2026年中考数学二轮复习《二次函数综合压轴题》常考热点题型分类专题训练

**基本信息** 聚焦二次函数与几何图形综合，通过分类专题训练，系统提炼分类讨论、代数化建模等解题方法，发展几何直观与推理能力，构建“函数性质-几何判定-方程求解”的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等腰三角形综合|4题|分类讨论腰长、两点间距离公式|二次函数解析式→线段长度表示→等腰三角形性质应用| |直角三角形综合|4题|直角顶点分类、勾股定理/斜率关系|函数图像交点→坐标计算→直角三角形判定| |平行四边形综合|4题|对角线中点坐标公式、边/对角线分类|动点坐标→平行四边形性质→方程求解| |特殊平行四边形综合|8题|菱形四边相等、矩形直角性质、正方形旋转不变性|二次函数与特殊四边形性质结合→代数化建模|

2026年春九年级数学中考二轮复习《二次函数综合压轴题》 常考热点题型分类专题训练（附答案） 一、二次函数与等腰三角形综合 1．如图，已知抛物线经过两点，与轴交于点，连接，．是线段上一动点，过点作轴，交抛物线于点，交线段于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，求出点和点的坐标； (3)连接，当是等腰三角形时，直接写出点的坐标． 2．已知平面直角坐标系（如图所示），抛物线的顶点为，与轴交于点，直线． (1)求证：抛物线的顶点在直线上． (2)如果抛物线与直线除点外，同时还经过另一点，已知点，连接、交于点，连接． ①试说明：； ②当为等边三角形时，求的值及的正弦值． 3．综合与探究，如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知在轴上存在一点，使得的周长最小，则点的坐标为_______； (3)若点在直线上，直线将的面积分成两部分，求点坐标． (4)点在直线上，在抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标，不存在，请说明理由． 4．已知抛物线的图象经过点，与轴交于点，其对称轴为直线，过点作轴交抛物线于点，的角平分线交线段于点，点是抛物线上的一个动点，设其横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若动点在直线下方的抛物线上，连接、，当为何值时？四边形面积最大，并求出其最大值； (3)如图2，是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点使为以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 二、二次函数与直角三角形综合 5．如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)求线段的长； (2)若点是直线上方一点，当的面积最大时求点坐标，且面积的最大值是多少？ (3)若点是抛物线对称轴上一点，在点运动过程中使得是直角三角形，求点的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，直线经过点， (1)求，，三点的坐标及直线的函数解析式． (2)是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作 轴交直线于点，设点的横坐标为（），的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点为抛物线上的一个动点，连接、，若是以为直角边的直角三角形，求此时点的坐标； (3)在抛物线上有另一个动点，点在第四象限，当点到的距离最大时，求出此时点的坐标及这个最大距离． 8．如图，已知抛物线与轴交于A，B两点（点在点的右边），顶点为点．将抛物线绕点旋转后得抛物线，其中顶点的对应点为点，点的对应点为点． (1)当时，写出三点的坐标； (2)如图1，连接，当是直角三角形时，求的值； (3)在（1）的条件下，如图2，若动直线与抛物线交于M，N两点（直线与不重合），连接，，直线与交于点．当时，点的横坐标是否为定值，请说明理由． 三、二次函数与平行四边形综合 9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点、，点为抛物线上一动点，其横坐标为． (1)求该抛物线对应的函数解析式； (2)若此抛物线在点右侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为时，求的值； (3)已知点，点，以为邻边作．当抛物线在▱内部的图象的函数值随的增大而减小，且抛物线与的边交点的纵坐标之差为时，直接写出的值． 10．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点是轴右侧抛物线上一动点． (1)请直接写出点的坐标和直线的函数解析式； (2)若点是轴上一点，连接，当交于点，且时，求线段的长； (3)在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，其中点，点，点为抛物线上动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点在第二象限，连接．作于点，当时，求的面积； (3)如图2，取的中点，作直线，点为直线上一点，若点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点横坐标． 12．如图，已知抛物线与一直线相交于两点，与轴交于点．其顶点为． (1)求抛物线及直线的函数解析式； (2)若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，直接写出的面积的最大值及此时点P的坐标； (3)若抛物线的对称轴与直线相交于点，点为直线上的任意一点，过点作交抛物线于点，以点B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点的坐标；若不能，请说明理由． 四、二次函数与特殊的平行四边形综合 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，当时，求点的坐标； (3)将抛物线的对称轴沿轴向右平移个单位得直线，点为直线上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点P是直线上方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上找一点P，作，E为轴上一个动点，当为最大值时，求线段的最小值； (3)若点M为直线上一点，N为平面内一点，是否存在这样的点M和点N使得以C、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M坐标；若不存在，说明理由． 15．如图所示，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点． (1)求抛物线解析式； (2)设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值； (3)在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点．点是抛物线对称轴右侧抛物线上一个动点，且点不与点重合．过点作轴的平行线，与抛物线的另一交点为点，直线与轴交于点．设点的横坐标为，连接，与交于点，双曲线（是常数）的一个分支过点． (1)求的值． (2)求直线的函数解析式． (3)点与点关于点对称，连接，当时，求的值． (4)点在轴上，且纵坐标为，以点，，为顶点构造矩形．连接，当时，求的值． 17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)点P是直线上方的抛物线上一点，连接，求面积的最大值； (3)将抛物线向上平移3个单位得新抛物线，新抛物线中的部分记为“图形W”．在新抛物线对称轴上取两点和，其中，将线段绕点M顺时针旋转，点N的对应点为H，以为边构造正方形． ①直接写出点Q和点H的坐标（用含m的式子表示）； ②当矩形的四边与“图形W”有且只有一个公共点时，直接写出所有满足条件的m的取值范围． 18．如图，抛物线与x轴的负半轴交于点A，与x轴的正半轴交于点，与y轴交于点，抛物线的顶点为D．过点D向x轴作垂线，交x轴于点E，以和为邻边在第二象限内作矩形．动点M从点D出发，沿向点E运动，运动的速度为每秒1个单位长度．设点M的运动时间为t秒，过点M作，交于点G，过点G作于点H，交抛物线于点Q． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)当M为的中点时，求的长． (3)如图1，连接，，当的面积最大时，求t的值． (4)如图2，点M运动的同时，点P从点A出发沿向点F运动，运动的速度为每秒1个单位长度，K为矩形内一点，且点K在点G的正下方．当四边形为菱形时，求t的值． 19．如图，抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点，D是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式． (2)如图（1），连接，是的中点，过点作直线轴，垂足为，交抛物线于点，连接，求的面积． (3)连接，点为线段上一动点，点在轴上，在右侧作平行四边形． ①当点与点重合时，请在图（2）中画出线段，，若四边形为菱形，试判断点在抛物线的对称轴的左侧还是右侧，还是在抛物线的对称轴上，说明理由． ②如图（3），当点为的中点时，连接，，求周长的最小值． 20．已知，二次函数图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接． (1)如图1，请判断的形状，并说明理由； (2)如图2，点D为线段上一动点，作交抛物线于点P，过点P作轴，垂足为点E，交于点F，过点F作，交于点G，连接，，求阴影部分面积S的最大值和点D的坐标； (3)如图3，将抛物线沿射线的方向移动个单位得到新的抛物线：，是否在新抛物线对称轴上存在点M，在坐标平面内存在点N，使得以C， B， M， N为顶点的四边形是以为边的正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．（1）解：∵抛物线经过两点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：在中，当时，， ∴； 设直线的函数表达式为，则， ∴， ∴直线的函数表达式为， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）可知，直线的函数表达式为， 设，则， ∵， ∴， ， ， 当时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴点P的坐标为； 当时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 当时，则， ∴， 解得或（舍去） ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 2．(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②， 【分析】（）把函数解析式转化为顶点式，求出顶点的坐标，进而代入一次函数解析式即可求证； （）①求出点和点坐标，连接，可得，即得，进而即可求证；②由点和点坐标可得，进而由等边三角形和平行线的性质得到，，又由点、得，由锐角三角函数得，即得，得到，再分和两种情况，分别画出图形，根据正弦的定义解答即可求解； 本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的几何应用，锐角三角函数等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴顶点， 把代入直线，得， ∴抛物线的顶点在直线上； （2）①证明：令，得， 即， ∵， ∴， 解得，， ∴， 把代入，得， ∴， 连接，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即； ②∵，， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴， 当时，，， 如图，过点作的延长线于点，过点作的延长线于点，则， 则，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 当时，，， 如图，过点作的延长线于点，过点作的延长线于点，则， 同理可得； 综上，，． 3．(1) (2) (3)或 (4)存在，或或或 【分析】（1）由对称轴直线，以及A点坐标确定出b与c的值，即可求出抛物线解析式； （2）如图，作点关于轴的对称点为点，连接，交x轴于点D，则，，此时取得最小值，则此时的周长最小，再求出直线解析式，即可求解； （3）求出直线解析式为，设直线与交于点P，过P作轴，垂足为H，设与y轴交于点S，则，则，可得，然后根据直线将的面积分成两部分，可得或，即可求解； （4）分四种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵与轴交于点，对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵对称轴为直线，， ∴点横坐标为，横坐标为1． 把代入抛物线解析式得：， ∴，．    如图，作点关于轴的对称点为点，连接，交x轴于点D，则，， 此时取得最小值，则此时的周长最小， 设直线解析式为， 把坐标代入得：， 解得：， 即直线解析式为， 令，解得， 即点D的坐标为； 故答案为： （3）解：由（2）得：，， 设直线解析式为， ∴ 解得：， ∴直线解析式为， 设直线与交于点P，过P作轴，垂足为H，设与y轴交于点S，则，则， ∴， ∴．    ∵直线将的面积分成两部分， ∴或， ∴或， ∵， ∴或 ∴或， ∴点P的横坐标为或， 把代入得：， 此时； 把代入得：， 此时； 综上所述，点P的坐标为或； 故答案为：或 （4）解：存在， 设点Q的坐标为， 设交y轴于点K，则， 根据题意得：， 如图，过点M作于点N，则，此时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点， 把点代入得： ， 解得：（舍去）或0； 此时点Q的坐标为； 如图，过点Q作轴于点Q，过点M作于点G，过点A作于点E，此时，， 同理 ∴，， ∴， ∴点， 把点代入得： ， 解得：或（舍去）， ∴点； 如图，过点Q作轴于点Q，过点M作于点N，过点A作于点E，此时，， 同理 ∴，， ∴， ∴点， 把点代入得： ， 解得：（舍去）或； ∴点； 如图，过点Q作轴于点Q，过点M作于点N，过点A作于点E，此时，， 同理 ∴，， ∴， ∴点， 把点代入得： ， 解得：或0（舍去）； ∴点； 综上所述，点Q的坐标为或或或． 【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，二次函数性质，以及几何变换轴对称—最短距离，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来． 4．(1) (2)当时，有最大值是 (3)，，， 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的图象和性质，利用二次函数解决最值问题，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）利用点的坐标和对称轴求出的值即可； （2）作轴，交于点，根据角平分线的性质得出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，则，然后根据图形面积列出二次函数解析式，根据顶点式求出最值即可； （3）分两种情况进行讨论，根据一线三垂直的模型，证明三角形全等，得出相等边，根据坐标表示出线段的长度，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：将代入得， ， 由对称轴为直线得，， ∴， ∴， 解得， 则， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图2，作轴，交于点， 假设， ∵平分，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：, 则直线 的解析式为：， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴当时，有最大值是； （3）解：如图3，过点作轴，交轴于点，交对称轴于点， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 则， 解得或， ∴点的坐标为或； 如图4，过点作轴于点，过点作于点，连接， 同理得， ∴， 则， 解得或， ∴点的坐标为或； 综上所述，点的坐标为，，，． 5．(1) (2)点P的坐标为，面积的最大值为6 (3)或或或． 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数与坐标轴的交点坐标，两点距离计算公式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）求出点B和点C的坐标，得到的长，再利用勾股定理求解即可； （2）求出直线的解析式为；过点P作轴交于点E，连接，设，则，则，则可得到，据此可得答案； （3）求出对称轴，设出点Q的坐标，利用两点距离计算公式得到，再分C、B、Q分别为直角顶点，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，则， ∴； 当时，，解得或，则， ∴， ∵， ∴； （2）解：设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为； 如图所示，过点P作轴交于点E，连接， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当，即时，的面积有最大值，最大值为6， ∴， ∴此时点P的坐标为； （3）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 设， ∴，， 当点C为直角顶点时，则， ∴， 解得， ∴； 当点B为直角顶点时，则， ∴， 解得， ∴； 当点Q为直角顶点时，则， ∴， 解得 ∴或； 综上所述，点Q的坐标为或或或． 6．(1)，，，直线解析式为 (2) (3)存在，或或或． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及抛物线与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）令，求出值，令，求出的值，进而得到的坐标，待定系数法求出直线的解析式即可； （2）求出点坐标，根据两点间的距离求出的解析式，根据点在第二象限，写出m的取值范围即可； （3）分别以为直角顶点，为直角顶点和为直角顶点三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，，解得：， ∴， ∵直线经过点A，B ∴，解得：， ∴； （2）∵点P的横坐标为， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵P是第二象限内抛物线上的一个动点， ∴； ∴； （3）存在，设点， ∵， ∴， ∵， ∴； ①当点为直角顶点时：，解得：， ∴； ②当点为直角顶点时，，解得：， ∴； ③当点为直角顶点时：，解得：或， ∴或； 综上：或或或． 7．(1) (2)点的坐标为或 (3)点到的最大距离为，此时 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，表示出、、，再由勾股定理得出或，分情况计算即可得出答案； （3）如图，过Q作于H，轴交直线于N，先证明，可得，故当最大时，最大，设先求得直线的解析式为；设，则，，利用坐标与图形得到，利用二次函数的性质可求得时，有最大值，最大值为，进而可求解． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线，且抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：设， ∵对称轴为直线，且抛物线经过， ∴，又， ∴，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴或， ∴或， 解得：，或，， ∴（不符合题意，舍去），或（不符合题意，舍去），； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：如图，过Q作于H，轴交直线于N， ∵，， ∴，又， ∴，则， ∴，故当最大时，最大， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为； 设，则，， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴的最大值为，， 即点到的最大距离为，此时． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质，勾股定理、等腰直角三角形的性质、解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 8．(1)，，． (2)或 (3)点的横坐标是定值，且为，理由见详解 【分析】（1）当时，求出点，，顶点，由抛物线绕点A旋转后得抛物线求得点，即可作答； （2）分和两种情况求解a的值即可； （3）先得出抛物线的解析式为，设点的坐标为，点的坐标为．则求出的解析式为，结合得设的解析式为，整理得，得，即点的坐标可以表示为．整理得直线的解析式为：．直线的解析式为：．结合题意，得，进行整理得，即可作答． 【详解】（1）解：当时，抛物线：， 当时，， 解得，， ∴，， ∵， ∴顶点， ∵将抛物线绕点A旋转后得抛物线， ∴，，抛物线开口向下，形状不变， ∴，的二次项系数为， ∴点， ∴， ∴点， （2）解：对于抛物线：， 当时，，即， 解得，， ∴,,对称轴为直线， 由（1）可知，，点，， 如图1，作于点H， 当时， ∵将抛物线绕点A旋转后得抛物线， ∴， ∵， ∴，， ∴点， 把点代入得，， 解得； 当时， ∵A为的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴, ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴，   把代入得，， 解得； ∴a的值为或； （3）解：点的横坐标是定值，且为，理由如下： 由（1）得，抛物线的二次项系数为，点，点， ∴抛物线的解析式为， 设点的坐标为，点的坐标为． ∵，且与不重合， ∴且且． 设的解析式为 ∵点，点 ∴ 解得， ∴的解析式为， ∵， ∴设的解析式为， ∵抛物线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， ∴点的坐标可以表示为． ∴设直线的解析式为：， 由点，点， 得， 解得． ∴直线的解析式为：． 设直线的解析式为：， 由点，点， 得 解得 可得到直线的解析式为：． ∵直线的解析式为：． ∴ ∴． ∴ ∴． ∴点的横坐标为定值2． 9．(1) (2)1或 (3)m的值为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分和两种情况进行解答即可； （3）根据抛物线在内部的部分的函数值y随x的增大而减小，得到．分两种情况：①与抛物线相交，②与抛物线相交，根据抛物线与的边交点的纵坐标之差为列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点、， ∴， 解得：， ∴该抛物线对应的函数解析式为． （2）解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：（舍去），； 综上所述，m的值为1或． （3）解：∵抛物线在内部的部分的函数值y随x的增大而减小， ∴在对称轴的左侧，即， ∵， ∴， ①当与抛物线相交时，如图3， 则抛物线与交点的纵坐标为， ∵抛物线与的边交点的纵坐标之差为， ∴， 解得：； ②当与抛物线相交时， 设过点，点的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 解方程组得，， ∴抛物线与线段的交点为， ∵抛物线与的边交点的纵坐标之差为， ∴ 解得：（，不合题意，舍去）， （，不合题意，舍去）； 综上所述，m的值为． 10．(1)； (2)2 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）分别将、代入抛物线，求出点A、B、C的坐标，再利用待定系数法求出解析式即可； （2）连接，则，易证得、、是等腰直角三角形，进而得到点的纵坐标为，从而求出点的坐标，根据进行求解即可； （3）设点，点，分情况讨论：当为平行四边形的对角线或为平行四边形的对角线或为平行四边形的对角线时，根据两条对角线的中点坐标相同，列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得或， 点在点的左侧， 、， 当时，， ， 设直线的解析式为， 将、代入得：， 解得， 直线的解析式为； （2）解：如图，连接， 、， ， ， 是等腰直角三角形， ， 、， 是等腰三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， 点的纵坐标为， 令，， 解得或（舍去）， 、； （3）解：存在，点的坐标为或或，理由如下： 由（1）知、， 设点，点， 分情况讨论： ①当为对角线时，如图： 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得或(舍去)， ； ②当为对角线时，如图： 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得或（舍去）， ； ③当为对角线时，如图： 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得或(舍去)， ； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象性质、分类讨论和数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 11．(1) (2) (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可； （2）设点D的坐标为，过点D作轴于点M，则，证明，可得，从而得到，即可求解； （3）先求出直线的解析式为，设点，然后根据平行四边形，分三种情况讨论，即可． 【详解】（1）解：把点，点代入抛物线，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设点D的坐标为， 如图，过点D作轴于点M，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：（舍去）， ∴， ∴； （3）解：∵点为的中点， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点， 当为对角线时， ，解得：（舍去）或， 此时点D的横坐标为； 当为对角线时， ，解得：（舍去）或， 此时点D的横坐标为或； 当为对角线时， ，解得：（舍去）或， 此时点D的横坐标为； 综上所述，点D的横坐标为或或． 12．(1)抛物线的函数关系式为，直线AC的函数关系式为 (2)最大值为，此时点P的坐标为 (3)能，E的坐标为，或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴交于点，交轴于点，过点作轴于点，设，则，求出，根据得到，据此可得答案； （3）先求出点B和点D的坐标，根据，得到以点B，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，为该平行四边形的一组对边，则；设，则，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：将点代入得，， 解得， ∴抛物线解析式为；     设直线的解析式为 将点代入，得， ∴ ∴直线的解析式为； （2）解：如图所示，过点作轴交于点，交轴于点，过点作轴于点． 设，则， ， ∴当时，的面积有最大值，最大值为，此时点P的坐标为． （3）解：∵抛物线解析式为， ， 当时，， ， ∵， ∴以点B，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，为该平行四边形的一组对边，如图， ∴； 设，则， ∴， ∴或， 解方程得或（舍去）， 解方程得或， 当时，， 当时， 当时， 综上，满足条件的点的坐标为或或． 13．(1)； (2)或； (3) 在平面直角坐标系中存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或或或． 【分析】（1）把，代入，可得，，即可得抛物线的解析式； （2）根据题意可得，，，当时，，设，则或，可得，即可得点的坐标； （3）抛物线的对称轴为直线，根据题意可得直线：，设，按照四边形为菱形，或四边形为菱形，进行分类讨论，根据菱形的性质，结合中点坐标，即可得点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：在中， 当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 设， ∴或， 解得或， 当时，， 当时，， ∴或． （3）解：在平面直角坐标系中存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形， ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴直线：， 设， ∵，， ∴， 若四边形为菱形，与的交点记为点， 则，，，， ∴， 解得， ∴或， ∴的中点为或， ∴或， ∴或， 解得或， ∴或， 若四边形为菱形，与的交点记为点， 则，，，， ∴， 解得， ∴或， ∴的中点为或， ∴或， ∴或， 解得或， ∴或， ∴在平面直角坐标系中存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或或或． 14．(1) (2) (3)存在，M点的坐标为或或或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）过点作轴交于点，当最大时，则最大，求得点坐标，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点，此时最小，即可求解； （3）当为菱形对角线时，，列出等式即可求解；当、为菱形对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：将点，点代入， 可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴交于点， 令，则， ， ， ， 轴 ， ， ∴当最大时，则最大， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设，则， ， 当时，最大，即最大， ， ∴点； 作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 此时，取到最小值， 即的最小值； （3）解：存在点和点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形， , ∴抛物线对称轴为直线， 设，， ①当为菱形对角线时，此时， ， 解得， ； ②当为菱形对角线时，， ， 解得， 或， ③当为菱形对角线时，， ， 解得或（与点重合，故舍去）， ； 综上所述：点的坐标为或或或． 15．(1) (2) (3)存在，， 【分析】（1）根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）先根据，求出，从而可得，再根据平行线的判定可得，从而可得点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3，由此即可得； （3）设点的坐标为，分两种情况：①四边形是矩形，②四边形是矩形，先联立二次函数和一次函数的解析式求出点的坐标，再根据矩形的性质求解即可得． 【详解】（1）解：一次函数， 当时，，即， 当时，，解得，即， 把，代入得， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ， 点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3， 当时，， 解得或（舍去）， 点的横坐标为2， ． （3）解：存在，求解如下： 设点的坐标为， ①当四边形是矩形时，则， 直线的解析式为， ， 设在直线上，根据勾股定理得：， ， ， ， ， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得或（即为点，舍去）， ， ②当四边形是矩形时，则， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， 联立， 解得或（即为点，舍去）， ， 综上，存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或． 16．(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）将点代入，即可求出的值； （2）根据抛物线解析式求出点的坐标，根据待定系数法即可求出直线的函数解析式； （3）将点，，，的坐标表示出来，求出直线的解析式，设直线与轴的交点为点，求出点的坐标，将，的长表示出来，根据，即可求出的值，再求出点的坐标，即可求出的值； （4）将点，，，的坐标表示出来，根据，可得，据此列方程，即可求出的值． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得． （2）解：， ∴抛物线的解析式为． 令，则， ． 设直线的函数解析式为， 将点，代入得， 解得， ∴直线的函数解析式为． （3）解：∵， ∴该抛物线的对称轴为直线， 依题意得，， ∵轴，且点在抛物线上， ， ∵点与点关于点对称， ． 设直线的函数解析式为， 将点，代入得， ，解得， ∴直线的函数解析式为． 设直线与轴的交点为点， ． ，． ， ， 解得或． ， ． ． 在中，令，则． ． ． （4）解：依题意得：，，，， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， 或， 解得或， ， 或． 17．(1)； (2)面积的最大值为 (3)①H点的坐标为，Q点的坐标为；②或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可求出抛物线的解析式；令，求出，可得，，将代入，可得，再利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）过点P作轴交直线于点D，设点，则，求出，根据，利用二次函数的性质即可求解； （3）平移后的抛物线为，对称轴是． ①当，两种情况讨论，利用旋转的性质结合正方形的性质即可分别求出点，点的坐标； ②分点H在对称轴左侧和右侧两种情况讨论． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，解得， 抛物线的解析式为； 令，则， 解得， ，， 将代入，则， ∴， 设直线的解析式为，将B点坐标代入得，解得． 直线的解析式为． （2）解：如图1，过点P作轴交直线于点D， 设点，则， ． ． ， 抛物线的开口向下，函数有最大值， 当时，面积的最大值为． （3）解：平移后的抛物线为，对称轴是直线． ①当时，即时，M在N的上方，． 此时H点的坐标为，Q点坐标为； 当时，M在N的下方，． 此时H点的坐标为，Q点坐标为； 即无论m取何值，H点的坐标均为，Q点的坐标均为； ②当点H在对称轴的左侧，当矩形的四边与“图形W”有且只有一个公共点时， 点在抛物线上， ，化简得， 解得． ， ． 当点H在对称轴的右侧，当矩形的四边与“图形W”有且只有一个公共点时， 点在抛物线上或点H在直线的右侧． 若点在抛物线上，， 化简得，解得． ， ． 若点H在直线的右侧，，解得； 综上可知：或或． 18．(1)抛物线的函数表达式为 (2) (3)t的值为2 (4) 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可解答此题； （2）利用相似三角形的判定和相似比即可解答此题； （3）分析当三角形的底边固定，高最大时三角形的面积最大，利用直线平行和直线与抛物线相切求得点坐标，进而根据题意求得点、点坐标，求得长可求值； （4）根据题意可表示出涉及到的点、点、点坐标，假设出点坐标，根据菱形的性质对边相等表示出点坐标，在利用菱形的性质邻边相等，列出方程，解方程即可求得值． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴， ， 解得：， 所以抛物线的函数解析式为． （2）解：根据顶点坐标公式可求顶点的坐标为， ∵点和点关于直线对称，且， ∴点坐标为， ， ，， ， 又， ， ∵M为的中点， ， ． （3）解：当边上的高最大时，的面积最大， 即平行于直线且与抛物线相切时，的面积最大， 设直线的解析式为，且点坐标为，点的坐标为， 解得：， 设平行于直线且与抛物线相切的直线为， ∵两直线平行， ， ， ∵直线与抛物线相切， ， 整理，得：， ， 解得：， ， 抛物线和直线解析式联立得，， 解得：， 即：， 此时，点横坐标为，代入得： ， 即：， ， ， （秒）． （4）解：， ， 根据题意可知点和点的纵坐标相等， ∴将代入得： ， ， ∵， ， ， 可设点坐标为， 则， 当四边形为菱形时，， 即：， 整理，得：， ∴点坐标为， 根据题意，由勾股定理可得： ， ， 即：， 整理，得：， 解得：（舍去），， （秒）． 19．(1) (2) (3)①左侧，图形及理由见解析　　　② 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质、平行四边形和菱形的性质、相似三角形的判定及性质、解一元二次方程等： （1）采用待定系数法求解即可； （2）过点作轴的垂线，交轴于点，容易求得，进而得到点的坐标、的长度、中边上的高； （3）①容易求得直线的解析式为，可设点的坐标为，进而可求得，求解之后容易求得点的坐标；②作点关于轴的对称点，过点作的平行线，使得，可知当点，，共线时，可以取得最小值，即可以取得最小值，最小值为的长度，直线可由直线平移得到，所以可设直线的解析式为，求得直线的解析式，结合，即可求得点的坐标，进而可求得答案． 【详解】（1）经过点，和，可得 解得 所以，抛物线的表达式为． （2）根据题意可知，点的坐标为． 如图所示，过点作轴的垂线，交轴于点，则点的坐标为，，． 因为轴，轴， 所以． 又因为， 所以． 所以． 所以，． 所以点的坐标为． 所以点的横坐标为． 所以点的坐标为． 所以，中边上的高． 所以． （3）①如图所示，点与点重合． 根据题意可知的对称轴为． 设直线的解析式为． 因为直线经过点，点，可得 解得 所以，直线的解析式为． 因为四边形为菱形， 所以，． 因为点为线段上一动点，可设点的坐标为，可得 ，即 解得，（舍去）． 所以点的坐标为． 所以点的坐标为． 因为， 所以． 所以点在抛物线的对称轴的左侧 ②如图所示，作点关于轴的对称点，过点作的平行线，使得． 根据题意可知，，． 因为点H为的中点， 所以． 因为四边形为平行四边形， 所以． 因为，， 所以四边形为平行四边形． 所以，． 所以． 根据题意可知，当点，，共线时，可以取得最小值，即可以取得最小值，最小值为的长度． 根据题意可知，直线可由直线平移得到，所以可设直线的解析式为． 因为直线经过点，可得 解得． 所以直线的解析式为． 所以可设点的坐标为． 所以，即 解得，（舍去）． 所以点的坐标为． 所以． 所以周长的最小值． 20．(1)为直角三角形；见解析 (2)最大值为1， (3)存在，为或 【分析】（1）根据抛物线解析式，可以令和，分别求出C、A、B点坐标，继而求得、、长度，利用勾股定理逆定理，来判定三角形为直角三角形； （2）根据轴，判定轴，根据，判定轴，阴影部分面积可以看作与的面积之和，当底边为时，阴影部分面积转化为，由于长已知，所以当取最大值时，阴影部分面积最大，根据，可以得到，从而得到，设，则，得到的长度，继而得到长度，从而求得表达式，根据m的取值范围，确定函数在顶点处取得最大值； （3）根据三边关系，将斜向平移分解成两次平移，即水平移动和竖直移动，从而得到新抛物线解析式，由于为边，M在对称轴上，所以可以得到或者，根据分类，画出图形，利用直角，构造相似三角形，即可求得M点坐标． 【详解】（1）解：令，则， ∴ 令，则，解得：， ， 在中，， 同理，， 又 ， 即为直角三角形； （2）解：设直线的解析式为， 代入点得，， 直线为， 同理，直线为， 轴， 轴， 设，则 ， 轴， 轴，， ， ， 又， ， ， ， ， ， 当最大时，取得最大值， ， 又， 当时，最大值为最大值为1， ， ， 可设直线为， 代入点，得， 直线为：， 令，解得， ， 此时最大值为1； （3）解：存在，或 存在这样的点，使以为顶点的四边形为正方形， ， 当抛物线沿射线方向平移个单位，可以分解为水平向右平移个单位，竖直向上平移1个单位， ， 平移后得抛物线为：， 对称轴为直线， ①当，为对角线，构成正方形时，如图1， 过作轴于点， ， 又， ， ， ， 又 ， ， 由坐标与平移关系可得，， ②当，为对角线，构成正方形时，如图2， ， ， ， ， ， ， ， ， 由坐标与平移关系可得，， 综上所述，为或． 学科网（北京）股份有限公司 $