精品解析：四川内江市第六中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

内江六中2025-2026学年（下）高2027届期中考试 数学学科试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷选择题（满分58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 用2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数的个数是（ ） A. 5 B. 120 C. 625 D. 1024 2. 设是的导函数，已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 已知数列是各项均为正数的等比数列，是其前项和，且，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 4. 若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数（）有两个极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列的前3项分别为，这3项分别加上后构成等比数列的前3项，则的前5项和为（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 7. 已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 集合的整数元素的个数为，数列的前n项和为，满足，且都成立，下列选项正确的是（ ） A. 数列的通项公式为 B. C. 实数的取值范围是 D. 时，数列中的每一项都不能够被5整除 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知函数，则（ ） A. 关于点对称 B. 在区间上单调递减 C. 有3个零点 D. 在处的切线与只有一个交点 10. 已知数列满足，，则（ ） A. B. 数列为等比数列 C. 数列的前项和 D. 数列的通项公式为 11. 已知函数，则下列选项正确的有（ ） A. 函数有唯一零点 B. 若方程有两个实数解，则实数的取值范围为 C. 若对任意恒成立，则实数的取值范围为 D. 记，则 第Ⅱ卷非选择题（满分92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若函数，则的单调递减区间为________． 13. 已知等差数列，的前项和分别为，，若，则________. 14. 已知定义在上的函数，其导函数为，对，满足，，点，分别为曲线和直线上的动点，则的最小值等于________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）求在点处的切线方程． 16. 在数列中，，． （1）求； （2）设，求数列的前项和． 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求实数a的取值范围． 18. 已知数列中，． （1）证明：为等差数列，并求的通项公式； （2）记，数列的前项和为，求； （3）数列满足：，求的最大项． 19. 已知p、q为实数，设函数的最小值为，函数的最小值为，若且，则称函数和函数是T函数. （1）设函数的表达式为，函数的表达式为，请判断函数和函数是否为T函数，并说明理由； （2）设a、b为正实数，函数的表达式为，函数的表达式为()，若函数和函数不是T函数，求的最小值； （3）设k、t、a为实数，函数的表达式为()，函数的表达式为，若存在，对任意的，皆有成立，且函数和函数是T函数，求k的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江六中2025-2026学年（下）高2027届期中考试 数学学科试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷选择题（满分58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 用2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数的个数是（ ） A. 5 B. 120 C. 625 D. 1024 【答案】B 【解析】 【详解】用2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数的个数为. 2. 设是的导函数，已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】由已知， . 3. 已知数列是各项均为正数的等比数列，是其前项和，且，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式求出公比，即可得. 【详解】由题设，若数列的公比为，且， 由， 可得，则（负值舍）， 即数列为常数列， 则. 4. 若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象，直接写出的单调区间，进而得出在区间上的符号，即可求解. 【详解】由图知函数的减区间为，，增区间为， 和分别是的极小值点和极大值点， 所以当时，，当时，， 当和时，， 又由图知时，，时，， 又等价于，所以的解集为. 5. 已知函数（）有两个极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题设，因为（）有两个极值点， 所以在R上有两个不同的实根， 所以或， 即. 6. 已知等差数列的前3项分别为，这3项分别加上后构成等比数列的前3项，则的前5项和为（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，，化简得，. 此时，等比数列的前3项分别为. 等差数列的前3项分别为， 所以等差数列的首项为，公差为. 所以的前5项和为. 7. 已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对不等式进行变形为，进而把问题转化为函数在区间上单调增，再转化为在上成立的问题， 再通过分离参数，最后构造函数求解问题. 【详解】当时，不等式恒成立 可变形为, 设, 那么当时,有,即在区间上单调增， 在上成立，即, 设,那么, 令,得 , 令,得 , 令,得 , 所以，函数在处取得极小值，也就是最小值， ,,实数a的取值范围为. 【点睛】本题主要考查导数的应用，关键点在于：对不等式进行变形为,进而把问题转化为函数在区间上单调增是;最后，构造函数,通过导数来求极值与最值,属于较难题. 8. 集合的整数元素的个数为，数列的前n项和为，满足，且都成立，下列选项正确的是（ ） A. 数列的通项公式为 B. C. 实数的取值范围是 D. 时，数列中的每一项都不能够被5整除 【答案】D 【解析】 【分析】利用题意，可计算，判断B是错误的；再利用的关系，可求得，但要注意此时，再检验首项，可判断A是错误的；对于不等式，可利用化简变形，再分类讨论来分离参变量，最后求出范围，同样要注意首项另外计算，可判断C也是错误的；对于被5整除，只需要化简原式就可以判断，同时也要注意首项的判断，才能决定选项D是正确的． 【详解】， 所以，即B错误； 所以， 则， 两式相减得，所以 当时，，所以，不满足上式，所以A错误； 当时，， 由恒成立，则， 即，化简得， 当n为偶数时，，，因为，所以，所以， 当n为奇数时，，，因为，所以，所以， 但是当时，，而， 由得：，解得， 综上可得：，所以C错误； 当时，， 因为和都能被5整除，而一定不能被5整除，所以此时一定不能被5整除， 而当时，，不能被5整除，所以D正确. 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知函数，则（ ） A. 关于点对称 B. 在区间上单调递减 C. 有3个零点 D. 在处的切线与只有一个交点 【答案】BC 【解析】 【分析】计算判断A，利用导数的性质判断BC，求出在处的切线方程，然后求出切线与函数图象交点判断D. 【详解】对A，， 所以的图象不关于点对称，A错； 对B，， 或时，，所以函数在区间,上单调递增， 时，，所以函数在区间上单调递减，B正确； 对C，由选项B知是的极大值，是的极小值， 又，， 所以在上有一个零点，在上有一个零点，在上有一个零点，共有３个零点，C正确； 对D，是的极大值点，因此在处的切线是， 由，解得或， 因此直线与的图象有两个交点和，D错. 10. 已知数列满足，，则（ ） A. B. 数列为等比数列 C. 数列的前项和 D. 数列的通项公式为 【答案】ABC 【解析】 【详解】，，取倒数得，即。 选项A：，，正确； 选项B：，是首项为、公比为的等比数列，正确； 选项C：，，，正确； 选项D：，，原式错误. 11. 已知函数，则下列选项正确的有（ ） A. 函数有唯一零点 B. 若方程有两个实数解，则实数的取值范围为 C. 若对任意恒成立，则实数的取值范围为 D. 记，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】借助导数分析函数的单调性与极值，结合零点存在定理、分离参数，逐一判断选项即可. 【详解】对于A：函数的定义域为，又因为， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在取到最大值，且， 又因为当时，，当时，， 故有唯一零点，故A正确； 对于B：函数的定义域为，又因为， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在取到最大值，且， 又因为当时，，当时，， 所以若方程有两个实数解，则，故B错误； 对于C：若对任意恒成立，分情况讨论： 当时，左边，不等式成立； 当时，，不等式变形为， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取得最大值，最大值为，故； 当时，，不等式变形为， 令，求导同， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得最小值，最小值为，故， 综上，，故C正确； 对于D：因为， 令，所以在上恒成立，故， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以的最大值在或上取得，因为， 而，故，故D正确. 【点睛】以导数为工具，精准分析和的单调性、极值与最值，是解决本题的关键. 第Ⅱ卷非选择题（满分92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若函数，则的单调递减区间为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调递减区间即可. 【详解】函数，定义域为， 求导得， 令，则，解得， 又，则， 所以的单调递减区间为. 13. 已知等差数列，的前项和分别为，，若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知比例关系及等差数列前n项和公式对应函数，设，的表达式，再由求结果. 【详解】根据等差数列前n项和的函数性质，且， 可设，，且， 所以. 14. 已知定义在上的函数，其导函数为，对，满足，，点，分别为曲线和直线上的动点，则的最小值等于________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件及导数的运算法则得到，对其求导并研究导函数的性质求出对应自变量，从而确定切线，将问题化为求与的距离问题，即可得. 【详解】由题设，即，故且为常数， 而，则，故， 所以，令， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 且时恒成立，， 若是的一条切线，且，而， 所以切线对应为，即， 令，显然，， 所以，在R上恒成立，即在R上恒成立，则， 所以图象恒在和图象的上方，又与平行， 要使最小，等价于求与的最小距离，即为. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）求在点处的切线方程． 【答案】（1）极大值，无极小值； （2） 【解析】 【小问1详解】 ，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在时取到极大值，无极小值； 【小问2详解】 因，故，， 故切线方程为：，整理得：. 16. 在数列中，，． （1）求； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据已知的递推关系，用累加法求通项； （2）将第一问求出的通项代入表达式，化简后使用裂项相消求和. 【小问1详解】 因为，， 所以，，，， 所以， 又，所以， 当时也成立，所以． 【小问2详解】 因为， 所以． 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求实数a的取值范围． 【答案】（1）答案见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）将函数求导后，对和分成两种情况，讨论函数的单调性. （2）结合（1）的结论，首先分析当时不合题意，再通过分析时得到，再设新函数求导得其单调性即可解出不等式. 【小问1详解】 由题意可知：的定义域为，且， 当时，，可知在上单调递减； 当时，由得；由得； 可知在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）当时，在上单调递减，则其最多有一个零点，不合题意，舍去，则； 由（1）可知当时在单调递减，在单调递增. 当时，，当时，. 若有两个零点，只需， 设，，因为在上单调递增， 则在上单调递增，且，则当时，， 当时，. 综上所述，当时，有两个零点. 18. 已知数列中，． （1）证明：为等差数列，并求的通项公式； （2）记，数列的前项和为，求； （3）数列满足：，求的最大项． 【答案】（1）证明见解析， （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）通过对递推式两边同除以，构造出等差数列，进而求出数列的通项公式； （2）根据的奇偶性，对进行分组求和，得到统一的表达式； （3）先求出数列的通项，再构造辅助数列，通过函数单调性分析其最大项. 【小问1详解】 等式两边同除以，得， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．由上知，即得． 【小问2详解】 由（1）知，． 当为偶数时， 当为奇数时，． 综上，． 【小问3详解】 当时，；当时， 有，可得． 所以，．记，则． 令，则， 可得在区间上单调递增，则，即得，即． 所以当时，，即，可知数列从第4项开始每一项均小于1． 因为，所以数列的最大项是第三项， 其值为1，即得数列的最大项为1． 【点睛】本题以递推数列为载体，通过构造等差、分组求和、函数单调性分析，综合考查了数列通项、求和及最大项问题，体现了 “化归转化” 与 “函数思想” 在数列中的核心应用. 19. 已知p、q为实数，设函数的最小值为，函数的最小值为，若且，则称函数和函数是T函数. （1）设函数的表达式为，函数的表达式为，请判断函数和函数是否为T函数，并说明理由； （2）设a、b为正实数，函数的表达式为，函数的表达式为()，若函数和函数不是T函数，求的最小值； （3）设k、t、a为实数，函数的表达式为()，函数的表达式为，若存在，对任意的，皆有成立，且函数和函数是T函数，求k的取值范围. 【答案】（1）函数和函数为T函数，理由见解析； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据T函数的定义判断； （2）由T函数的定义求得，然后由基本不等式求得最小值； （3）先求得和的最小值和最小值点，根据题意得出，， 然后消去得关于的等式，构造函数使用同构法得出，，再利用导数求得的范围． 【小问1详解】 ，， ，， ，且， 所以函数和函数的最小值相等，且最小值点均不相同，因此它们为T函数； 【小问2详解】 ，， 因为， 所以，当且仅当，即时等号成立， 函数和函数不是T函数， 所以，即， 又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是； 【小问3详解】 是减函数，又，所以， ，， 是上的增函数， 依题意，存在，使得①且②， 由①得，代入②得， 整理得，即③， 设，则③式为， 易知是增函数，所以，，， 设， 则，时，，递增，时，，递减， 所以，又， 所以的取值范围是， 所以的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $