专题02 一元函数的导数及其应用（12大重点题型+思维导图+知识清单）（举一反三期末专项训练）高二数学下学期人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 以12大题型为载体，通过知识清单系统构建导数概念-运算-应用的完整逻辑链，融合解题技巧与思维方法，培养逻辑推理与数学建模能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识清单|11个核心模块|含定义辨析、求导法则、单调区间判定、极值最值求法、零点问题分离参数法等|从瞬时速度/切线斜率抽象出导数概念，经几何意义与运算规则铺垫，延伸至函数性质研究及实际应用，形成"概念-工具-应用"递进链条| |重点题型|12类60道典例|覆盖变化率、切线方程、单调性参数范围、极值最值、不等式证明等，提炼构造辅助函数、分类讨论等通用技巧|题型与知识清单一一对应，基础题巩固概念，综合题训练知识迁移，新定义题拓展思维深度|

专题02 一元函数的导数及其应用（12大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练） 【人教A版】 题型归纳 【知识清单1 导数的概念】 1．瞬时速度 (1)平均速度 设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在t0到这段时间内的平均速度为. (2)瞬时速度 ①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. ②一般地，当∆t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当∆t趋近于0时，的极限 是v，这时v就是物体在t=t0时的瞬时速度，即瞬时速度. 2．抛物线切线的斜率 (1)抛物线割线的斜率 设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为. (2)抛物线切线的斜率 一般地，在二次函数y=f(x)中，当∆x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当∆x趋近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率. 3．函数的平均变化率 对于函数y=f(x)，设自变量x从x0变化到x0+∆x，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0+∆x).这时，x 的变化量为∆x，y的变化量为∆y=f(x0+∆x)- f (x0).我们把比值，即叫做函数y=f(x)从x0到x0+∆x的平均变化率. 【知识清单2 导数的几何意义】 1．函数在某点处的导数的几何意义 (1)切线的定义 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T(T是直线P0T上的一点)称为曲线y=f(x)在点P0处的切线x0. (2)函数在某点处的导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是切线P0T的斜率k0，即f'(x0).这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为. 2．导函数的定义 从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f'(x0)是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=. 【知识清单3 导数的运算】 1．基本初等函数的导数公式 函数 导数 （c为常数） 2．导数的运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 3．复合函数的导数 (1)复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函 数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积. 4．导数的运算的方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 【知识清单4 利用导数研究函数的单调性】 1．函数单调性和导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. (2)函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时， 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小 得越来越慢 2．确定函数单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 3．利用二阶导判断单调性 在解决有关导数应用的试题时，有些题目利用“一次求导”就可以解决，但是也有些问题“一次求导”不能求出原函数的单调性，需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，再判断原函数的单调性，才能解决问题. 4．根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 【知识清单5 导数中函数单调性的应用】 1．导数中函数单调性的应用 (1)比较大小：利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. (2)解不等式：与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f'(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式. 【知识清单6 函数的极值】 1．极值的相关概念 (1)极小值点与极小值： 如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点 x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值： 如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点 x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f'(x)； (3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号； (5)求出极值. 3．根据函数极值求参数的一般思路： (1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列 方程组，利用待定系数法求解. (2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 【知识清单7 函数的最值】 1．函数的最大值与最小值 (1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. (2)函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. 2．利用导数求函数最值的解题策略： (1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤： ①求函数在(a,b)内的极值； ②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； ③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤： 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 3．求含有参数的函数的最值的解题策略： 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值. 【知识清单8 导数中的函数零点（方程根）问题】 1．导数中的函数零点（方程根）问题 利用导数研究含参函数的零点（方程的根）主要有两种方法： (1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决. (2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y= g (x)图象的交点问题. 2．与函数零点（方程根）有关的参数范围问题的解题策略 与函数零点（方程根）有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况. 【知识清单9 导数中的不等式问题】 1．导数中的不等式证明 (1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可. (2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题． 2．不等式恒（能）成立问题的求解方法 解决不等式恒（能）成立问题主要有两种方法： (1)分离参数法解决恒（能）成立问题 ①分离变量：根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，进而解决问题． ②恒成立； 恒成立； 能成立； 能成立. (2)分类讨论法解决恒（能）成立问题 分类讨论法解决恒（能）成立问题，首先要将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可. 【知识清单10 导数中的双变量问题】 1．导数中的双变量问题 导数中的双变量问题往往以双参数不等式的形式呈现，要想解决双变量问题，就需要掌握破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 【知识清单11 导数在解决实际问题中的应用】 1．导数在解决实际问题中的应用 (1)利用导数解决实际问题时，常常涉及用料最省、成本(费用)最低、利润最大、效率最高等问题，求解时需要分析问题中各个变量之间的关系，抓主元，找主线，把“问题情境"翻译为数学语言，抽象成数学问题，再选择合适的数学方法求解，最后经过检验得到实际问题的解. (2)解决优化问题的方法并不单一，运用导数求最值是解决这类问题的有效方法，有时与判别式、基本不等式及二次函数的性质等结合，多举并用，达到最佳效果. (3)利用导数解决实际问题的一般步骤 题型1 变化率问题 1．（24-25高二下·吉林·期末）函数在区间上的平均变化率为（   ） A．5 B．6 C．7 D．10 2．（24-25高二下·江西抚州·期末）若质点运动的位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的函数关系是，那么该质点在时的瞬时速度和从到这两秒内的平均速度分别为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 4．（24-25高二下·辽宁·期末）已知蜥蜴的体温与阳光照射的关系可近似为，其中为蜥蜴的体温（单位：℃），为太阳落山后的时间（单位：min）.当min时，蜥蜴体温的瞬时变化率为___________℃/min. 5．（24-25高二下·河南·期末）2024年2月23日19时30分，中国航天迎来甲辰龙年首飞．长征五号运载火箭成功将通信技术试验卫星十一号送入预定轨道．竖直向上发射的火箭熄火时上升速度达到100m/s，此后其位移H（单位：m）与时间t（单位；s）近似满足函数关系 (1)分别求火箭在、这些时间段内的平均速度； (2)求火箭在时的瞬时速度﹔ (3)熄火后多长时间火箭上升速度为0． 题型2 导数的概念 6．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知函数的导函数为，且，则（   ） A．2 B．1 C．8 D．4 7．（24-25高二下·陕西渭南·期末）设是函数的导函数，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·湖北咸宁·期末）设函数，则（    ） A．1 B． C．0 D． 9．（24-25高二下·辽宁抚顺·期末）已知函数在处可导，若，则____________． 10．（24-25高二下·上海浦东新·期末）设定义在R上的函数的导函数为，若，则____________． 题型3 导数的运算 11．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知函数，则（    ） A． B． C．3 D．15 12．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知函数的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高二下·广东广州·期末）已知函数满足，则（    ） A． B． C．1 D． 14．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知函数为函数的导函数，且，则__________． 15．（24-25高二下·陕西西安·期末）求下列函数的导函数. (1)； (2). 题型4 曲线的切线问题 16．（24-25高二下·北京延庆·期末）已知曲线在点处的切线方程为，则值为（ ） A．0 B． C．1 D．2 17．（24-25高二下·吉林·期末）已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25高二下·北京大兴·期末）已知直线是曲线与曲线的公共切线，则实数（   ） A． B．1 C． D． 19．（24-25高二下·广东揭阳·期末）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则的值为____________． 20．（24-25高二下·辽宁·期末）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的极值． 题型5 函数的单调性问题 21．（24-25高二下·新疆·期末）若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末）已知，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高二下·安徽合肥·期末）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 24．（24-25高二下·湖北黄冈·期末）已知定义在上的函数，其导函数为，若且，则不等式的解集为__________. 25．（24-25高二下·福建福州·期末）已知函数，． (1)当时，求的单调区间； (2)若在区间上不单调． ①求a的取值范围； ②证明：． 题型6 函数的极值问题 26．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）函数 的极小值点为（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高二下·四川南充·期末）函数有两个极值点满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 29．（24-25高二下·福建泉州·期末）若是函数极值点，则__________. 30．（24-25高二下·福建福州·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值． 题型7 函数的最值问题 31．（24-25高二下·福建福州·期末）设函数，，则的最小值和最大值分别为（   ） A．，0 B．， C．， D．0， 32．（24-25高二下·河南郑州·期末）若函数在处取得极值，则在内的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 33．（24-25高二下·福建厦门·期末）已知函数在区间上存在最大值与最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 34．（24-25高二下·江苏南通·期末）函数在区间上的最大值为____________． 35．（24-25高二下·北京石景山·期末）已知函数. (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 题型8 利用导数研究函数零点（方程根） 36．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．（24-25高二下·北京房山·期末）设函数.若方程恰好有一个实根，则实数的取值范围是（   ） A．{或} B． C．{或 D． 38．（24-25高二下·河南安阳·期末）已知函数，若有三个零点，，，且，则最大值为（    ） A． B． C． D． 39．（24-25高二下·湖南·期末）已知函数，若存在两个零点，则实数的取值范围为____________. 40．（24-25高二下·天津·期末）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若有3个零点，其中. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：. 题型9 利用导数研究不等式恒（能）成立问题 41．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）若不等式恒成立，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 42．（24-25高二下·陕西榆林·期末）已知函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 43．（24-25高二下·河南郑州·期末）已知，，若，，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 44．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知函数，，若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是__________. 45．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知函数． (1)若，求在区间上的最大值与最小值． (2)关于x的不等式恒成立，求a的取值范围． 题型10 利用导数证明不等式 46．（24-25高二下·辽宁·期末）已知函数． (1)求的值； (2)证明：． 47．（24-25高二下·贵州黔西南·期末）已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求a的取值范围； (3)证明：，. 48．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数. (1)已知在区间上单调递减，求的取值范围； (2)当时，证明：若，则. （参考数据：） 49．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数， (1)若恒成立，求实数t的值； (2)当时，方程有两个不同的根，分别为， ①求实数m的取值范围； ②求证：. 50．（24-25高二下·江西九江·期末）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个零点，求实数a的取值范围； (3)若函数，证明：. 题型11 导数在实际问题中的应用 51．（24-25高二下·四川眉山·期末）将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，要使方盒容积最大，则的取值为（ ） A． B． C． D． 52．（24-25高二下·湖北十堰·期末）已知某商品生产成本与产量的函数关系式为，单价与产量的函数关系式为，则利润最大时，（    ） A．80 B．90 C．100 D．110 53．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知球O的半径为3，圆锥内接于球O，当圆锥的体积最大时，圆锥内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 54．（24-25高二下·福建·期末）已知圆台的上、下底面半径分别为r，2r，高为，则圆台体积的最大值为___________. 55．（24-25高二上·上海闵行·期末）现有一张长为，宽为的长方形铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求铁皮材料的利用率为（剪切与焊接不可避免），不考虑剪切与焊接处的损耗与增加.如图，在长方形的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面.设做成后的长方体铁皮盒的底面是边长为的正方形，高为，体积为. (1)写出关于的函数关系式，并写出的范围； (2)要使得无盖长方体铁盒的容积最大，对应的为多少？并求出的最大值. 题型12 导数新定义 56．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．曲线在点处的曲率为（    ） A． B． C． D．2 57．（24-25高二下·宁夏银川·期末）对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，经过探究发现任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数，则函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． 58．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）若函数的定义域为D，且存在，使得，则称是的一个“阶值点”.若函数，，的“阶值点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 59．（24-25高二下·河南郑州·期末）定义在区间上的函数满足：若对任意，，且，都有，则称是上的“好函数”. (1)若是上的“好函数”，求的取值范围； (2)（i）证明：是上的“好函数”. （ii）设，证明：. 60．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）已知函数的导数为，的导数为的二阶导数，记作．若函数在包含的某个开区间上具有二阶导数，那么，，我们把称为函数在处的二阶拟合函数． (1)写出函数在处的二阶拟合函数，并证明对恒成立； (2)若对恒成立，求a的取值范围； (3)设函数的两个零点为，，在处的二阶拟合函数为，证明：有两个零点，，且． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元函数的导数及其应用（12大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练） 【人教A版】 题型归纳 【知识清单1 导数的概念】 1．瞬时速度 (1)平均速度 设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在t0到这段时间内的平均速度为. (2)瞬时速度 ①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. ②一般地，当∆t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当∆t趋近于0时，的极限 是v，这时v就是物体在t=t0时的瞬时速度，即瞬时速度. 2．抛物线切线的斜率 (1)抛物线割线的斜率 设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为. (2)抛物线切线的斜率 一般地，在二次函数y=f(x)中，当∆x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当∆x趋近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率. 3．函数的平均变化率 对于函数y=f(x)，设自变量x从x0变化到x0+∆x，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0+∆x).这时，x 的变化量为∆x，y的变化量为∆y=f(x0+∆x)- f (x0).我们把比值，即叫做函数y=f(x)从x0到x0+∆x的平均变化率. 【知识清单2 导数的几何意义】 1．函数在某点处的导数的几何意义 (1)切线的定义 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T(T是直线P0T上的一点)称为曲线y=f(x)在点P0处的切线x0. (2)函数在某点处的导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是切线P0T的斜率k0，即f'(x0).这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为. 2．导函数的定义 从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f'(x0)是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=. 【知识清单3 导数的运算】 1．基本初等函数的导数公式 函数 导数 （c为常数） 2．导数的运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 3．复合函数的导数 (1)复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函 数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积. 4．导数的运算的方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 【知识清单4 利用导数研究函数的单调性】 1．函数单调性和导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. (2)函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时， 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小 得越来越慢 2．确定函数单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 3．利用二阶导判断单调性 在解决有关导数应用的试题时，有些题目利用“一次求导”就可以解决，但是也有些问题“一次求导”不能求出原函数的单调性，需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，再判断原函数的单调性，才能解决问题. 4．根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 【知识清单5 导数中函数单调性的应用】 1．导数中函数单调性的应用 (1)比较大小：利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. (2)解不等式：与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f'(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式. 【知识清单6 函数的极值】 1．极值的相关概念 (1)极小值点与极小值： 如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点 x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值： 如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点 x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f'(x)； (3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号； (5)求出极值. 3．根据函数极值求参数的一般思路： (1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列 方程组，利用待定系数法求解. (2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 【知识清单7 函数的最值】 1．函数的最大值与最小值 (1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. (2)函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. 2．利用导数求函数最值的解题策略： (1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤： ①求函数在(a,b)内的极值； ②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； ③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤： 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 3．求含有参数的函数的最值的解题策略： 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值. 【知识清单8 导数中的函数零点（方程根）问题】 1．导数中的函数零点（方程根）问题 利用导数研究含参函数的零点（方程的根）主要有两种方法： (1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决. (2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y= g (x)图象的交点问题. 2．与函数零点（方程根）有关的参数范围问题的解题策略 与函数零点（方程根）有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况. 【知识清单9 导数中的不等式问题】 1．导数中的不等式证明 (1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可. (2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题． 2．不等式恒（能）成立问题的求解方法 解决不等式恒（能）成立问题主要有两种方法： (1)分离参数法解决恒（能）成立问题 ①分离变量：根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，进而解决问题． ②恒成立； 恒成立； 能成立； 能成立. (2)分类讨论法解决恒（能）成立问题 分类讨论法解决恒（能）成立问题，首先要将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可. 【知识清单10 导数中的双变量问题】 1．导数中的双变量问题 导数中的双变量问题往往以双参数不等式的形式呈现，要想解决双变量问题，就需要掌握破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 【知识清单11 导数在解决实际问题中的应用】 1．导数在解决实际问题中的应用 (1)利用导数解决实际问题时，常常涉及用料最省、成本(费用)最低、利润最大、效率最高等问题，求解时需要分析问题中各个变量之间的关系，抓主元，找主线，把“问题情境"翻译为数学语言，抽象成数学问题，再选择合适的数学方法求解，最后经过检验得到实际问题的解. (2)解决优化问题的方法并不单一，运用导数求最值是解决这类问题的有效方法，有时与判别式、基本不等式及二次函数的性质等结合，多举并用，达到最佳效果. (3)利用导数解决实际问题的一般步骤 题型1 变化率问题 1．（24-25高二下·吉林·期末）函数在区间上的平均变化率为（   ） A．5 B．6 C．7 D．10 【答案】A 【解题思路】根据平均变化率公式计算可得. 【解答过程】函数在区间上的平均变化率为. 故选：A. 2．（24-25高二下·江西抚州·期末）若质点运动的位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的函数关系是，那么该质点在时的瞬时速度和从到这两秒内的平均速度分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出导函数即可求瞬时速度，再由求出平均速度即可得解. 【解答过程】由题得，所以该质点在时的瞬时速度为， 该质点从到这两秒内的平均速度为. 故选：A. 3．（24-25高二下·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】D 【解答过程】根据题意，利用瞬时变化率与平均变化率，结合图象分析判断，即可求解. 【解答过程】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于， 乙水库的蓄水量的平均变化率大于，所以A错误； 对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库蓄水量的平均变化率大于， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，所以B错误； 对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以C错误； 对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以D正确. 故选：D. 4．（24-25高二下·辽宁·期末）已知蜥蜴的体温与阳光照射的关系可近似为，其中为蜥蜴的体温（单位：℃），为太阳落山后的时间（单位：min）.当min时，蜥蜴体温的瞬时变化率为___________℃/min. 【答案】 【解题思路】由导数的定义，所求蜥蜴体温的瞬时变化率为. 【解答过程】，，， 即当min时，蜥蜴体温的瞬时变化率为℃/min. 故答案为：. 5．（24-25高二下·河南·期末）2024年2月23日19时30分，中国航天迎来甲辰龙年首飞．长征五号运载火箭成功将通信技术试验卫星十一号送入预定轨道．竖直向上发射的火箭熄火时上升速度达到100m/s，此后其位移H（单位：m）与时间t（单位；s）近似满足函数关系 (1)分别求火箭在、这些时间段内的平均速度； (2)求火箭在时的瞬时速度﹔ (3)熄火后多长时间火箭上升速度为0． 【答案】(1)90m/s，70m/s； (2)80m/s； (3)10s 【解题思路】（1）根据平均速度代入表达式计算； （2）由函数，可得，根据导函数几何意义可求解； （3）根据题意即求瞬时速度为0时的t的值. 【解答过程】（1）由位移H与时间t近似满足函数关系， 则火箭在这些时间段内的平均速度为； 火箭在这些时间段内的平均速度为：． （2）由函数，可得，可得， 所以火箭在时的瞬时速度为80m/s． （3）由，令，即，解得， 熄火后10s火箭上升速度为0． 题型2 导数的概念 6．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知函数的导函数为，且，则（   ） A．2 B．1 C．8 D．4 【答案】D 【解题思路】利用导数的定义求解即可. 【解答过程】由导数的定义得，故D正确. 故选：D. 7．（24-25高二下·陕西渭南·期末）设是函数的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用在某点处导数的定义可求答案. 【解答过程】由在某点处导数的定义可知， 所以. 故选：A. 8．（24-25高二下·湖北咸宁·期末）设函数，则（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】A 【解题思路】根据极限的运算法则及基本初等函数求导公式计算即可. 【解答过程】， 又，则， ，则. 故选：A. 9．（24-25高二下·辽宁抚顺·期末）已知函数在处可导，若，则____________． 【答案】4 【解题思路】变形得到，从而得到，解得． 【解答过程】因为 ， 所以，解得． 故答案为：4. 10．（24-25高二下·上海浦东新·期末）设定义在R上的函数的导函数为，若，则____________． 【答案】 【解题思路】利用导数的定义直接求解即可. 【解答过程】由导数的定义得， 因为，所以. 故答案为：. 题型3 导数的运算 11．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知函数，则（    ） A． B． C．3 D．15 【答案】B 【解题思路】对等式两边求导，再赋值计算即得. 【解答过程】函数，求导得，则， 所以. 故选：B. 12．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知函数的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对等式两边求导，求导的时候注意是个常数，求导之后令即可得出的值，进而求出. 【解答过程】因为，所以，令， 则，，令， 则． 故选：A. 13．（24-25高二下·广东广州·期末）已知函数满足，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解题思路】求导，代入，求出答案. 【解答过程】，令得，解得. 故选：B. 14．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知函数为函数的导函数，且，则__________． 【答案】 【解题思路】利用导数运算法则对给定等式两边求导，再赋值得解. 【解答过程】由，求导得， ，当时，，解得， ，所以. 故答案为：. 15．（24-25高二下·陕西西安·期末）求下列函数的导函数. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【解题思路】根据题意，利用导数的运算法则，准确计算，即可求解； 【解答过程】（1）由函数， 可得. （2）由函数， 可得 . 题型4 曲线的切线问题 16．（24-25高二下·北京延庆·期末）已知曲线在点处的切线方程为，则值为（ ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】求导，根据导数的几何意义列方程，解方程即可. 【解答过程】由已知， 则， 且，， 由曲线在点处的切线方程为， 则， 解得， 故选：B. 17．（24-25高二下·吉林·期末）已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题可得当时，，然后由点斜式可得切线方程. 【解答过程】因为奇函数，当时，， 则当时，， 从而，则曲线在点处的切线方程是： 即. 故选：B. 18．（24-25高二下·北京大兴·期末）已知直线是曲线与曲线的公共切线，则实数（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解题思路】求两曲线的公切线方程，确定的值. 【解答过程】取点为曲线上一点，因为， 所以曲线在处的切线为：， 即. 取点为曲线上一点，因为， 所以曲线在处的切线为：， 即. 由公切线的概念可知： . 所以两曲线的公切线为：. 故. 故选：A. 19．（24-25高二下·广东揭阳·期末）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则的值为____________． 【答案】 【解题思路】由题意先求出切线方程，然后设曲线上的切点为，再由斜率及切线方程得出相应的方程组，从而可求解. 【解答过程】由题可得，所以在处的切线斜率， 所以切线方程为，即， 设曲线上的切点为， 则，在处的切线斜率为，且， 解得，所以，则，所以. 故答案为：. 20．（24-25高二下·辽宁·期末）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的极值． 【答案】(1) (2)极小值为，无极大值 【解题思路】（1）求导，根据导数的几何意义可得切线方程； （2）求导，根据导数可判断函数单调性，进而可得极值. 【解答过程】（1）由已知， 则， 则，且， 所以切线方程为， 即； （2）由（1）知， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故的极小值为，无极大值. 题型5 函数的单调性问题 21．（24-25高二下·新疆·期末）若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意得在上恒成立，再次转化为在上恒成立，从而可求出的取值范围. 【解答过程】由，得， 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立，所以， 即的取值范围为. 故选：C. 22．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末）已知，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调性进而比较大小. 【解答过程】令函数，求导得， 函数在上单调递增，则，因此； 令函数，求导得， 令，求导得 由，得， 则，即，函数在上单调递增， ，，函数在上单调递增，， 因此，所以. 故选：B. 23．（24-25高二下·安徽合肥·期末）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】可知在区间上有解，,等价于在区间上有解，结合存在性问题分析求解即可. 【解答过程】由，得， 若在区间上存在单调递减区间， 则在区间上有解， 可得在区间上有解， 又因为在区间上单调递增，则， 可得，所以实数的取值范围是. 故选：D． 24．（24-25高二下·湖北黄冈·期末）已知定义在上的函数，其导函数为，若且，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解题思路】构造，，求导，得到其单调性，结合，从而得到，得到，求出解集. 【解答过程】令，， 则在上恒成立， 所以在上单调递减， 其中， 故，所以， 又，解得. 故答案为：. 25．（24-25高二下·福建福州·期末）已知函数，． (1)当时，求的单调区间； (2)若在区间上不单调． ①求a的取值范围； ②证明：． 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为 (2)① ；②证明见解析 【解题思路】（1）当时，，求出函数定义域，利用导函数的符号确定函数的单调区间即可； （2）①由在区间上不单调，可得在上有正有负，即在内有解，即得参数的范围；②先求得，利用①的结论及可推得，计算证明，即得，再由即可证得. 【解答过程】（1）当时，，函数定义域为． 求导得．由，可得或；由，可得， 故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为． （2）①对求导得：，． 因为在区间上不单调，所以在上有正有负， 即在内有解．由于，所以，即a的取值范围是． ②由， 由①知，，， 则． 因为，故． 又，则，故得． 题型6 函数的极值问题 26．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）函数 的极小值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由导数知识可判断单调性，据此可得极小值点. 【解答过程】由题，令， .得在上单调递增，在上单调递减. 则函数 的极小值点为. 故选：B. 27．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先对函数求导，根据题意得在时有两个不同的解，令，也即是在上有两个不同的解，再对求导，分析其单调性，即可求解. 【解答过程】，因为函数有两个极值点， 所以在时有两个不同的解， 令，则在上有两个不同的解，， 当时，，则在上单调递增，则不存在两个不同的解； 当时，令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，则， 当时，，当时，， 因为在上有两个不同的解，所以，所以. 故选：A. 28．（24-25高二下·四川南充·期末）函数有两个极值点满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数极值点和函数导数之间的关系，判断函数导数有两个零点时的参数范围，将两个极值点带入导函数，求得两个参数方程，根据换元法，构造新的函数，根据函数单调性，求出函数范围，判断结果. 【解答过程】由题意得，当函数有两个极值点时，即有两个不相等的根， 令，则， 可知当时，，在上单调递增，至多只有一个解，不符合题意； 当时，令，解得， 可知当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 当时，有两个零点，符合题意，即，解得时，有两个零点； 可得，即， 作商得，令，因为，即，所以，变形得， 可得，即，则， 令，， 令，则， 设，则， 因为，所以，所以在上单调递增，即在上单调递增， 因为，所以在上，所以在上单调递增， 因为，所以在上，即在上，则在上单调递增， 所以，可知， 当时，即，，因为，所以， 综上所述：； 故选：B. 29．（24-25高二下·福建泉州·期末）若是函数极值点，则__________. 【答案】2 【解题思路】对已知函数变形后求导，根据是极值点，得到，解关于的方程即可. 【解答过程】已知， 求导得：. 因为是极值点， 所以，解得. 当时，， ， 当时，，当时，， 所以是极值点，符合题意. 所以. 故答案为：2. 30．（24-25高二下·福建福州·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值． 【答案】(1)； (2)当时，函数无极值；当时，函数的极小值，无极大值. 【解题思路】（1）求出，，写出切线方程； （2）由求极值步骤求解. 【解答过程】（1）当时，则，， 可得，，即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为 ，即. （2）因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值； 若，令，解得； 令，解得. 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值. 综上可知：当时，函数无极值； 当时，函数的极小值，无极大值. 题型7 函数的最值问题 31．（24-25高二下·福建福州·期末）设函数，，则的最小值和最大值分别为（   ） A．，0 B．， C．， D．0， 【答案】C 【解题思路】利用导数可求得函数的单调区间，利用单调性找到最值即可. 【解答过程】,, 时，，此时函数单调递增， 时，，此时函数单调递减. ， ，， ， 的最小值和最大值分别为，， 故选：C. 32．（24-25高二下·河南郑州·期末）若函数在处取得极值，则在内的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【解题思路】求出函数的导数，根据题意列式求出的值，结合函数的单调性，即可求得答案. 【解答过程】由，则， 因为在处取得极值，所以，解得， 故， 当或时，，当时，， 即在和上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极大值，符合题意，故符合题意， 所以在上单调递增，在上单调递减，又，， ，故在上的最小值为2. 故选：A. 33．（24-25高二下·福建厦门·期末）已知函数在区间上存在最大值与最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】对求导，求出导数为0的的值，分析的单调性，得出极值点，极值，并计算取得极值的其它点，从而得到的取值范围. 【解答过程】，令，解得或，易知： 在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故的极小值为，极大值为， 所以， 由可得，，解得或， 由可得，，解得或， 所以，， 因此，即. 故选：B． 34．（24-25高二下·江苏南通·期末）函数在区间上的最大值为____________． 【答案】 【解题思路】由导函数的正负研究函数单调性，进而得到极值，比较极值和端点函数值的大小确定函数的最大值. 【解答过程】由题意，， 所以，时，，单调递增；时，，单调减；时，，单调递增. 又，， 所以，函数在区间上的最大值为. 故答案为：. 35．（24-25高二下·北京石景山·期末）已知函数. (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)单调增区间为：和，单调递减区间为： (2), 【解题思路】(1)利用导数可求出函数的单调区间； (2)由（1）可得函数极值，比较区间端点的函数值与极值的大小可得结果. 【解答过程】（1）， 令，解得或， 所以当或时，，当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 故函数的单调增区间为：和，单调递减区间为：. （2）由（1）知，函数的极大值为，极小值为， 又， 所以在区间上的最大值和最小值分别为,. 题型8 利用导数研究函数零点（方程根） 36．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】可先求出函数的单调性与极值，再令，将函数的零点问题转化为关于的方程的根的问题，最后结合函数图象求解实数的取值范围． 【解答过程】已知，其定义域为， 则， 令，即，则，解得． 当或时，，，单调递减； 当时，，，单调递增． 所以在处取得极小值，也是最小值，． 令，则， 函数恰有个不同的零点， 即方程(e不是方程的根)有两个不同的实数根，， 且其中一个根为，另一个根． 则，解得 . 实数的取值范围是． 故选：A． 37．（24-25高二下·北京房山·期末）设函数.若方程恰好有一个实根，则实数的取值范围是（   ） A．{或} B． C．{或 D． 【答案】C 【解题思路】利用导数分析函数单调性，在同一平面直角坐标系中画出的图象，结合已知即可求解. 【解答过程】当时，，求导得， ，， 所有在单调递增，在单调递减， 且当从0的右边趋于0时，趋于，当时，趋于0， 当时，在单调递减， 当时，，且， 在同一平面直角坐标系中画出的图象，如图所示， 由图可知，若方程恰好有一个实根，则实数的取值范围是{或. 故选：C. 38．（24-25高二下·河南安阳·期末）已知函数，若有三个零点，，，且，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据解析式画出大致图象，数形结合可得参数范围，进而有，且，则得，从而得，再构造函数，，结合导数知识从而可求解. 【解答过程】根据函数解析式，可得函数的大致图象如图所示， 因为有三个零点，所以. 令，得， 因为，所以， 又，且， 则. ，且 令，，则. 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，的最大值为， 综上，，则，故A正确. 故选:A. 39．（24-25高二下·湖南·期末）已知函数，若存在两个零点，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【解题思路】设，将题意转化为，即存在两个不同的零点，设，分和，对求导，得出的单调性和最值即可得出答案. 【解答过程】令，得， 设，显然在上单调递增， 而，则， 依题意，方程有两个不等的实根， 显然，故存在两个不同的零点， 设，则， （i）当时，则，，此时在上单调递增， 最多一个零点，不合题意； （ii）当时，此时，当时，，当时，， 在（0，1）上单调递增，在上单调递减，所以， 要使有两个零点，则，解得. 故答案为：. 40．（24-25高二下·天津·期末）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若有3个零点，其中. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：. 【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间. (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解题思路】（1）写出的解析式，求出导数，令，接触单调区间即可； （2）（ⅰ）将的零点转化为的零点，求出，构造，得存在两个零点，讨论分析得到答案 （ⅱ）先证明，得到，再构造证明：当时，将与上述不等式结合得到，用替换得到答案. 【解答过程】（1）当时，， ， 则在恒成立， 故的单调递增区间为，无单调递减区间. （2）（ⅰ）， ，，则除1外还有两个零点. ， 令， 当时，在恒成立，则， 所以在单调递减，不满足，舍去； 当时，要是除1外还有两个零点，则不单调， 所以存在两个零点，所以，解得， 当时，设的两个零点为，则， ， 所以. 当时，，，则单调递增； 当时，，，则单调递减； 当时，，，则单调递增； 又，所以，， 而，且， ，且， 所以存在，，使得， 即有3个零点，，.综上，实数的取值范围为. （ⅱ）因为， 所以若，则，所以. 当时，先证明不等式恒成立，设， 则， 所以函数在上单调递增，于是， 即当时，不等式恒成立. 由，可得， 因为，所以， 即， 两边同除以， 得， 所以. 题型9 利用导数研究不等式恒（能）成立问题 41．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）若不等式恒成立，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，确定，借助同构思想转化为恒成立，再构造函数，由求出值. 【解答过程】不等式恒成立， 若，恒成立，而当时，此不等式不成立； 若，则，而当时，，不符合题意； 因此，，不等式， 令函数，求导得，函数在上递增， 不等式， 因此不等式在恒成立，令， 即恒成立，而，则， 又，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 于是，令， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 则方程有唯一解，由，得，解得， 所以的值为. 故选：D. 42．（24-25高二下·陕西榆林·期末）已知函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用函数奇偶性的定义可判断为奇函数，由导数判断为上的增函数，则所求不等式等价于，分离参数可得，构造函数，利用导数求的最大值即可求解. 【解答过程】因为，所以为上的奇函数． 又因为， 所以在上单调递增. 又恒成立， 所以，则， 因此恒成立． 设，则，令，解得． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，因此． 故选：C． 43．（24-25高二下·河南郑州·期末）已知，，若，，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】只需，根据导数求出的最小值，由二次函数单调性求出的最小值，即可求解. 【解答过程】，，使得成立， 则， 函数， ， 令得，当时，单调递减， 当时，，单调递增， 在处取极小值，也是最小值， 函数的最小值为， ， 则， 所以. 故选：A. 44．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知函数，，若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是__________. 【答案】 【解题思路】由题意知利用导数分别求出、的最大值得到不等式即可得解. 【解答过程】因为对任意的，总存在，使得， 所以，， 令，得或（舍去）. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 故； ，则，因为， 所以在上恒成立， 则在上单调递减，， 所以，故. 故答案为：. 45．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知函数． (1)若，求在区间上的最大值与最小值． (2)关于x的不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)最小值-1，最大值 (2). 【解题思路】（1）通过求导判断函数的单调性，然后求值即可； （2）求导，可知函数的最小值，得到，然后分，，计算即可. 【解答过程】（1）函数的定义域为， 因为，所以， . 令，得， 令，得； 所以在单调递减，在单调递增. 因此在处取得最小值. ，，而， 所以：此在处取得最大值 （2）. 因为，令，得， 令，得； 所以在单调递减，在单调递增. 所以， 所以：， 即. ①当时，，恒成立，不符合题意； ②当时，设， 则，所以在单调递减， 又因为，所以等价于，所以； 综上，的取值范围是. 题型10 利用导数证明不等式 46．（24-25高二下·辽宁·期末）已知函数． (1)求的值； (2)证明：． 【答案】(1)0 (2)证明见详解 【解题思路】（1）由题，根据的解析式运算得解； （2）对求导，可得在上单调递增，分，，讨论结合（1）证明. 【解答过程】（1） ，因此. （2）， 当时，，即在上单调递增， 所以，又，所以， 当时，，故， 当时，则，，由（1），， 所以，又此时，所以， 综上，. 47．（24-25高二下·贵州黔西南·期末）已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求a的取值范围； (3)证明：，. 【答案】(1)函数的递增区间为，递减区间为； (2)； (3)证明见解析. 【解题思路】（1）直接利用函数的导数判断函数的单调区间； （2）将不等式转化为恒成立，进而再构造函数，故只需求出的最大值，即可得所求值的范围； （3）先证明不等式，再根据不等式进行放缩并累加求和即可证明不等式. 【解答过程】（1）因为函数，函数的定义域为，. 当时，，因为，所以，. 故函数在上单调递减，在上单调递增. 故函数的递增区间为，递减区间为. （2）由，即，得在上恒成立； 令， . 由得，即，所以当，. 所以在上单调递增，在单调递减，所以. 所以，故a的取值范围为 （3）先证明不等式，令，. 所以在单调递减，所以，即不等式成立. 令，即，所以. 所以，，，. 上述n个式子相加得 . 故，成立. 48．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数. (1)已知在区间上单调递减，求的取值范围； (2)当时，证明：若，则. （参考数据：） 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）求导并等价转化在恒成立，然后构建函数求导判断单调性可得； （2）代入，求导可得，然后构建函数求导判断函数的单调性，进一步得到函数的单调性，找到其中一个隐零点，然后代值计算即可. 【解答过程】（1）由题可知：在区间上单调递减， 则在恒成立， 即在恒成立. 令，在恒成立， 所以在单调递增， 所以. （2）当时，，， 令，， 若，；若，， 所以函数在单调递增，在单调递减. 又，， 所以存在，， 若，，即； 若，，即， 所以在单调递减，在单调递增， 在，有最小值，在，有最大值， 因为，所以，则， 由，所以，又，所以 则， 即. 49．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数， (1)若恒成立，求实数t的值； (2)当时，方程有两个不同的根，分别为， ①求实数m的取值范围； ②求证：. 【答案】(1)； (2)①；②证明见解析. 【解题思路】（1）由可判断，解得值并验证； （2）①令，利用，结合的单调性和零点存在性定理，判断取值范围；②构造函数，证得，再将问题转化为证明，由不等式性质可得. 【解答过程】（1），因为，若，即. 由于不是定义域区间的端点，且在定义域上连续， 故不仅是函数的最小值，同时也是极小值， 所以，解得. 检验：当时，，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增； 所以的最小值为，即成立， 综上，. （2）①当时，令， ， 令，解得，，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，则的最小值为； 当时，无解，当时，一解，都不符合题意； 当时，，， 因为，在上单调递减，所以在上唯一解； 令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以当时，取得最小值，即，所以， 所以 ，又， 因为，在上单调递增； 所以在上有唯一解； 综上所述，方程有两个不同的根时，； ②由题可知：，即且， 构造函数：， 则 ， 所以在上单调递减，故，所以， 又因为，所以， 又因为，所以， 因为在上单调递增，，， 所以，得 要证， 即证， 即，即， 即证， 因为，故只须证明：， 因为成立. 所以原不等式成立. 50．（24-25高二下·江西九江·期末）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个零点，求实数a的取值范围； (3)若函数，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）对函数求导，利用分类讨论即可求出函数的单调性； （2）根据有两个零点得出的范围和函数的单调性，求出最小值的表达式，构造函数并求导得出单调性，即可求出实数a的取值范围； （3）写出函数并求导，得出导函数的单调性，求出函数的单调性，利用零点存在性定理，借助放缩法即可证明结论. 【解答过程】（1）由题意，，， 在中，， ①当时，，函数在单调递减， ②当时，令，解得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， ∴当时，函数在上单调递减， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）由题意及（1）得，，， 在中，， ∵有两个零点， ∴，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值，最小值为． ∵当时，；时，， ∴要函数有两个零点，当且仅当． 在中，， ∴函数在单调递增． ∵， ∴当时，， ∴a的取值范围是． （3）由题意，（1）及（2）证明如下，，， 在中，， 在中， ，， ∵为指数函数单调递增，为反比例函数单调递减， ∴在上单调递增， 又，， ∴存在使得，即，即，即， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴， 因为对勾函数函数在上单调递增， 所以， 所以. 题型11 导数在实际问题中的应用 51．（24-25高二下·四川眉山·期末）将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，要使方盒容积最大，则的取值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】依题意，可得，求导确定函数单调性即可求解. 【解答过程】依题意，折成无盖盒子的底面是边长为的正方形，高为， 则，可得， 令，解得，令，解得， 可知在单调递增，在单调递减， 所以函数在处取得最大值. 故选：B． 52．（24-25高二下·湖北十堰·期末）已知某商品生产成本与产量的函数关系式为，单价与产量的函数关系式为，则利润最大时，（    ） A．80 B．90 C．100 D．110 【答案】B 【解题思路】根据题意，由条件可得利润与产量的函数关系式，然后求导即可得到结果. 【解答过程】设利润为，则． 因为，所以当时，，当时，， 故利润最大时． 故选：B. 53．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知球O的半径为3，圆锥内接于球O，当圆锥的体积最大时，圆锥内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设圆锥的底面半径为，圆锥的体积，求导判断单调性求出的值，再根据圆锥内切球的半径等于圆锥轴截面的内切圆的半径求解内切球半径. 【解答过程】设圆锥的底面半径为，在中可得到， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积， 令，则，所以. 因为，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当，即时，圆锥的体积最大，此时圆锥的高为4，母线长为. 因为圆锥内切球的半径等于圆锥轴截面的内切圆的半径， 所以圆锥内切球的半径. 故选：D. 54．（24-25高二下·福建·期末）已知圆台的上、下底面半径分别为r，2r，高为，则圆台体积的最大值为___________. 【答案】 【解题思路】根据题意结合台体的体积公式可得，求导，利用导数求单调性和最值. 【解答过程】由题意可得：，解得， 因为圆台的体积为， 则 ，， 令，解得；令，解得； 可得函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 且当时，，所以圆台体积的最大值为. 故答案为：. 55．（24-25高二上·上海闵行·期末）现有一张长为，宽为的长方形铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求铁皮材料的利用率为（剪切与焊接不可避免），不考虑剪切与焊接处的损耗与增加.如图，在长方形的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面.设做成后的长方体铁皮盒的底面是边长为的正方形，高为，体积为. (1)写出关于的函数关系式，并写出的范围； (2)要使得无盖长方体铁盒的容积最大，对应的为多少？并求出的最大值. 【答案】(1) (2)当时容积取最大值，且最大值为. 【解题思路】（1）根据长方形的面积等于无盖长方体的表面积可得出关于的函数关系式，结合实际意义可得出的取值范围； （2）求出关于的函数关系式，利用导数可求出的最大值及其对应的的值，即可得出结论. 【解答过程】（1）因为材料利用率为，所以，即； 因为长方形铁皮长为，宽为，故， 综上，. （2）铁皮盒体积，其中， ，令，得，列表如下： 极大值 所以，函数在上为增函数，在上为减函数， 则当时，取最大值，且最大值为. 题型12 导数新定义 56．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．曲线在点处的曲率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解题思路】求出，，则，，代入曲率公式求解即可． 【解答过程】令，则，． 因为，， 所以曲线在点处的曲率为 ． 故选：B. 57．（24-25高二下·宁夏银川·期末）对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，经过探究发现任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数，则函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求导，即可根据拐点定义求解. 【解答过程】由，得，进而， 令，故， 所以，故对称中心为 故选：B. 58．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）若函数的定义域为D，且存在，使得，则称是的一个“阶值点”.若函数，，的“阶值点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据“阶值点”定义依次求出各函数“阶值点”即可得解. 【解答过程】对于函数，有，令，所以； 对于函数，有，令即， 因为函数是单调递增函数，且， 所以方程的根即函数的“阶值点”满足； 对于函数，有，令即， 令函数，则， 所以函数在R上单调递增，又， 所以方程的根即函数的“阶值点”满足， 综上. 故选：A. 59．（24-25高二下·河南郑州·期末）定义在区间上的函数满足：若对任意，，且，都有，则称是上的“好函数”. (1)若是上的“好函数”，求的取值范围； (2)（i）证明：是上的“好函数”. （ii）设，证明：. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解题思路】（1）利用给定定义得到，令，结合二次函数的性质求解即可； （2）（i）利用给定定义结合换元法并构造函数，利用导数判断其单调性，进而得到，最后再证明结论即可； （ii）利用已知得到，再利用裂项相消法证明结论即可. 【解答过程】（1）由题可知任意，且，， 即，整理得， 令，则， 函数在上单调递增，且时，， 则，故，即的取值范围为． （2）（i）设，且， 则， 令，， 则，则在上单调递增， 得到，即， 故是上的“好函数”. （ii）由（i）可知，当时，且，有， 令， 则， 则， 故， 则． 60．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）已知函数的导数为，的导数为的二阶导数，记作．若函数在包含的某个开区间上具有二阶导数，那么，，我们把称为函数在处的二阶拟合函数． (1)写出函数在处的二阶拟合函数，并证明对恒成立； (2)若对恒成立，求a的取值范围； (3)设函数的两个零点为，，在处的二阶拟合函数为，证明：有两个零点，，且． 【答案】(1)，证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【解题思路】（1）根据二阶拟合函数定义即可得，构造函数，利用二阶导数讨论单调性即可得证； （2）构造函数证明，结合（1）可得，当时，通过放缩可得成立，当时，通过放缩可知，然后构造函数，利用导数证明不满足题意即可得解； （3）求出，根据二次函数性质可证其有两个零点，将目标不等式转化为，构造，利用导数即可得证. 【解答过程】（1）因为，， 所以在处的二阶拟合函数． 设，则，， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，即， 所以对恒成立． （2）记，则，则， 所以在上单调递增，， 所以在上单调递增，即， 所以对恒成立， 由（1）可知，则， 所以当时，对恒成立， 则对恒成立． 设， 当时，， 设，则， 所以在上单调递减，则， 所以，这与题意矛盾，所以． （3）因为， 所以，则， 则， 因为，且的图象开口向上， 所以有两个零点，且． 因为当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 要证，只需证， 因为，且， 所以只需证， 构造函数， 则， 所以在上单调递增，所以，即， 因为，所以，所以． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $