精品解析：北京市第十四中学2025-2026学年第二学期期中检测高一数学测试卷

北京十四中2025-2026学年度第二学期 期中检测 高一数学测试卷 2026.05 出题人：高一备课组 审核人：高一备课组 注意事项 1.本试卷共6页，共21道小题，满分150分.考试时间120分钟. 2.在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号. 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5.答题不得使用任何涂改工具. 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分. 1. 已知角的终边经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的定义求解. 【详解】解：因为角的终边经过点， 所以， 故选：D 2. 下列各式的值等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用二倍角公式、同角三角函数的基本关系、特殊角的三角函数值判断即可. 【详解】对于A,,故A错误； 对于B,由特殊角的三角函数值可知,故B错误; 对于C,由同角三角函数的基本关系可知,故C错误； 对于D,,故D正确. 故选：D. 3. 设的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则等于（ ） A. 30° B. 60° C. 60°或120° D. 30°或150° 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理结合特殊角三角函数值即可求得的值，可求. 【详解】由正弦定理可得，又，，， 所以，所以，又，可得， 则，故. 故选：A. 4. 已知平面向量与的夹角为，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 . 故选：B 5. 下列函数中，最小正周期为且是奇函数的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，利用三角函数的奇偶性和周期性，逐项判断即可. 【详解】对于A，最小正周期为，不满足最小正周期为，故A错； 对于B，最小正周期为，但，所以是偶函数，非奇函数，故B错误； 对于C，最小正周期为，不满足周期，故C错误； 对于D，定义域为R，最小正周期为，满足最小正周期为， 又，是奇函数，故D正确． 故选：D. 6. 在中，角A，B，C的对边分别为，若，则的形状为 A. 正三角形 B. 等腰三角形或直角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目分别为角A，B，C的对边，且可知，利用边化角的方法，将式子化为，利用三角形的性质将化为，化简得，推出，从而得出的形状为直角三角形． 【详解】由题意知， 由正弦定理得 又 展开得， 又角A，B，C是三角形的内角 又 综上所述，的形状为直角三角形，故答案选C． 【点睛】本题主要考查了解三角形的相关问题，主要根据正余弦定理，利用边化角或角化边，若转化成角时，要注意的应用． 7. 将函数的图象向左平移个单位得到的图象，则“”是“是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先根据平移规则得到的解析式，再分别验证充分性和必要性即可判断逻辑关系. 【详解】根据三角函数图象平移“左加右减”的规则，将函数的图象向左平移个单位后，可得：. 充分性：当时，，对于任意，都有，故是奇函数，充分性成立. 必要性：若是奇函数，则对于任意，恒成立，即，化简可得，即，解得，满足条件的不一定为，必要性不成立. 综上，“”是“是奇函数”的充分不必要条件. 8. 已知函数，下列结论中：①函数恒满足；②直线是函数图象的一条对称轴；③点是函数图象的一个对称中心；④该函数在区间上单调递减.所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分析函数的最小正周期、对称轴、对称中心，单调减区间，再分别验证即可得解. 【详解】对于①，函数的最小正周期为， 则函数恒满足，故①正确； 对于②，由 ， 则直线是函数图象的一条对称轴，故②正确； 对于③，由 ， 则点不是函数图象的一个对称中心，故③错误； 对于④，令，即， 当时，函数的单调减区间为，故④正确. 9. 蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度.蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示.设P为图中7个正六边形（边长为1）内部或边界上点，A，B为两个固定顶点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图建立平面直角坐标系，根据数量积的坐标运算，当点P与点E或点F重合时，可得最小值，当点P与点G或点H重合时，可得最大值. 【详解】如图建立平面直角坐标系，则， 设，则， 所以，由于， 所以当点P与点E或点F重合时，最小，最小值为， 当点P与点G或点H重合时，最大，最大值为， 所以. 故选：A. 10. 设函数在区间上是单调函数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由在上是单调函数得出，由分析出的值，进而求解即可． 【详解】因为在区间上是单调函数，且， 所以，解得， 又因为， 所以是的一条对称轴，是的一个对称中心， 若和是同一周期中相邻的对称轴和对称中心， 则，即，符合题意， 若和是同一周期不相邻的对称轴和对称中心， 则，即，不合题意， 又，所以. 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知扇形的圆心角为120°，扇形的面积为，则该扇形所在圆的半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】令扇形所在圆的半径为，根据扇形的面积公式有，即可求. 【详解】由题意，令扇形所在圆的半径为，则, ∴，故. 故答案为： 12. 已知是第四象限角，且，则____________，____________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】由是第四象限角，得. 由，得. 又，解得. 所以. 13. 如图，边长为2的正方形ABCD中，点满足，则_______；若点H是线段AP上的动点，则的取值范围是_________． 【答案】 ①. ②. [1，2] 【解析】 【分析】以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设，由可求出点坐标；点H是线段AP上的动点，设，由数量积的坐标运算结合的范围即可求出的取值范围. 【详解】以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，设， 所以， 由，可得：， 所以，所以，故， 点H是线段AP上的动点，所以， 则, ，， ，因为，， 所以.故的取值范围是[1，2]. 故答案为：；[1，2]. 14. 已知函数的部分图象如图所示，则________，若，则________． 【答案】 ①. ②. 0 【解析】 【分析】先求函数的解析式，再求出方程的解后可求的值. 【详解】由图可得函数半周期为，，故，故，故， 故， 又由图可得函数过点，故， 故，而，故， 故，令得， 当时，，故或， 故或即，， 故， 故答案为：. 15. 已知函数（其中）．给出下列四个结论： ①若，则是函数的一个零点； ②若，函数的最小值是； ③若，函数图象关于直线对称； ④若，函数图象可由图象向右平移个单位长度得到．其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】当，得，从而可对①②判断；当，，从而可对③判断；由图象向左平移可对④判断； 【详解】对①②：当，， 因为，所以当时，，故②正确； 当时，，故①正确； 对③④：当，， 当，，故③正确； 将图象向左平移得，故④错误. 故答案为：①②③. 三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知向量. （1）求； （2）求向量的夹角的余弦值； （3）若与垂直，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3）24 【解析】 【小问1详解】 因为，所以. 【小问2详解】 . 【小问3详解】 ，. 因为与垂直，所以 ，得出. 17. 在中，，，． （1）求的面积； （2）求及的值． 【答案】（1）22 （2）， 【解析】 【分析】（1）由平方关系先算出，然后直接由三角形面积公式即可求解. （2）先由余弦定理算出，然后由正弦定理即可求解. 【小问1详解】 因为在中，，， 结合平方关系，可知， 从而由三角形面积公式，可知的面积为. 【小问2详解】 因为在中，，，， 所以由余弦定理有， 又，所以解得， 由（1）可知， 所以由正弦定理有，即， 解得. 18. 在平面直角坐标系中，锐角，均以为始边，终边分别与单位圆交于点，，已知点的纵坐标为，点的横坐标为． （1）求和的值； （2）求的值； （3）将点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）10 （3） 【解析】 【分析】（1）根据单位圆中正弦和余弦的定义，同角三角函数的平方关系，两角差的正切公式及二倍角公式即可求解； （2）根据诱导公式化简得齐次式，再根据同角三角函数的商数关系及即可求解； （3）根据两角和的正弦余弦公式即可求解． 【小问1详解】 由锐角，，得点，都在第一象限，而点的纵坐标为，点的横坐标为， 所以， 则点的横坐标为，点的纵坐标为， 因此； ， ． 【小问2详解】 由（1）知，． 【小问3详解】 依题意，点在角的终边上，且，由（1）知， 则点的横坐标为， 点的纵坐标为， 所以点的坐标为． 19. 设函数. （1）求的最小正周期，单调增区间，对称中心； （2）当时，求函数的最大值和最小值； （3）若函数在上有两个零点，请直接写出的取值范围. 【答案】（1）；单调递增区间为；对称中心为 （2）最小值；最大值. （3） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式和二倍角公式化简，再利用周期公式求周期，令求单调增区间，令求对称中心； （2）求的取值范围，再结合正弦函数图象可求其值域； （3）求的取值范围，再结合正弦函数图象可求其零点. 【小问1详解】 ， 则最小正周期， 令，得， 则的单调递增区间为， 令，得， 则的对称中心为. 【小问2详解】 ，则，则， 则， 故当，即时，取最小值； 当，即时，取最大值. 【小问3详解】 函数在上有两个零点，则在上有两个根， 又，则， 结合正弦函数图象可得，，得， 则取值范围为 20. 在条件①：对任意的，都有；条件②：最小正周期为；条件③：在上为增函数，这三个条件中选择两个，补充在下面的题目中，并解答.已知，若____________，则唯一确定. （1）求的解析式； （2）设函数，对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）考查正弦函数的性质，选择不同的条件会得到对称性，周期性和单调性的条件，利用性质求解； （2）由化简出 ，求出，将分离得到，只需求在的最大值即可. 【小问1详解】 选择②③： 由函数最小正周期为，可得，可得，即， 又由，可得， 因为函数在为单调递增函数，则满足 ， 解得 ，结合， 所以，所以； 若选择①②： 由函数最小正周期为，可得，可得，即， 又由对任意的，都有，可得关于对称， 所以 ，即 ， 因为，可得或，由于不唯一，所以不能选①② 若选择①③： 由对任意的，都有，可得关于对称. 所以 ，即 ， 又由函数在为单调增函数，可得，解得， 又由，可得， 因为函数在为增函数，则满足 ， 解得 ，所以，即，即 综上知，所以无法确定，则无法确定，所以不能选①③. 【小问2详解】 由 ， 因为，可得，所以，即， 又由对任意的，不等式 恒成立， 即不等式 恒成立，即恒成立， 令，即恒成立， 令，因为在上为单调递增函数， 则，所以， 即实数的取值范围为. 21. 对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量.特别地，称为零向量.设，，，定义加法和数乘：，.对一组向量，，…，，若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关.否则，称为线性无关. （1）对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由. ①，； ②，，. （2）已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由. （3）已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明： ①如果存在等式（，，2，3，…，m），则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零； ②如果两个等式，（，，，2，3，…，m）同时成立，其中，则. 【答案】（1）①线性相关，理由见解析；②线性相关，理由见解析 （2）线性无关，理由见解析 （3）①证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据向量线性相关的定义逐一判断即可； （2）设，则，然后由条件得到即可判断； （3）①如果某个，，然后证明，，…，，，…，都等于0即可；②由可得，然后代入根据题意证明即可. 【小问1详解】 对于①，设，则可得，所以，线性相关； 对于②，设，则可得， 所以，，所以，，线性相关； 【小问2详解】 设， 则， 因为向量，，线性无关，所以，解得， 所以向量，，线性无关. 【小问3详解】 ①，如果某个，，2，…，m， 则， 因为其中任意个都线性无关，所以，，…，，，…，都等于0， 所以这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零， ②因为，所以，，…，全不为零， 所以由可得， 代入可得， 所以， 所以，…，，所以. 【点睛】关键点睛：本题以新定义为背景考查向量的运算，解题的关键是根据所给的线性相关的定义进行运算判断. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京十四中2025-2026学年度第二学期 期中检测 高一数学测试卷 2026.05 出题人：高一备课组 审核人：高一备课组 注意事项 1.本试卷共6页，共21道小题，满分150分.考试时间120分钟. 2.在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号. 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5.答题不得使用任何涂改工具. 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分. 1. 已知角的终边经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式的值等于的是（ ） A. B. C. D. 3. 设的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则等于（ ） A. 30° B. 60° C. 60°或120° D. 30°或150° 4. 已知平面向量与的夹角为，，，则（　　） A. B. C. D. 5. 下列函数中，最小正周期为且是奇函数的是（    ） A. B. C. D. 6. 在中，角A，B，C的对边分别为，若，则的形状为 A. 正三角形 B. 等腰三角形或直角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 7. 将函数的图象向左平移个单位得到的图象，则“”是“是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知函数，下列结论中：①函数恒满足；②直线是函数图象的一条对称轴；③点是函数图象的一个对称中心；④该函数在区间上单调递减.所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ①③④ 9. 蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度.蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示.设P为图中7个正六边形（边长为1）内部或边界上点，A，B为两个固定顶点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 设函数在区间上是单调函数，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知扇形的圆心角为120°，扇形的面积为，则该扇形所在圆的半径为________． 12. 已知是第四象限角，且，则____________，____________. 13. 如图，边长为2的正方形ABCD中，点满足，则_______；若点H是线段AP上的动点，则的取值范围是_________． 14. 已知函数的部分图象如图所示，则________，若，则________． 15. 已知函数（其中）．给出下列四个结论： ①若，则是函数的一个零点； ②若，函数的最小值是； ③若，函数图象关于直线对称； ④若，函数图象可由图象向右平移个单位长度得到．其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知向量. （1）求； （2）求向量的夹角的余弦值； （3）若与垂直，求实数的值. 17. 在中，，，． （1）求的面积； （2）求及的值． 18. 在平面直角坐标系中，锐角，均以为始边，终边分别与单位圆交于点，，已知点的纵坐标为，点的横坐标为． （1）求和的值； （2）求的值； （3）将点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标． 19. 设函数. （1）求的最小正周期，单调增区间，对称中心； （2）当时，求函数的最大值和最小值； （3）若函数在上有两个零点，请直接写出的取值范围. 20. 在条件①：对任意的，都有；条件②：最小正周期为；条件③：在上为增函数，这三个条件中选择两个，补充在下面的题目中，并解答.已知，若____________，则唯一确定. （1）求的解析式； （2）设函数 ，对任意的，不等式 恒成立，求实数的取值范围. 21. 对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量.特别地，称为零向量.设，，，定义加法和数乘：，.对一组向量，，…，，若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关.否则，称为线性无关. （1）对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由. ①，； ②，，. （2）已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由. （3）已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明： ①如果存在等式（，，2，3，…，m），则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零； ②如果两个等式，（，，，2，3，…，m）同时成立，其中，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $