命题大赛 安徽2025-2026学年高一数学下学期期末模拟测试（人教A版必修第二册）

**基本信息** 本卷为人教A版必修第二册期末模拟卷，以原创情境（如半球挖圆柱、5单位向量）和梯度问题设计，覆盖立体几何、统计概率、向量等核心知识，通过空间观念、数据意识与运算能力考查，适配高一学生数学思维发展需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5/77|立体几何（二面角、线面角）、统计（频率分布直方图）、解三角形（面积最值）|综合考查空间想象与逻辑推理，如四棱锥面面垂直证明结合线面角正弦值求解，体现数学思维的严谨性|

Sheet1 2025—2026学年高一下学期期末模拟卷数学双向细目表 题号 题型 分值 考查知识模块 核心知识点 难度系数 核心素养 1 单选 5 复数 复数四则运算 0.85 数学运算 2 单选 5 统计 百分位数计算 0.8 数据分析 3 单选 5 平面向量 向量平行坐标运算 0.8 数学运算 4 单选 5 立体几何 线面垂直、充分必要条件 0.75 直观想象、逻辑推理 5 单选 5 概率统计 随机事件、独立与对立事件 0.7 逻辑推理、数学运算 6 单选 5 立体几何 半球与内接圆柱、表面积 0.65 直观想象、数学运算 7 单选 5 解三角形 余弦定理、向量数量积范围 0.5 逻辑推理、数学运算 8 单选 5 立体几何 三棱锥外接球、表面积 0.45 直观想象、数学运算 9 多选 6 统计 平均数、中位数、标准差、百分位数 0.75 数据分析 10 多选 6 解三角形 向量线性运算、余弦定理、面积、外接圆 0.65 逻辑推理、数学运算 11 多选 6 立体几何 正三棱柱、共面、异面直线成角、外接球、线面平行轨迹 0.4 直观想象、逻辑推理、数学运算 12 填空 5 立体几何 圆锥体积、侧面积计算 0.8 数学运算 13 填空 5 解三角形 正弦定理、解三角形 0.6 数学运算 14 填空 5 平面向量 单位向量、垂直与平行、模长最值 0.4 逻辑推理、数学运算 15 解答 13 平面向量 向量垂直、投影向量 0.75 数学运算 16 解答 15 统计概率 频率分布直方图、分位数、古典概型 0.75 数据分析、数学运算 17 解答 15 立体几何 线面平行证明、二面角求解 0.7 直观想象、逻辑推理、数学运算 18 解答 17 解三角形 正弦定理、余弦定理、面积公式、最值 0.5 逻辑推理、数学运算 19 解答 17 立体几何 面面垂直证明、二面角、线面角最值 0.4 直观想象、逻辑推理、数学运算 平均值：0.64 Sheet2 Sheet3 $ 2025—2026学年高一下学期期末模拟卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效. 第I卷（选择题58分） 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【解析】D 由可知，则. 2. 某超市在周末下午高峰时段，记录了16位顾客的结账等待时间（单位：分钟）：3，4，5，5，6，7，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，则该组数据的第70百分位数为（ ） A. 11 B. 11.5 C. 12 D. 12.5 【解析】C 由题意知数据已按照从小到大顺序排列，因为， 所以第70百分位数为第12个数：12. 3. 已知向量，向量，则实数x等于 A. 9 B. 4 C. 0 D. 【解析】A ，又，故，所以. 4. 已知直线l垂直于平面，直线在平面内，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】B 易知当且时，若相交，则可知，则可得， 若不相交，则不能推出，所以不一定成立，因此充分性不成立； 当，由直线l垂直于平面可得，又直线在平面内， 所以可得且，即必要性成立， 因此“且”是“”的必要不充分条件. 5. 已知随机事件，表示事件的对立事件，，则下面结论正确的是（ ） A. 事件与一定是对立事件 B. C. D. 若事件A，B互相独立，则 【解析】D 对于A和B，假设从一个装有标号为1，2，3，4，5的5个小球的密封盒子中任取1球， 记事件：从中取出球的标号为1或2，事件：从中取出球的标号为1或2或3， 则，满足，但不是对立事件，故A错误； 由上例可知，故B错误； 对于C，只有事件A、B相互独立时,才有成立， 由题设不知道事件A、B的关系，故不能确定的值，故C错误； 对于D，若事件A、B相互独立，则事件A、也相互独立， 所以，故D正确. 6. （原创）如图，半球O的半径为，从中挖去一内接圆柱，圆柱一个底面在半球面上，且轴截面为正方形，则剩余的几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【解析】D 如图，作半球O的轴截面，记半球半径为R，圆柱半径为r 由题意，圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的高为2r，则有，故 所以剩余几何体的表面积为. 7. 已知的三个角的对边分别为，且是边上的动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】D 由余弦定理可知， 所以，即为直角三角形，. 设，则， 则， 显然时，. 8. 如图，在三棱锥中，平面平面，和都是等腰三角形，且，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【解析】D 如图，由题可知，外接圆的圆心O是的中点. 设三棱锥外接球的球心为，连接，则平面. 过A作，与的延长线交于点，则由平面平面，可得平面. 因为，，所以，. 取的中点E连接，，可得，， 则. 设，连接，，则，解得， 故三棱锥外接球的表面积为. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知两组样本数据和，，其中是的平均数， 不全相同，则这两组样本数据的（ ） A. 平均数一定相等 B. 中位数一定相等 C. 标准差一定不相等 D. 第百分位数可能相等 【解析】ACD 不妨设，则， 对于A：第二组数据的平均数为，故A正确； 对于B：第一组数据的中位数为，第二组数据为中间两数的平均值，不一定等于，故B错误； 对于C：记第一组数据的标准差为， 则第二组数据的标准差为，故C正确； 对于D：第一组数据第80百分位数为， 第二组数据第80百分位数为第5个数据，两者可能相等，故D正确． 10. 在中，，若点D满足：，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 的面积为3 D. 的外接圆半径为 【解析】ABD 因为，所以， 即，所以，故A正确； 因为，所以，因为， 所以解得， 在中，因为，由余弦定理得， ，即，故B正确； 又因，所以，即， 因此，故C错误； 因为，所以， 因此的外接圆半径为，故D正确． 11. 如图，在正三棱柱中，，E，F，G，H分别为的中点，动点N在四边形内及其边界上运动，则下列说法正确的是（ ） A. E，F，G，H四点共面 B. FH与BC所成角的余弦值为 C. 正三棱柱的外接球表面积为 D. 若平面，则动点N的轨迹长度为 【解析】ACD 连接，因为分别为的中点， 所以，从而，故四点共面，A正确； 连接，因为，则为与所成角， 在中， 由余弦定理可得，B错误； 在等边中，由正弦定理可得，的外接圆半径， 设正三棱柱的外接球半径为，且球心到平面的距离为1， 由勾股定理可知， 所以球的表面积为，C正确； 在正三棱柱中，取的中点，连接， 可知， 又平面平面平面平面， 所以平面平面， 又因为是平面内两条相交直线，因此平面平面， 当点N在四边形内及其边界上运动时，若平面， 则在平面内，从而动点N的轨迹为， 又因为，所以动点N的轨迹长度为，D正确． 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若圆锥的高为3，体积是，则它的侧面展开图的面积为_______． 【解析】设圆锥的高为，圆锥的底面圆的半径为，母线长为， 因圆锥的体积，解得， 则， 故圆锥的侧面展开图的面积为. 13. 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，则塔高=________． 【解析】中，，所以． 由正弦定理，，可得， 在直角中，因为，所以， 即塔高为. 14. （原创）已知平面内有5个互不相等的单位向量，，，，.若这5个向量中恰有1对向量互相平行，恰有3对向量互相垂直，则的最大值为________． 【解析】因为这5个单位向量互不相等，且恰有1对向量互相平行，所以这2个向量互为相反向量， 令，则，若，，中有2个或3个向量与垂直， 则这些向量也与垂直，所以这5个向量中，至少有4对向量互相垂直，不符合题意． 若，，均不与垂直，也不与垂直，则，，两两垂直，不符合平面向量的性质． 故，，中恰有1个向量同时与，垂直，令，， 则由题可知，从而，则 ， 当且仅当与同向时，等号成立，经检验，此时满足题设条件，故的最大值为． 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （13分） 已知向量，是互相垂直的单位向量，向量，. （1）若与垂直，求的值； （2）若，求向量在向量上的投影向量（用，表示）. 【解析】（1）由题意得，， 因为与垂直，所以， 所以，即，所以或...............................................6分 （2）当时，，又，所以， 所以在上的投影向量为.......................13分 16. （15分） 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，． （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计该企业的职工对该部门评分的分位数（保留一位小数）； （3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率． 【解析】（1）由题意：...................................3分 （2）因为评分在的频率为：， 评分在的频率为：. 所以评分的第分位数在， 由. 所以估计该企业的职工对该部门评分的分位数为：....................................7分 （3）受访职工中评分在的人数为：人，设为， 受访职工中评分在的人数为：人，设为， 从中任取两人的结果有：，，，，，，，，，，共10个，且每个结果出现的可能性相同. 2人评分都在的结果有：，，，共3个. 所以此2人评分都在的概率为：.........................................................15分 17. （15分） 如图，在正方体中，E，F分别为，的中点. （1）证明：平面. （2）求二面角的正弦值. 【解析】（1）证明：连接，与交于点O，可知O为的中点. 连接.因为E是的中点，所以. 又平面，平面，所以平面...........................5分 （2）不妨设正方体的棱长为2，则由E，F分别为，的中点，可得..................................................................................7分 连接，则，，所以即为二面角的大小. ，则. 连接，，则，.....................................10分 在中，，................13分 则二面角的正弦值为................................................15分 18. （17分） 的内角的对边分别为，若. （1）求； （2）若，的面积为. （i）求； （ii）边上一点，记面积为，面积为，当达到最小值时，求的长. 【解析】（1）由正弦定理以及可得，. 因为，所以. 又，所以.............................................................................................3分 （2）（i）由已知可得，，所以. 由余弦定理可知，， 所以，...................................................................................................................7分 （ii）设，，则. 所以，则，所以. 同理可得，..................................................................................10分 所以. 当且仅当，即，时取等号........................................................13分 所以，. 又在中，有， 在中，有， 所以，.......................................................................................................17分 19. （17分） 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点为中点. （1）求证：平面平面； （2）试作出二面角，并求二面角的正切值； （3）点为对角线上的点，且，垂足为，求与平面所成的最大角的正弦值. 【解析】（1），， 则， ； 又，，、平面， 平面，平面， 平面平面；......................................................................................4分 （2）侧棱，点为中点， ， 又， 为正三角形，取中点，则，， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 过点作交延长线于点，连接，. 平面，所以， 又，，、平面， 所以平面，又平面，， 根据定义，即为二面角平面角..............................................8分 ， .........................................................................................10分 （3）作平面， 则，为在平面内的射影，所以点，，共线， 再在平面作交于点， 又，，、平面， 平面，......................................................................................................13分 设线交线于点，则， 又，，、平面， 平面，平面，得， ，， 又因为， 所以与平面所成的最大角的正弦值为，.........................................16分 当点为线与交点时取到最大角..............................................................17分 ( 第 1 页 共 15 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年高一下学期期末模拟卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效. 3.命题范围：人教A版必修第二册全册. 第I卷（选择题58分） 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2. 某超市在周末下午高峰时段，记录了16位顾客的结账等待时间（单位：分钟）：3，4，5，5，6，7，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，则该组数据的第70百分位数为（ ） A. 11 B. 11.5 C. 12 D. 12.5 3. 已知向量，向量，则实数x等于 A. 9 B. 4 C. 0 D. 4. 已知直线l垂直于平面，直线在平面内，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知随机事件，表示事件的对立事件，，则下面结论正确的是（ ） A. 事件与一定是对立事件 B. C. D. 若事件A，B互相独立，则 6. （原创）如图，半球O的半径为，从中挖去一内接圆柱，圆柱一个底面在半球面上，且轴截面为正方形，则剩余的几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知的三个角的对边分别为，且是边上的动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在三棱锥中，平面平面，和都是等腰三角形，且，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知两组样本数据和，，其中是的平均数， 不全相同，则这两组样本数据的（ ） A. 平均数一定相等 B. 中位数一定相等 C. 标准差一定不相等 D. 第百分位数可能相等 10. 在中，，若点D满足：，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 的面积为3 D. 的外接圆半径为 11. 如图，在正三棱柱中，，E，F，G，H分别为的中点，动点N在四边形内及其边界上运动，则下列说法正确的是（ ） A. E，F，G，H四点共面 B. FH与BC所成角的余弦值为 C. 正三棱柱的外接球表面积为 D. 若平面，则动点N的轨迹长度为 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若圆锥的高为3，体积是，则它的侧面展开图的面积为_______． 13. 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，则塔高=________． 14. （原创）已知平面内有5个互不相等的单位向量，，，，.若这5个向量中恰有1对向量互相平行，恰有3对向量互相垂直，则的最大值为________． 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （13分） 已知向量，是互相垂直的单位向量，向量，. （1）若与垂直，求的值； （2）若，求向量在向量上的投影向量（用，表示）. 16. （15分） 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，． （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计该企业的职工对该部门评分的分位数（保留一位小数）； （3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率． 17. （15分） 如图，在正方体中，E，F分别为，的中点. （1）证明：平面. （2）求二面角的正弦值. 18. （17分） 的内角的对边分别为，若. （1）求； （2）若，的面积为. （i）求； （ii）边上一点，记面积为，面积为，当达到最小值时，求的长. 19. （17分） 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点为中点. （1）求证：平面平面； （2）试作出二面角，并求二面角的正切值； （3）点为对角线上的点，且，垂足为，求与平面所成的最大角的正弦值. ( 第 1 页 共 15 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $