2026年中考数学一轮专项集训 特殊四边形

**基本信息** 二次函数与特殊四边形性质深度融合，系统提炼坐标法、分类讨论等解题策略，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数与平行四边形|4题|待定系数法求解析式、分类讨论顶点位置|以二次函数坐标特征为基础，结合平行四边形对边相等性质构建方程| |菱形/正方形综合|3题|中点坐标公式、对称性应用|通过菱形四边相等、正方形对角线性质实现几何条件代数化| |矩形与新定义|5题|方程思想、图形面积平分线性质|从矩形边轴平行特征到“绞合函数”新定义，体现从具体到抽象的认知逻辑|

2026中考数学复习专项特殊四边形（二次函数综合） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点为抛物线顶点，已知，连接，抛物线对称轴与交于点． (1)求的值及顶点的坐标； (2)点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，是否存在以为边，且以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知：平面坐标系内点和点，点到点的距离始终等于点到轴的距离． (1)请你求出点满足的函数关系式； (2)如果（）中求出的函数图象记为，是沿着水平方向平移得到的，若点在上，点是平移后点的对应点，点是轴上的点．是否存在这样的点，使得以、、、为顶点的四边形是有一个内角为且的菱形？若存在，请你求出点坐标；若不存在，请说明理由． 3．已知抛物线，过点和点，点和点是抛物线上的两个不重合的点，点的横坐标为，点的横坐标为，记抛物线在点和点之间的部分图象为（包含、两点）． (1)求出抛物线的解析式，并写出顶点坐标； (2)当时，求图象的最高点与最低点的纵坐标的差； (3)当时，求出的值； (4)以为对角线构造矩形，且矩形的边轴，当轴平分矩形的面积时，直接写出的值． 4．【定义感知】 把函数和称为一对“绞合函数”，设抛物线的顶点为P，抛物线的顶点为Q，两抛物线的公共点为A，B（点A在点B的左侧）． (1)写出函数的“绞合函数”的函数解析式． 【性质探究】 (2)当时，这对“绞合函数”的图象一定会经过同样的两个定点，请通过运算求出这两个点的坐标． (3)当时．假设，． ①写出这对“绞合函数”的解析式，并把它们的图象在坐标系中画出来； ②直接写出直线与该对“绞合函数”图象有4个交点时m的取值范围． 【拓展应用】 (4)对于任意一对“绞合函数”，若四边形是正方形，则a，c满足的关系式为________． 5．综合与探究 如图，抛物线与轴相交于点，与轴正半轴相交于点，负半轴相交于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)如图1，是第一象限抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足是点，与的交点为，设． ①用含m的式子表示： ， ； 直接用①的结论求解②③； ②若，请直接写出点P的坐标； ③若，求点P的坐标； (3)如图2，若点F在抛物线上，点G在x轴上，当以点B，C，F，G为顶点的四边形是平行四边形时，求点F的坐标． 6．定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”． (1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是 ； (2)如图②，已知点，是抛物线上的“梦之点”，点是抛物线的顶点．连接，，，求的面积； (3)在（2）的条件下，点为抛物线上一点，点为平面内一点，是否存在点、，使得以为对角线，以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，． (1)求抛物线的对称轴； (2)点是抛物线上一个动点，连接，，交轴交于点，作轴于点． ①若点是的中点，求的面积； ②若以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，求的值． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点C，点D关于x轴对称，连结，作直线． (1)求b、c的值； (2)求点A、B的坐标； (3)求证：； (4)点P在抛物线上，点Q在直线上，当以点C、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点Q的坐标． 9．如图，抛物线过点，与轴交于点、，抛物线顶点坐标为，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求证：直线与该抛物线没有交点； (3)设，矩形的周长为，写出与的函数关系式，并求的最大值； 10．如图，抛物线的顶点为，且经过点，以坐标原点O为圆心的圆的半径，于点C．    (1)求抛物线的函数解析式． (2)求证：直线与相切． (3)已知P为抛物线上一动点，线段交于点M，当以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，求的长． 11．如图，抛物线的对称轴l与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A、B的坐标； (2)C为该抛物线上的一个动点，点D为点C关于直线l的对称点（点D在点C的左侧），点M在坐标平面内，请问是否存在这样的点C，使得四边形是正方形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 12．抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知点． (1)求的坐标； (2)若对任意的实数，且当取其范围中的最小值时，代数式的值都不大于． 求出抛物线的解析式； 点是抛物线上的任意一点（不与点重合），过点做轴于点，在轴上，以，为邻边作矩形，当在矩形内的抛物线所对应的函数值随增大而减小时，直接写出的取值范围． 13．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且与y轴的交点坐标为，直线l与x轴相交于点C．    (1)求该抛物线的表达式； (2)如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作轴，，垂足分别为A，B．设点P的横坐标为m．当四边形为正方形时，求m的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026中考数学复习专项特殊四边形（二次函数综合）》参考答案 1．(1)， (2)点P的横坐标为或或． 【分析】本题主要考查二次函数的性质和平行四边形的性质， （1）利用待定系数法求得二次函数解析式即可得知及顶点的坐标； （2）结合第一问求得直线解析式，可求得的长．根据题意设和分类讨论即可求得答案． 【详解】（1）解：将代入得： ， 解得：， ∴， ∴， ∴． （2）存在． 当时， 解得：，， ∴， 当时，， ∴， 设直线解析式为， 将、代入得： ， 解得：， ∴直线解析式为， 当时，， ∴， 则． 设、分类讨论： ①当点P在点Q下方时， ， 解得：，， ②当点P在点Q上方时 ， 解得：（舍去），， 综上所述，点P的坐标为或或． 2．(1)； (2)存在，坐标为、，，． 【分析】（）由题意得，轴，轴，利用勾股定理得再计算即可； （）过作轴，，由菱形性质得，由直角三角形中度角所对直角边是斜边的一半得，求出，代入函数解析式计算即可． 【详解】（1）如图，，轴，轴．    在中， ， ∴， ∴， ∴点满足的函数关系式为； （2）如图：过作轴，    设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 根据对称性得或， 综上所述，坐标为，，，． 【点睛】本题考查了二次函数的动点问题，图象及性质和度角所对直角边是斜边的一半，菱形的性质和勾股定理，熟练掌握以上知识点的应用，画出函数图象，再分类讨论是解题的关键． 3．(1)抛物线的解析式为，顶点坐标为 (2) (3)或 (4) 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式，将一般式化为顶点式，求出抛物线的顶点坐标即可； （2）先求出，再结合图象，得出最大值和最小值，即可得出答案； （3）根据，得出，分两种情况：当时与时，分别求出结果即可； （4）根据矩形以为对角线，且轴，可确定矩形各边平行于坐标轴；再结合“y轴平分矩形面积当且仅当它过矩形中心”这一结论得出，代入后即可求得m的值． 【详解】（1）已知抛物线过点和点． 代入点得，解得 ∴抛物线解析式为，顶点横坐标 代入得纵坐标 ∴顶点坐标为． （2）解：点P的横坐标为，代入抛物线解析式得到点P的纵坐标为，故；点Q的横坐标为，代入抛物线解析式得到点Q的纵坐标为0，故． 图像W为抛物线上从到的部分（含端点），如图． 抛物线开口向下，顶点在范围内，故最高点为顶点，纵坐标为4；最低点为端点，纵坐标为． 故图象W的最高点与最低点的纵坐标的差为． （3）解：点、在x轴上，线段长为． 由三角形的面积公式可得： 当时，可得，其中． 以下分与两种情况讨论： 情况一：时，，即 解得：或，其中时，P与Q横坐标相同，点重合，故舍去． ∴时，两点不重合，满足题意． 情况二：时，，即， 解得：，经检验此时点P与点Q均不重合，满足题意． 综上，或． （4）解：点其中， 矩形以为对角线，且轴，故矩形边平行于坐标轴． 设则矩形顶点为．对角线的中点为． y轴平分矩形面积当且仅当它过矩形中心（即对角线中点），故，即，代入坐标：，解得：．（满足条件的矩形见下图） 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式求解、顶点坐标确定、函数图象上点的坐标特征、三角形面积计算、矩形的性质以及图形与坐标的综合应用．解题的关键是熟练运用待定系数法求二次函数解析式，深刻理解二次函数图象的性质以分析函数值的变化，结合坐标关系和几何图形的性质（如三角形面积相等的条件、矩形对角线的性质及面积平分线的特点）建立方程进行求解，同时需要注意对不同情况的分类讨论以确保答案的完整性． 4．(1) (2)或 (3)①，见解析；②或 (4) 【分析】（1）直接根据新定义，进行求解即可； （2）联立两个函数，求出交点坐标即可； （3）①根据新定义，写出函数解析式，进行画出函数图象即可；②直接利用图象法进行求解即可； （4）根据四边形为正方形，推出，即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意，函数的“绞合函数”的函数解析式为； （2）解：∵， ∴一对“绞合函数”的解析式为和， 令， 解得， ∴定点坐标为和； （3）解：当，时，，， ①列表如下： 0 2 3 5 5 1 画出图象如下： ②由图象可知，当直线与该对“绞合函数”图象有4个交点时， 或； （4）解：∵和的顶点坐标分别为， ∴点均在轴上，且在原点的两侧， 令，解得， ∴， ∴两个函数的交点在轴上，且在原点的两侧， ∴当四边形为正方形时，为正方形的中心，， ∴， ∴． 5．(1)； (2)①，；②点P的坐标为；③点P的坐标为 (3)点的坐标为：或或． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、函数的图象和性质，正确确定线段的长度是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）①根据点的坐标，即可求解； ②若，则，即可求解； ③若，则，即可求解； （3）当为对角线时，由中点坐标公式得：，即可求解；当或为对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：由题意得：，解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：设点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 则点， 则； ①则，； 故答案为：，； ②若，则， 解得：（舍去）或， 即点； ③若，则， 解得：（舍去）或， 即点； （3）解：设点，点， 当为对角线时，由中点坐标公式得：， 解得：（舍去）或， 即点； 当或为对角线时，同理可得： 或， 解得：（舍去）或或， 故点的坐标为：或或． 综上，点的坐标为：或或． 6．(1)， (2) (3)存在，或 【分析】本题是二次函数的综合题，考查了一次函数和二次函数的图象和性质，菱形的性质，理解坐标与图形性质，熟练掌握两点间的距离公式，理解新定义是解题的关键． （1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形的内部或边上； （2）根据“梦之点”的定义和二次函数的解析式，求得，的坐标；根据二次函数的顶点式，求出抛物线的顶点，点的坐标，抛物线的对称轴，根据，即可求得答案； （3）设，由以为对角线，以、、、为顶点的四边形是菱形可得，利用两点间距离公式建立方程求解即可求得答案． 【详解】（1）∵矩形的顶点坐标分别是，，，， ∴设矩形的“梦之点”为，满足，， ∴点，，中，是矩形“梦之点”为点，． 故答案为：，． （2）∵，是抛物线上的“梦之点” ∴点，是直线上的点， ∴， ∴，， ∴，； ∵， ∴二次函数的顶点，二次函数的对称轴为， 设抛物线的对称轴交于， ∴， ∴ ∴ ． （3）存在，理由如下： 设， ∵以为对角线，以、、、为顶点的四边形是菱形， ∴， ∴， 解得：， 当，， ∴点； 当，， ∴点； 综上所述，点的坐标为：或者． 7．(1)抛物线的对称轴为直线； (2)①；②的值为或． 【分析】（1）根据题意求得，，再根据抛物线的对称性质求解即可； （2）①先利用待定系数法求得抛物线的解析式，求得点，再求得直线的解析式，求得，再利用三角形的面积公式求解即可； ②分当点在原点上方和下方两种情况讨论，根据，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：①将，代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵点是的中点， ∴点， 当时，， 则点， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∴； ②∵点是抛物线上一个动点， ∴，则， 当点在原点上方时， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵以点，，，为顶点的四边形为平行四边形， ∴，即， 解得， ∴； 当点在原点下方时， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵以点，，，为顶点的四边形为平行四边形， ∴，即， 解得， ∴； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，两点之间的距离公式和平行四边形的性质，是一道综合性较强的题，解题的关键是求出二次函数和一次函数解析式以及分情况讨论． 8．(1)，； (2)、的坐标分别为、； (3)详见解析 (4)点的坐标为：或或或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）令，解得或，即可求解； （3）由，，即可求解； （4）当为平行四边形的对角线时，由中点坐标公式列出方程组，进而求解；当、是平行四边形的对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 则， 即，； （2）解：令， 解得：或， 故点、的坐标分别为、； （3）证明：由抛物线的表达式知：点， 则点， 则，，， ，， ； （4）解：设点，点，， 当为平行四边形的对角线时，由中点坐标公式得：， 整理得：， 解得：舍去或， 则， 即点； 当是平行四边形的对角线时，可得：， 解得：， 即点； 当是平行四边形的对角线时，可得：， 解得：， 即点的坐标为或， 综上，点的坐标为：或或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，解直角三角形，平行四边形的性质，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键． 9．(1) (2)见解析； (3)，的最大值是20 【分析】本题主要考查了二次函数综合，矩形的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）联立两函数解析式得到一个一元二次方程，利用判别式求解即可； （3）根据题意可得，可证明点E和点F关于抛物线对称轴对称，则可得到，进而求出，，根据据此周长计算公式可得，据此利用二次函数的性质求出最大值即可． 【详解】（1）解：由题意可设抛物线的函数解析式为， 将点代入解析式可得，解得， 抛物线的函数表达式为； （2）证明：将直线与抛物线联立可得， 整理得； ∴， 直线与抛物线没有交点； （3）解：由题意得，则 ∵四边形是矩形， ∴， ∴点G和点D关于抛物线对称轴对称， ∴点E和点F关于抛物线对称轴对称， 由（1）可得抛物线对称轴为直线， ， ，． ，即与的函数关系式是 当时，的值最大，的最大值是20． 10．(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：，把点的坐标代入即可求出的值，即可得出抛物线解析式； （2）根据切线的判定，证明是的半径即可； （3）由题意知，是以，，，为顶点的平行四边形的边，利用平行四边形对边平行的性质，可得出直线的解析式，直线与抛物线的交点为，即可求出的长． 【详解】（1）解： 抛物线的顶点为， 可设抛物线的解析式为：， 抛物线经过点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）证明：，， ， ， ， ， ， 解得：， 的半径， 是的半径， 直线与相切； （3）解：点在抛物线上， 可设， 以，，，为顶点的四边形是平行四边形时， 可得：，， 点是的中点， ，， 设直线的解析式为，将点代入， 得：， 直线的解析式为， 点在上， ， 解得：，， ，， ，，，， 如图，    当点位于位置时， ， ， 当点位于位置时，同理可得：， ； 综上所述，的长是或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行四边形性质，圆的切线的判定，二次函数与几何图形的综合运用等知识，熟练掌握待定系数法，二次函数图象和性质等相关知识，灵活运用数形结合思想和方程思想是解题关键． 11．(1)， (2)存在这样的点C，使得四边形是正方形，点C的坐标为或 【分析】（1）将二次函数化为顶点式，然后求出点A的坐标；把代入抛物线的解析式，求出，得出点B的坐标即可； （2）分两种情况进行讨论，当在x轴下方时，当M在x轴上方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：， ， 当时，， ． （2）解：存在，理由如下： 由题意四边形是正方形，则是以点A为直角顶点的等婹直角三角形． 设， ①当在x轴下方时，如图1，过点C作轴于E，此时是等腰直角三角形， ， ， （舍去），， 此时． ②当M在x轴上方时，如图2，过点C作轴于F， 同理可得：， ， ，（舍去）， 此时． 综上所述，存在这样的点C，使得四边形是正方形，此时点C的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，正方形的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 12．(1)点； (2)抛物线的解析式为；或． 【分析】（）由得抛物线的对称轴为，再利用即可求解； （）由过，得，则设的值都不大于，，则，求出，因此对任意的实数都成立时取其范围中的最小值，故抛物线的解析式为； 由当点在上方时且在轴左侧时和当点在下方时且在轴右侧时两种情况讨论即可； 本题考查了二次函数的图象及性质和与特殊四边形的关系，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的对称轴为， ∴，即， 解得：， ∴点； （2）∵过， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， ∵代数式的值都不大于， ∴， ∵，即， ∴， ∴对任意的实数都成立时，， ∴取其范围中的最小值， ∴抛物线的解析式为； ∵抛物线的解析式为， ∴，，， 如图，当点在上方时且在轴左侧时， ∴解得：， 如图，当点在下方时且在轴右侧时， ∴，解得：， 综上可知：或． 13．(1) (2)0或1 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可； （2）根据题意可得，再由正方形的性质可得，从而得到关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵直线与x轴相交于点C． ∴点， ∵轴，，垂足分别为A，B．点P的横坐标为m． ∴， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 解得：（舍去）或或（舍去）或， 综上所述，m的值为0或1． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，正方形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $