专题02 期末必刷填空题（高效培优期末专项训练）数学新教材沪教教版五四制七年级下册

专题02 期末必刷填空题 考点01 不等式的性质 考点02 不等式（组）的解集 考点03 相交线 考点04 平行线 考点05 三角形的有关概念及内角和 考点06 全等三角形 考点07等腰三角形 考点08线段垂直平分线 考点01 不等式的性质 1．（24-25七年级下·上海·期末）如果的解集为，则的取值范围是______． 2．（24-25七年级下·上海普陀·期末）用适当的不等号填空：如果，那么___________． 3．（24-25七年级下·上海金山·期末）用适当的不等式表示“大于”为________． 4．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如果，那么______．（填“”或“”或“”或“”） 5．（24-25七年级下·黑龙江七台河·期末）如果，那么______1．（填“”，“ ”，或“”）． 6．（24-25七年级下·吉林白山·期末）已知，则_____（填“”“”或“”）． 7．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）若，则________.（填“>”“<”“”或“”）． 8．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）已知，则____ ．（填“＞”“＜”或“＝”） 考点02 不等式（组）的解集 1．（24-25七年级下·上海松江·期末）不等式的解集是__________． 2．（24-25七年级下·上海·期末）根据要求写出不等式“的一半与的倍的和是非负数”：______． 3．（24-25七年级下·上海黄浦·期末）用不等式表示“7与y的积减16的差是负数”是___________． 4．（24-25七年级下·上海虹口·期末）解不等式得到的解集是______． 5．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）不等式的最大整数解是______． 6．（24-25七年级下·上海闵行·期末）如果分式的值为负数，那么x应满足的条件是_______． 7．（24-25七年级下·上海·期末）某关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，根据图示，该不等式组的解集为________． 8．（24-25七年级下·上海青浦·期末）已知，关于的不等式的解集是___________． 9．（24-25七年级下·上海松江·期中）已知关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值是________． 10．（24-25七年级下·上海·期末）关于的不等式组有个整数解，那么的取值范围是______． 11．（24-25七年级下·上海宝山·期末）等腰三角形的周长为30，则腰长x的取值范围是_______． 12．（24-25七年级下·上海青浦·期末）不等式组的整数解是___________． 考点03 相交线 1．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，直线相交于点O，平分，．如果，那么______． 2．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）如图，直线、相交于E，，垂足为E．当时，________． 3．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，直线与直线相交于点，，且平分，若，则的度数为___________度． 4．（24-25七年级下·山东聊城·期末）已知直线与相交于点平分，若，则__________．（用含的式子表示） 5．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）经常捕鱼的渔民都知道，在叉鱼的时候要对准眼睛看到的鱼的下方，因为光的折射导致人看到的鱼的位置比鱼的实际位置要高一点．如图，于点O，平分，，则的度数为______． 6．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）如图，，垂足为点，为过点的一条直线，则与的数量关系是____． 7．（24-25七年级下·上海·期末）如图，中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是_____． 8．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，，，，，分别是直线上的点，是直线外一点，连接，，，，，，则点到直线的距离是线段__________的长度． 9．（24-25七年级下·河南商丘·月考）如图，，，且，，，则点C到直线的距离是______． 考点04 与平行线 1．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知，，，那么__________． 2．（24-25七年级下·上海·期末）如图，将长方形纸条折叠，．按如图折叠，，则_____． 3．（24-25七年级下·上海·期末）如图，直线，将三角板的直角顶点放在直线上，如果，那么的度数是______． 4．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，，，用和表示，_______． 5．（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知，，，那么______． 6．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知，，与交于点，，那么的度数是___________． 7．（24-25七年级下·上海金山·期末）给定如图所示的图形（不再添线），点在的延长线上，请添加一个条件________作为已知条件，通过推理能得到（只需填写一个满足的条件）    8．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，下列结论：①与是内错角；②与是同位角；③与是同旁内角，其中正确的有________（只填序号）． 9．（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，直线，被直线所截，若，，，则_____度．    10．（24-25七年级下·上海长宁·期末）将两块直角三角板（即两个直角三角形，其中，，；的直角顶点按图1方式叠放在一起．绕着点顺时针旋转（），旋转的速度为每秒，当旋转时间为为___________秒，有一边与边平行． 11．（24-25七年级下·上海青浦·期末）将一副三角尺如图1所示摆放，分别在直线上，，直线．现将三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设时间为秒，当时，如果边与三角尺的一条直角边平行（旋转过程中三角尺任意两边所在的直线不重合），那么所有满足条件的的值为___________． 12．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为___________．    考点05 三角形的有关概念及内角和 1．（24-25七年级下·上海·期末）在中，已知，那么_______（大小比较）． 2．（24-25七年级下·上海长宁·期末）三角形的三边分别为5，，9，则a的取值范围是_______． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）已知a，b，c是的三边，其中，，且c为奇数，则c的值为________． 4．（18-19七年级下·江苏无锡·月考）已知a，b，c是三角形的三边，化简______． 5．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）设的三边分别为a，b，c，其中a，b满足，则最长边c的取值范围是_________． 6．（24-25七年级下·上海闵行·期末）定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为_______． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，是边的中点，是边的中点，阴影部分的面积为，则的面积是____________．    8．（24-25七年级下·上海·期末）如图，、是的中线，连接，的面积是10，则的面积是______． 9．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线， 连接，．若的面积是16，则阴影部分的面积是_____． 10．（24-25七年级下·重庆·月考）如图，在中，点在上，且，连接，为边上的中点，连接并延长交于点，为上一点，且，已知的面积为2，则的面积为_______． 考点06 全等三角形 1．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，，点、、的对应点分别是点、、，、、、四点在同一直线上，，，那么的长为__________． 2．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知与全等，那么__________． 3．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）已知的三边长互不相等，若以为两个顶点画不同位置的三角形（与原三角形不重合），使所画的三角形与全等，这样的三角形最多可以画___________个． 4．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如果，那么的推理依据是___________． 5．（24-25七年级下·上海松江·期末）在中，，，直线经过点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、．如果，，那么__________． 6．（24-25七年级下·上海宝山·期末）在中，，D为的中点．则边上的中线的取值范围是_______． 7．（24-25七年级下·上海金山·期末）如图，在中，点、分别在边、上，，．．若，则的周长为________． 8．（24-25七年级下·上海·期末）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则______． 9．（24-25七年级下·上海崇明·期末）已知：如图，、都是等边三角形，、相交于点，点、分别是线段、的中点．那么的度数为_________； 10．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，和是等边三角形且，则_______°． 11．（24-25七年级下·上海闵行·期末）如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是_______．（填简记） 12．（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知在中，，，，点D是边上的一点，，点E是边上一个动点，连接，以为一边在右侧作等边，连接，在点E运动过程中，线段的最小值为______． 13．（24-25七年级下·上海·期末）如图所示，线段，射线于点A，点C是射线上一动点，分别以为直角边作等腰直角三角形，得与中，连接交射线于点M，则的长为________． 14．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知点、、在外部，，，图中与线段一定相等的线段是___________． 考点07等腰三角形 1．（24-25七年级下·上海松江·期末）如果等腰三角形的两边长分别是和，那么它的周长是__________． 2．（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知一个等腰三角形的两边长分别为，，其中，满足，那么这个等腰三角形的周长是______． 3．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，在平面内将绕点A逆时针旋转至使．如果，那么旋转角___________度 4．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若，则线段的长为_____ ． 5．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，，点D在边上，，图中共有_______个等腰三角形． 6．（24-25七年级下·上海·期末）在中，，，于D，绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E落在上，则的度数是________． 7．（24-25七年级下·上海普陀·期末）在中，是边上一点，平分，在不添加字母和辅助线的情况下，如果添加一个条件能使为等边三角形，那么可以添加的条件是___________．（只需写出一个） 8．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，等边三角形的边长为6，、分别为、边上的点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则___________． 9．（24-25七年级下·上海青浦·期末）在中，，点是边上一点，且（如图）．将折叠，使点与点重合，折痕分别交边于点，点是线段上一点，连接，那么周长的最小值为___________． 10．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，在一个房间内，一把长米的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面夹角为，如果保持梯子底端位置不变，将梯子顶端靠在对面墙上（即变为），此时梯子与地面夹角为，那么D、E两点间的距离是______米． 考点08线段垂直平分线 1．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）如图，点为的外心，若，，则的大小为___________． 2．（24-25七年级下·上海普陀·期末）在中，边的垂直平分线相交于点，如果点在边上，那么___________°． 3．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知线段、的垂直平分线交于点，连接、、、，若，，那么的度数是________． 4．（24-25七年级下·上海黄浦·期末）如图，已知在等边中，，点D在边BC上，连接AD，线段AD的垂直平分线分别交边、于点E、F，如果的周长比的周长小，那么___________． 5．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，点O是各边垂直平分线的交点，连接．如果，那么______． 6．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）如图，已知在中，点E在边上，垂直平分，垂足为点F，如果，，那么________． 7．（24-25七年级下·上海·月考）如图，是中边的垂直平分线，已知与的周长分别为和，则的长为______． 8．（24-25七年级下·上海·期末）如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上的动点，M为线段上一动点，则最小值为______． 9．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）如图，在中，，，，的垂直平分线交边于点，交边于点，则的周长为___________（用、表示）． 10．（24-25七年级下·上海·一模）如图，在中，是的垂直平分线，，，则的长是________． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 期末必刷填空题 考点01 不等式的性质 考点02 不等式（组）的解集 考点03 相交线 考点04 平行线 考点05 三角形的有关概念及内角和 考点06 全等三角形 考点07等腰三角形 考点08线段垂直平分线 考点01 不等式的性质 1．（24-25七年级下·上海·期末）如果的解集为，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据不等式的运算法则运算求解即可． 【详解】解：∵的解集为， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·上海普陀·期末）用适当的不等号填空：如果，那么___________． 【答案】 【分析】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是正确解答的前提． 根据不等式的性质可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·上海金山·期末）用适当的不等式表示“大于”为________． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，解题关键是掌握不等式的定义．根据题意用“”，列出不等式即可． 【详解】解：不等式表示“大于”为： 故答案为：． 4．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如果，那么______．（填“”或“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质． 根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·黑龙江七台河·期末）如果，那么______1．（填“”，“ ”，或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变是解答此题的关键．直接根据不等式的基本性质即可得出结论． 【详解】解：， ，即． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·吉林白山·期末）已知，则_____（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了不等式性质的应用，注意：①不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变，②不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．直接根据不等式的性质得出答案即可． 【详解】解：， ∴， ． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）若，则________.（填“>”“<”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式两边同时乘以一个相同的负数，不等号开口方向改变进行求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）已知，则____ ．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】 【分析】本题考查不等式的性质．利用不等式的性质即可求得答案． 【详解】解：已知， 两边同乘，得， 故答案为：． 考点02 不等式（组）的解集 1．（24-25七年级下·上海松江·期末）不等式的解集是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的求解步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）以及不等式的基本性质是解题的关键．本题可通过对不等式进行移项、系数化为1等操作来求解．具体思路为：先将不等式中的常数项移到一边，含未知数的项留在另一边，然后将未知数的系数化为1，从而得到不等式的解集． 【详解】解： ， 解得：， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·上海·期末）根据要求写出不等式“的一半与的倍的和是非负数”：______． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的列法，熟悉掌握不等式的列式方法是解题的关键． 根据题意列出式子即可． 【详解】解：由题意可得：； 故答案为：． 3．（24-25七年级下·上海黄浦·期末）用不等式表示“7与y的积减16的差是负数”是___________． 【答案】7 【分析】本题主要考查列不等式，根据用字母表示数或数量关系及书写规则即可求解． 【详解】解：∵7与y的积表示为， ∴根据题意得，， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·上海虹口·期末）解不等式得到的解集是______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤解答即可求解，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）不等式的最大整数解是______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求不等式的整数解，熟练掌握不等式的解法是解题的关键．按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴不等式的最大整数解是2． 故答案为：2． 6．（24-25七年级下·上海闵行·期末）如果分式的值为负数，那么x应满足的条件是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据分式值的情况求参数，解一元一次不等式，根据题意可得，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵分式的值为负数， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·上海·期末）某关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，根据图示，该不等式组的解集为________． 【答案】 【分析】本题考查的是利用数轴表示不等式组的解集，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 根据数轴表示的不等式组的解集，即可得到答案． 【详解】解：关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示， 该不等式组的解集为， 故答案为： 8．（24-25七年级下·上海青浦·期末）已知，关于的不等式的解集是___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的解法，要注意系数化为1时，因为，所以不等式的方向要改变．把系数化为1，即可求出答案． 【详解】解：， ∵， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·上海松江·期中）已知关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式、由数轴得出不等式的解集，解题的关键是得出不等式的解集后和数轴上的解结合得出关于m的方程． 由不等式和数轴可以得出该不等式的解集，由此可知此时得到的两个式子是一样的，进而可以得到关于m的方程，解此方程即可得出结论． 【详解】解：由数轴可得不等式的解集为， ∴解不等式得， ∴， 解得：， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·上海·期末）关于的不等式组有个整数解，那么的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据题意，得出关于的不等式，据此进行计算即可．本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，能根据题意得出关于的不等式是解题的关键． 【详解】解：解不等式得，， 解不等式得，， 因为此不等式组有个整数解， 所以， 解得． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·上海宝山·期末）等腰三角形的周长为30，则腰长x的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形性质，一元一次不等式组，三角形三边关系的应用等．根据题意用含的代数式表示底边长，继而利用三角形三边关系列出一元一次不等式即可得到本题答案． 【详解】解：∵等腰三角形周长为30，腰长为x， ∴底边为：， 由三角形的三边关系，得 ， 解得， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·上海青浦·期末）不等式组的整数解是___________． 【答案】 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出正整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的正整数解为， 故答案为：． 考点03 相交线 1．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，直线相交于点O，平分，．如果，那么______． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义，先由垂线的定义得到，则可求出的度数，再由角平分线的定义得到的度数，最后根据平角的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）如图，直线、相交于E，，垂足为E．当时，________． 【答案】/57度 【分析】根据垂直的定义求出，可得的度数，再根据对顶角相等即可得出答案． 本题考查了垂线，对顶角，熟练掌握垂直的定义，对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，直线与直线相交于点，，且平分，若，则的度数为___________度． 【答案】50 【分析】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，几何图形中角度的计算．设，根据题意得出，根据角平分线的定义，对顶角相等，得出，根据平角的定义列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵，平分， 则， ∴ 即 解得：， 故答案为：50． 4．（24-25七年级下·山东聊城·期末）已知直线与相交于点平分，若，则__________．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线定义，几何图形中角的计算，先根据，得出，，再求出，然后根据角平分线定义得出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）经常捕鱼的渔民都知道，在叉鱼的时候要对准眼睛看到的鱼的下方，因为光的折射导致人看到的鱼的位置比鱼的实际位置要高一点．如图，于点O，平分，，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂线的定义，对顶角，角的和差，根据垂线的定义得到，再根据角平分线的定义求出，由对顶角相等得到，用即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）如图，，垂足为点，为过点的一条直线，则与的数量关系是____． 【答案】互余或 【分析】本题考查了余角和垂线的定义以及对顶角相等的性质，数形结合分析是解题关键． 根据图形可看出，的对顶角与互余，那么与就互余． 【详解】解：， ， ， ， ， 与互余． 故答案为：互余或． 7．（2020九年级·全国·专题练习）如图，中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短及三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．根据当时，的值最小，利用面积法求解即可． 【详解】解：，，，， 当时，的值最小， 此时：的面积， ， ． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，，，，，分别是直线上的点，是直线外一点，连接，，，，，，则点到直线的距离是线段__________的长度． 【答案】/ 【分析】本题考查了点到直线的距离；理解点到直线的距离为“点到直线垂线段的长度”是解题的关键．由点到直线的距离定义，即可求解. 【详解】解：∵， ∴点到直线的距离是线段的长度． 故答案为： 9．（24-25七年级下·河南商丘·月考）如图，，，且，，，则点C到直线的距离是______． 【答案】5 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，熟知点到直线的距离的定义是解题的关键．根据点C到直线的距离即为的长求解即可． 【详解】解：∵，即， 又， ∴点C到直线的距离是5， 故答案为：5． 考点04 与平行线 1．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知，，，那么__________． 【答案】138 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的判定和性质，易得，则，得到，再根据对顶角相等，得到结果． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·上海·期末）如图，将长方形纸条折叠，．按如图折叠，，则_____． 【答案】/115度 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质得到，由折叠的性质得到，即可通过平行线的性质求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·上海·期末）如图，直线，将三角板的直角顶点放在直线上，如果，那么的度数是______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，由，则，然后通过即可求解，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，，，用和表示，_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，作，，则，由平行线的性质可得，，，再结合几何图形分析即可得解，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，作，， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知，，，那么______． 【答案】/75度 【分析】本题考查平行线的性质，延长交于点，根据平行线的性质，得到，根据三角形的内角和为180度，进行求解即可． 【详解】解：延长交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴； 故答案为： 6．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知，，与交于点，，那么的度数是___________． 【答案】 【分析】本题目考查了平行线，解决的关键是熟练掌握平行线的性质． 根据，可得，再根据，可得到． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·上海金山·期末）给定如图所示的图形（不再添线），点在的延长线上，请添加一个条件________作为已知条件，通过推理能得到（只需填写一个满足的条件）    【答案】（或或或） 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理，结合图形，即可求解． 【详解】解：∵ ∴； ∵， ∴； ∵或 ∴； 故答案为：（或或或）． 8．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，下列结论：①与是内错角；②与是同位角；③与是同旁内角，其中正确的有________（只填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了内错角、同位角及同旁内角的判断，熟练掌握相关概念是解题关键． 根据内错角、同位角及同旁内角的性质逐一判断即可． 【详解】解：与是内错角，①正确； 与是同位角，②正确； 与是同旁内角，③正确； 故答案为：①②③． 9．（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，直线，被直线所截，若，，，则_____度．    【答案】 【分析】本题考查了对顶角相等，平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 由对顶角相等求得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，    故答案为：80． 10．（24-25七年级下·上海长宁·期末）将两块直角三角板（即两个直角三角形，其中，，；的直角顶点按图1方式叠放在一起．绕着点顺时针旋转（），旋转的速度为每秒，当旋转时间为为___________秒，有一边与边平行． 【答案】或或 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，几何中角度的计算，理解图形的性质，掌握平行性的性质是关键． 根据图形的旋转，平行线的性质，数形结合，分类讨论即可求解． 【详解】解：如图所示，， ∴， ∵绕着点顺时针旋转，旋转的速度为每秒， ∴从顺时针旋转的时间为； 如图所示，， ∴， ∴从顺时针旋转至图中所示位置的角度为， ∴所需时间为； 如图所示，，过点作， ∴， ∴， ∴， ∴从顺时针旋转至图中所示位置的角度为， ∴所需时间为； 如图所示，， ∴， ∴从顺时针旋转至图中所示位置的角度为，故此种情况不符合题意，舍去； 如图所示，，设交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴绕点顺时针旋转至图中所示位置，旋转的角度为，故此种情况不符合题意，舍去； 综上所述，当或或时，有一边与边平行， 故答案为：或或 ． 11．（24-25七年级下·上海青浦·期末）将一副三角尺如图1所示摆放，分别在直线上，，直线．现将三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设时间为秒，当时，如果边与三角尺的一条直角边平行（旋转过程中三角尺任意两边所在的直线不重合），那么所有满足条件的的值为___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，先根据题意画出旋转后的图形，由已知条件，利用平行线的旋转，求出旋转角之间的关系，列出方程解答即可．解题关键是根据题意，画出旋转后的图形． 【详解】解：由题意得：，， （1）当时， 如图所示：延长交于点， ①在上方， ，，， ， ， ， ， ， 即， 解得：； ②在下方时，， ，，， ， ， ， ， ， 即， 解得：（舍去）； 如图：当时，延长交于点， ①在上方，度， ，， ， ， ， ， ， 即，解得：； ②在下方，度， ，，， ， ， ， ， ， 即，解得：（舍去）， 综上可知：所有满足条件的的值为：或， 故答案为：或． 12．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为___________．    【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律、角平分线定义、平行线性质，熟练掌握以上知识点是关键．过点作，利用平行线性质得到，进而得到，同理可得，…依此类推得到，即可解答． 【详解】解：如图，过点作，    ∵， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴同理可得， ∴， ∵， ∴， 同理，， …… 依此类推，． ∴的度数用表示为． 故答案为：． 考点05 三角形的有关概念及内角和 1．（24-25七年级下·上海·期末）在中，已知，那么_______（大小比较）． 【答案】 【分析】本题考查比较三角形的内角度数的大小关系，根据大边对大角，比较角度之间的关系即可． 【详解】解：∵分别为的对边，且， ∴； 故答案为：． 2．（24-25七年级下·上海长宁·期末）三角形的三边分别为5，，9，则a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 即． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）已知a，b，c是的三边，其中，，且c为奇数，则c的值为________． 【答案】5 【分析】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出c的取值范围，再结合c为奇数的条件，确定c的值． 【详解】解：由三角形三边关系，得， ∵，， ∴， ∵c为整数且为奇数， ∴． 故答案为：5． 4．（18-19七年级下·江苏无锡·月考）已知a，b，c是三角形的三边，化简______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系、化简绝对值和整式的加减，正确化简绝对值是解题的关键． 根据三角形三边关系得到，再化简绝对值，合并同类项即可求解． 【详解】∵，是一个三角形的三条边长， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）设的三边分别为a，b，c，其中a，b满足，则最长边c的取值范围是_________． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据三角形三边的关系进行求解即可． 本题主要考查了非负数的性质，三角形三边的关系，解二元一次方程组，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 【详解】解：∵，且，， ∴， 解得， ∴，即， ∴， 又∵c为最长边， ∴ 故答案为：． 6．（24-25七年级下·上海闵行·期末）定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为_______． 【答案】3 【分析】本题考查了新定义，掌握三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 先根据三角形三边关系求出，再根据“特征边”的定义分类讨论求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 若，则（舍）； 若，则， ∴边的长为3， 故答案为：3． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，是边的中点，是边的中点，阴影部分的面积为，则的面积是____________．    【答案】4 【分析】本题考查了三角形的面积与中线的关系，根据等底同高的两个三角形面积相等，依次计算即可，熟练掌握中线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴，，，， ， ∵， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·上海·期末）如图，、是的中线，连接，的面积是10，则的面积是______． 【答案】2.5 【分析】本题考查了三角形中位线定理，三角形的面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．根据是边上的中线，得到，根据是边上的中线，解答即可． 【详解】解：∵、是的中线，连接，的面积是10， ∴， ∴， 故答案为：2.5． 9．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线， 连接，．若的面积是16，则阴影部分的面积是_____． 【答案】6 【分析】本题考查三角形的面积，中线的性质．掌握“中线把一个三角形分成面积相等的两个三角形”是解题的关键．根据中线的性质计算即可． 【详解】解：∵是的边上的中线， ， ∵是的边上的中线， ， ， ∵是的边上的中线， ， ， ， 故答案为：6． 10．（24-25七年级下·重庆·月考）如图，在中，点在上，且，连接，为边上的中点，连接并延长交于点，为上一点，且，已知的面积为2，则的面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查三角形面积的关系，连接，如图所示，由，结合等高三角形的面积比与底边的比有关可得，设，则，得到，进而由、得到相应三角形的面积之比，最后由；；建立一元一次方程求解即可得到答案，数形结合，根据等高三角形的面积比等于底边的比，找准相关三角形的面积比是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： ， ， 和以为顶点向作高，是相等的， ， 设，则， ， 为边上的中点， ， 和以为顶点向作高，是相等的， ，则，且， 的面积为2， ， ， ， ， 和以为顶点向作高，是相等的， ，则， 和以为顶点向作高，是相等的， ，则， ；； 则， 解得， ， ， 故答案为：． 考点06 全等三角形 1．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，，点、、的对应点分别是点、、，、、、四点在同一直线上，，，那么的长为__________． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，再由求出，再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 2．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知与全等，那么__________． 【答案】72 【分析】本题考查全等三角形的性质，全等三角形的对应边所对的角是对应角，由此即可得到答案． 【详解】解：∵与全等，和是对应边， ∴， 故答案为：72． 3．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）已知的三边长互不相等，若以为两个顶点画不同位置的三角形（与原三角形不重合），使所画的三角形与全等，这样的三角形最多可以画___________个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了三角形全等的定义，根据题意画出图形，得出答案即可． 【详解】解：如图，可以画、、与全等，因此这样的三角形最多可以画3个． 故答案为：3． 4．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如果，那么的推理依据是___________． 【答案】三角形全等的传递性 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，根据三角形全等的传递性进行解答即可． 【详解】解：如果，那么的推理依据是三角形全等的传递性． 故答案为：三角形全等的传递性． 5．（24-25七年级下·上海松江·期末）在中，，，直线经过点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、．如果，，那么__________． 【答案】8或2 【分析】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，分两种情况讨论，一是点B、点C在直线l同侧，由于点D，于点E，得，而，，由，，推导出，可根据证明，则，，求得；二是点B、点C在直线l异侧，同理可证明，则，，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，点B、点C在直线l同侧， ∵于点D，于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； 如图2，点B、点C在直线l异侧， ∵于点D，于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 综上所述，的长为8或2． 故答案为：8或2． 6．（24-25七年级下·上海宝山·期末）在中，，D为的中点．则边上的中线的取值范围是_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，主要考查学生的推理能力．延长到，使，连接，证明，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出结果即可． 【详解】解：延长到，使，连接， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·上海金山·期末）如图，在中，点、分别在边、上，，．．若，则的周长为________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得，，进而求得，根据三角形的周长公式，即可求解． 【详解】解：∵，，． ∴，， ∴， ∴的周长为 故答案为：． 8．（24-25七年级下·上海·期末）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则______． 【答案】/105度 【分析】利用“边角边”证明，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质． 【详解】解：个边长相等的正方形的组合图形，如图， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·上海崇明·期末）已知：如图，、都是等边三角形，、相交于点，点、分别是线段、的中点．那么的度数为_________； 【答案】/60度 【分析】由等边三角形的性质得出，，，证明，求出，进一步求得的度数． 【详解】解：∵、都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴ ， ∴， 即的度数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 10．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，和是等边三角形且，则_______°． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等边三角形的性质的应用，能求出是解此题的关键，难度适中．根据等边三角形性质得出求出，证，根据全等三角形的性质得出，求出，根据三角形内角和定理求出即可 【详解】解：和都是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴， ． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·上海闵行·期末）如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是_______．（填简记） 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，尺规作图—作三角形，根据作图方法可得，，，据此根据全等三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：由作图方法可得，，， ∴， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知在中，，，，点D是边上的一点，，点E是边上一个动点，连接，以为一边在右侧作等边，连接，在点E运动过程中，线段的最小值为______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以为边在上方作等边三角形，连接，过点M作于点P，于点N，证明，得出，说明当最小时，最小，根据垂线段最短，得出最小，即当点E与点N重合时，最小，即最小，求出最小值即可． 【详解】解：如图所示，以为边在上方作等边三角形，连接，过点M作于点P，于点N，如图所示： ∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当点E与点N重合时，最小，即最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 又∵， ∴（平行线间间距相等）， ∴的最小值为4， 故答案为：4. 13．（24-25七年级下·上海·期末）如图所示，线段，射线于点A，点C是射线上一动点，分别以为直角边作等腰直角三角形，得与中，连接交射线于点M，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形： 如图作于H，由得，再证明得，即可解决问题． 【详解】解：如图作于H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵和都是等腰三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知点、、在外部，，，图中与线段一定相等的线段是___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．证明，得出即可． 【详解】解：∵在和中 ， ∴， ∴． 故答案为：． 考点07等腰三角形 1．（24-25七年级下·上海松江·期末）如果等腰三角形的两边长分别是和，那么它的周长是__________． 【答案】/22厘米 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系．熟练掌握三角形的三边关系确定第三边的长是解题的关键． 分两种情况讨论：当腰长为或当腰长为，根据三角形三边关系进行判断能否组成三角形，再求解三角形周长． 【详解】解：当腰长为，则三边为， 此时，不能组成三角形，舍去； 当腰长为，则三边为， 此时，能组成三角形，符合题意， ∴它的周长是， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知一个等腰三角形的两边长分别为，，其中，满足，那么这个等腰三角形的周长是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形三边的关系，正确求出，的值是解题的关键． 先根据非负数的性质求出，的值，再根据三角形三边的关系结合等腰三角形的定义分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：， ， ，， ，， 分两种情况： 当等腰三角形的腰长为，底边长为时， 这个等腰三角形的周长； 当等腰三角形的腰长为，底边长为时， ， 不能组成三角形； 综上所述：这个等腰三角形的周长为； 故答案为：． 3．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，在平面内将绕点A逆时针旋转至使．如果，那么旋转角___________度 【答案】40 【分析】本题考查旋转的性质与等腰三角形的性质，解答本题的关键是掌握旋转前后对应线段相等、对应角相等． 根据旋转的性质可得出，然后根据，，可得出的度数，进而根据等腰三角形的性质可得出答案． 【详解】解：由题意得：， ∴是等腰三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴，即旋转角度为， ∴， 故答案为40． 4．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若，则线段的长为_____ ． 【答案】7 【分析】本题考查平行线的性质，等角对等边的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，根据角平分线的定义和平行线的性质可得，从而可得，进而得到． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 故答案为：7． 5．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，，点D在边上，，图中共有_______个等腰三角形． 【答案】3 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理应用，根据等腰三角形的判定方法，等角对等边，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴为等腰三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴、为等腰三角形， 综上分析可知：等腰三角形共3个． 故答案为：3． 6．（24-25七年级下·上海·期末）在中，，，于D，绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E落在上，则的度数是________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等；也考查了等腰三角形的性质． 连接，如图，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出，再根据旋转的性质得到，，则可判断为等边三角形，所以，然后计算即可． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴，即垂直平分， ∴， ∵绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E落在上， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·上海普陀·期末）在中，是边上一点，平分，在不添加字母和辅助线的情况下，如果添加一个条件能使为等边三角形，那么可以添加的条件是___________．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，等边三角形的判定．根据题意要证明垂直平分，推出，再根据等边三角形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：如图，添加时，为等边三角形， ∵在中，平分，， ∴是中边上的中线， ∴是中边上的高（三线合一）， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：（答案不唯一）． 8．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，等边三角形的边长为6，、分别为、边上的点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则___________． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质. 设交于，可得为等边三角形，，即得，，又由旋转得，，即可得到，得到为等边三角形，进而可得，即可得到． 【详解】解：设交于，如图所示： ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴为等边三角形，， ∴，， ∵绕点D逆时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·上海青浦·期末）在中，，点是边上一点，且（如图）．将折叠，使点与点重合，折痕分别交边于点，点是线段上一点，连接，那么周长的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，折叠的性质，垂直平分线的性质，先证明是等边三角形，根据垂直平分线的性质可得，在上时，取得最小值，进而根据三角形的周长公式计算即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴ ∵是折痕，点与点重合， ∴垂直平分， ∵点是线段上一点， ∴ ∴在上时，取得最小值， 即周长最小值为： 故答案为：． 10．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，在一个房间内，一把长米的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面夹角为，如果保持梯子底端位置不变，将梯子顶端靠在对面墙上（即变为），此时梯子与地面夹角为，那么D、E两点间的距离是______米． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，解题关键是通过角度计算和梯子长度不变，判定为等边三角形． 连接，先计算出，结合梯子长度不变得到，判定是等边三角形，再利用等边三角形三边相等的性质，得出米，从而求出、两点间距离． 【详解】解：连接， ∵，， ∵． ∵梯子长度不变， ∴米， ∴是等边三角形， ∴米． 故答案为． 考点08线段垂直平分线 1．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）如图，点为的外心，若，，则的大小为___________． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的定义和三角形的内角和，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 利用线段垂直平分线的性质可得，从而利用等腰三角形的性质可得，，，然后利用三角形的内角和定理进行计算即可解答． 【详解】∵点为的外心，，， ∴点P为三边垂直平分线的交点， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·上海普陀·期末）在中，边的垂直平分线相交于点，如果点在边上，那么___________°． 【答案】90 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理．由线段垂直平分线的性质，得到，，由等边对等角，得到，，再根据三角形内角和定理列式计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵边的垂直平分线相交于点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：90． 3．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知线段、的垂直平分线交于点，连接、、、，若，，那么的度数是________． 【答案】/42度 【分析】如图，连接，根据线段垂直平分线性质得出，即可得，三角形内角和定理得出，则，根据，求出，证明，即可求出． 【详解】解：如图，连接， ∵线段、的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】该题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，证明三角形全等是解题的关键． 4．（24-25七年级下·上海黄浦·期末）如图，已知在等边中，，点D在边BC上，连接AD，线段AD的垂直平分线分别交边、于点E、F，如果的周长比的周长小，那么___________． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据的周长比的周长小得出，再结合可求出． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵垂直平分， ∴． ∴ ． 则， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，点O是各边垂直平分线的交点，连接．如果，那么______． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，连接，由线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角可得，利用三角形内角和定理可得，则可求出，进而得到，即． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点O是各边垂直平分线的交点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为；． 6．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）如图，已知在中，点E在边上，垂直平分，垂足为点F，如果，，那么________． 【答案】4 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得，再由线段和差可得结论． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 7．（24-25七年级下·上海·月考）如图，是中边的垂直平分线，已知与的周长分别为和，则的长为______． 【答案】4 【分析】本题考查求线段长，涉及中垂线的性质、三角形周长等知识，根据中垂线性质得到，，结合三角形周长列式求解即可得到答案，根据周长得到线段之间的关系是解决问题的关键． 【详解】解：是中边的垂直平分线， ，， 与的周长分别为和， ；， ， ， 故答案为：4． 8．（24-25七年级下·上海·期末）如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上的动点，M为线段上一动点，则最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，垂线段最短，熟知线段垂直平分线的性质是解答此题的关键． 由线段垂直平分线的性质可得，则，当点A，点M，点D共线且时，有最小值，即有最小值为的长，由面积公式可求解． 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当点A，点M，点D共线且时，有最小值，即有最小值为的长， ∵， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）如图，在中，，，，的垂直平分线交边于点，交边于点，则的周长为___________（用、表示）． 【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质得到，则，进一步证明，得到，即可求出答案． 【详解】解：∵的垂直平分线交边于点，交边于点 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为 故答案为： 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是关键． 10．（24-25七年级下·上海·一模）如图，在中，是的垂直平分线，，，则的长是________． 【答案】4 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．由线段垂直平分线的性质可得，根据求出的长即可． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：4． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $