等核心知识为载体，通过新定义、存在性证明等创新题型，考查数学抽象、空间观念与推理能力，适配高考真题命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合运算、分位数与极差、向量投影、双曲线性质等|第2题结合统计数据考查80%分位数，体现数据观念；第11题关联双曲线离心率与三角形形状，强化逻辑推理| |填空题|3题/15分|复数模、数列前n项和最值、不等式恒成立|第13题通过直线上的点构造数列，考查模型观念；第14题含参不等式恒成立，突出运算能力| |解答题|5题/77分|立体几何存在性证明、数列通项与存在性问题、抛物线轨迹与定点、导数综合、新定义概率|第15题二面角求解考查空间观念；第19题“可取数列”新定义，融合概率分布与期望，体现创新意识；第18题导数多问设计，从方程求解到恒成立求参，梯度分明|

2026届全国1卷高考数学模拟冲刺卷（2）（详解版） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题得，则， 或， 所以. 2．在一次数学考试中，有一道满分为15分的立体几何题．某学习小组6名同学这题的得分为，且有，已知这6名同学的80%分位数和平均分都是12分，则该6名同学答题得分的极差为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】因为 ，所以 ，又 ， 所以 ，即 ， 因为 ，所以 的值可能是13，14，15， 当 时， ， 因为 ，且 为整数，所以 不可能； 当 时，，因为 ， 且 为整数，所以 不可能; 当 时， ，因为 ，且 为整数， 所以当且仅当 时，. 此时. 所以所求极差为 . 3．已知向量，，向量在方向上的投影向量为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】向量，， 向量在方向上的投影向量为，得. 4．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将直线方程整理为， 该式对任意实数恒成立，故需满足 解得，即直线恒过定点.圆心，半径. 圆心到定点的距离. 当直线时，弦长最小. 由弦长公式得最小值为. 故的最小值为. 5．一个高为，上、下底面半径分别是1cm和4cm的封闭圆台容器（容器壁厚度忽略不计）内有一个铁球，则当该铁球体积最大时，该铁球的体积与圆台的体积的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出圆台轴截面，分析可知当球与相切时，其体积最大，再计算出球的体积和圆台的体积即可得比值. 【详解】如图，作出圆台的轴截面，可知当球与相切时体积最大， 由切线性质可得，作，垂足分别为， 可知，所以，又， 所以，则， 设球的半径也即圆的半径为，由 可得，解得，因为， 所以该球是存在的，此时球的体积为， 圆台的体积为，所求比值为. 6．已知单调递增等比数列的前9项积为1，且，若数列的前项和为，则使的最小正整数为（   ） A．5 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】由等比数列的前9项积为1，结合等比中项得；根据，求得公比和；得到数列是等差数列，利用等差数列的求和公式得到，解的不等式，求出满足条件的最小正整数. 【详解】设等比数列的公比为. 等比数列是单调递增，. 等比数列的前9项积为1，，得. ，，即，解得或. 等比数列是单调递增，； ，得. 数列是以为首项，1为公差的等差数列，则. 当时，即，解得或. ，，则使的最小正整数为10. 7．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由条件根据余弦定理求的表达式，利用基本不等式求的最小值，再由同角关系求的最大值，利用三角形面积公式求结论. 【详解】由余弦定理可得，又，， 所以， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以，又， 所以，， 所以的面积， 所以当时，的面积取最大值，最大值为. 8．已知函数，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用已知条件，把复杂不等式转化为简单函数，求导，利用导数分析单调性和极值，进而求出的取值范围． 【详解】已知函数对恒成立， 则， 令，求导得， 单调递增， ，由单调性得，即， 令，求导得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 在处取得极大值：， 要使恒成立，只需满足， 的取值范围是． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（    ） A．若，则的值为或． B．从6名男生和2名女生中选出3名，其中至少有1名女生的选法共有种. C．的展开式中的系数为． D．从5本不同的书中选出3本分配给3位同学，每人一本，则分配方案总数为60． 【答案】ACD 【详解】选项A：根据组合数性质等价于或，且上标满足. 列方程：①，解得，此时上标为7，符合要求. ②，解得，此时上标分别为4和6，符合要求，故或，A正确. 选项B：用间接法计算，总选法，全是男生的选法，故至少1名女生的选法为种，不是42种，B错误. 选项C：的展开通项为，得到项分两类： ①2乘中项，系数为；. ②乘中项，系数为. 总系数为，C正确. 选项D：从5本不同的书中选3本分给3位同学，属于排列问题，总方案数为，D正确. 10．已知函数的部分图象如图所示，则下列正确的有（    ） A． B． C．是函数的一条对称轴 D．函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位得到 【答案】ABD 【分析】根据函数的图象，利用三角函数的性质，求得，结合三角函数的对称性，以及图象变换，逐项判断，即可求解. 【详解】A，由函数的图象，可得，可得，所以，所以A正确； B，由，可得，可得， 解得，因为，所以，所以B正确； C，由，令，可得， 令，可得，所以不是函数的一条对称轴，所以C错误； D，将函数的图象向左平移个单位， 可得，所以D正确. 11．设双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，已知的实轴长一定，则（ ） A．若为锐角三角形，则的离心率 B．若为钝角三角形，则的离心率 C．当取得最大值时，为直角三角形 D．当为直角三角形时，的面积最大 【答案】AC 【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理、基本不等式、三角形面积公式逐一判断即可. 【详解】由双曲线定义及点在右支上可知，，又，解得，， 由三角形三边关系得，化简得，故双曲线离心率， 在中，由余弦定理得， ， A，若为锐角三角形，则必须满足且，解得，正确； B，若为钝角三角形，则满足或， 所以或，故不一定成立，错误； C， ， 因为，由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 此时取得最小值，即取得最大值， 将代入得，即，此时为直角三角形，正确； D，的面积， 当，即时面积取得最大值， 但当，即时也为直角三角形，此时面积为并非最大值，错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知复数，且，则________ 【答案】2 【详解】由，可得， 所以,因为复数，所以. 13．已知数列满足点在直线上，数列的前项和为，则的最小值为______． 【答案】15 【分析】由题意求出，进而判断其为等差数列，然后根据等差数列求和公式求出，最后将目标式合理转化，进而结合基本不等式求解最值即可. 【详解】数列满足点在直线上，， ， 数列是首项为，公差为的等差数列， ，， 则，当且仅当，即时等号成立， 的最小值为15． 14．已知对，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】将已知等式变形为，可得出，令，，，分析可知，可得出，即可得出，利用导数和基本不等式求解即可. 【详解】对，有，所以， 所以不等式左右两侧同时除以， 所以， 转化为关于的一元二次不等式，所以， 令，，， ，当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 所以； 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故， 因为，故对任意的，则， 故当时，，， 由可得， 故，故，即实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）如图所示，三棱锥中，，，且，，E，F分别为和的中点． (1)证明：上存在点P，使得平面； (2)当时，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取上一点，结合是中点，若能使，再结合的位置，可推出与面内的直线平行，进而证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，根据题意求出各点坐标，再分别求出平面和平面的法向量，利用两个平面法向量的夹角与二面角的关系，计算二面角的正弦值. 【详解】（1）取的中点，连接 因为是的中点，是的中点， 所以在中，是中位线，故. 又平面，平面， 所以平面， 故上存在满足条件的点，得证. （2）如图所示， 以点为原点，为轴，为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，， 设，由得，即. 由，，， 得： 代入得，即. 平面中，，， 设法向量为， 由得，令，则. 平面中，，， 设法向量为， 由得，令，则. 所以二面角的正弦值： . 16．（15分）已知数列的前项和为，且，，成等差数列，数列满足． (1)求数列，的通项公式； (2)是否存在正整数，使得？如果存在，请求出，的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，． (2)存在，使得原等式成立． 【分析】（1）结合等差中项的定义得到，利用与的关系即可求出的通项公式，进而求出的通项公式. （2）求出，结合等差数列的前项和求出，进而得到，再结合，为正整数代入验证即可. 【详解】（1）由题，，成等差数列，所以，① 当时，，② ①②得：，即，所以， 当时，，解得，所以， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，即，又满足上式， 因此，从而． 综上：，． （2）由（1）得，，， 从而． 由于，为正整数， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 综上只有当，时满足条件， 因此存在，使得原等式成立． 17．（15分）已知动圆过定点，且与直线相切． (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； (2)过点作倾斜角为，（）的两条直线交轨迹C于M，N两点，若，求证：直线MN恒过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由抛物线的定义可得方程； （2）设，由得出，利用韦达定理化简即可. 【详解】（1）由题意可知，动圆圆心到点和到的距离相等， 故动圆圆心的轨迹C是以为焦点，为准线的抛物线， 故动圆圆心的轨迹C的方程为； （2）由题意可知，直线的倾斜角均不为和， 故直线的斜率均存在且不为0， 因为，所以，即， 即， 若直线的斜率为，则与抛物线只有一个交点，不符合题意； 故设，， 联立，得， 则， 则 ， 得， 则直线恒过点. 18．（17分）已知函数，其中． (1)当时，求方程的所有实数解； (2)证明：当时，； (3)若在上恒成立，求a的值． 【答案】(1)或 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先将代入，再用辅助角公式化简方程，最后根据正弦函数性质求解. （2）构造函数，求导分析其单调性得最小值，再结合函数性质判断其他区间函数值情况，最终得出. （3）构造函数，根据可知，即，并代入检验即充分性即可. 【详解】（1）当时，， 则，所以， 所以， 即或， 解得或． 所以方程的所有实数解为或． （2）令，则， 当时，因为在上单调递增，且， 所以当 时，单调递减； 当 时， 单调递增， 所以． 当时，因为，所以， 综上所述，当时，，即． （3）构造函数， 则， 因为对任意内恒成立， 且，可知为极小值点，则，即， 若，因为，则， 由（2）知，当时，成立， 所以在上单调递增， 则，由的单调性知， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 所以，满足题意， 综上所述，． 19．（17分）定义：若一个数列满足其首项为0，且对于可取或的概率均为0.5，则我们称该数列为“可取数列”．已知数列为“可取数列”． (1)求证：； (2)在“可取数列”中，设随机变量是的值，求： ①的概率分布； ②的期望． 【答案】(1)证明见解析 (2)①，；② 【分析】（1）由条件可得或，结合独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求结论； （2）①设，可得，结合古典概型概率公式求结论； ②由①，，结合期望公式和组合数性质求结论. 【详解】（1）解：当时概率为， 当时概率为， 所以的概率为． （2）①设， 则对任意正整数取或的概率均为，且， 设．显然， 再设此时，，，中有个，个，则， 因此只能取之间的偶数值， 所以， 其中 对于偶数， 事件相当于在个数，，，中，有个取1，个取， 所以的概率分布可表示为，. ②． 所以，， 则 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届全国1卷高考数学模拟冲刺卷（2） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．在一次数学考试中，有一道满分为15分的立体几何题．某学习小组6名同学这题的得分为，且有，已知这6名同学的80%分位数和平均分都是12分，则该6名同学答题得分的极差为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知向量，，向量在方向上的投影向量为，则（    ） A． B．1 C． D．2 4．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．一个高为，上、下底面半径分别是1cm和4cm的封闭圆台容器（容器壁厚度忽略不计）内有一个铁球，则当该铁球体积最大时，该铁球的体积与圆台的体积的比值为（   ） A． B． C． D． 6．已知单调递增等比数列的前9项积为1，且，若数列的前项和为，则使的最小正整数为（   ） A．5 B．9 C．10 D．12 7．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 8．已知函数，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（    ） A．若，则的值为或． B．从6名男生和2名女生中选出3名，其中至少有1名女生的选法共有种. C．的展开式中的系数为． D．从5本不同的书中选出3本分配给3位同学，每人一本，则分配方案总数为60． 10．已知函数的部分图象如图所示，则下列正确的有（    ） A． B． C．是函数的一条对称轴 D．函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位得到 11．设双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，已知的实轴长一定，则（ ） A．若为锐角三角形，则的离心率 B．若为钝角三角形，则的离心率 C．当取得最大值时，为直角三角形 D．当为直角三角形时，的面积最大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知复数，且，则________ 13．已知数列满足点在直线上，数列的前项和为，则的最小值为______． 14．已知对，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为_____. 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）如图所示，三棱锥中，，，且，，E，F分别为和的中点． (1)证明：上存在点P，使得平面； (2)当时，求二面角的正弦值． 16．（15分）已知数列的前项和为，且，，成等差数列，数列满足． (1)求数列，的通项公式； (2)是否存在正整数，使得？如果存在，请求出，的值；如果不存在，请说明理由． 17．（15分）已知动圆过定点，且与直线相切． (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； (2)过点作倾斜角为，（）的两条直线交轨迹C于M，N两点，若，求证：直线MN恒过定点． 18．（17分）已知函数，其中． (1)当时，求方程的所有实数解； (2)证明：当时，； (3)若在上恒成立，求a的值． 19．（17分）定义：若一个数列满足其首项为0，且对于可取或的概率均为0.5，则我们称该数列为“可取数列”．已知数列为“可取数列”． (1)求证：； (2)在“可取数列”中，设随机变量是的值，求： ①的概率分布； ②的期望． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $