函数与导数：利用导数研究函数零点数量问题、利用导数证明不等式问题 讲义-2026届高三数学三轮冲刺

该高中数学高考复习讲义聚焦函数与导数两大核心考点，即利用导数研究函数零点数量问题和证明不等式问题，按考点梳理定义、工具、判定依据等知识点，通过知识点解析、解题思路指导、真题例题与变式训练的教学环节，帮助学生系统构建知识体系，针对性突破难点。 资料以数学思维和数学语言为核心，如在零点问题中引导学生用导数求单调区间、极值结合零点存在定理推理零点个数，在不等式证明中通过构造辅助函数分析最值培养模型意识。设计例题与变式分层训练，助力学生在有限时间内高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏提供清晰框架，有效提升学生应考能力。

2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 函数与导数：利用导数研究函数零点数量问题、利用导数证明不等式问题复习讲义 考点目录 利用导数研究函数零点数量问题 利用导数证明不等式问题 知识点解析 考点一 利用导数研究函数零点数量问题 知识点 1. 零点定义：的根，等价于函数图像与轴交点横坐标 1. 核心工具：导数求单调区间、极值、最值、极限趋势 1. 判定依据：零点存在定理 + 单调性，确定零点个数 解题原理 通过导数判断函数增减区间，求出极值正负，结合端点与无穷处函数值，依据图像走势判定交点个数。 解题思路 1. 求导确定单调区间与极大、极小值； 1. 计算极值、区间端点函数值； 1. 判断极值正负，结合函数趋势； 1. 结合零点存在定理，确定零点总数。 考点二 利用导数证明不等式问题 知识点 1. 常见类型：单变量不等式、双变量不等式、含参不等式 1. 核心方法：构造新函数、作差法、最值法 1. 常用结论：证明即证 解题原理 移项构造辅助函数，利用导数研究其单调性与最小值，证明最小值恒大于 0 即可得证。 解题思路 1. 移项变形，构造单一辅助函数； 1. 求导分析单调性，求出函数最值； 1. 证明最值满足不等式关系； 1. 双变量统一变量，同构换元后再证。 考点一 利用导数研究函数零点数量问题 【例题分析】 例1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)令，若函数在上存在两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求，再求，，然后根据导数的几何意义求切线方程即可； （2）根据题意可知存在，使，参变分离得，令函数，再利用导数结合交点个数求参数范围即可． 【详解】（1）解：由题意，，则， . ∴曲线在点处的切线方程为， 即； （2）解：由题意，. 在上存在两个零点， ∴存在，使， 即. 令函数，则直线与函数的图象有两个交点. ， 由，得. 当时，；当时，， ∴函数在上单调递减，在上单调递增，则. ∵当时，；当时，， ∴当时，直线与函数的图象有两个不同交点， ∴实数的取值范围是． 例2．（25-26高二下·四川内江·期中）已知函数. (1)若，求函数在的最值； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)最大值为，最小值为. (2)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. (3). 【分析】（1）将代入得到具体函数表达式，对函数求导，判断导数在区间上的符号，确定函数单调性，根据函数单调性求出区间端点的函数值，进而得到最值； （2）对求导，将导函数整理为关于的因式形式；参数的取值会影响导数的符号，分和两种情况讨论正负所在的区间，确定函数单调性； （3）结合（2）中得到的函数单调性，分析函数的极值情况；因为函数有两个零点，根据不同的取值范围，分析函数的最值、极限趋势，结合零点存在定理确定的取值范围. 【详解】（1），则； ，即在内单调递减. ，； 即函数在时的最大值为，最小值为. （2），则函数的定义域为. . 当时，，即在上单调递减； 当时，令，即，解得. 若，则，即在上单调递增； 若，则，即在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）知，当时，在上单调递减， 最多只有一个零点，不符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，也是最小值； 即 有2个零点，，即. 令，则； 在上单调递增. 又， 时，； ，得； 即的取值范围为. 例3．（2026·甘肃嘉峪关·三模）已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若函数有两个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，按分类确定函数的单调区间，进而由两个零点建立不等式求解. 【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而， 所以函数的图象在处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增，最多一个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 当从大于0的方向趋近于0时，；当时，， 函数有两个零点，当且仅当， 则，解得，所以实数a的取值范围是. 【变式训练】 变式1．（2026·河南新乡·三模）已知函数. (1)若，求的图象在点处的切线方程； (2)若，求的最大值（用表示）； (3)若有且仅有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出函数的导数后可求切线方程； （2）求出函数的导数后根据其符号可得函数的单调性，从而可求的最大值； （3）就、、、、分类讨论函数的极小值的符号后可得参数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则. 因此所求切线方程为，即. （2）函数的定义域为， . 当时，， 令，得，由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为. （3）①由（2）知当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 函数的最大值为， 又因为当且时，，当时，， 所以当，即时，有两个零点， 当，即时，有且仅有一个零点. ，即时，无零点. ②当时，，所以有且仅有一个零点1. ③当时，由，得， 由，得， 则函数在上单调递增，在和上单调递减， 函数在处取得极小值. 令，则， 当时，，函数在上单调递减， ，即，， 当时，则， 因此存在唯一的，使得，则有且仅有一个零点. ④当时，，函数在上单调递减， 而， 因此存在唯一的，使得，则有且仅有一个零点. ⑤当时，由，得，由，得， 则函数在上单调递增，在和上单调递减， 函数在处取得极小值， 与③同理存在唯一的，使得，则有且仅有一个零点. 综上，若有且仅有一个零点，的取值范围为. 变式2．（2026·安徽合肥·二模）设函数. (1)证明：曲线在点处的切线过定点，并求出该定点坐标； (2)若有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）借助导数几何意义计算可得曲线在点处的切线方程，再求出该切线所过定点即可得； （2）求导后分及讨论该函数单调性，结合零点存在性定理可得不符， 时需满足，解出即可得. 【详解】（1）因为，， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为：， 即，即， 所以曲线在点处的切线过定点； （2），， 当时，，则在上单调递减， 此时最多有一个零点，不满足题意； 当时，令，解得，令，解得， 于是在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，，当时，， 又因为有两个零点， 所以，即， 解得或， 因此，的取值范围为. 变式3．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程. (2)当时，证明：当时，. (3)若有两个零点，求a的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据导数的几何意义，求出和，利用点斜式写出切线方程； （2）设，利用导数得在上恒成立，从而可得函数的单调性和最值； （3）设，分情况：，，和研究函数单调性和最值，从而得解. 【详解】（1）当时，，则， 从而，， 故曲线在点处的切线方程为， 即； （2）设，则. 显然在上恒成立，所以在上单调递减. 又，所以在上恒成立， 所以在上单调递增， 故，即当时，. （3）由题意可得. 设，则. ①若，显然，则在上单调递增，即在上单调递增. 又，所以当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 又，所以只有一个零点，故不符合题意. ②若，则当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增. 又，所以，又， 所以存在唯一的，使得. 当时，，当时，， 则在，上单调递增，在上单调递减. 又，所以，又当时，， 所以恰有两个零点，则符合题意. ③若，则由（2）知在R上恒成立，所以在上单调递增， 又，所以只有一个零点，则不符合题意. ④若，则当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增. 又，所以，又， 所以存在唯一的，使得. 当时，，当时，， 则在，上单调递增，在上单调递减. 又，所以，又当时，， 所以恰有两个零点，则符合题意. 综上，a的取值范围为. 考点二 利用导数证明不等式问题 【例题分析】 例1．（2025·河北衡水·模拟预测）已知函数 (1)求的最小值； (2)若有两个零点，证明： 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）首先求函数的导数，再判断函数的单调性，最后求函数的最值； （2）首先根据方程构造函数，再根据函数有两个零点，利用同构，以及构造函数，由函数的单调性得到，再构造函数根据函数的单调性，继续构造函数，根据的单调性和端点值，证明不等式 【详解】（1）由题意知函数的定义域为 则令得；令，得 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以 （2）证明：不妨设，则由(1)知， 设，由 得 即 因为函数在R上单调递增， 所以                                         构造函数 则 令，得，令，得 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增． 构造函数 则 所以在区间上单调递增， 所以当时，，即当时， 所以 又在区间上单调递减， 所以，即. 例2．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围； (3)证明：当时，. 【答案】(1)． (2)． (3)证明见解析． 【分析】（1）当时，先求和，再利用切线方程求解． （2）先由和得到右侧差商的极限不小于，从而得到；再证明当时，利用可得，从而确定的取值范围． （3）分别证明两个不等式和，再将两式相乘得到结论． 【详解】（1）当时，，所以. 又，所以. 故曲线在点处的切线方程为. 即. （2）因为. 若对任意非负实数恒成立，则对任意，有. 当从正数一侧趋近于时，得. 又，所以. 从而. 下面证明当时，原不等式恒成立． 令. 则. 令. 则. 当时，，又，所以，即． 又，所以当时，，即. 因此当时，. 若，则，所以． 又，故对任意非负实数恒成立． 综上，的取值范围为. （3）先证明. 由第（2）问中的证明可知，当时，. 所以. 再证明. 令. 则. 且. 当时，，所以． 因此. 由于，上面两个不等式右边都为正数，所以两式相乘，得. 即. 故原不等式成立． 例3．（2026·新疆·二模）已知函数． (1)若，求函数的极值； (2)（ⅰ）当时，恒成立，求正整数k的最大值； （ⅱ）证明：． 【答案】(1)极小值，无极大值； (2)（ⅰ）3；（ⅱ）证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，确定单调区间，进而求出极值. （2）（ⅰ）利用（1）中单调区间，按分类，借助单调性求出最小值，再构造函数，结合零点存在性定理求解；（ⅱ）由（ⅰ）的信息，结合赋值法、裂项相消法求和即可得证. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得，而， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值，无极大值. （2）（ⅰ）由（1）知，当时，函数在上单调递增，，因此； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， ，令函数，求导得， 函数在上单调递减，而， 则存在，，即， 因此当时，， 所以正整数k的最大值为3. （ⅱ）由（ⅰ）知，当时，恒成立， 即对恒成立，取， 则， 因此 ， 即， 所以. 【变式训练】 变式1．（2026·福建福州·模拟预测）已知函数. (1)当时，求函数在上的值域； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数判断在上的单调性即可求解； （2）问题转化为在上恒成立，令，利用二阶导数求的最小值，对二阶导数的符号进行分类讨论，分，，三种情况进行讨论； （3）利用（2）的结论可得，进而利用放缩可得，然后利用裂项相消求和可证明不等式的左半部分，令，利用导数证明当时，，再利用放缩可得，最后利用裂项相消求和可证明不等式的右半部分. 【详解】（1）当时，，则， 令，则，即； 令，则，即. 所以在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以的值域为. （2）由，得， 设，则， ， 设，则， 所以当时，，所以在上单调递增， 所以. ①当时，在上单调递减，则，不满足题意； ②当时，，使得， 当时，在上单调递减，则，不满足题意； ③当时，在上单调递增，则，满足题意. 综上可得，即实数的取值范围是. （3）由（2）得，当时，任意恒成立， 即， 所以， 所以 . 令，则， 存在，使得. 则当时，；当时，， 于是在上单调递增，在上单调递减，而， 所以，即当时，. 所以， 所以. 综上所述，. 变式2．（2026·青海海东·三模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，，求的取值范围； (3)证明：，，． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析. 【分析】（1）先求出切点坐标，切线斜率，然后用点斜式方程求出切线方程； （2）利用分离参数法求，只需要，恒成立，从而求出； （3）先证明：，， ，再左右两边累加可证明原不等式. 【详解】（1）当 时， ， ， ，， ，即，整理得：； （2），，， 则， 当 时，左边为 0，右边为 ，等号成立； 当 时，，不等式可化为：，令 ，，则 ， ， 令 ，，则 ， 因此 在 单调递增，且 ，故 时 ，即 ， 在 单调递增，故 ， 由洛必达法则得 ，因此 ，故 ， 所以 的取值范围是 ； （3）先证明：，，， 构造函数 ，其中 ， 所以 在 上单调递增，, 所以当 ， 即 ，，令， 把 代入上式： ， 所以，，，即， 所以，，，， 累加得：> 所以> 所以，，. 变式3．（2026·福建漳州·三模）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若，求的最大值； (3)若函数有零点，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)． (3)证明见解析 【分析】（1）通过对求导，分和两种情况，根据导数的符号判断函数的单调性； （2）法1，先由得到，再验证当时恒成立，从而确定的最大值为；法2，分、、三种情况讨论，利用函数最小值非负得到，构造函数，通过求导求其最大值，得到的最大值为的最大值为； （3）由存在零点，将问题转化为点到直线的距离不大于，再利用对不等式放缩，最终得证；通过三角换元，将问题转化为三角函数有界性问题，再利用对不等式放缩，最终得证. 【详解】（1）因为，所以， ①若，则，所以在上单调递增； ②若，则由，得，由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增． （2）法1：由，即，得． 当，时，，下面证明此时成立， 此时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增， 所以成立． 综上，的最大值为． 法2：①若，则 当时，， 当时，， 所以当且时，，不合题意． ②若，则的值域为， 所以，所以． ③若，则结合（1）得，， 即，即，所以， 令，则， 当时，单调递增；当时，单调递减， 所以， 当时，． 综上，的最大值为． （3）法1：若有零点，设零点为， 则， 即， 即， 这说明点在直线上， 设点到直线的距离为， 则，即， 由（2）知，，仅当时，“=”成立， 所以 所以． 法2：若有零点，设零点为， 则， 即， 即， 设，则， 即，其中， 所以， 所以， 由（2）知，，仅当时，“=”成立， 所以 所以． 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 函数与导数：利用导数研究函数零点数量问题、利用导数证明不等式问题复习讲义 考点目录 利用导数研究函数零点数量问题 利用导数证明不等式问题 知识点解析 考点一利用导数研究函数零点数量问题 知识点 1.零点定义：f(x)=0的根，等价于函数图像与x轴交点横坐标 2.核心工具：导数求单调区间、极值、最值、极限趋势 3.判定依据：零点存在定理+单调性，确定零点个数 解题原理 通过导数判断函数增减区间，求出极值正负，结合端点与无穷处函数值，依据图像走势判定交点个数。 解题思路 1求导确定单调区间与极大、极小值： 2.计算极值、区间端点函数值； 3.判断极值正负，结合函数趋势： 4.结合零点存在定理，确定零点总数。 考点二利用导数证明不等式问题 知识点 1.常见类型：单变量不等式、双变量不等式、含参不等式 2.核心方法：构造新函数、作差法、最值法 3.常用结论：证明fx)>g(x)即证f(x-gx)>0 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 解题原理 移项构造辅助函数，利用导数研究其单调性与最小值，证明最小值恒大于0即可得证。 解题思路 1.移项变形，构造单一辅助函数： 2.求导分析单调性，求出函数最值； 3.证明最值满足不等式关系； 4.双变量统一变量，同构换元后再证。 考点一 利用导数研究函数零点数量问题 【例题分析】 例1.(2026陕西榆林·模拟预测)已知函数f(x)=e-ax-l,a∈R,gx=xlnx (1)当a=2时，求曲线y=f(x在点(1，f1)处的切线方程； (2)令F(x)=∫(x-gx),若函数F(x)在(0，+0)上存在两个零点，求实数a的取值范围 例2.(25-26高二下四川内江·期中)已知函数f(x=ae2+a-2)e*-x. (1)若a=0,求函数在x∈[1,3]的最值； (2)讨论∫(x)的单调性； (3)若f(x)有两个零点，求a的取值范围 2 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 例3.(2026~甘肃惑峪关三模)已知函数f)=nx+ar。 (1)若a=1,求函数f(x)在x=1处的切线方程； (②)若函数∫(x)有两个零点，求实数a的取值范围. 【变式训练】 变式1.(2026河南新乡·三模)已知函数f(x)=-alnx+(2a+1)x-x2. (若a=弓求)的图象在点，0)处的切线方程， (2)若a<0,求f(x)的最大值（用a表示）： (3)若∫(x)有且仅有一个零点，求实数a的取值范围. 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 变式2.(2026安徽合肥二模)设函数f(x)=ax+二+(a-1)lnr-2 (1)证明：曲线y=∫(x在点1，∫1)处的切线过定点，并求出该定点坐标； (2)若(x)有两个零点，求a的取值范围. 变式3.(2026贵州黔东南模拟预测)已知函数f(x)=e-ax2-x-1. (①当a=时，求曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线方程 2当a=时，证明：当x<0时，fx)≤0 (3)若fx)有两个零点，求a的取值范围. 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 考点二 利用导数证明不等式问题 【例题分析】 例1.(2025河北衡水·模拟预测)己知函数()=二-nx+x (I)求h(x)的最小值： (2)若h(x)=a有两个零点x,x2,证明：xx2<1. 例2.(2026河南开封模拟预测)已知函数f(x=2e-x2+a-2)x-2,a∈R. (1)当a=2时，求曲线y=fx在点(0，f(0)处的切线方程； (2)若f(x)≥0对任意的x∈[0，+0)恒成立，求a的取值范围； (3)证明：当x>0时，(e-1ln(x+1)>x2. 5 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 例3.(2026~新疆二模)已知函数f)=n1+)-C+1. x+1 (1)若k>0,求函数f(x)的极值； (2)(i)当x>0时，f(x)>0恒成立，求正整数k的最大值； （i）证明：1+1×2X1+2×3)…+mn+1>e2. 【变式训练】 变式1.(2026·福建福州模拟预测)己知函数fx=2sinx-ax, (1)当a=1时，求函数fx)在[0，π上的值域： ②若对任意r0写引 都有fx≥xcosx,求实数a的取值范围； (3)证明：2n+4<ta 2+tan 1 2+an 1 2++tan<8n∈N)） (n+1<3元 6 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 变式2.(2026·青海海东三模)已知函数f)=a-2）-1n(x-D. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线方程； (2)若x∈[2，+oo)，,f(x)≤0，求a的取值范围： ⊙证勇：m2,eN.}甘+h n 2 变式3.(2026福建漳州三模)已知函数f(x)=e,gx)=ax+b-1,u(x)=f(x)-gx. (1)求函数ux的单调区间： (2)若u(x≥0，求a+b的最大值； 3)若函数(x)=f(x)-e(1nr-l刂-g(x有零点，证明：a2+(b-1)2≥e