精品解析：四川眉山市东坡区冠城实验学校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

眉山冠城实验学校2025-2026学年度第二学期高一下期中测试 数 学 试 题 卷 （考试时间：120分钟　　试卷总分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中是奇函数且周期为的函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于A ：函数的最小正周期为，函数为奇函数，A错误； 对于B：函数为奇函数，最小正周期为，B正确； 对于C ：的定义域为，关于原点对称，又， 所以为偶函数，且最小正周期为，C错误； 对于D：函数的定义域为，关于原点对称，又， 所以为偶函数，最小正周期为，D错误. 2. 化简：等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 3. 已知角的终边经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数的定义可求得结果. 【详解】由已知可得. 故选：C. 4. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用数量积的坐标表示判断A；利用共线向量的坐标表示B；利用垂直关系的向量表示判断C；求出向量的模判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B， ，不平行，B错误； 对于C，，，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C 5. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，且，由投影向量的定义，向量在上的投影向量为：. 故选：A. 6. 已知为第二象限角，，则 （  ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵为第二象限角，，∴，∴，故选A. 7. 已知在△ABC中，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由以及正弦定理得， 故设，则. 8. 如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边分别交于点，设，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，根据共线定理得到，由基本不等式可得的最小值. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为点是线段的中点，所以， 所以， 又因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时，取到最小值， 故选：D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是平面内的一组基底，则下列向量中能作为一组基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基底的定义，逐项判断. 【详解】对于A，令，由不共线，得且，矛盾， 与不共线，A能； 对于B，，和共线，B不能； 对于C，令，由不共线，得且，矛盾， 和不共线，C能； 对于D，，由不共线，得且，矛盾，和不共线，D能. 故选：ACD 10. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 是的一个对称中心 D. 当时，的最大值为1 【答案】AC 【解析】 【分析】根据最小正周期的公式，即可判断A的正误；令，即可求得的单调增区间，对k赋值，可判断B的正误；将代入，即可判断C的正误；根据x的范围，求得的范围，结合正弦函数的性质，可求得的最大值，即可判断D的正误，即可得答案. 【详解】对于A：因为，所以最小正周期，故A正确； 对于B：令，解得， 令得，令，，故B错误； 对于C：令代入可得， 所以是的一个对称中心，故C正确； 对于D：当时，， 所以当时，最大值为1，所以的最大值为，故D错误. 故选：AC 【点睛】解题的关键是熟练掌握正弦型函数的单调性、周期性、对称性等知识，并灵活应用，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题. 11. 在中，角所对的边分别为，，，以下判断正确的是（ ） A. 若，则的面积为 B. 若，则 C. 若，则 D. 若有两解，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式计算即可判断A；根据正弦定理计算即可判断B；根据余弦定理计算即可判断C；根据正弦定理和且即可判断D. 【详解】A：若，则，故A正确； B：若，由正弦定理得， 即，解得，故B错误； C：若，由余弦定理得， 即，整理得，由解得，故C正确； D：由正弦定理得，则， 由得，若有两个解，则且， 所以，即，解得，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分 12. 已知向量，若，则_____． 【答案】2 【解析】 【详解】由题意得，，解得． 13. 已知，则________. 【答案】 【解析】 【分析】将分子分母同时除以，把原式转化为关于的式子解答. 【详解】解：， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，利用化简是解题的关键. 14. 已知函数在有且仅有5个零点，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由 的范围, 可得 的范围, 由题意可得 的范围, 进而求出 的范围. 【详解】因为 , 所以 , 要使函数有 5 个零点, 则 , 解得 的范围为 . 故答案为: . 四、解答题：本大题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量与的夹角为，，. （1）求； （2）若和垂直，求实数的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）把平方，转化为数量积的运算． （2）由可求得． 【详解】解：（1），将，代入上式得. （2）因为和垂直，所以， 展开可得. 将，.代入上，解得. 16. 已知函数的图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象上每一点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，求函数图象的对称轴方程和对称中心坐标． 【答案】（1）；（2）对称轴方程是；对称中心坐标是，． 【解析】 【分析】（1）由图象可得，由求出周期可得的值，再由最高点可得的值，进而可得的解析式； （2）先根据图象的伸缩和平移变换求出的解析式，再由正弦函数的对称轴和对称中心即可求解. 【详解】（1）由图象可得，由，解得：， 由，解得 因为，所以，， 所以； （2）由题意得， 令，解得：， 所以函数图象的对称轴方程是， 令，解得：， 所以函数图象的对称中心坐标是. 17. 已知平面向量． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值； （3）若两向量的夹角为钝角，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线的坐标表示得到方程解得即可； （2）首先求出的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示得到方程求解； （3）两个向量的数量积小于零且两向量不共线，求出范围即可． 【小问1详解】 因为且， 所以，解得． 【小问2详解】 因为，所以，又且， 所以，解得． 【小问3详解】 由两向量的夹角为钝角，则，且与不共线， 由，解得， 由与共线，得， 所以向量与的夹角为钝角时，的取值范围为． 18. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且， （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）若a＝c＝2，求△ABC的面积； （Ⅲ）求sinA＋sinC的取值范围. 【答案】（1）60°； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理可得，结合范围B∈（0，π），可求； （Ⅱ）利用三角形面积公式即可计算得解． （Ⅲ）利用三角函数恒等变换的应用可得 ，结合范围，利用正弦函数的有界性即可求解． 【详解】（Ⅰ）由.，得， 所以； （Ⅱ）由（Ⅰ）得 . （Ⅲ）由题意得 . 因为0＜A＜， 所以. 故所求的取值范围是. 【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的有界性在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想． 19. 已知函数 （1）当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有的值； （2）若为偶函数，设，求在区间上的值域； （3）若过点，设，若对任意的，，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1）最大值为1，取得最大值的 （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用正弦函数的性质求解. （2）求出函数，并利用和差角的正弦公式化简，再利用正弦函数性质求出值域. （3）将问题转化为，结合正弦函数的性质及二次函数性质分类求解. 【小问1详解】 当时，，则，此时， 解得，所以函数的最大值为1，取得最大值的. 【小问2详解】 由函数为偶函数，且，得，则， ， 当时，，而正弦函数在上单调递增，在上单调递减， 因此当，即时，，当，即时，， 所以在区间上的值域为. 【小问3详解】 由的图象过点，得，而，则，， 当时，，当，即时，， 由对任意的，，都有成立， 所以，， ，当时，， 令， 当时，在上单调递增，，由，得，则； 当 时，在上单调递减，，由，得，则； 当时，，由，解得，则， 所以实数 a 的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：关键点是把恒成立转化为结合正弦函数的性质及二次函数性质求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 眉山冠城实验学校2025-2026学年度第二学期高一下期中测试 数 学 试 题 卷 （考试时间：120分钟　　试卷总分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中是奇函数且周期为的函数为（ ） A. B. C. D. 2. 化简：等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的终边经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为第二象限角，，则 （  ） A. B. C. D. 7. 已知在△ABC中，，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边分别交于点，设，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是平面内的一组基底，则下列向量中能作为一组基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 10. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 是的一个对称中心 D. 当时，的最大值为1 11. 在中，角所对的边分别为，，，以下判断正确的是（ ） A. 若，则的面积为 B. 若，则 C. 若，则 D. 若有两解，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分 12. 已知向量，若，则_____． 13. 已知，则________. 14. 已知函数在有且仅有5个零点，则实数的取值范围是___________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量与的夹角为，，. （1）求； （2）若和垂直，求实数的值. 16. 已知函数的图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象上每一点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，求函数图象的对称轴方程和对称中心坐标． 17. 已知平面向量． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值； （3）若两向量的夹角为钝角，求的取值范围． 18. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且， （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）若a＝c＝2，求△ABC的面积； （Ⅲ）求sinA＋sinC的取值范围. 19. 已知函数 （1）当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有的值； （2）若为偶函数，设，求在区间上的值域； （3）若过点，设，若对任意的，，都有，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $