精品解析：广东东莞市塘厦中学2026届高三5月模拟考试数学试卷

广东东莞市塘厦中学2026届高三5月模拟考试数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 4. 记为数列的前项和，已知，则（ ） A. 18 B. 54 C. 81 D. 162 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆柱的轴截面是周长为24的矩形，其上下底面的圆周都在同一球面上，当圆柱的侧面积最大时，该球的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 将函数图象上的点向左平移个单位长度得到点，若在函数的图象上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 若方程的三个根成等比数列，则该数列的公比为（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、多项选择题，本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 设事件，满足，，则下列结论正确的是（    ） A. B. 若，互斥，则 C. 若，独立，则 D. 若，则，独立 10. 在平行六面体中，，，，分别为棱，的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 直线与所成角的余弦值为 11. 已知抛物线为坐标原点，过点作斜率为的直线交抛物线于两点，其中在第一象限，直线交抛物线于另一点，其中，直线与直线交于点．则（ ） A. B. 当时，直线的方程为 C. 当四点共圆时， D. 点落在定直线上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆C的标准方程为分别是椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，，则__________. 13. 已知等差数列的前项和为，且，，则________． 14. 一枚质地均匀的骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，随机投掷该骰子3次，得到的点数依次记为，则满足的有序数对的个数为__________. 四、解答题，本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，，且． （1）证明：，，成等差数列； （2）若，延长至，使得，求． 16. 已知函数. （1）曲线在点处的切线方程为，求实数a，b的值； （2）当时，对于任意恒成立，求实数的取值范围. 17. 如图，正四棱锥的所有棱长均为2，点M是棱的中点. （1）证明：平面； （2）设点Q在棱上，求平面与平面所成角的余弦值的最大值. 18. 某公交车每10分钟发一班车，但由于交通状况，实际到达某一固定站点的时间间隔不稳定.为了研究乘客的等待时间，随机记录了50名乘客的等待时间，数据整理如下表（单位：分钟）： 等待时间 频数 20 14 10 6 （1）估计这50名乘客的平均等待时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）记乘客等待时间为，随机变量X服从指数分布，且取值不超过的概率为，其中是自然对数的底数. （i）证明：对于任意的，有； （ii）如果小明已经等公交车等了5分钟，记他还需要的等待时间为（单位：分钟）.他利用人工智能辅助决定：若，则坐公交车（费用2元）；若，则打车（费用20元）.求小明的交通费用的均值. 19. 已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为1，点在双曲线上； （1）求双曲线的标准方程； （2）设点是双曲线上的动点，是圆上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； （3）如图，是双曲线上两点，直线与轴分别交于点，点在直线上；若关于原点对称，且，是否存在点，使得为定值；若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东东莞市塘厦中学2026届高三5月模拟考试数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，则. 2. 已知复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为. 所以. 3. 已知向量，若，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直，数量积为计算即可. 【详解】因为， 则， 则， 所以， 解得. 4. 记为数列的前项和，已知，则（ ） A. 18 B. 54 C. 81 D. 162 【答案】D 【解析】 【分析】结合前项和与通项的关系式求解，再根据数列的通项公式求出. 【详解】由可得当时，， 两式相减得，整理得. 又由及可得，满足. 故是以2为首项，3为公比的等比数列，通项公式为， 代入得. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助完全平方公式及二倍角公式可得，结合原式计算即可得解. 【详解】由， 故， 故，故，即. 6. 已知圆柱的轴截面是周长为24的矩形，其上下底面的圆周都在同一球面上，当圆柱的侧面积最大时，该球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设该圆柱高为，底面半径为，则可得、间关系，再表示出圆柱的侧面积后，利用二次函数性质可得取最大时的、，从而可求出此时该球的半径，即可得其体积. 【详解】设该圆柱高为，底面半径为，则，即有， 圆柱的侧面积， 故当且仅当、时，取最大， 此时圆柱的外接球半径为， 则该球的体积. 7. 将函数图象上的点向左平移个单位长度得到点，若在函数的图象上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将代入该函数，可求出的值，再根据函数图象平移的坐标变化规律，可写出点的坐标，进而得到关于的等式，最后等式转化为同名三角函数，再结合三角函数的周期性，求出的最小值. 【详解】点在上，代入， 得：， 点向左平移个单位，纵坐标不变，横坐标减，得， 因为点在的图象上， 所以， 化简得：， 解得， 因为，取，得最小正值. 8. 若方程的三个根成等比数列，则该数列的公比为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用数形结合判断根的分布，再结合对数运算，通过代换变形可求得公比. 【详解】 如图可知：方程的三个根的分布为：， 因此， 再设公比为，则，，由等比中项性质得， 将等式相减得： ， 代入可得： 再代入，可得， 代入，，可得， 解得或（负根舍去），且满足，即公比为. 二、多项选择题，本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 设事件，满足，，则下列结论正确的是（    ） A. B. 若，互斥，则 C. 若，独立，则 D. 若，则，独立 【答案】BC 【解析】 【分析】根据对立事件的概率公式即可判断A；由概率的加法公式即可判断B；由独立事件的乘法公式即可判断C；由条件概率公式即可判断D． 【详解】对于A，，， 所以，故A错误； 对于B，若，互斥，则， 所以，故B正确； 对于C，若，独立，则，故C正确； 对于D，， 因为，所以， 因为，所以，不独立，故D错误． 10. 在平行六面体中，，，，分别为棱，的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 直线与所成角的余弦值为 【答案】BD 【解析】 【分析】对A：利用平行六面体性质结合平行四边形定义及其性质可得，又与相交，可得与为异面直线；对B：借助菱形性质可得，再利用三角形全等可得，由等腰三角形三线合一可得，即可利用线面垂直判定定理得到平面；对C：求出、及后，利用余弦定理计算即可得；对D：由，，可得即为所求，求出、、后，利用余弦定理计算即可得. 【详解】对于A：平行六面体中，， 又为棱的中点，所以与相交，故与为异面直线，A错误. 对于B：连接、，交于点，连接、， 因为，则四边形为菱形，故，点为中点. 又，，所以，故. 又点为中点，所以， 又，，平面，故平面，故B正确. 对于C：由，， 得、、均为等边三角形，故. 在等腰中，， 在等腰中，， 在中，， 在中，，则，C错误. 对于D：连接，，因为，分别为棱，的中点，所以， 又，则直线与所成角即为直线与所成角，即为. ， ，， 在中，，D正确. 11. 已知抛物线为坐标原点，过点作斜率为的直线交抛物线于两点，其中在第一象限，直线交抛物线于另一点，其中，直线与直线交于点．则（ ） A. B. 当时，直线的方程为 C. 当四点共圆时， D. 点落在定直线上 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件求出点的坐标，代入抛物线方程，即可求解判定A，联立直线与抛物线方程，由韦达定理得，根据已知条件判定B，C，根据条件求出的横坐标，再结合韦达定理计算判定D. 【详解】因为点，则，又，则， 所以，代入抛物线，得到，解得，A选项正确； 所以抛物线的方程为， 设直线方程为， 设，联立， 消得到， 则， 当时，， 所以或，且，即得， 所以直线的方程为，B选项错误； 当四点共圆时，则有，故， 则，所以， 又， 所以，即， 整理得到，又，所以，故直线的方程为，C选项正确； 由，得到直线， 由，得， 直线，联立方程，解得，， ， 由，得， 所以点落在定直线上，D选项正确； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆C的标准方程为分别是椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆中的关系，求解值以及焦点坐标，再结合椭圆的定义求解. 【详解】由椭圆标准方程，得，， 因此，，即. 根据椭圆定义，椭圆上任意点满足. 因为，在轴上，所以点横坐标为， 代入椭圆方程得：, 因此， 由椭圆定义. 13. 已知等差数列的前项和为，且，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列前项和公式，结合等差数列性质求出公差即可. 【详解】在等差数列中，， 由，得，解得， 由，得，解得， 因此数列的公差为， 所以. 14. 一枚质地均匀的骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，随机投掷该骰子3次，得到的点数依次记为，则满足的有序数对的个数为__________. 【答案】48 【解析】 【分析】不妨设三个数中最大值为，最小值为，另一个数为，则，即有4组；根据分类计数原理求出每组对应的有序数对，结合分步计数原理进一步求解即可. 【详解】不妨设三个数中最大值为，最小值为，另一个数为， 则 ，所以. 又，所以有以下4组：、、、. 另一个数需满足 ，即、、，共3种情况. 当时，三个数为 ，方法数为， 当时，三个数为 ，方法数为， 当时，三个数为 ，方法数为， 所以每组对应的有序数对个数为：. 因此，有序数对的个数为：. 四、解答题，本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，，且． （1）证明：，，成等差数列； （2）若，延长至，使得，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知结合两角和的正弦公式，诱导公式及正弦定理即可证明； （2）由及已知得出是等边三角形，设，则，由余弦定理即可求解． 【小问1详解】 因为， 所以 ， 所以， 因为，所以， 所以， 由正弦定理得，，所以，，成等差数列． 【小问2详解】 因为，代入，可得， 因为，所以，所以是等边三角形， 设，则， 在中，由余弦定理， 得 ， 所以． 16. 已知函数. （1）曲线在点处的切线方程为，求实数a，b的值； （2）当时，对于任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线方程为可得斜率为，以及经过点，即可求导得解， （2）将问题转化为，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 ，曲线在点处的切线方程为， 则 ，则 【小问2详解】 当时，依题意有 对于任意恒成立，则， 设， 设 ， 由得：，则在上单调递减， 且，则在上恒成立，即在上单调递减， ，则，则. 17. 如图，正四棱锥的所有棱长均为2，点M是棱的中点. （1）证明：平面； （2）设点Q在棱上，求平面与平面所成角的余弦值的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正四棱锥的性质，结合中点条件，通过等腰三角形三线合一证明与，与垂直，进而证明平面； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解二面角的余弦值，设点的坐标参数，进而表示出平面的法向量，结合平面的法向量，计算两个法向量夹角的余弦值，再根据参数范围求最大值. 【小问1详解】 因为的所有棱长相等，点是棱的中点， 所以，， 又因为，平面， 所以平面. 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线为轴，以过点且垂直于底面的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，， 设，由（1）知平面， 则为平面的法向量. 则，， 设平面的法向量为， 则，可取， 记平面与平面所成角为，则. 当时，取到最大值. 18. 某公交车每10分钟发一班车，但由于交通状况，实际到达某一固定站点的时间间隔不稳定.为了研究乘客的等待时间，随机记录了50名乘客的等待时间，数据整理如下表（单位：分钟）： 等待时间 频数 20 14 10 6 （1）估计这50名乘客的平均等待时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）记乘客等待时间为，随机变量X服从指数分布，且取值不超过的概率为，其中是自然对数的底数. （i）证明：对于任意的，有； （ii）如果小明已经等公交车等了5分钟，记他还需要的等待时间为（单位：分钟）.他利用人工智能辅助决定：若，则坐公交车（费用2元）；若，则打车（费用20元）.求小明的交通费用的均值. 【答案】（1）7.7分钟 （2）（i）证明见解析（ii）元 【解析】 【分析】（1）利用组中值法计算样本均值即可. （2）（i）根据条件概率公式证明即可. （ii）结合指数分布的数学期望计算即可. 【小问1详解】 平均时间. 【小问2详解】 （i）证明：由题意知，， 分别记已经等待s分钟和已经等待分钟为事件A和事件B， 则 . 所以对于任意的，有. （ii）由（i）知， ， 所以费用的期望是（元）. 19. 已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为1，点在双曲线上； （1）求双曲线的标准方程； （2）设点是双曲线上的动点，是圆上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； （3）如图，是双曲线上两点，直线与轴分别交于点，点在直线上；若关于原点对称，且，是否存在点，使得为定值；若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据焦点到渐近线的距离为1以及点在双曲线上，列出的方程，求解出，即可写出双曲线的标准方程. （2）根据切线的性质可得，将问题转化成求的最小值问题，结合两点间距离公式将表示成的函数表达式，求解出最小值即可. （3）设出坐标以及直线的方程，联立直线与双曲线方程，写出韦达定理，再写出直线方程，可求得坐标，利用关于原点对称列出方程，找出之间的关系，从而可得直线所过定点，再借助直角三角形判断是否为定值即可. 【小问1详解】 因为焦点到一条渐近线的距离为1，即. 又点在双曲线上，所以，解得. 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 圆的圆心，半径为. 因为是圆上的动点，直线与圆相切，所以，. 所以. 设，因为是双曲线上的动点，所以. 所以. 当时，取得最小值，此时. 所以. 【小问3详解】 由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为. 联立，整理得：. 且. 设，则. 直线的方程为. 令，则，即. 同理可得，. 因为关于原点对称，所以， 即. 整理得. 即. 整理得，即. 所以或. 若，则，则直线方程为，即， 此时直线过点，不符合题意. 若，则直线方程为，恒过定点. 所以为定值，又，在中，为斜边， 所以当为中点时，. 因此存在点，使得为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $