天津市和平区2025-2026学年第二学期高三年级考前质量调查数学学科试卷

学校_____________ 班级_____________ 姓名_____________ 考号_____________ 和平区2025-2026学年度第二学期高三年级第三次质量调查 数学学科试卷 第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题共45分） 监测注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，务必将自己的姓名、准考证号涂在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦净后，再选涂其他答案标号． 3．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式： 球的体积公式，其中表示球的半径． 如果事件、互斥，则． 如果事件、相互独立，则． 任意两个事件与，若，则． 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） （1）已知全集，集合，则中的元素个数为（ ） A．0 B．3 C．4 D．5 （2）若函数，则其图象大致为（ ） A． B． C． D． （3）已知直线，与平面，则下列条件中，可以推出的为（ ） A．， B．， C．，与平面所成角相等 D．， （4）已知，，则（ ） A． B． C． D． （5）以下说法不正确的是（ ） A．样本数据1，1，1，3，3，3的极差为2，标准差为1 B．对具有线性相关关系的变量，，其经验回归方程为，若样本数据的中心点为，则实数的值为2 C．对一个容量为的总体，抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，三种方法的总体中每个个体被抽中的概率均相等 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据的独立性检验，可以认为“与无关联” （6）为了得到函数的图象，纵坐标不变，只需将函数的图象上所有的点（ ） A．向左平移个单位长度，再将所得各点的横坐标缩短到原来的 B．向左平移个单位长度，再将所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 C．向左平移个单位长度；再将所得各点的横坐标缩短到原来的 D．向左平移个单位长度，再将所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 （7）已知，数列的前项和为，若，，则（ ） A． B． C． D． （8）已知椭圆与双曲线有公共的焦点，，的一条渐近线方程为，点在上，且，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．5 （9）在矩形中，，，沿矩形对角线将折起得到四面体，则四面体的外接球体积为（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题共105分） 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分） （10）i为虚数单位，复数满足，则__________． （11）在（）的展开式中，常数项为__________．（用数字作答） （12）过抛物线的焦点且倾斜角为的直线被圆截得的弦长为__________． （13）盒子中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个白球，2个黄球，2个红球．现从盒中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量，则第二次取出的是黄球的条件下第三次取出的是红球的概率为__________，的数学期望为__________． （14）已知中，点为边上一点，且，则__________（用与表示）；若点为内的一点，，满足，则__________． （15）若，，使得关于的方程有4个不同的实根，则实数的取值范围为__________． 三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （16）（本小题满分14分）在中，角，，所对的边分别为，，，且，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值； （Ⅲ）求的值． （17）（本小题满分15分）在多面体中，四边形是菱形，，平面，，，是中点． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求平面与平面的夹角的余弦值； （Ⅲ）点为棱上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值． （18）（本小题满分15分）已知椭圆的焦距为2，椭圆短轴的一个端点到右焦点的距离为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）为坐标原点，直线过点，与椭圆交于，两点，椭圆上点满足，若，求的取值范围． （19）（本小题满分15分）已知个正数，，⋯，依次围成一个圆圈，其中，，，⋯，是公差为的等差数列，而，，，⋯，，是公比为的等比数列． （Ⅰ）若，，，求数列，，⋯，的所有项的和； （Ⅱ）若，，求的最大值； （Ⅲ）当时，是否存在正整数，满足下式成立 ？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． （20）（本小题满分16分）已知函数． （Ⅰ）若，求曲线在处的切线方程： （Ⅱ）讨论函数的单调性； （Ⅲ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $和平区2025-2026学年度高三年级第三次质量检测 数学参考答案及评分标准 一、选邦题(9×5分=45分) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) B A D A D C A 二、填空题(6x5分=30分) (10)√2 (11)2 (12)2 6 13)号 (14) +2CB4 -1 3 3 4 三、解答题（共75分） (16)(本小题满分14分) 解：（1)由正弦定理Q s、6 sin4"sin 有3b=2a,由余弦定理c2=a2+b2-2 abcos C, 求得a=3,b=2.- -4分 CT)由正弦定理sinc sin:m 2 3 sin B' 故si咖B=② -8分 2 (m)由b=2<a=3,故B<4,cosB=-sin2B=25>0, 7 n28=2an8cos8=49,co28=6s8-n8=号 sin(2B+C)=sin2Bcos+cos2Bsin5 -14分 314 (17)（本小题满分15分) 解：由菱形ABCD,有BD=2N5,AC=2,AC⊥BD,设AC∩BD=O,在平面PAC中过 点O作OH∥AP,所以OH⊥平面ABCD,因此以点O为原点，OC,OB,OH所在直线分 别为x轴，y轴，z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系.由AP⊥平面ABCD,易知， A(-l,0,0),B0N5,0),C1,0,0),D(0,-3,0),20V5,1),P(-l,0,2),M-l,0,1). （】)证明：设平面BC2的法向量为%=(x,y,z),BC=(1,-5,0),B0=(0,0,), 区c=x-5y=0令y=l,则万=W51.0,可知Dwa(-15.),则Dm可=0 则 4·B0=z=0, 所以DM⊥片，又因为DMc平面BC2,所以DM∥平面BC2. 5分 高三年级数学答案第1页（共4页) (II)己知平面PCA的法向量历=(01,0)， 设平面PCA与平面BC2的夹角为4，cos8-cos<元，西 1 网 则财平面PC1与平面BC2的夹角的余弦值为 -9分 (m)由已知不=可--2.0,2，故N点坐标为传0引所以m=(兮5-) 设直线ND与平面BCQ所成角为，sin8,=kos<而，斤 而.n_6 ō阿4 则直线D与平面8C2所成角的正弦值为5 -15分 H M B y (18)(本小题满分5分) 解：（I)依题意 日5.又=+，解得6=，改稀圆方程为号+苦=1-5分 c=1, (Ⅱ)由题意直线1斜率存在，设直线1的方程为y=k(x-2),点M(x1,),点N(x2y2), y=k(x-2), 点H(。),联立{ X2y2,整理得(32+2)x2-12k2x+12k2-6=0, -+ =1, 32 由a>0,解图<2，名+%553 12k2-6 3k2+2 -10分 由0M+0N=0丽，则（伍+片+y2)=《x%), 可得0=名+五=12k2 -8k 2=82+2；%=之2=+)-4桃]E 1(3k2+2)' 由点H在精圆上，有+公1，即22 )2 +3 -8k 3 2 (3k2+2) 13k2+2) 高三年级数学答案第2页（共4页) 整a理得162=32+2)0，M=+F内-=万++P-4<45 整理有(k2-1(432+42)>0,解得k2>1,所以1<k2<2,又因①式有 2216k-=67 3k2+2 ，所以， 一15分 3+ (19)(本小题满分15分) 解：（I)由题意可得，数列4a2am为1,2,3,4,5,6,7,8,9,3共10个数， 此时m=10,Sm=48.- --4分 （II)由aa2a,ak-1a(k<m,k∈N)是首项为2，公差为2的等差数列，故4k=2k: 而4amam-1,a10是公比为2的等比数列，故44=2m+2-t, 一-8分 因此2k=2m+2,所以k.2*=2m1,因此，要使m最大，则k最大，又k<m<2026,故 k的最大值为210，有2.2024=2m+1,即m=1033,m的最大值为1033.----10分 （l)由aa2a,ak-a%(k<m,k∈N')是公差为d的等差数列，可得： ak=a1+(k-)d,而qam0m-1,ak+1ak是公比为2的等比数列，所以ak=a·2mt. 故a+(k-1)d=a2m-t,即(k-1)d=a(2m-k-, -12分 又a+a2+…+ak-+4k=3(akl+…+am-l+am)，am=2a, 所以a*分-州=322片2，即a+号ag-]-响×g-0. 即k2+女=6x2--),即k:2+k=6x24-12,因此k6, 2 所以2m+女=k+12=-1+18,所以k<6:代入验证可得：当k=4时，上式等式成立， 6-k 此时m=6:综上，当且仅当m=6时，存在k=4满足等式.-- -15分 （20)（本小题满分16分) 解：（1)由已知/因=1+之-故0=-2，⑩=0，故切线方程为y=-2c- 所以曲线y=(x)在x=I处的切线方程为2x+y-2=0. 5分 （因为r国=1+宁兰二e0,故 当-2<a<2时，△<0，此时'(x)>0,函数f(x)在(0，+o)上单调递增： 当a<-2时，此时"(x)>0,函数f(x)在(0，+o)上单调递增： 当a>2时.4>0，方程-x+1-0的两根为4-4,9+G-4 2 2 0<为<x2,故0<x<名或x>时，"(x)>0,<x<2时，f"(x)<0,此时f(x)在 区间 a-0-4a+Va2-4 和 2 2 上单调递增. 高三年级数学答案第3页（共4页) 综上，当a≤2时，函数f(x)在(0，+∞)上单调递增：当a>2时，函数f(x)在区间 a-va2-4 a+va2-4 上单调递减，在区间 和 a+-4,+ 上单 2 2 调递增. --11分 )+”≤，有a-an1+}1ne=l, 国we-哈a0阿2 令1=1+0,2，所以a古 11+-n2-2 令0六d则0=可*可0-n + 令0)=+a-290=1--2n1=北-十2n 由()可知a=2,)=x士2nx,在0，+四)上单调递增，又0=0， 10.2时.f0>0-0即1-2h1>0.所以p0=长--2n小>0 所以()在(1,2]单调递增，所以p()>p()=0,即h()>0, 故h0)在(1,2]上单调递增，h)aax=h2)=1- n2'a>1n2 即安数0的取值范国为[-品*片 一16分 高三年级数学答案第4页（共4页)