小卷狂练第10天（培优）-2026年小升初数学考前冲刺15天

**基本信息** 以高频易错点为核心，融合跨学科情境，通过问题转化与模型构建，系统训练数学抽象、几何直观与应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数与代数|5（如1、5、8、10、14题）|单位“1”转化、比例关系、容斥原理|分数意义→比例应用→集合思想递进| |图形与几何|4（如2、3、6、13题）|方向相对性、体积转换、面积关联|空间观念→圆柱圆锥体积→圆面积公式推导| |综合应用|3（如7、15、17题）|鸡兔同笼假设法、数形结合、实验数据分析|实际问题→数学建模→跨学科知识整合|

小卷狂练第10天（培优） 一、填空题 1．（高频题）比80千克多是( )千克。40米比( )米少。 2．（易错题）学校在小明家北偏西30°方向上，距离是500米，小明家在学校( )方向上，距离是500米。 3．在一个圆柱形的水桶里，垂直放入一段半径是2cm的圆钢，如果把它完全放入水中，桶里的水就上升10cm，如果把水中的圆钢露出水面6cm，那么这时桶里的水就下降3cm。这根圆钢的高是( )cm，体积是( )cm3。 4．如图，正方体的6个面上分别标有12、13、14、15、16、17，相对面上两个数的公因数只有1，那么，16对面的数是( )，17对面的数是( )。 5．（易错题）甲、乙、丙三人进行60米赛跑。当甲到达终点时，乙跑了50米，丙跑了45米。如果乙、丙赛跑速度不变，那么乙到达终点时，丙离终点还有________米。 6．图中有大小两个圆，阴影部分占大圆的，占小圆的。若小圆半径是4厘米，则大圆的半径是( )厘米。 7．小明用A、B两种积木相接但没有规律地拼成一个大长方体（如图），已知大长方体的长是26厘米，一共用了10块积木，那么A积木用了( )块。 二、选择题 8．（高频题）一根铁丝截成两段，第一段长米，第二段占全长的，两段相比（    ）。 A．第一段长 B．第二段长 C．一样长 D．无法确定 9．小红是红领巾“护苗队”的队员，按规定她要在7天中检查小苗3次（一天检查一次），同时不能连续两天检查，小红一共有（    ）种满足条件的检查时间安排。 A．12 B．10 C．9 D．8 10．在1—200的自然数中，如果一个数能被2或7整除，就称这个数是“双七数”，那么“双七数”共有（    ）个。 A．112 B．114 C．120 D．128 11．数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”下列关于数与形的表述错误的是（    ）。 A．图1大正方形的面积是1m2 B．图3中最大的正方形的面积是 C．图2表示商品打八折 D．从图4中可以看出乙比甲跑得快 三、计算题 12．计算下面各题，能简算的要简算。                 四、解答题 13．（高频题）在一个半径为10厘米（从里面量），高50厘米的圆柱形容器里装些水，当放入一块底面半径为2厘米的圆锥形铁块后（铁块完全浸没水中），水面上升了0.4厘米，但未溢出，这个圆锥形铁块的高是多少厘米？ 14．（易错题）啦啦操小组原来有 360 名学生，其中女生占，后来又转来几名女生，这时女生占总人数的。后来又转来了多少名女生？ 15．如图1，圆柱形开口空杯底部固定在正方体容器底部，从里面量得正方体容器棱长为2分米，沿着正方体容器内壁匀速注入水（倒在杯外），容器中水面高度与时间的关系如图2所示。（杯子厚度忽略不计） (1)圆柱形开口杯高（    ）分米。请说明你的理由。 (2)圆柱形开口杯的底面积是多少？ 16．快递员把一批货物从物流中心运往仓库，原计划3.5小时到达。在行驶过程中，有一段4.8千米的道路因暴雨受损，在这段路上的行驶速度仅为正常速度的，因此比原计划晚到了12分钟。物流中心到仓库的路程是多少千米？ 17．（学科融合）下面这首诗中的“连筒”是唐朝出现的引水工具，就是把无数竹筒串接在一起，通过倾斜一定的角度，把水从一处引到另一处。 下图是一段圆柱形的连筒（中间和上下底面挖空），底面内直径为10厘米，外直径为12厘米。 （1）这个连筒的侧面积是多少平方分米？ （2）在引水过程中，某个时刻这个连筒里的水占连筒容积的，此时水的体积是多少立方米？ （3）“连筒引水”利用了斜面装置省力的特点。古代劳动人民在生产和劳动的过程中发明和运用许多工具与技术，有的一直沿用至今，斜面就是其中的一种。 小乐了解这个知识之后，提出了一个问题：“利用斜面把物体从低处运到高处，所需力的大小与物体的质量有什么关系？”针对这个问题，他通过用弹簧秤在相同的斜面上匀速（指物体在运动的过程中速度保持不变）拉动底面相同、质量不同的木块进行了探究（如图1所示），测得的实验数据绘制成统计图（如图2所示）。（注：“牛”是力的计量单位）      图1                                                                  图2 ①如果拉动一块底面相同、质量为700g的木块，所需的力是多少牛？请在图2中表示出来。 ②请你运用发现的规律，解决下面的问题：工人叔叔把一个质量为30kg的木箱从斜面匀速推上货车需要用228牛的力。如果他在箱子上再叠一个快递箱，把它们一起从斜面匀速推上货车用了342牛的力，那么这个快递箱的质量是多少千克？ 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1． 100 50 【分析】把80千克看作单位“1”，比它多，就是求80千克的（1＋）是多少，用80×（1＋）计算。 把要求的米数看作单位“1”，40米比它少，说明40米是这个数的（1－），用除法计算。 【详解】80×（1＋） ＝80× ＝100（千克） 40÷（1－） ＝40÷ ＝40× ＝50（米） 2．南偏东30° 【分析】根据方向的相对性，北偏西对南偏东，角度和距离不变，进行填空。 【详解】学校在小明家北偏西30°方向上，距离是500米，小明家在学校南偏东30°或东偏南60°方向上，距离是500米。 3． 20 251.2 【分析】已知圆钢半径为2厘米，根据圆的面积公式S＝πr2（π取3.14），求出圆钢底面积。当圆钢露出水面6厘米时，露出部分的体积等于水桶底面积乘水下降的高度，求出露出部分体积。水下降3厘米，用露出部分体积除以水下降的高度，求出水桶底面积。当圆钢完全放入水中时，水上升10厘米，圆钢体积等于水桶底面积乘水上升的高度，求出圆钢的体积。圆钢的高等于体积除以底面积，求出圆钢的高。 【详解】圆钢的底面积：3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（cm2） 露出水面的圆钢体积：12.56×6＝75.36（cm3） 水桶底面积：75.36÷3＝25.12（cm2） 圆钢的体积：25.12×10＝251.2（cm3） 圆钢的高：251.2÷12.56＝20（cm） 所以这根圆钢的高是20cm，体积是251.2cm3。 【点睛】本题关键在于利用“圆钢露出水面的体积＝水桶中下降的水的体积”这一关系，先求出水桶的底面积，再结合“圆钢完全放入时水上升的体积＝圆钢的体积”，最终算出圆钢的高和体积。 4． 13 12 【分析】公因数只有1的两个数叫做互质数，本题中正方体相对面上的两个数是互质数。 已知正方体6个面上分别标有12、13、14、15、16、17，且15、16、17之间不相对，因为16和13是互质数，17和12是互质数，所以可得出16对面的数是13，17对面的数是12。 【详解】根据分析可知： 如图，正方体的6个面上分别标有12、13、14、15、16、17，相对面上两个数的公因数只有1，那么，16对面的数是13，17对面的数是12。 【点睛】本题考查正方体的特征以及公因数的概念。 5．6 【分析】根据时间＝路程÷速度，在相同时间内（时间一定），此时路程和速度成正比。甲乙丙的路程比为60∶50∶45＝12∶10∶9，那么乙与丙的速度比为10∶9，后来的路程比也是10∶9；乙跑完全程还需要跑60－50＝10米，根据比例的基本性质，求出乙跑10米时到终点时丙跑的路程，再用全程分别减去丙2次跑的路程得到丙离终点的路程。 【详解】甲乙丙的路程比为： 60∶50∶45 ＝（60÷5）∶（50÷5）∶（45÷5） ＝12∶10∶9 时间一定时，路程比等于速度比，那么乙与丙的速度比为10∶9。 乙到终点还需跑60－50＝10（米），因此乙跑10米∶丙跑的路程＝10∶9，则在乙到达终点时，丙跑的路程为： 10÷10×9 ＝1×9 ＝9（米） 60－45－9＝6（米） 因此，甲、乙、丙三人进行60米赛跑。当甲到达终点时，乙跑了50米，丙跑了45米。如果乙、丙赛跑速度不变，那么乙到达终点时，丙离终点还有6米。 【点睛】本题需要明确的是在时间一定的情况下，路程比等于速度比（即路程和速度成正比），同时要明确速度比恒定的条件，通过分步计算，得出丙的剩余距离。 6．6 【分析】本题可先根据小圆半径求出小圆面积，再结合阴影部分占小圆的比例求出阴影部分面积，接着根据阴影部分占大圆的比例求出大圆面积，最后由大圆面积求出大圆半径。 用到圆的面积公式（S表示面积，r表示半径） 【详解】小圆面积： 阴影面积： 大圆面积： 设大圆的半径为R，根据圆的面积公式，，两边同时除以，得到，因为半径为正数，所以R＝6厘米。 由此得出大圆的半径为6厘米。 【点睛】本题的解题关键在于以“阴影部分面积”为纽带，连接大圆和小圆的面积关系，通过“小圆面积→阴影面积→大圆面积→大圆半径”的转化，利用分数乘除法处理“部分与整体”的关系，体现了转化思想在几何计算中的应用。 7．6 【分析】假设全部用的B积木拼搭，则大长方体长度为（2×10）厘米，比实际长度26厘米短了（26－2×10）厘米，是因为每块A积木比B积木长（3－2）厘米，用比实际长度26厘米短的长度除以每块A积木比B积木长的部分即是A积木使用的块数，据此解答。 【详解】（26－2×10）÷（3－2） ＝（26－20）÷1 ＝6÷1 ＝6（块） A积木用了6块。 【点睛】本题的关键是用假设法，设都是A积木或都是B积木，然后根据多或少的长度，求出一种积木的块数，再求另一种积木的块数。 8．B 【分析】把整根铁丝看作单位“1”。第二段占全长的，那么第一段占全长的分率就是，只需要比较两段占全长的分率：＜，就能得出第二段更长的结论。 【详解】第一段占全长的分率： 比较两段分率：＜ 因此，第二段更长。 故答案为：B 【点睛】关键点是区分具体长度和分率，通过计算两段占全长的分率来比较长短。 9．B 【分析】把这7天编号为1、2、3、4、5、6、7，把每三个数字进行组合，写出所有的组合，再从中找出不连续的组合的和即可解答。 【详解】把这7天编号为1、2、3、4、5、6、7。 以1开头的组合有：123、124、125、126、127、134、135、136、137、145、146、147、156、157；其中两天不连续的天数组合有：135、136、137、146、147、157，共6种； 以2开头的组合有：234、235、236、237、245、246、247、256、257；其中两天不连续的组合有：246、247、257，共3种； 以3开头的组合有345、346、347、356、357、367；其中两天不连续的组合有：357共1种； 以4开头的组合有456、457、467，共3种，其中两天不连续的天数组合有0种； 以5开头的组合有567，其中两天不连续的天数组合有0种。 6＋3＋1 ＝9＋1 ＝10（种） 所以小红一共有10种满足条件的检查时间安排。 故答案为：B 【点睛】找出所有的组合以及从中找出符合条件的组合是解题的关键。 10．B 【分析】先求出在1—200的自然数中能被2整除的自然数的个数，即200÷2＝100（个），再求出在1—200的自然数中能被7整除的自然数的个数（除不尽时用“去尾法”取整数），即200÷7≈28（个），2和7的最小公倍数是2×7＝14，在1—200的自然数中能同时被2和7整除的自然数的个数（除不尽时用“去尾法”取整数）是200÷14≈14（个），根据容斥原理，“双七数”的个数＝能被2整除的自然数的个数＋能被7整除的自然数的个数－能同时被2和7整除的自然数的个数，据此解答。 【详解】在1—200的自然数中能被2整除的自然数的个数：200÷2＝100（个） 在1—200的自然数中能被7整除的自然数的个数：200÷7≈28（个） 2和7的最小公倍数是2×7＝14。 在1—200的自然数中能同时被2和7整除的自然数的个数：200÷14≈14（个） 在1—200的自然数中“双七数”的个数：100＋28－14 ＝128－14 ＝114（个） 所以，“双七数”共有114个。 故答案为：B 【点睛】本题主要考查容斥原理的应用，分析题意求出在1—200的自然数中2的倍数的个数、7的倍数的个数、2和7的倍数的个数是解答题目的关键。 11．D 【分析】求正方形面积，可以根据正方形面积公式＝边长边长，长方形面积公式＝长宽得出答案，折扣＝现价原价，代入数据得出答案；比较速度，可以根据路程时间＝速度，得出答案。 【详解】A．小正方形边长为1dm，大正方形的边长为1×10＝10（dm）＝1m，面积为1×1＝1（m²），大正方形的面积是1m²； B．图3中大正方形边长为：a＋b，它的面积可以看成两个长方形的面积加上两个正方形的面积，即大正方形的面积＝ab＋ab＋aa＋bb＝a²＋2ab＋b²； C．原价看作5份，现价看作4份，折扣等于4÷5＝0.8，即打八折； D．图4中，路程相同时，乙用的时间更长，根据路程÷时间＝速度，甲比乙跑得快； 故答案为：D 12．16；； 5.01； 【分析】（1）先把百分数和分数都化成小数，160%＝1.6，＝1.6；接着提取公因数1.6，利用乘法分配律逆运算简算； （2）把2023拆成2022＋1，利用乘法分配律展开简算； （3）运用加法的交换律和结合律以及减法的性质来简算； （4）利用“母积子和”将分数进行裂项拆分，抵消中间项，进行简算。 【详解】（1） ＝ ＝ ＝1.6×10 ＝16 （2） ＝ ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝ ＝ ＝5.01 （4） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【点睛】每个题目通过不同的技巧简化计算:提取公因数、拆分整数、调整运算顺序、裂项拆分并抵消中间项。关键在于识别题目特点，灵活运用数学规则。 13． 30厘米 【分析】本题可先根据圆柱体积公式求出水面上升部分的体积，该体积就是圆锥形铁块的体积，再根据圆锥体积公式求出圆锥的高。 水面上升部分的形状为圆柱体，根据圆柱体积公式V＝S×h＝（其中V为体积，S为底面积，h为高，r为底面半径，取3.14），已知圆柱形容器半径是10厘米，水面上升的高度是0.4厘米，则可以求出水面上升部分的体积；因为圆锥形铁块完全浸没在水中，所以水面上升部分的体积就是圆锥形铁块的体积，已知圆锥形铁块底面半径为2厘米，根据圆的面积公式S ＝（其中S为面积，r为半径，取3.14），可求出圆锥的底面积；根据圆锥体积公式V＝Sh（其中V为体积，S为底面积，h为高），可得圆锥的高。 【详解】水面上升部分的体积： 3.14××0.4 ＝3.14×100×0.4 ＝314×0.4 ＝125.6（立方厘米） 圆锥的底面积： 3.14× ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 圆锥的高： 3×125.6÷12.56 ＝376.8÷12.56 ＝30（厘米） 答：这个圆锥形铁块的高是30厘米。 【点睛】本道题的关键在于理解水面上升部分的体积就是圆锥形铁块的体积，掌握圆柱与圆锥的计算公式，方便计算。 14．15名 【分析】男生人数没变，将原来总人数看作单位“1”，男生人数占原来总人数的（1－），原来总人数×男生对应分率＝男生人数；再将现在总人数看作单位“1”，男生人数占现在总人数的（1－），男生人数÷对应分率＝现在总人数，现在总人数－原来总人数＝转来的女生人数。 【详解】360×（1－） ＝360× ＝150（名） 150÷（1－）－360 ＝150÷－360 ＝150×－360 ＝375－360 ＝15（名） 答：后来又转来了15名女生。 【点睛】关键是确定单位“1”，理解分数乘除法的意义。 15．(1)1；理由见详解 (2)1.6平方分米 【分析】（1）根据图示，3至5分钟时，水面高度不变，说明此时是往正方体容器中注水，这表示圆柱形开口杯的高度为1分米。 （2）已知正方体容器棱长为2分米，根据“正方体容积＝棱长×棱长×棱长”求出正方体容器的容积为2×2×2＝8立方分米；水面从1分米上升至2分米用时5分钟（10－5＝5分钟），这部分水的体积即为正方体容器的一半，8÷2＝4立方分米，注水速度为4÷5＝0.8立方分米。 当水完全注满圆柱形开口杯时，需要2分钟（5－3＝2分钟），所以圆柱形开口杯的容积为0.8×2＝1.6立方分米。 最后根据“圆柱体积＝底面积×高”，用圆柱形开口杯的容积除以高即可求出底面积。据此解答。 【详解】（1）圆柱形开口杯高1分米。 理由：往正方体容器中注水时，水面高度不变，一直保持1分米，这表示圆柱形开口杯的高度为1分米。 （2）2×2×2＝8（立方分米） 8÷2＝4（立方分米） 4÷（10－5） ＝4÷5 ＝0.8（立方分米） 0.8×（5－3） ＝0.8×2 ＝1.6（立方分米） 1.6÷1＝1.6（平方分米） 答：圆柱形开口杯的底面积是1.6平方分米。 【点睛】本题主要通过注水速度乘注水时间求出圆柱形开口杯的容积，再根据圆柱容积公式用容积除以高求出圆柱形开口杯的底面积。 16．28千米 【分析】4.8千米的道路因暴雨受损，走这段路时速度只有原来的，那么走这段路需要的时间与原来需要的时间比就是4∶3，则实际走这段路需要的时间比原来多用了份时间，是12分钟，即小时；求出1份时间占原来需要时间（3份）的几分之几，根据分数除法意义列式为÷求出原计划走这段路需要的时间；根据速度＝路程÷时间，用4.8千米除以原计划走这段路的时间即可求出邮递员原计划的速度；根据路程＝速度×时间列式计算即可解答。 【详解】12分钟＝小时 行4.8千米的道路，原计划需要的时间：（小时） 原计划的速度：（千米/时） 物流中心到仓库的路程：8×3.5＝28（千米） 答：物流中心到仓库的路程是是28千米。 【点睛】关键是理解速度、时间、路程之间的关系，理解分数除法的意义。 17．（1）92.4平方分米 （2）0.00785立方米 （3）①6.3牛；画图见详解 ②15千克 【分析】（1）根据圆柱的侧面积公式为 S＝πdh，连筒外直径12厘米，长度2.5米，换算成统一单位名称，代入公式计算出连筒的侧面积。 （2）根据圆柱的体积公式 V＝πr2h，连筒内直径10厘米，长度2.5米，换算成统一单位名称，代入公式计算出连筒的容积，再乘即可。 （3）①根据图象分析，物体质量与所需要的拉力成正比例关系，根据正比例关系列式求解即可，画图见详解。 ②根据物体质量与所需要的拉力成正比例关系，列出正比例式子，计算出用342牛推力的物体质量，再减去木箱的质量，就是快递箱的质量。 【详解】（1）2.5米＝25分米   12厘米＝1.2分米 3.14×1.2×25＝94.2（平方分米） 答：这个连筒的侧面积是94.2平方分米。 （2）10厘米＝0.1米 ＝3.14×0.052×（2.5×） ＝3.14×0.0025×1 ＝0.00785（立方米） 答：此时水的体积是0.00785立方米 （3）①解：设所需的力是x牛。 700∶x＝200∶1.8 200x＝700×1.8 200x＝1260 200x÷200＝1260÷200 x＝6.3 （题中所用数据不唯一） 答：如果拉动一块底面相同、质量为700克的木块，所需的力是6.3牛。 ②解：设把一个质量为x千克的箱子从斜面匀速推上货车需要用342牛的力。 342∶x＝228∶30 228x＝342×30 228x＝10260 228x÷228＝10260÷228 x＝45 45－30＝15（千克） 答：这个快递箱的质量是15千克。 【点睛】本题考查了圆柱的侧面积与体积，准确找到对应的数据，注意单位名称的转化；两种相关联的量， 比值一定成正比例，辨识出物体质量与所需推力比值不变是解题关键。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $