考点15 二次根式的乘除（专项训练）数学新教材苏科版八年级下册

**基本信息** 以“法则-化简-应用”为主线，通过错误分析提炼解题技巧，构建二次根式乘除的完整方法体系，培养运算能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式乘除法|1-12题|强调被开方数非负性、符号处理及结果化简，纠正法则乱用与运算混乱|从乘除法则（概念）到混合运算（应用），层层递进| |最简二次根式|13-24题|明确“不含分母、不含开得尽方因式”双标准，解决误判与化简遗漏问题|定义（原理）→判断→化简→参数求解，逻辑严密| |拓展应用|25-36题|通过平方法、分子有理化比较大小，结合实际问题与新定义，提升推理与建模能力|从基础计算到综合应用，衔接中考高频考点|

考点15 二次根式的乘除 考点一：二次根式的乘除法 1.二次根式的乘法 乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 2.二次根式的除法 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 考点二：最简二次根式 1.最简二次根式 定义：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根数，叫做最简二次根式.例：都是最简二次根式. 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 题型一：二次根式的乘法 乱用乘法法则，忽略被开方数非负；相乘后不及时化简，系数与根式运算混乱，符号处理不当，结果未化为最简二次根式。 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)8 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据二次根式的乘法法则，（，）计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 4．已知实数，则的整数部分为________． 【答案】 【分析】先根据二次根式的乘法进行计算得出，再估算的大小，即可求解． 【详解】解：， ∵ ∴， ∴， ∴的整数部分为． 题型二：二次根式的除法 忽视被开方数非负、分母不为零，乱用除法公式；不会正确分母有理化，约分出错，结果不化为最简，符号处理易失误。 5．计算：______． 【答案】 【详解】解：． 6．计算：_____________（其中)． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的除法运算，根据二次根式除法法则计算化简即可． 【详解】． 7．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的除法法则计算即可； （2）先将带分数化为假分数，再根据二次根式的除法法则计算即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 8．计算： (1)； (2)．（均大于0） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型三：二次根式的乘除混合运算 9．计算：． 【答案】 【分析】利用二次根式的乘除运算法则计算，再将结果化为最简二次根式即可． 【详解】解： ． 10．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先化为最简二次根式，再运算乘除法，即可作答． （2）先化为最简二次根式，再运算乘除法，即可作答． （3）先把带分数化为假分数，把除法化为乘法，最后运算乘法，即可作答． （4）先把除法化为乘法，化为最简二次根式，最后运算乘法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 11．化简： 【答案】 【详解】 解 ∵， ∴原式 12．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题各小题根据二次根式的乘法和除法运算法则进行解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 题型四：最简二次根式 忽略被开方数不含分母、不含能开尽方因数，常漏化简小数与分数根式，分不清内外因式，判定标准记不全易误判。 13．下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件：1 被开方数不含分母；2 被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐一分析选项即可． 【详解】A、没有能开得尽方的因数，是最简二次根式，故此选项符合题意； B、的被开方数含分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、被开方数含分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、被开方数含能开得尽方的因数25，不是最简二次根式，故此选项不符合题意． 14．在，，，，，中，最简二次根式的个数是（） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】先明确最简二次根式的判定条件，再逐个判断给出的式子，统计符合条件的个数即可，最简二次根式需满足两个条件：1被开方数不含分母；2被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：对于，被开方数不含分母，也没有能开得尽方的因式，满足条件，是最简二次根式； 对于，，含能开得尽方的因数，不满足条件，不是最简二次根式； 对于，，含能开得尽方的因式，不满足条件，不是最简二次根式； 对于，的被开方数，含能开得尽方的因数，不满足条件，不是最简二次根式； 对于，，含能开得尽方的因数，不满足条件，不是最简二次根式； 对于，被开方数含分母，不满足条件，不是最简二次根式； 综上，最简二次根式只有1个． 15．校园艺术节上，同学们制作的手工作品需要用二次根式表示边长，下列式子中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断选项即可． 【详解】解：、的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，是最简二次根式，符合题意； 、的被开方数是小数，可化为分数，被开方数含分母，因此不是最简二次根式，不符合题意； 、中9是能开得尽方的正整数，因此不是最简二次根式，不符合题意； 、，含能开得尽方的因数，因此不是最简二次根式，不符合题意． 16．下列各式：①，②，③，④，⑤中，最简二次根式有____________个． 【答案】2 【分析】根据最简二次根式的定义，即被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各二次根式是否符合条件即可． 【详解】①：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数，为最简二次根式； ②，不是最简二次根式； ③，不是最简二次根式； ④，不是最简二次根式； ⑤：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因式，故为最简二次根式． 综上，最简二次根式有个． 题型五：化为最简二次根式 17．化简______； 【答案】 【详解】解：． 18．化简：__________． 【答案】 【分析】利用二次根式的除法法则计算后，将结果化为最简二次根式即可． 【详解】解：． 19．化简二次根式______． 【答案】 【分析】先得出，然后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴, ∴， ∴． 20．化简下列二次根式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据二次根式的性质和乘除运算法则，化简计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 题型六：已知最简二次根式求参数 21．若为正整数，并且使得是一个最简二次根式，则的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的被开方数不含能开得尽方的因数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； B．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； C．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； D．当时，，含有能开得尽方的因数，，不是最简二次根式，即的值不可能是． 22．若最简二次根式和能合并，则x的值为（    ） A．12 B．34 C．2 D．5 【答案】C 【分析】能合并的最简二次根式是同类二次根式，同类二次根式的被开方数相等，据此列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式和能合并 ∴二者是同类二次根式，被开方数相等 列方程得 移项得 化简得 解得 当时， 和是最简二次根式，符合题意． 23．若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解本题的关键 根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因式或因数，不含分母，进行求解即可． 【详解】解：， ，当时，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式， 故可取的最小整数为， 故选：D． 24．如果两个最简二次根式与的被开方数相同，那么_____________． 【答案】1 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，根据最简二次根式的被开方数相同列方程是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 解得， 故答案为：1． 题型七：二次根式的大小比较 盲目直接比根号外数字，平方时算错数值；负数比较混淆大小规律，作差作商忽略正负，方法乱用导致判断颠倒出错。 25．比较大小：______（填，或）． 【答案】 【分析】通过作差法，将两个数通分后比较分子的大小，从而判断两个数的大小关系． 【详解】解： ，， ， ， ， ， ． 26．比较大小：________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小比较，分母有理化，通过有理化分母，将 化简为 ，再比较与 的大小． 【详解】解： ． 由于 ，故 ， 因此 ． 故答案为 ：． 27．比较大小：__________．（填“﹥”“﹤”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化，实数的大小比较，把分母有理化后比较即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 28．【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方．，则． 请利用“平方法”解决下面问题： （1）比较大小，c______d（填写“>”“<”或“=”）． （2）猜想之间的大小，并说明理由． 【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如， 比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，．，． （3）根据材料，请选择合适的方法比较与的大小，写出具体比较过程． 【答案】（1）  （2）   （3） 【分析】本题考查了平方法、分母有理化、倒数比较实数的大小，解题的关键是求出． （1）模仿题干中的“平方法”比较大小即可； （2）模仿题干中的“平方法”比较大小即可； （3）可利用分子有理数比较大小即可． 【详解】解：（1）， ； （2）， ， ； （3），又 ， ． 题型八：用二次根式的乘除法解决实际问题 29．如图，有一棱长为3的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点到点拉一条捆绑线绳，使线绳经过、、、四个面，则所需捆绑线绳的长至少为（    ） A． B．15 C．9 D． 【答案】A 【分析】把此正方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点和点间的线段长，即可得到捆绑线绳的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于两个棱长，另一条直角边长等于个棱长，利用勾股定理可求得． 【详解】解：如图，将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段即为最短路线， 展开后由勾股定理得：， ∴，即有：（负值舍去）． 30．如图是某种螺丝钉的螺纹的示意图，图中的虚线均为水平线或铅垂线，图中已标注有关角度、水平线间或铅垂线间的距离，则该螺丝钉的螺纹深度与螺纹间距的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作，根据题意得出是等边三角形，求出螺纹间距，再求出螺纹深度，即可得解． 【详解】解：如图，作， 由题意可知，，， 是等边三角形， ，， ， 在中，， ， ，即螺纹间距为， 螺纹深度， 该螺丝钉的螺纹深度与螺纹间距的比是． 31．如图所示，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下的面积为______． 【答案】 【分析】根据已知部分面积求得相应正方形的边长，从而得到大正方形的边长，用大正方形的面积减去两个小正方形的面积即可得余下部分的面积． 【详解】解：由条件可知两个小正方形的边长分别为和， ∴大正方形的边长是， ∴大正方形的面积是， ∴余下的面积是． 32．为了改善市民的居住环境，两江新区力抓“宜居重庆”建设，修建了多个公园．如图，四边形是已建成的某个环湖公园的人行步道俯视图．经测量，点在点的正东方向，点在点的正北方向，米，点正好在点的东北方向，且在点的北偏东方向，米．（参考数据：，） (1)求步道的长度（结果保留根号）； (2)体育爱好者小王从跑到有两条路线，分别是与．其中和都是下坡，和都是上坡．若他下坡每米消耗热量千卡，上坡每米消耗热量千卡，问：他选择哪条路线消耗的热量更多？ 【答案】(1)米 (2)选这条路线时，消耗的热量更多 【分析】（1）过点C作，交的延长线于点E，过点B作于点F，求出，则可得到的长，进而求出的长，证明四边形是矩形，得到米；证明是等腰直角三角形，得到，据此利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再分别计算出两条路线消耗的热量，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作，交的延长线于点E，过点B作于点F， ∴， 由题意得，， ∴， ∴米， ∴米， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米； ∵点正好在点的东北方向， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴米， ∴米， 答：步道的长度为米； （2）解：在中，由勾股定理得米， ∴米， 这条路线消耗的热量为千卡， 这条路线消耗的热量为 千卡， ∵， ∴选这条路线时，消耗的热量更多． 题型九：二次根式乘除法中的新定义问题 33．定义：不大于数a的最大整数称为它的整数部分．设的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（   ） A．1 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】先根据无理数的估算得出，再根据定义得出，，最后再代入利用平方差公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴ 34．通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫可爱三角形． (1)根据“可爱三角形”的定义，请判断：等边三角形一定______（选填“是”或“不是”）可爱三角形； (2)若三角形的三边长分别是，，，请通过计算说明这个三角形是否为可爱三角形． 【答案】(1)是； (2)是可爱三角形． 【分析】本题考查了等边三角形的定义，二次根式的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题中所给的可爱三角形的定义、等边三角形的定义判断即可； （）根据可爱三角形的定义和二次根式的性质化简即可判断． 【详解】（1）解：设等边三角形的边长为， ∴， ∴等边三角形一定是可爱三角形， 故答案为：是； （2）解：∵，，， ∴， ∴这个三角形是可爱三角形． 35．如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．即：若，则．反之．如果一个数是的平方根，那么这个数的平方等于．即：若，则．例如： 根据平方根的定义可得：∵，∴． 根据平方根的定义可得：∵是的一个平方根，∴． 根据平方根的定义，利用上述符号及例子解决下列问题： (1)求下列各式中的值． ； ． (2)求证：． 证明：∵是的平方根， ∴． ∵（依据） ，（依据） ∴． 填写推理依据， 依据：__________________； 依据：__________________． 计算：． 【答案】(1)或或； (2)积的乘方；平方根的定义；． 【分析】（）把看成一个整体，然后利用平方根的定义即可求解； 先化简，把看成一个整体，然后利用平方根的定义即可求解； （）根据积的乘方和平方根的定义即可； 根据二次根式乘法法则进行即可计算． 【详解】（1）， ， 或； ， ， 或； （2）积的乘方；平方根的定义； 原式． 【点睛】此题考查了平方根和二次根式的乘法，解题的关键是正确理解平方根的定义和熟练掌握二次根式的乘法运算． 36．定义：若两个二次根式满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式． (1)若与是关于的共轭二次根式，则___________； (2)若与是关于4的共轭二次根式，求的值； (3)若与是关于24的共轭二次根式，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是新定义的含义，二次根式的乘法与除法运算； （1）由新定义可得，再计算即可； （2）由新定义可得，再计算即可； （3）由新定义可得，再进一步计算即可； 【详解】（1）解：， ∴； （2）解：， ； （3）解：与是关于24的共轭二次根式， ． ． 1．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）若，，则的值用a，b可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是关键．将化为分数形式，利用二次根式的性质进行化简，并结合给定的a和b表示即可． 【详解】解：，， ． 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏南通·开学考试）估算的运算结果应在（   ）之间． A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的除法运算、无理数的估算等知识点，熟练掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的除法运算法则计算，然后通过估算其取值范围即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴，即2和3之间． 故选B． 3．（24-25九年级下·重庆·期中）已知，则实数m的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘法、利用二次根式的性质进行化简、无理数的估算，由二次根式的乘法法则以及二次根式的性质计算得出，估算出得出，即可得解． 【详解】解：， ∵， ∴，即， ∴， ∴，即， 故选：B． 4．（23-24八年级下·广西钦州·月考）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式， 先求出的值，再根据x的取值范围开平方解答即可 【详解】解：， ， ， 故选：B 5．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）化简的结果为___________． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件判断的符号，再利用二次根式的性质将根号外的因式移入根号内，化简后得到结果． 【详解】解：由题意得， ， ∴，即， ∴ ． 6．（24-25九年级上·江苏南通·自主招生）若正实数满足，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的运算，灵活应用完全平方公式是解题的关键．结合已知利用完全平方公式进行变形求得，进而得到的值，然后再次利用完全平方公式进行变形，求得，即可得解． 【详解】解：，， ， ， 为正实数， ， ． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·广东梅州·月考）若实数，满足，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，代数式求值，二次根式的乘法，熟练掌握算术平方根和绝对值的非负性是解题的关键； 根据非负数的性质求出x，y的值，再计算的值，再计算乘积即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·河北邯郸·月考）【教材变式】已知为正整数，若是整数，则根据可知有最小值．设为正整数，若是大于1的整数，则的最小值与最大值的和是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，先将化简为，可得最小为3，由是大于1的整数可得越小，越小，则越大，当时，即可求解，解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解． 【详解】解：，且为整数， 最小为3， 是大于1的整数， 越小，越小，则越大， 当时，， ，即最大为75， 故的最小值与最大值的和是， 故答案为：． 9．（25-26八年级下·江苏·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先化为最简二次根式，再运算乘除法，即可作答． （2）先化为最简二次根式，再运算乘除法，即可作答． （3）先把带分数化为假分数，把除法化为乘法，最后运算乘法，即可作答． （4）先把除法化为乘法，化为最简二次根式，最后运算乘法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 10．（25-26八年级下·重庆·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】；原式 【详解】解： ， ， ， 当时，原式． 11．（2026八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)15 (3)1 (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算： （1）先化简二次根式，再根据二次根式的乘除计算法则求解即可； （2）先化简二次根式，再根据二次根式的乘除计算法则求解即可； （3）先将被开方数中带分数化为假分数，再根据二次根式的乘除法计算法则求解即可； （4）根据二次根式的乘除计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 12．（25-26八年级上·江苏·月考）两个根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式． 例如：与、与等都是互为有理化因式． 例如：；…… (1)请仿照上述过程，化去下式分母中的根号：（n为正整数）； (2)比较与的大小．（n为正整数） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化，熟知分母有理化的方法是解题的关键． （1）把所求分式的分子和分母同时乘以进行分母有理化即可； （2）把两个式子的倒数进行分母有理化，比较出两个式子的倒数的大小，由于两个式子都是正数，则可比较出这两个数的大小． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 13．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）阅读下列材料，然后解答下列问题： ； ； ； 以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)________； (2)（为正整数）________； (3)化简：________； (4)化简下列式子的值：． 【答案】(1) (2) (3)6 (4)4 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算： （1）利用分母有理化进行计算即可； （2）利用分母有理化，进行计算即可； （3）先进行分母有理化，再进行计算即可； （4）先进行分母有理化，再进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） ； （4） ． 14．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）我们知道形如的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数，如：这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题． (1)化简：________； (2)计算：； (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化和二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质以及平方差公式是解本题的关键． （1）根据题目所给例子进行分母有理数即可； （2）根据题目所给例子进行分母有理化即可； （3）根据题意找出相应规律，然后计算求解即可． 【详解】（1）解： 故答案为： （2） ； （3）∵， ， ∴ ∴原式 ． 15．（24-25八年级下·江苏盐城·月考）观察下列等式： ； ； ； 回答下列问题： (1)______； (2)______；为正整数 (3)利用上面所揭示的规律计算：． (4)拓展升华：若求的值 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了二次根式的化简求值，数字规律，完全平方公式变形求值； （1）各式分母有理化，计算即可求出值； （2）分母有理化，计算即可求出值； （3）根据规律化简原式各项后，计算即可求出值； （4）原式利用完全平方公式化简后，把x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）解： ； （4）解：， ， ∴，， 则． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点15 二次根式的乘除 考点一：二次根式的乘除法 1.二次根式的乘法 乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 2.二次根式的除法 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 考点二：最简二次根式 1.最简二次根式 定义：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根数，叫做最简二次根式.例：都是最简二次根式. 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 题型一：二次根式的乘法 乱用乘法法则，忽略被开方数非负；相乘后不及时化简，系数与根式运算混乱，符号处理不当，结果未化为最简二次根式。 1．计算： (1)； (2)． 2．计算： (1)； (2)． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．已知实数，则的整数部分为________． 题型二：二次根式的除法 忽视被开方数非负、分母不为零，乱用除法公式；不会正确分母有理化，约分出错，结果不化为最简，符号处理易失误。 5．计算：______． 6．计算：_____________（其中)． 7．计算： (1)； (2)． 8．计算： (1)； (2)．（均大于0） 题型三：二次根式的乘除混合运算 9．计算：． 10．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 11．化简： 12．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型四：最简二次根式 忽略被开方数不含分母、不含能开尽方因数，常漏化简小数与分数根式，分不清内外因式，判定标准记不全易误判。 13．下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 14．在，，，，，中，最简二次根式的个数是（） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 15．校园艺术节上，同学们制作的手工作品需要用二次根式表示边长，下列式子中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 16．下列各式：①，②，③，④，⑤中，最简二次根式有____________个． 题型五：化为最简二次根式 17．化简______； 18．化简：__________． 19．化简二次根式______． 20．化简下列二次根式： (1)． (2)． 题型六：已知最简二次根式求参数 21．若为正整数，并且使得是一个最简二次根式，则的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 22．若最简二次根式和能合并，则x的值为（    ） A．12 B．34 C．2 D．5 23．若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（    ） A．1 B．0 C． D． 24．如果两个最简二次根式与的被开方数相同，那么_____________． 题型七：二次根式的大小比较 盲目直接比根号外数字，平方时算错数值；负数比较混淆大小规律，作差作商忽略正负，方法乱用导致判断颠倒出错。 25．比较大小：______（填，或）． 26．比较大小：________（填“”、“”或“”）． 27．比较大小：__________．（填“﹥”“﹤”或“=”） 28．【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方．，则． 请利用“平方法”解决下面问题： （1）比较大小，c______d（填写“>”“<”或“=”）． （2）猜想之间的大小，并说明理由． 【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如， 比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，．，． （3）根据材料，请选择合适的方法比较与的大小，写出具体比较过程． 题型八：用二次根式的乘除法解决实际问题 29．如图，有一棱长为3的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点到点拉一条捆绑线绳，使线绳经过、、、四个面，则所需捆绑线绳的长至少为（    ） A． B．15 C．9 D． 30．如图是某种螺丝钉的螺纹的示意图，图中的虚线均为水平线或铅垂线，图中已标注有关角度、水平线间或铅垂线间的距离，则该螺丝钉的螺纹深度与螺纹间距的比是（   ） A． B． C． D． 31．如图所示，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下的面积为______． 32．为了改善市民的居住环境，两江新区力抓“宜居重庆”建设，修建了多个公园．如图，四边形是已建成的某个环湖公园的人行步道俯视图．经测量，点在点的正东方向，点在点的正北方向，米，点正好在点的东北方向，且在点的北偏东方向，米．（参考数据：，） (1)求步道的长度（结果保留根号）； (2)体育爱好者小王从跑到有两条路线，分别是与．其中和都是下坡，和都是上坡．若他下坡每米消耗热量千卡，上坡每米消耗热量千卡，问：他选择哪条路线消耗的热量更多？ 题型九：二次根式乘除法中的新定义问题 33．定义：不大于数a的最大整数称为它的整数部分．设的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（   ） A．1 B． C．6 D． 34．通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫可爱三角形． (1)根据“可爱三角形”的定义，请判断：等边三角形一定______（选填“是”或“不是”）可爱三角形； (2)若三角形的三边长分别是，，，请通过计算说明这个三角形是否为可爱三角形． 35．如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．即：若，则．反之．如果一个数是的平方根，那么这个数的平方等于．即：若，则．例如： 根据平方根的定义可得：∵，∴． 根据平方根的定义可得：∵是的一个平方根，∴． 根据平方根的定义，利用上述符号及例子解决下列问题： (1)求下列各式中的值． ； ． (2)求证：． 证明：∵是的平方根， ∴． ∵（依据） ，（依据） ∴． 填写推理依据， 依据：__________________； 依据：__________________． 计算：． 36．定义：若两个二次根式满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式． (1)若与是关于的共轭二次根式，则___________； (2)若与是关于4的共轭二次根式，求的值； (3)若与是关于24的共轭二次根式，求的值． 1．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）若，，则的值用a，b可以表示为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏南通·开学考试）估算的运算结果应在（   ）之间． A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 3．（24-25九年级下·重庆·期中）已知，则实数m的范围是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·广西钦州·月考）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）化简的结果为___________． 6．（24-25九年级上·江苏南通·自主招生）若正实数满足，则_____． 7．（25-26八年级上·广东梅州·月考）若实数，满足，则的值为_______． 8．（24-25八年级下·河北邯郸·月考）【教材变式】已知为正整数，若是整数，则根据可知有最小值．设为正整数，若是大于1的整数，则的最小值与最大值的和是___________． 9．（25-26八年级下·江苏·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 10．（25-26八年级下·重庆·期中）先化简，再求值：，其中． 11．（2026八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（25-26八年级上·江苏·月考）两个根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式． 例如：与、与等都是互为有理化因式． 例如：；…… (1)请仿照上述过程，化去下式分母中的根号：（n为正整数）； (2)比较与的大小．（n为正整数） 13．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）阅读下列材料，然后解答下列问题： ； ； ； 以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)________； (2)（为正整数）________； (3)化简：________； (4)化简下列式子的值：． 14．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）我们知道形如的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数，如：这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题． (1)化简：________； (2)计算：； (3)计算： 15．（24-25八年级下·江苏盐城·月考）观察下列等式： ； ； ； 回答下列问题： (1)______； (2)______；为正整数 (3)利用上面所揭示的规律计算：． (4)拓展升华：若求的值 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $