23.2 一次函数的图象和性质 第3课时 用待定系数法求一次函数解析式 课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件核心内容为用待定系数法求一次函数解析式，课堂导入通过对比正比例函数（一个待定系数需一个条件）与一次函数（两个待定系数需两个条件），搭建知识支架，引导学生从旧知过渡到新知，明确方法必要性。 其亮点在于融入模型观念与应用意识，通过海巡船航行、记者采访等实际情境例题，渗透“设列解写”四步骤，培养推理能力。当堂小练与中考对接分层设计，帮助学生用数学语言表达现实问题，教师可借助结构化内容提升教学效率。

第二十二章 一次函数 23.2 一次函数的图象和性质 第3课时 用待定系数法求一次函数解析式 目 录 1. 学习目标 4. 知识点 用待定系数法求一次函数解析式 5. 课堂小结 2. 知识回顾 6. 当堂小练 CONTENTS 8. 拓展与延伸 3. 新课导入 7. 对接中考 1. 会用待定系数法求一次函数的解析式，会求分段函数的解析式以及确定自变量的取值范围. 2. 能用一次函数解决简单的实际问题，发展模型观念和应用意识. 学习目标 知识回顾 一次函数图象的画法 一次函数的图象是一条直线，由于两点确定一条直线，画一次函数图象时我们只需描点(0，b)和点 或 (1，k+b)，连线即可. 一次函数的性质 1. 当k＞0时，直线y=kx＋b由左到右逐渐上升，y随x的增大而增大. ① b>0时，直线经过第一、二、三象限； ② b<0时，直线经过第一、三、四象限. 2. 当k＜0时，直线y=kx＋b由左到右逐渐下降，y随x的增大而减小. ① b>0时，直线经过第 一、二、四象限； ② b<0时，直线经过第二、三、四象限. 新课导入 思考1 确定正比例函数解析式 y=kx(k≠0)，需要求出几个值？需要知道几个条件？ 需要求出 k 的值，知道 1 个条件即可. 正比例函数解析式 y=kx(k≠0)中 x，y 分别代表自变量和函数值，只要求出 k 的值即可确定正比例函数解析式. 思考2 确定一次函数解析式 y=kx+b(k≠0)，需要求出几个值？需要知道几个条件？ 需要求出 k，b 的值，知道 2 个条件即可. 一次函数解析式y=kx+b（k≠0）中x，y分别代表自变量和函数值，只要求出k ，b的值即可确定一次函数解析式. 新课导入 那么该采取什么方法确定函数解析式呢？ 小结：在确定函数解析式的时候，需要求出几个系数的值，就需要知道几个条件. 新课讲解 知识点 用待定系数法求一次函数解析式 分析：求一次函数y=kx+b的解析式，关键是求出k，b的值.从已知条件可以列出关于k，b的二元一次方程组，进而求出k，b. 因为图象过(2，-4)与(-3，11)两点，所以这两点的坐标必满足解析式. 1. 已知一次函数的图象过点(2，-4)与(-3，11)，求这个一次函数的解析式. 例 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)， ∵ y=kx+b的图象过点过(2，-4)与(-3，11)， ∴ 解这个方程组，得 因此，这个一次函数的解析式为y=3x+2. 新课讲解 像这样，先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫作待定系数法. 待定系数法 函数解析式 y=kx+b 满足条件的两定点(x1，y1)与(x2，y2) 一次函数的图象直线 l 选取 解出 选取 画出 从数到形 从形到数 新课讲解 由于一次函数y=kx+b中有k和b两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k和b为未知数）. 在正比例函数y=kx中，只有一个待定系数k，只要知道除(0，0)外的一个条件即可求出k的值. 用待定系数法求一次函数解析式的步骤 ①设：设出一次函数的解析式y=kx+b(k≠0). ②列：将已知的两组x，y的对应值分别代入所设的解析式中，列出关于k，b的二元一次方程组. ③解：解所列的方程组，求出k，b的值. ④写：写出所求一次函数的解析式. 新课讲解 例 2. 在一条直线上依次有A，B，C三个海岛，某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛，执行海巡任务，最终到达C岛，设该海巡船行驶x(单位：h)后， 与B岛的距离为y(单位：km)，y与x之间的函数关系如图所示. (1) A，C两岛间的距离为_____km，a＝______； (2)求y与x的函数解析式，并解释图中点P的坐标所表示的实际意义； 85 1.7 解：当0≤x≤0.5时，设y与x之间的函数解析式为y＝kx＋b. 因为函数图象经过点(0，25)，(0.5，0)， 所以解得所以y＝－50x＋25. 当0.5<x ≤ 1.7 时，设y 与x 之间的函数解析式为y＝mx＋n. 因为函数图象经过点(0.5，0)，(1.7，60)， 所以解得所以y＝50x－25.综上，y＝ 点P的坐标所表示的实际意义为经过0.5 h 海巡船到达B岛. 新课讲解 例 2. 在一条直线上依次有A，B，C三个海岛，某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛，执行海巡任务，最终到达C岛，设该海巡船行驶x(单位：h)后， 与B岛的距离为y(单位：km)，y与x之间的函数关系如图所示. (1) A，C两岛间的距离为_____km，a＝______； (2)求y与x的函数解析式，并解释图中点P的坐标所表示的实际意义； 85 1.7 y＝ (3)在B岛有一不间断发射信号的信号发射台，发射的信号覆盖半径为15 km，求该海巡船能接收到该信号的时间有多长. 解：由－50x＋25＝15，解得x＝0.2； 由50x－25＝15，解得x＝0.8. 0.8－0.2＝0.6. 因此该海巡船能接收到该信号的时间为0.6 h. 新课讲解 练一练 1. 已知一次函数的图象经过两点(3，－3)，(，0)，求这个一次函数的解析式. 解：设这个一次函数的解析式为y＝kx＋b(k ≠ 0). 因为y＝kx＋b 的图象经过两点(3，－3)，(，0)， 所以 解得 因此这个一次函数的解析式为y＝－ x＋1. 设 列 解 写 新课讲解 练一练 2. 在平面直角坐标系内有三点A(－1，4)，B(－3，2)，C(0，6)． (1)求过其中两点的直线的函数解析式(选一种情形作答)； (2)判断A，B，C 三点是否在同一直线上，并说明理由． (2) A，B，C三点不在同一直线上．理由： 当x＝0时，y＝0＋5＝5≠6， 所以点C(0，6)不在直线AB上，即A，B，C三点不在同一直线上． 解：(1) (答案不唯一)设A(－1，4)，B(－3，2)两点所在直线的函数解析式为y＝kx＋b. 易得，解得 因此，直线AB的函数解析式为y＝x＋5. 新课讲解 3. 一位记者乘坐汽车赴360km外的乡村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公路.汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y(单位：km)与时间x(单位：h)之间的关系如图所示. (1)求汽车行驶的路程y关于时间x的函数解析式； 解：当0≤x≤2时，函数图象是经过原点和点A的直线的一部分， 设函数的解析式为y=k1x. 因为它的图象过点A(2，180)， 所以180=2k1，解得k1=90. 因此，当0≤x≤2时，函数的解析式为y=90x. 当x>2时，函数图象是经过A，B两点的直线的一部分， 设这个一次函数的解析式为y=k2x+b2，把点A，B的坐标分别代入y=k2x+b2， 得 解这个方程组，得 因此，当x>2时，函数的解析式为y=60x+60. 综上，当0≤x≤2时，y=90x；当x>2时，y=60x+60. 练一练 新课讲解 3. 一位记者乘坐汽车赴360km外的乡村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公路.汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y(单位：km)与时间x(单位：h)之间的关系如图所示. (1)求汽车行驶的路程y关于时间x的函数解析式； (2)记者出发后多长时间到达采访地？ 当0≤x≤2时，y=90x；当x>2时，y=60x+60. 练一练 解：由图象可知，当y=360时，x>2. 由360=60x+60，解得x=5. 因此，记者在出发5h后到达采访地. 由(2)的解答，你能进一步确定(1)中函数的自变量的取值范围吗？ 0≤x≤5 课堂小结 求一次函数解析式 待定系数法 先求出解析式，再利用一次函数的性质求解. ①设；②列；③解；④写 解决问题 当堂小练 1. 一个一次函数，当自变量x=1时，函数值y=5；当x=-1时，函数值y=1. 求这个一次函数的解析式. 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0). 因为当x=1时，y=5，当x=-1时，y=1， 所以 解得 所以这个一次函数的解析式为y=2x+3. 当堂小练 解：设直线l为y=kx+b， ∵l与直线y=-2x平行，∴k= -2. 又∵直线过点（0，2）， ∴2=-2×0+b， ∴b=2， ∴直线l的解析式为y=-2x+2. 2. 已知直线l与直线y=-2x平行，且与y轴交于点(0，2)，求直线l的解析式. 当堂小练 3. 已知一次函数的图象经过(3，5)和(4，9)两点. (1)求这个一次函数的解析式； (2)若点(a，2)在这个函数图象上，求a的值. 当堂小练 4. 一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的部分对应值如下表：   则该一次函数的解析式为(　　) A．y＝x＋1 B．y＝2x＋1 C．y＝3x＋1 D．y＝4x＋1 x … 0 1 2 … y … 1 2a 2a＋3 … C 当堂小练 5. 一次函数y＝kx＋b与正比例函数y＝kbx 在同一平面直角坐标系中的图象可能为(　　) A 当堂小练 6. 已知y－2 与x＋3 成正比例，且x＝－4 时，y＝0. (1)求y与x之间的函数解析式； (2)当－2＜y ≤ 6 时，求x的取值范围. 解：(1) 由题意设y－2＝k(x＋3)， 把x＝－4，y＝0代入得(－4＋3)k＝0－2，解得k＝2， 所以y－2＝2(x＋3)，即y＝2x＋8， 所以y与x之间的函数解析式为y＝2x＋8. (2) 当y＝－2时，2x＋8＝－2，解得x＝－5； 当y＝6时，2x＋8＝6，解得x＝－1， 因为k＝2>0，所以y随着x的增大而增大， 所以当－2<y≤6时，x的取值范围为－5<x≤－1. 当堂小练 7. 某水果店售卖甜瓜，购买甜瓜的付款金额y(单位：元)与购买量x(单位：kg)之间的函数关系如图所示. (1)求出付款金额y与购买量x之间的函数解析式； (2)当顾客付款金额为190 元时，求顾客购买了多少千克的甜瓜. 解：在y＝6x＋40中， 当y＝6x＋40＝190时， x＝25. 答：顾客购买了25 kg的甜瓜． 当堂小练 8. 已知一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)，自变量x的取值范围为－1≤x≤2，对应的函数值y的取值范围为－5≤y≤－2，则这个函数的解析式为___________________． y＝x－4或y＝－x－3 对接中考 1. 我国新能源汽车快速健康发展， 续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市. 他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是80 kW·h，行驶了240 km 后，从B市一高速公路出口驶出.已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量y(单位：kW·h)与行驶路程x(单位：km)之间的关系如图所示． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)已知这辆车的“满电量”为100 kW·h，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少. 对接中考 2. 区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20 km的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速 行驶h，再立即减速以另一速度匀速行驶(减速时间忽略不计)，当他到达该路段 终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行 驶的平均速度为100 km/h．汽车在区间测速路 段行驶的路程y(单位：km)与在此路段行驶的 时间x(单位：h)之间的函数图象如图所示． (1) a的值为_______； (2)当≤ x ≤ a 时，求y与x之间的函数解析式； 解：设当≤ x ≤ 时，y＝kx＋b(k ≠ 0). 由已知得解得 ∴ y与x之间的函数解析式为y＝90x＋2(≤ x ≤ ). 解：依据题意，得100a=20，解得a=. 对接中考 2. 区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20 km的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速 行驶h，再立即减速以另一速度匀速行驶(减速时间忽略不计)，当他到达该路段 终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行 驶的平均速度为100 km/h．汽车在区间测速路 段行驶的路程y(单位：km)与在此路段行驶的 时间x(单位：h)之间的函数图象如图所示． (2)当≤ x ≤ a 时，求y与x之间的函数解析式； y＝90x＋2(≤ x ≤ ). (3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速(此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120 km/h). 解：当x＝ 时，y＝90× ＋2＝9.5， 所以先匀速行驶h 的速度为 9.5÷ ＝114(km/h). 因为114<120，所以该辆汽车减速前没有超速. 拓展与延伸 一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离s (km)与骑行时间t (h)之间的函数关系如图所示，下列结论：①A，B两村相距6 km；②甲出发2 h后到达C村；③甲每小时比乙多骑行8 km；④相遇后，乙又骑行了30 min或55 min时两人相距4 km．其中正确的结论是(　　) A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④. 解：由题图可知A村、B村相距10 km，故①错误；当1.25 h时，甲、乙相距为0 km，故在此时相遇，说明甲的速度大于乙的速度，当2 h时，甲到达C村，故②正确； v甲×1.25－v乙×1.25＝10，解得v甲－v乙＝8，故甲的速度比乙的速度快8 km/h，故③正确； 拓展与延伸 一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离s (km)与骑行时间t (h)之间的函数关系如图所示，下列结论：①A，B两村相距6 km；②甲出发2 h后到达C村；③甲每小时比乙多骑行8 km；④相遇后，乙又骑行了30 min或55 min时两人相距4 km．其中正确的结论是(　　) A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④. 拓展与延伸 一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离s (km)与骑行时间t (h)之间的函数关系如图所示，下列结论：①A，B两村相距6 km；②甲出发2 h后到达C村；③甲每小时比乙多骑行8 km；④相遇后，乙又骑行了30 min或55 min时两人相距4 km．其中正确的结论是(　　) A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④. A 解：(1) 设这个一次函数的解析式为y＝kx＋b， 把(3，5)和(4，9)代入，得解得 所以这个一次函数的解析式为y＝4x－7. (2) 因为点(a，2)在这个函数图象上， 所以2＝4a－7， 所以a＝. 解：根据题意得解得 所以该一次函数的解析式为y＝3x＋1. 故选C. 解：当0≤x≤10时，设y＝kx(k≠0)， 把(10，100)代入y＝kx(k≠0)中得100＝10k， 解得k＝10，所以y＝10x； 当x>10时，设y＝k′x＋b(k′≠0)， 把(10，100)和(20，160)代入y＝k′x＋b 得解得所以y＝6x＋40. 综上所述，y＝ 解：当k＞0时，一次函数y＝kx＋b中，y随x的增大而增大， ∴易知一次函数图象过点(－1，－5)，(2，－2)． ∴解得 ∴一次函数的解析式为y＝x－4； 当k＜0时，一次函数y＝kx＋b中，y随x的增大而减小， ∴易知一次函数图象过点(－1，－2)，(2，－5)． ∴ 解得∴一次函数的解析式为y＝－x－3. 综上，一次函数的解析式为y＝x－4或y＝－x－3. 解：(1)设y与x之间的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)， 由函数图象经过点(0，80)，(150，50)， 可得解得 因此，y与x之间的函数解析式为y＝－x＋80. 解：(2)令x＝240，则y＝32， 故×100%＝32%. 因此，该车的剩余电量占“满电量”的32%. 当1.25≤t≤2时，函数图象经过点(1.25，0)，(2，6)． 设一次函数的解析式为s＝kt＋b， ∴解得 ∴s＝8t－10.当s＝4时，4＝8t－10， 解得t＝1.75.1.75－1.25＝0.5(h)＝30 min. 同理当2≤t≤2.5时，设函数解析式为s＝k1t＋b1. 将点(2，6)，(2.5，0)代入得解得 ∴s＝－12t＋30.当s＝4时，4＝－12t＋30，解得t＝， －1.25＝ (h)＝55 min. 故相遇后，乙又骑行了30 min或55 min时两人相距4 km，故④正确． $