8.5 椭圆 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦椭圆高考核心考点，涵盖定义、标准方程及几何性质，按“定义—方程—性质”逻辑架构梳理知识，通过知识清单系统梳理、自主诊断检测基础、命题点分类讲解（含例题与跟踪训练）、真题演练强化应用，帮助学生构建完整知识体系，突破离心率计算、焦点三角形等难点。 资料突出考教衔接与分层教学，结合教材改编题实现知识迁移，通过学霸笔记总结定义法、待定系数法等解题策略，如离心率问题结合a,b,c关系推理培养数学思维，焦点三角形面积最值问题渗透模型意识，助力学生高效掌握解题技巧，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第五节　椭圆 知识清单 1.椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于________(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数 剖析　在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹不是椭圆，而是连接两定点的线段(包括端点)；若2a<|F1F2|，则轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程和几何性质 焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0) 图形 x，y的 范围 ____________ ____________ 对称性 对称轴：________，对称中心：________ 顶点 A1________， A2________， B1________， B2________ A1________， A2________， B1________， B2________ 轴长 长轴A1A2的长为________， 短轴B1B2的长为________ 焦点 F1______，F2______ F1______，F2______ 焦距 |F1F2|＝________ 焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 离心率 e＝________∈(0，1) a，b，c 的关系 ________ 剖析　椭圆的离心率与椭圆的扁平程度有关，e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆． 【常用结论】 1．若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，O为椭圆中心，则(1)b≤|OP|≤a；(2)a－c≤|PF|≤a＋c. 2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形，如图所示，设∠F1PF2＝θ. (1)|PF1|＝最大，最大值为bc； sin θ＝b2tan ； (3)|PF1|·|PF2|≤2＝a2. 3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝. 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　) (2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　) (3)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．(　　) (4)椭圆＝1(a>b>0)与椭圆＝1(a>b>0)的焦距相同．(　　) 2．(人教A版选修一P109T1改编)如果椭圆＝1上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点P到另一个焦点F2的距离是(　　) A．4　　　B．14　　　C．12　　　D．8 3．(人教A版选修一P116习题T12改编)若椭圆C：＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为(　　) A．3 B．2＋ C．2 D．＋1 4．(人教A版选修一P112T4(2)改编)长轴长为20，离心率为的椭圆的标准方程为____________________________． 考教衔接·活用教材　探究式精练 收获一个“赢” 命题点一　椭圆的定义及应用 例1 (1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝81和C2：(x－3)2＋y2＝1，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，则该动圆圆心的轨迹为(　　) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)设F1，F2为椭圆C：＝1的两个焦点，点P在C上，若＝0，则|PF1|·|PF2|＝(　　) A．2　　　B．4 C．6　　　D．8 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及椭圆的弦长、最值等； (2)与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系． 　跟踪训练　(1)(衔接·人教A版选修一P115习题T6)已知圆M的方程为(x＋1)2＋y2＝16，定点N(1，0)，P为圆M上任意一点，线段NP的垂直平分线与直线MP相交于点Q，则点Q的轨迹为(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 (2)(衔接·人教A版选修一P109练习T3)经过椭圆＝1的右焦点F2作直线交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点，则△AF1B的周长是________． 命题点二　椭圆的标准方程 例2 (1)已知椭圆的两个焦点为F1＝8，则该椭圆的方程是(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，则椭圆的方程为________________． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程； (2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可． 　跟踪训练　(1)已知动圆P过点A(－1，0)，且与圆C：(x－1)2＋y2＝16内切，则点P的轨迹方程为(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．y2＋(x－2)2＝9 (2)已知四点A，B(1，1)，C(0，1)，D中恰有三点在椭圆E上，则椭圆E的标准方程为________． 命题点三　椭圆的几何性质 考向1　与离心率有关的问题 例3 (1)(链接·2023年新高考Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝e1，则a＝(　　) A． B． C． D． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)(2026·石家庄模拟)已知椭圆E：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，右顶点为A，F1到直线AB的距离为b，则椭圆E的离心率为(　　) A． B． C． D． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解； (2)列出含有a，b，c的齐次方程(不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(不等式)求解； (3)利用公式e＝求解． 　跟踪训练　(1)(衔接·人教A版选修一P145复习参考题T2(1))椭圆＝1与椭圆＝1(k＜9)的(　　) A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 (2)已知椭圆C：＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点O为坐标原点，点P为椭圆C上一点，点Q为PF2的中点，若△QOF2的周长为6，则椭圆C的离心率为(　　) A． B． C． D． 考向2　与椭圆有关的最值(范围)问题 例4 (1)已知F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，点M在椭圆C上，则的最小值是(　　) A．－1 B．1 C．3 D．4 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)已知F1，F2分别为椭圆＝1的左、右焦点，椭圆内一点M的坐标为(2，－6)，P为椭圆上的一个动点，则|PM|＋|PF2|的最大值是________． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)充分利用椭圆的几何性质，结合图形进行分析． (2)注意利用椭圆中的范围，如－a≤x≤a，－b≤y≤b，0＜e＜1，构造不等式． (3)列出所求目标的解析式，构造函数，利用单调性或基本不等式求最值或范围． 　跟踪训练　(1)设F是椭圆C：＝1的一个焦点，过椭圆C中心的直线交椭圆于P，Q两点，则△PQF的周长的最小值为(　　) A．12 B．14 C．16 D．18 (2)若椭圆C：＝1(a>b>0)上存在一点P到其左、右焦点的距离之比为3∶1，则椭圆C离心率的取值范围为________． 第五节　椭圆 必备知识·助学教材 知识清单 1．常数　焦点　焦距 2．－a≤x≤a，－b≤y≤b　－b≤x≤b，－a≤y≤a　坐标轴　原点 (－a，0)　(a，0)　(0，－b)　(0，b)　(0，－a)　(0，a)　(－b，0)　(b，0)　2a　2b 　(－c，0)　(c，0)　(0，－c)　(0，c) 2c　　　c2＝a2－b2 自主诊断 1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．解析：由椭圆方程可知a＝10，根据椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝20，|PF1|＝6，∴|PF2|＝14. 答案：B 3．解析：椭圆的标准方程为＝1，长半轴a＝2，半焦距c＝1，焦点坐标为(1，0)，(－1，0)．椭圆上点到焦点的最大距离为a＋c＝3.故选A. 答案：A 4．解析：根据题意得椭圆的长轴长为20，即2a＝20，则a＝10，又由其离心率e＝＝，则c＝6，则b2＝a2－c2＝100－36＝64， 分两种情况讨论： ①椭圆的焦点在x轴上，则其标准方程为＝1； ②椭圆的焦点在y轴上，则其标准方程为＝1. 故椭圆的标准方程为＝1或＝1. 答案：＝1或＝1 考教衔接·活用教材 例1　解析：(1)圆C1：(x＋3)2＋y2＝81和C2：(x－3)2＋y2＝1的圆心、半径分别为C1(－3，0)，r1＝9，C2(3，0)，r2＝1，由|C1C2|＝6<9－1＝8可知圆C2内含于圆C1内．设动圆半径为R，由题意|C2P|＝r2＋R，|C1P|＝r1－R，两式相加可得|PC1|＋|PC2|＝r1＋r2＝10>|C1C2|＝6，故P点的轨迹为以C1，C2为焦点的椭圆．故选B. 解析：＝0，∴PF1⊥PF2，又椭圆C：＝1，则|PF1|·|PF2|＝－(|PF1|2＋|PF2|2)]＝8.故选D. 答案：(1)B　 答案：(2)D 跟踪训练　解析：(1)因为圆M的圆心为M(－1，0)，半径为r＝4，由题知|QN|＝|QP|，又|QP|＋|QM|＝r＝4，则|QN|＋|QM|＝4>|MN|＝2，所以点Q的轨迹是以M(－1，0)，N(1，0)为焦点的椭圆．故选A. 解析：(2)因为a2＝25，所以a＝5.△AF1B的周长＝|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝|AF2|＋|AF1|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝20. 答案：(1)A　 答案：(2)20 例2　解析：(1)设|MF1|＝m，|MF2|＝n，∵MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，|F1F2|＝2，∴m2＋n2＝20，mn＝8，∴(m＋n)2＝36，∴m＋n＝2a＝6，∴a＝3，∵c＝，∴b＝2，∴椭圆的方程是＝1.故选C. 解析：(2)设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m，n＞0，m≠n)．由椭圆经过两点(－)，()，可得解得m＝，n＝.∴椭圆的方程为＝1. 答案：(1)C　 答案：(2)＝1 跟踪训练　解析：(1)设动圆P的半径为r，则r＝|PA|，|PC|＝4－r，∴|PC|＋|PA|＝4>|AC|, ∴点P的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，故长半轴a＝2，半焦距c＝1，则短半轴 b＝，∴点P的轨迹方程为＝1.故选C. 解析：(2)因为椭圆E为标准方程，其图象关于坐标轴对称，点A(1，)与点D(－1，)关于y轴对称，又恰有三点在椭圆上，可知A，D两点必在椭圆上，若点B(1，1)也在椭圆上，设椭圆方程为＝1，则将A，B坐标代入椭圆标准方程＝1可得此方程组无解，故点B不在椭圆上，因此，在椭圆上的三点为A，C，D，设椭圆方程为＝1，将A，C代入椭圆可得解得所以椭圆方程为＋y2＝1. 答案：(1)C　 答案：(2)＋y2＝1 例3　解析：(1)由e2＝e1，得＝，因此＝3×，而a>1，所以a＝.故选A. (2)设椭圆上顶点的坐标B(0，b)，右顶点的坐标A(a，0)，左焦点F1(－c，0)，则直线AB的方程为＝1，即bx＋ay－ab＝0，由F1到直线AB的距离为b，得＝b，又b2＝a2－c2，化简得2c2＋2ac－a2＝0，即2()2＋－1＝0，所以2e2＋2e－1＝0，解得e＝或e＝(舍去)．故椭圆E的离心率为.故选C. 答案：(1)A　 答案：(2)C 跟踪训练　解析：(1)椭圆＝1的长轴长为2×5＝10，短轴长为2×3＝6，焦距为2×4＝8，离心率为.椭圆＝1(k＜9)的长轴长为2，短轴长为2，焦距为2＝8，离心率为，所以两个椭圆的焦距相等．故选D. 解析：(2)因为Q为PF2的中点，而O是F1F2的中点，所以|OQ|＝|PF1|， 所以△QOF2的周长是△PF1F2周长的一半，又△QOF2的周长为6，所以△PF1F2的周长是12，即|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝12，得a＋c＝6，又a＝4，所以c＝2，e＝＝.故选B. 答案：(1)D　 答案：(2)B 例4　解析：(1)对于椭圆C：＝1，则a＝3，b＝2，c＝＝＝，所以F1(－，0)，F2(，0)，设点M(x，y)，其中－3≤x≤3，且＝1，故y2＝4－x2，所以＝＝(－x，－y)，故＝(－－x)(－x)＋(－y)2＝x2＋y2－5＝x2＋4－－5＝－1，故当x＝0时取最小值－1.故选A. 解析：(2)由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝20，F1(－6，0)，则|PM|＋|PF2|＝20＋|PM|－|PF1|，又点M(2，－6)在椭圆内部，|MF1|＝＝10， 所以|PM|－|PF1|≤|MF1|＝10，即|PM|＋|PF2|＝20＋|PM|－|PF1|≤30，当点M在PF1的延长线上时，等号成立，所以|PM|＋|PF2|的最大值为30. 答案：(1)A　 答案：(2)30 跟踪训练　 解析：(1)由椭圆的对称性可知P，Q两点关于原点对称，设椭圆的另一个焦点为F1，则四边形PFQF1为平行四边形，由椭圆的定义可知|PF|＋|PF1|＋|QF|＋|QF1|＝4a＝20，又|PF|＝|QF1|，|PF1|＝|QF|，所以|PF|＋|QF|＝10，又PQ过原点，所以|PQ|min＝2b＝6，所以△PQF的周长的最小值为10＋6＝16.故选C. 解析：(2)记左、右焦点分别为F1，F2，由题意＝3，由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF1|＝a，|PF2|＝a，椭圆上任意一点到焦点的距离满足a－c≤|PF1|≤a＋c且a>c，所以a－c≤a≤a＋c⇒≤e<1，所以椭圆C离心率的取值范围为[，1)． 答案：(1)C　 答案：(2)[，1) 学科网（北京）股份有限公司 $