2026年中考数学一轮复习 解直角三角形的应用高频考点预测练习

**基本信息** 聚焦解直角三角形实际应用，通过15道典型题构建“情境建模-辅助线构造-三角函数应用”的解题体系，强化几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |测量高度与距离|1,3,8题|构造双直角三角形，利用正切建立方程|三角函数定义→实际情境中的仰俯角→方程思想求解| |方向角与坡比|12,4,7题|方向角转化为直角三角形内角，坡比结合勾股定理|方向角/坡比概念→直角三角形边长关系→综合计算| |综合应用|5,14题|多位置观测数据整合，辅助线（延长/作垂线）构造模型|解直角三角形→跨情境数据关联→模型意识应用|

2026年中考数学复习备考 解直角三角形的应用 高频考点预测练 1．小明和爸爸去公园游玩，小明准备利用所学的知识测量公园内一塔的高度．测量方法如下：小明在点处直立一根2米的标杆，且发现，，三点共线，经测量的长度为，．已知，，并且，，三点在一条水平线上．请你根据以上信息，求出塔的高度．（参考数据：，，） 2．如图1是共享空气大炮，它是一种户外游乐设备．图2是其抽象示意图，垂直于水平地面，座椅靠背所在直线，且．经测量，，． (1)求的度数； (2)求点到水平地面的距离．（结果精确到．参考数据：，，） 3．综合与实践活动中，要用测角仪测量校园附近一座信号塔的高度． 某校研究性学习小组设计了一个方案：如图，该信号塔垂直于水平地面，其前方有一段台阶，台阶顶端D距离地面的高度，点E，C，A在同一条水平直线上，且．在点C处测得塔顶B的仰角为，又在台阶顶端D处测得塔顶B的仰角为． (1)求线段的长； (2)求信号塔的高度（结果取整数）．参考数据：，． 4．某中学校园教学楼前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小明站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角（从下往上看，视线与水平线的夹角）为，小颖站在教学楼门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角（从下往上看，视线与水平线的夹角）为，此时，两人的水平距离为，已知教学楼门前台阶斜坡的坡比即． (1)请计算台阶的高度； (2)求出孔子雕像的高度．（结果精确到．参考数据：，，） 5．南昌八一大桥是双独塔双索面扇形密索体系钢筋混凝土预应力斜拉桥（如图），是连接红谷滩区和东湖区的过江通道，原称“中正桥”，始建于年．某数学兴趣小组开展“测量主塔顶端距离水面高度”的实践活动，其测量示意图如图2所示：用高的标杆，在桥上测得主塔顶端的仰角分别为和，两标杆之间的距离，点，，，，，均在同一平面上，连接并延长，交于点．（结果取整数，参考数据：，，，） (1)求主塔在桥上的高度； (2)已知在标杆处测得主塔在水面处的俯角为，请求出主塔顶端距离水面的高度． 6．小刘与小王相约到岳麓山旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知点A、B、D、E、F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（如图所示）． (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为，缆车的速度为，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（换乘登山缆车的时间忽略不计，结果精确到）？ （参考数据：） 7．如图，数学活动小组欲测量山坡上一棵笔直的大树的高度，在平地处测得大树底端的仰角为，沿水平地面前进30米到达山坡的起点处，在处测得大树顶端的仰角，测得山坡坡比为（图中各点均在同一平面内），求这棵大树的高度．（结果取整数，参考数据：） 8．如图1是成都金融城双子塔，因其高度、创意造型和绚丽的夜景灯光，被誉为“成都最美天际线”之一．某数学实践小组测量其中一座塔（南塔）的高度，如图2，在塔的正前方广场上选取一点，测得塔顶的仰角为，然后沿着直线向塔的方向行走68米到达点，再次测得塔顶的仰角为，已知测角仪的高度为1.7米，求双子塔（南塔）的高度．（结果精确到0.1米；参考数据：，，，） 9．如图，在某机场的地面雷达观测站O处，观测到空中点A处的一架飞机的仰角为，飞机沿水平线方向飞行到达点B处，此时观测到飞机的仰角为 飞机继续沿与水平线成15°角的方向爬升到点C处，此时观测到飞机的仰角为   已知AB为 千米，(A、B、C、O、M、N在同一平面内)． (1)求O、B两点之间的距离； (2)若飞机的飞行速度保持12千米/分钟，求飞机从点B飞行到点 C所用的时间是多少分钟？ 结果精确到0.01) 10．某车棚的侧面如图①所示，立柱与地面垂直，为顶棚，为顶棚支撑杆，且为一块自然下垂的遮阳板（即）．已知立柱的高为，顶棚的宽度为，支撑杆的长度为，遮阳板的宽度为，支撑点与立柱顶端的距离长为． (1)求顶棚与立柱的夹角的正弦值；（结果保留根号） (2)如图②所示，某一时刻太阳光线与地面的夹角，求此时车棚在地面上遮阳的宽度的长．（结果保留根号） 11．某中学校园教学楼前一尊孔子雕像矗立于青草间，小华站在雕像前，自处测得雕像顶的仰角为，小刚站在教学楼门前的台阶上，自处测得雕像顶A的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知教学楼门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，） (1)请计算台阶的高度； (2)求出孔子雕像的高度． 12．如图，某海监局P位于东西方向的海岸线上，“前行”号与“远方”号轮船同时从海监局P出发，“前行”号以每小时16海里的速度沿南偏西方向航行，“远方”号以每小时12海里的速度沿固定方向航行，航行半小时后分别位于Q，R处，且相距10海里． (1)求“远方”号的航行方向； (2)若“前行”号继续沿原方向航行7海里到达点M，“远方”号继续沿原方向航行2海里到达点G，则此时“前行”号与“远方”号的距离是多少海里？ 13．如图1所示的茗阳阁被誉为“中原第一大阁楼”．某数学小组的同学想利用测角仪和皮尺测量茗阳阁的高度，他们的测量方案如下： 【测量方案】 第一步：如图2，在茗阳阁底部正东方向的点处测得塔顶的仰角为． 第二步：如图3，从点处出发，沿着南偏西的方向行进了到达点，且测得点在点南偏东方向上（点，，在同一水平地面上）． 【问题解决】 根据以上信息，求茗阳阁的高度（结果精确到．参考数据：，，，）． 14．某数学实践小组在查阅了斜拉桥的相关知识后，计划运用所学知识测量桥面上桥塔的高度，制定了如下方案： 【数据采集】如图，点是桥塔顶部一点，即为桥塔的高度．无人机在桥塔上方点处时，测得桥塔顶部处的俯角，底部处的俯角，沿水平方向由点行米到达点处，在处测得处的俯角．，已知图中各点均在同一竖直平面内． 【数据应用】 (1)请根据以上数据求桥塔的高度（结果精确到米．参考数据：，，，，，）； 【方案反思】 (2)某同学对该测量方案提出改进建议：考虑到现代无人机能实时显示点到水平地面的距离，则可减少需要采集的数据，请直接写出原数据采集方案（，，米，）中至多可以删减的数据为 ． 15．如图的海盗船是一项备受欢迎的游乐设施，主要由船体、悬臂、立柱、水平轴、站台构成．船体通过悬臂悬挂在立柱横梁上，最低点与站台齐平，运行时船体绕水平轴往复摆动，座椅随船体同步运动．图2为海盗船的正面示意图，点为水平轴，悬臂与悬臂的夹角为，点为的中点（即船体最低点），若矩形站台高2米，摆角．已知时，点离地面的高度为米． (1)求悬臂的长； (2)某乘客坐在船体最低点处，当船体由静止状态摆动到时，求该乘客竖直上升的高度．（结果精确到米．参考数据：） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年中考数学复习备考 解直角三角形的应用 高频考点预测练》参考答案 1．18米 【分析】先证出得到比例，利用求出相关线段的长，代入到比例式中，解出即可． 【详解】解∵，， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵，的长度为， ∴设 ，则，， ∴ 解得 经检验是原方程的解，符合题意， ∴（米）． 2．(1) (2)点到水平地面的距离 【分析】（1）延长，交于点，由题意易得，则有，然后根据四边形内角和可进行求解； （2）过点作，由题意易得四边形是矩形，则有，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】（1）解：延长，交于点，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：过点作，如图所示： ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 答：点到水平地面的距离． 3．(1)线段的长为 (2)信号塔的高度约为 【分析】（1）根据计算即可； （2）过点D作交于点F，在中，设，推出，，在中，结合计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴线段的长为． （2）解：如图，过点D作交于点F， 在中，设， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， 即， 解得， 即， ∴信号塔的高度约为． 4．(1)台阶的高度为； (2)孔子雕像的高度约． 【分析】（1）直接根据计算即可； （2）过作于，可知四边形是矩形，得到，，设，根据三角函数求出x的值即可． 【详解】（1）解：，， ， 即台阶的高度为； （2）解：过作于， 由题意得，四边形是矩形， ，， 设，则， 在中，， ， ， 在中，， ， 即， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：孔子雕像的高度约． 5．(1) (2) 【分析】（1）根据题意得出，，，即可得出，利用的正切函数值得出，利用可求出的长，进而求出的长即可； （2）在中，利用的正切函数求出，进而可求出的长． 【详解】（1）解：∵用高的标杆，在桥上测得主塔顶端的仰角分别为和， ∴，，，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 答：主塔在桥上的高度约为． （2）解：在中，，， ∴， ∴． 答：主塔顶端距离水面的高度约为． 6．(1)登山缆车上升的高度DE为 (2)从山底A处到达山顶D处大约需要 【分析】（1）过点B作于点M，求出，再根据即可得到答案； （2）求出，再根据即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，过点B作于点M， 由题意可知，， 在中，，， ， ； 答：登山缆车上升的高度为； （2）解：在中，，， ， 从山底A处到达山顶D处需要的时间， 答：从山底A处到达山顶D处大约需要 ． 7．20米 【分析】过点作交，延长线于点，先可证明米，然后解直角三角形即可求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， 由题意得，，，米， ∵山坡坡比为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴在中，（米），（米）， ∴在中，（米）， ∴（米）． 答：这棵大树的高度约为20米． 8．米 【分析】连接并延长，交于点，由题意知于点，于点，于点，则四边形、、是矩形．由矩形的性质可得米，米．设米，则米，再解直角三角形即可得出结果． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点， 由题意知于点，于点，于点， 四边形、、是矩形． 米，米． 设米， 米． 在中，，， ，即， ． 在中，，， ，即， ， ， ， （米）， （米）， 双子塔（南塔）的高度约为． 9．(1)24千米 (2)2.45 【分析】（1）由题意知飞机从A到B沿水平线飞行，故A、B两点高度相同．设此高度为h，利用仰角的正切值分别表示A、B两点到观测站O的水平距离，根据长度建立关于的方程，求出后再利用三角函数求． （2）由题意知B、C两点的仰角均为，且飞机从B到C沿与水平线成角的方向爬升，结合图形可知B、C两点分别位于O点两侧．利用三角函数建立方程求出C点高度，再用勾股定理求长度，最后根据速度公式求飞行时间． 【详解】（1）解：分别过点A，B作 于点D，于点E， 设， 在点A处观测飞机的仰角为， ， 在点B处观测飞机的仰角为， ， 飞机沿水平线方向从A飞行到B， ， ∴ ， （2）解：延长交于点M，过点B作于点M， 由题意，B、C两点的仰角均为，且BC与水平线成角， ∴， ，， ∴ 在中， ， 在中， ， 飞机从点B飞行到点 C所用的时间是： 分钟 10．(1) (2)此时车棚在地面上遮阳的宽度的长为 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是读懂题意，作辅助线构造直角三角形解决问题． （1）过作于，求出，可得，由锐角三角函数定义可得答案； （2）过作于，过作于，延长交于，结合（1），由为，可得，故，再求出，可得，故． 【详解】（1）解：过作于，如图： 根据题意，，， ， ， ， ， ； （2）解：过作于，过作于，延长交于，如图： 由（1）知， ， 为， ， ， ，， ， 为， ， ， ，即， ， ； 此时车棚在地面上遮阳的宽度的长为． 11．(1)台阶的高度为 (2)孔子雕像的高度为 【详解】（1）解：作， 由题意，得，，，，， ∵教学楼门前台阶斜坡的坡比为， ∴， ∴． 答：台阶DE的高度为． （2）解：设，则， 在中，，∴， 在中，，∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 答：孔子雕像的高度为． 12．(1)南偏东方向 (2)17海里 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，能够熟练运用勾股定理是解题的关键． （1）根据题意可以计算出的边长，再利用勾股定理的逆定理即可求解； （2）利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：由题知，，，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且, ∴， 则“远方”号沿南偏东方向航行； （2）解：由题意，得，， 在中，， ∴， ∴此时“前行”号与“远方”号的距离是17海里． 13． 【分析】在图3上过点作于点，由题意可知，，，根据30度角的性质得到，根据勾股定理得到，根据等角对等边得到，可知，在图2的中，根据三角函数求解即可． 【详解】解：在图3上过点作于点，如解图所示． 由题意，得，，， 在中，， ． ． 在中，， ． ． 在图2的中，，， ． 答：茗阳阁的高度约为． 14．(1)桥塔的高度约为米； (2)米和． 【分析】（）延长交于点，则，所以，设米，米，在中，则，故米，所以，从而求得米，米，在中有，然后通过线段的和与差，代入即可求解； （）由现代无人机能实时显示点到水平地面的距离，即为已知，设米，同（）理可得，故只需数据，，从而求解． 【详解】（1）解：如图，延长交于点，则， ∴， 在中，， ∴， 设米，则米， 在中，， ∴， ∴米， ∵沿水平方向由点行米到达点处， ∴， 解得：， ∴（米），（米）， 在中，， ∴， ∴， ∴（米）， 答：桥塔的高度约为米； （2）解：由现代无人机能实时显示点到水平地面的距离，即为已知，设米，如图， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴只需数据，， ∴原数据采集方案（，，米，）中至多可以删减的数据为米和， 故答案为：米和． 15．(1)悬臂的长约为米 (2)该乘客竖直上升的高度约为米 【分析】（1）先证明四边形是矩形，整理得出米，，再把数值代入，进行计算，解得米，即可作答． （2）根据在中，，代入数值得（米），最后计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图，过点作于点．延长交地面于点． ∵ ∴四边形是矩形， 米． 米， 米， 米． ，点为的中点， ， ． 在中，， 即， 解得米， 即悬臂的长约为米； （2）解：如图，过点作于点． 在中，， （米）， （米）． ∴该乘客竖直上升的高度约为米． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $