【期末冲刺】第16章 相交线与平行线 培优讲义(新题速达)2025-2026学年沪教版（五四制）数学七年级下册

【期末冲刺】第16章 相交线与平行线 培优讲义 (新题速达)2026年沪教版数学七年级下册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解 对顶角、邻补角的概念及性质，掌握垂线、垂线段、点到直线距离的定义。 · 熟练 识别同位角、内错角、同旁内角，能运用平行线的判定与性质进行角度计算与推理。 · 学会 添加辅助线（过拐点作平行线）解决复杂角度问题，掌握“猪蹄”模型及其变式。 · 理解 命题的概念，能判断真假命题，会写出逆命题，会用反例证明假命题。 · 体会 数形结合、转化思想、分类讨论在几何问题中的运用。 ✨ 核心：三线八角识别 · 平行线辅助线 · 命题真伪判断。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 相交线 · 对顶角： 两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线。性质：对顶角相等。 · 邻补角： 两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线。性质：邻补角互补。 · 垂线： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线。 · 垂线段最短： 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 · 点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 · 角平分线： 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线。角平分线上的点到角的两边距离相等。 · 新定义（如“完美交线”）： 两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是60°，就称这两条直线互为完美交线。需分类讨论求解。 ☆ 平行线 · 三线八角： 两条直线被第三条直线所截，形成八个角。 · 同位角（F型）： 在截线的同旁，被截两直线的同一方。 · 内错角（Z型）： 在截线的两旁，被截两直线之间。 · 同旁内角（U型）： 在截线的同旁，被截两直线之间。 · 平行线的判定： · 同位角相等 ⇔ 两直线平行。 · 内错角相等 ⇔ 两直线平行。 · 同旁内角互补 ⇔ 两直线平行。 · 平行于同一直线的两直线平行。 · 平行线的性质： · 两直线平行 ⇔ 同位角相等。 · 两直线平行 ⇔ 内错角相等。 · 两直线平行 ⇔ 同旁内角互补。 · 平行公理及推论： 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；平行于同一直线的两直线平行。 · 常见辅助线： 遇平行线间转折角，常过转折点作平行线（“猪蹄”模型），将角度转化到同一组平行线中。 · 角平分线与平行线综合： 由角平分线+平行线可推出等腰三角形，或利用角平分线定义及平行线性质求角度。 · 翻折（折叠）与平行： 折痕是角平分线，折叠前后对应角相等，结合平行线可求角。 ☆ 命题与证明 · 命题： 判断一件事情的语句。通常由“题设”和“结论”两部分组成。 · 真命题与假命题： 正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题。说明一个命题是假命题，只需举出一个反例。 · 逆命题： 交换原命题的题设和结论得到的命题。原命题为真，逆命题不一定为真。 · 证明： 根据已知条件，通过逻辑推理，得出结论的过程。 ☑ 知识总结表 类别 核心内容 常用结论/方法 相交线 对顶角相等，邻补角互补；垂线段最短；角平分线定义 分类讨论（如完美交线） 三线八角 同位角（F）、内错角（Z）、同旁内角（U） 根据截线和被截线位置判断 平行线判定 同位角/内错角相等，同旁内角互补 常用辅助线：过拐点作平行线 平行线性质 两直线平行→同位角/内错角相等，同旁内角互补 可进行角度转化、求值 命题 真命题、假命题、逆命题、反例 反例需满足条件但不满足结论 核心考点 ·3大考点精讲 【模块一】相交线（对应第1-11题） ※ 方法总结 · 对顶角识别：有公共顶点，两边互为反向延长线（题1）。 · 点到直线距离：垂线段最短，距离小于任意斜线段（题2、3、6）。 · 新定义“完美交线”：分两种情况（夹角60°可能在∠AOC或∠BOC），结合垂直求角度（题4）。 · 折叠旋转与矩形：利用全等、勾股、含30°直角三角形求边长（题5）。 · 对顶角、角平分线、邻补角综合：利用对顶角相等、角平分线定义、邻补角互补求角度（题7-10）。 · 分类讨论：点E,F在直线同侧或异侧，利用余角、平角、角平分线推导角度关系（题11）。 1．（2026春•普陀区期中）下面的四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【分析】两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，由此判断即可． 【解答】解：A、∠1与∠2是对顶角，故此选项符合题意； B、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意； C、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意； D、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了对顶角、邻补角，熟练掌握对顶角的定义是解题的关键． 2．（2026春•浦东新区期中）如图，点A，B在直线l上，点P在直线l外，连接PA，PB，若PA＝3，PB＝5，则点P到直线l的距离可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故点P到直线l的距离小于3． 【解答】解：∵直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，且垂线段最短， ∴P到直线l的距离小于3， ∴点P到直线l的距离可能是2． 故选：A． 【点评】本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形． 3．（2026春•思明区校级期中）立定跳远是常州体育中考项目之一，女生成绩达到或超过1.85m获得满分，达到或超过1.95m获得加分．如图，一女生在起跳线l上的点A处起跳，BC⊥l，垂足为C．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（　　） A．BC可能为1.95m B．BC可能为1.8m C．AB可能为1.85m D．AB可能为1.95m 【分析】根据题意和垂线段最短的性质判断即可． 【解答】解：∵该女生获得满分但未加分， ∴1.85m≤BC＜1.95m， ∵AB＞BC， ∴AB可能为1.95m， 故选项D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段的性质是关键． 4．（2026春•上海校级期中）新定义：两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是60°，就称这两条直线互为完美交线，交点叫完美点，已知直线AB、CD互为完美交线，O为它们的完美点，OE⊥AB，则∠EOC的度数为　30°或150°　 ． 【分析】根据题意分两种情况讨论，画出图形，分别根据垂直的定义、角的和与差计算即可． 【解答】解：如图1， ∵直线AB，CD互为完美交线， ∴∠BOC＝60°， ∵OE⊥AB， ∴∠BOE＝90°， ∴∠EOC＝90°﹣60°＝30°； 如图2， ∵直线AB，CD互为完美交线， ∴∠AOC＝60°， ∵OE⊥AB， ∴∠AOE＝90°， ∴∠EOC＝90°+60°＝150°， ∴∠EOC的度数为30°或150°． 故答案为：30°或150°． 【点评】本题考查了垂直定义和邻补角定义，解题的关键是要注意分类讨论思想的应用． 5．（2026春•徐汇区校级期中）如图，直尺ABCD直立在水平桌面GE上，点B不动，转动直尺，使其一顶点靠在竖直墙壁EF上．观测发现，点D、C、D′在同一直线上，顶点A到墙壁EF的距离为20cm，∠C'BE＝30°，则直尺长AD为　　 cm． 【分析】连接BD′，由矩形的性质和旋转的性质可得，∠BCD′＝∠BC′D′＝90°，∠CBC′＝60°，BC＝BC′，从而证明Rt△BCD′≌Rt△BC′D′（HL），因此．根据含30°的直角三角形的性质可得，，，则，结合AE＝20可计算出AB＝8，因此． 【解答】解：如图，连接BD′， 由条件可知∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝CD，AD＝BC， ∴∠CBC′＝180°﹣∠ABC﹣∠C′BE＝60°， ∵点D、C、D′在同一直线上， ∴∠BCD′＝180°﹣∠BCD＝90°， 由旋转的性质可得，BC′＝BC，CD＝C′D′，∠BC′D′＝∠BCD＝90°， 在Rt△BCD′和Rt△BC′D′中， ， ∴Rt△BCD′≌Rt△BC′D′（HL）， ∴， 在Rt△BC′D′中，∠C′BD′＝30°， ∴BD′＝2C′D′， 由勾股定理可得， ∴， 由勾股定理可得， ∴， ∵AE＝AB+BE＝20cm， ∴， 解得AB＝8cm， ∴C′D′＝AB＝8cm， ∴， ∵BC′＝BC，BC＝AD， ∴． 故答案为：8． 【点评】本题考查了点到直线的距离，熟练掌握该知识点是关键． 6．（2026春•上海期中）如图，△ABC中，CD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别是C、E，那么点C到线段AB的距离是线段CE 的长度． 【分析】根据点到直线的距离的定义，找出点C到AB的垂线段即可． 【解答】解：如图，∵CE⊥AB，垂足是E， ∴点C到线段AB的距离是线段CE的长度． 故答案为：CE． 【点评】本题考查了点到直线的距离的定义，点到直线的距离就是这个点到这条直线的垂线段的长度． 7．（2026春•闵行区期中）如图，直线AB与CD相交于一点O，OE平分∠BOD，若∠AOC＝60°，则∠COE＝　150　 度． 【分析】先根据对顶角相等求出∠BOD，然后根据角平分线的定义求出∠DOE，然后利用邻补角求解即可． 【解答】解：∵直线AB与CD相交于一点O，∠AOC＝60°， ∴∠BOD＝∠AOC＝60°， ∵OE平分∠BOD， ∴， ∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝180°﹣30°＝150°． 故答案为：150． 【点评】本题考查了角平分线的定义，邻补角以及对顶角的性质，解题的关键是掌握角平分线的定义以及对顶角相等这一性质． 8．（2025春•闵行区校级月考）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠AOD． （1）若∠BOD＝40°，求∠COF的度数； （2）若∠AOC：∠COE＝2：3，求∠DOF的度数． 【分析】（1）根据角平分线的定义，得出∠AOF＝∠DOF，利用∠COF＝∠COA+∠AOF计算即可得解； （2）根据∠AOC：∠COE＝2：3与∠AOC+∠COE+∠EOB＝180°，求出∠AOC，再利用∠AOF+∠FOD+∠BOD＝180°解答即可． 【解答】解：（1）∵OF平分∠AOD，∠BOD＝40°， ∴∠AOF＝∠DOF＝（180°﹣40°）÷2＝70°， ∵∠COA＝40°， ∴∠COF＝∠COA+∠AOF＝40°+70°＝110°； （2）∵∠AOC：∠COE＝2：3， 设∠AOC＝x，则∠COEx， ∵∠AOC+∠COE+∠EOB＝180°， ∴xx+90°＝180°， 解得：x＝36°， ∵∠BOD＝∠AOC＝36°，∠AOF＝∠DOF， ∠AOF+∠FOD+∠BOD＝180°， ∴2∠DOF+36°＝180°， 解得：∠DOF＝72°． 【点评】本题考查了垂线、角平分线的定义以及对顶角、邻补角，正确找出各个角之间的关系是解答本题的关键． 9．（2025秋•徐汇区校级期中）如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE：∠COE＝2：3，OF平分∠BOE． （1）如图1，如果AB⊥CD，求∠BOF的度数； （2）如图2，如果∠BOF＝∠AOC+12°，则∠BOF的度数为　77°　 ． 【分析】（1）求解∠AOC＝∠BOC＝90°，，，结合角平分线的定义进一步求解即可； （2）设∠AOC＝x°，可得，，，∠BOF＝∠AOC+12°＝x°+12°，进一步列方程求解即可． 【解答】解：（1）由条件可知∠AOC＝∠BOC＝90°， ∵∠AOE：∠COE＝2：3， ∴，， ∴∠BOE＝90°+54°＝144°， ∵OF平分∠BOE， ∴． （2）设∠AOC＝x°，则，，， ∵∠BOF＝∠AOC+12°， ∴∠BOF＝∠AOC+12°＝x°+12°， ∵∠BOE+∠AOE＝180°， ∴， 解得：x＝65， ∴， ∴∠BOE＝180°﹣26°＝154°， ∴． 【点评】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义．熟练掌握以上知识点是关键． 10．（2026春•青浦区校级期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF＝90°． （1）若∠BOE＝70°，求∠AOF的度数； （2）若∠BOD：∠BOE＝1：2，求∠AOF的度数． 【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠BOC的度数，根据邻补角的性质求出∠AOC的度数，根据余角的概念计算即可； （2）根据角平分线的定义和邻补角的性质计算即可． 【解答】解：（1）∵OE平分∠BOC，∠BOE＝70°， ∴∠BOC＝2∠BOE＝140°， ∴∠AOC＝180°﹣140°＝40°，又∠COF＝90°， ∴∠AOF＝90°﹣40°＝50°； （2）∵∠BOD：∠BOE＝1：2，OE平分∠BOC， ∴∠BOD：∠BOE：∠EOC＝1：2：2，∠BOD+∠BOE+∠EOC＝180°， ∴∠BOD＝36°， ∴∠AOC＝36°， 又∵∠COF＝90°， ∴∠AOF＝90°﹣36°＝54°． 【点评】本题考查的是对顶角、邻补角的性质以及角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角之和等于180°是解题的关键． 11．（2025春•虹口区校级月考）直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部． （1）当点E，F在直线AB的同侧； ①如图1，若∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，求∠EOF的度数； ②如图2，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分∠AOE，并说明理由； （2）若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系． 【分析】（1）①先利用角度的和差关系求得∠COE，再根据∠EOF＝90°﹣∠COE，可得∠EOF的度数； ②先根据角平分线定义∠EOF＝∠FOB，再结合余角定义可得结论； （2）需要分类讨论，当点E，F在直线AB的同侧时，当点E，F在直线AB的异侧；再分别表示∠AOC、∠BOE，再消去α即可． 【解答】解：（1）①∵OF⊥CD于点O， ∴∠COF＝90°， ∵∠BOD＝15°，∠BOE＝120°， ∴∠COE＝180°﹣∠BOE﹣∠BOD＝180°﹣120°﹣15°＝45°， ∴∠EOF＝∠COF﹣∠COE＝90°﹣∠COE＝90°﹣45°＝45°； ∴∠EOF的度数为45°； ②平分，理由如下： ∵OF平分∠BOE， ∴∠EOF＝∠FOB， ∵OF⊥CD， ∴∠COF＝90°， ∴∠COE+∠EOF＝∠AOC+∠BOF＝90°， ∴∠COE＝∠AOC，即OC平分∠AOE． （2）当点E，F在直线AB的同侧时，如图， 记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α， ∵OF⊥CD， ∴∠COF＝90°， ∴∠EOF＝90°﹣α，∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝2α﹣90°①， ∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（2α﹣90°）﹣α＝270°﹣3α②， ①×3+②×2得，3∠AOC+2∠BOE＝270°； 当点E和点F在直线AB的异侧时，如图， 记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α， ∵OF⊥CD， ∴∠COF＝90°， ∴∠AOC＝∠COF﹣∠AOF＝90°﹣2α①， ∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（90°﹣2α）﹣α＝90°+α②， ①+2×②得，∠AOC+2∠BOE＝270°． 综上可知，3∠AOC+2∠BOE＝270°或∠AOC+2∠BOE＝270°． 【点评】本题考查了对顶角，角平分线定义，角的有关定义的应用，主要考查学生的计算能力，并注意数形结合． 【模块二】平行线（对应第12-31题） ※ 方法总结 · 三线八角识别：根据截线和被截线位置判断同位角、内错角、同旁内角（题12）。 · 平行线求角度：利用内错角、同位角相等，同旁内角互补，结合三角板已知角计算（题13-15、25-27）。 · 多组平行线综合：作辅助平行线，利用平行线的传递性，将角度转化（题16-18、22-24）。 · 翻折（折叠）与平行：折痕为角平分线，折叠前后对应角相等，结合平行线求角度（题20、练习2、作业9）。 · “猪蹄”模型（过拐点作平行线）：证明∠EPF＝∠AEP+∠CFP 或 ∠AEP+∠CFP+∠EPF＝360°（题30）。 · 角平分线与平行线综合：由角平分线+平行线可得等腰或等角，进而证明垂直或平行（题21、22、28、29）。 · 利用平行线性质推导角度和（题31、练习1、练习3）。 · 光的反射：入射角等于反射角，转化为角度相等，结合平行线求角（题17、19）。 · 平行线间距离：通过中心偏离原理求最远延伸长度（作业7）。 12．（2026春•普陀区期中）如图，下列说法中不正确的是（　　） A．∠1与∠3是直线AB、FC被直线DE所截得的内错角 B．∠1与∠4是直线AB、FC被直线DE所截得的同位角 C．∠1与∠2是直线AB、FC被直线DE所截得的同旁内角 D．∠B与∠C是直线AB、FC被直线BC所截得的同旁内角 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义，结合图形逐一判断各选项即可． 【解答】解：根据同位角、内错角、同旁内角的定义，结合图形逐一判断各选项可得： A、∵∠1与∠3在直线AB，FC之间，且在直线DE两侧，∴∠1与∠3是内错角，原说法正确，不符合题意； B、∵∠1在直线DE上方，∠4在直线DE下方， ∴∠1与∠4不是同位角，原说法不正确，符合题意； C、∵∠1与∠2在直线AB，FC之间，且在直线DE同旁， ∴∠1与∠2是同旁内角，原说法正确，不符合题意； D、∵∠B与∠C在直线AB，FC之间，且在直线BC同旁， ∴∠B与∠C是同旁内角，原说法正确，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查同位角，内错角，同旁内角，正确记忆相关知识点是解题关键． 13．（2026春•上海期中）健康骑行越来越受到大众的喜欢，某自行车的示意图如图所示，其中AB∥CD，AE∥BD，若∠CDB＝∠ACD＝70°，则∠EAC的度数为（　　） A．60° B．50° C．40° D．30° 【分析】根据AB∥CD和∠CDB、∠ACD的度数分别求出∠ABD和∠CAB的度数，然后根据AE∥BD求出∠BAE，进而求出∠EAC，即可． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠ACD+∠CAB＝180°，∠CDB+∠ABD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠CDB＝∠ACD＝70°， ∴∠ABD＝110°，∠CAB＝110°， ∵AE∥BD， ∴∠BAE+∠ABD＝180°， ∴∠BAE＝70°， ∴∠EAC＝∠CAB﹣∠BAE＝110°﹣70°＝40°． 所以∠EAC的度数为40°． 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 14．（2026春•浦东新区校级月考）将三角板ABC按如图位置摆放，顶点A落在直线l1上，顶点B落在直线l2上，若l1∥l2，∠2＝25°，则∠1的度数是（　　） A．45° B．35° C．30° D．25° 【分析】由角的和差即可求出∠3，再利用平行线的性质可求出∠3＝∠1即可． 【解答】解：∵∠CAB＝60°，∠2＝25°， ∴∠3＝35°， ∵l1∥l2， ∴∠1＝∠3＝35°， 故选：B． 【点评】此题考查平行线的性质与判定，关键是利用平行线的性质得出内错角相等解答． 15．（2026春•徐汇区校级期中）图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱AB、CD和折叠杆“AE﹣EF”组成．道闸工作时，折叠杆“AE﹣EF”可绕点A在一定范围内转动，且杆EF始终与地面BD保持平行，则下列判断中，正确的是（　　） A．∠BAE+∠AEF＝180° B．∠BAE+∠AEF＝270° C．∠BAE+∠AEF＝360° D．∠BAE+∠AEF的度数无法确定 【分析】根据平行线的性质对所给选项进行判断即可． 【解答】解：过点A作EF的平行线AM， ∵EF∥BD，EF∥AM， ∴AM∥BD，∠AEF+∠EAM＝180°， ∴∠MAB+∠B＝180°． ∵∠B＝90°， ∴∠MAB＝180°﹣90°＝90°， ∴∠BAE+∠AEF＝∠BAM+∠EAM+∠AEF＝90°+180°＝270°， 故选：B． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 16．（2026春•嘉定区期中）如图，下列说法正确的有（　　）个． （1）若∠1＝∠2，则DB∥EG； （2）若∠1＝80°，∠A＝55°，则∠DBA＝45°； （3）∠A和∠F是内错角； （4）若DB∥EG，则∠A+∠DBA+∠2＝180°． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据平行线的判定与性质对所给说法依次进行判断即可． 【解答】解：∵∠1＝∠DHF，∠1＝∠2， ∴∠DHF＝∠2， ∴DB∥EG． 故①正确； ∵∠1＝80°，∠A＝55°， ∴∠DBA＝180°﹣80°﹣55°＝45°． 故②正确； ∵∠A和∠F是直线DF和AC被直线AF所截得的一对内错角， 故③正确； ∵DB∥EG， ∴∠2＝∠DHG． ∵∠1＝∠DHG， ∴∠2＝∠1． 又∵∠A+∠DBA+∠1＝180°， ∴∠A+∠DBA+∠2＝180°． 故④正确； 故选：D． 【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质及同位角、内错角、同旁内角，熟知平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 17．（2026春•杨浦区校级期中）如图，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜，夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回（即a∥b），根据光的反射可知∠1＝∠3，∠2＝∠4，其原理如图2所示，若∠1＝48°，则∠2的度数为（　　） A．52° B．54° C．48° D．42° 【分析】由平角的定义求出∠MAB＝88°，由平行线的性质推出∠ABN+∠MAB＝180°，求出∠ABN＝92°，即可得到∠2的度数． 【解答】解：如图， ∵∠1＝∠3＝48°， ∴∠MAB＝180°﹣48°﹣48°＝84°， ∵a∥b， ∴∠ABN+∠MAB＝180°， ∴∠ABN＝180°﹣84°＝96°， ∵∠2＝∠4， ∴． 故选：D． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，平角的定义，掌握以上知识点是解题的关键． 18．（2026春•闵行区校级月考）已知直线AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，如图，点H是直线AB与CD外一点，连接HE、HF．若∠EHF＝120°，∠BEH＝n∠PEH，∠CFH＝n∠HFQ，点P、H、Q在同一直线上，若∠Q﹣∠P＝50°，则n的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】设∠PEH＝α，∠HFQ＝β，则∠BEH＝nα，∠CFH＝nβ，过点P作PK∥AB，过点H作HL∥AB，过点Q作QR∥AB，则AB∥CD∥PK∥HL∥QR，则∠KPQ＝∠RQP，∠BEP＝∠KPE＝（n﹣1）α，∠CFQ＝∠RQF＝（n﹣1）β，因此∠PQF﹣∠EPQ＝（n﹣1）（β﹣α），而由AB∥HL∥CD，得∠EHL+∠LHF＝120°，因此∠BEH+∠HFD＝120°，代入得nα+180°﹣nβ＝120°，化简得，故n（∠Q﹣∠P）＝（n﹣1）60°，根据∠Q﹣∠P＝50°，列式计算即可求解． 【解答】解：过点P作PK∥AB，过点H作HL∥AB，过点Q作QR∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥PK∥HL∥QR（平行于同一直线的两直线相互平行）， ∵∠BEH＝n∠PEH，∠CFH＝n∠HFQ 设∠PEH＝α，∠HFQ＝β，则∠BEH＝nα，∠CFH＝nβ， ∵PK∥QR， ∴∠KPQ＝∠RQP（两直线平行，内错角相等）， ∵AB∥PK， ∴∠BEP＝∠KPE＝（n﹣1）α（两直线平行，内错角相等）， ∵QR∥CD， ∴∠CFQ＝∠RQF＝（n﹣1）β（两直线平行，内错角相等）， ∵∠PQF＝∠RQP+∠RQF，∠EPQ＝∠EPK+∠QPK， ∴∠PQF﹣∠EPQ＝∠RQF﹣∠EPK＝（n﹣1）（β﹣α）， ∵AB∥HL∥CD， ∴∠EHL＝∠BEH，∠LHF＝∠HFD， ∵∠EHF＝∠EHL+∠LHF＝120°， ∴∠BEH+∠HFD＝120°， 即nα+180°﹣nβ＝120°， ∴， ∴，即n（∠Q﹣∠P）＝（n﹣1）60°． ∵∠Q﹣∠P＝50°， ∴50°n＝（n﹣1）60°， 解得n＝6， 故选：D． 【点评】本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 19．（2026春•上海期中）有一个质量均匀的透明水晶球，过球心的截面如图所示，PQ为直径，一单色光线AP从点P射入，折射光线PB从点B射出，出射光线BC∥PQ．若AP与QP延长线的夹角∠APD＝74°，则入射光线AP所在直线与出射光线BC所在直线相交形成的∠BEP的度数为　106°　 ． 【分析】首先根据对顶角的性质可得∠EPQ＝∠APD＝74°，然后根据“两直线平行，同旁内角互补”，即可获得答案． 【解答】解：∵∠APD＝74°， ∴∠EPQ＝∠APD＝74°（对顶角相等）， ∵BC∥PQ， ∴∠BEP＝180°﹣∠EPQ＝180°﹣74°＝106°（两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：106°． 【点评】本题主要考查了对顶角、邻补角，平行线的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 20．（2026春•徐汇区校级期中）如图，有一张三角形纸片ABC，∠B＝36°，∠A＝96°，点D是边AB上的定点．在BC上找一点E，将纸片沿DE折叠（DE为折痕），点B落在点F处，当EF与边AC平行时，∠BDE的度数为　120°　 ． 【分析】利用平行线的性质及三角形内角和即可求解． 【解答】解：∵EF∥AC，∴∠BEF＝∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣96°﹣36°＝48°， ∵∠BED∠BEF＝24°， ∴∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠BED＝180°﹣36°﹣24°＝120°． 故答案为：120°． 【点评】此题考查的是翻折变换和平行线的性质，掌握翻折的性质是解决此题的关键． 21．（2026春•上海校级期中）如图，已知AB∥MN，点C在AB上，点D，E在MN上，连接CD，CE，∠DCE＝∠CDE，EF⊥CD，EG∥CD，CG平分∠BCE．给出下列结论：①EG平分∠CEN；②∠BCG＝∠DEF；③∠G＝90°；④∠CDM﹣∠CEF＝90°．上述结论中，正确的是　①②③④　 ． 【分析】根据平行线的性质，对所给结论依次进行判断即可． 【解答】解：由题知， ∵AB∥MN， ∴∠ACD＝∠CDE． ∵∠DCE＝∠CDE， ∴∠ACD＝∠DCE． ∵CG平分∠BCE， ∴∠BCG＝∠ECG， ∴∠DCE+∠ECG180°＝90°， 即∠FCG＝90°． ∵EG∥CD， ∴∠G+∠FCG＝180°， ∴∠G＝90°． 故③正确； 又∵EF⊥CD， ∴∠CFE＝90°， ∴四边形CFEG是矩形， ∴∠FEG＝90°， ∴∠CEF+∠CEG＝∠DEF+∠GEN＝90°． ∵ED＝EC，EF⊥CD， ∴∠CEF＝∠DEF， ∴∠CEG＝∠GEN， ∴EG平分∠GEN， 故①正确； ∵AB∥MN， ∴∠BCE＝∠CEM， ∴2∠BCG＝2∠DEF， ∴∠BCG＝∠DEF． 故②正确； ∵∠CEF＝∠DEF，∠CDM＝90°+∠DEF， ∴∠CDM＝90°+∠CEF， 即∠CDM﹣∠CEF＝90°． 故④正确． 故答案为：①②③④． 【点评】本题主要考查了平行线的性质及垂线，熟知平行线的性质是解题的关键． 22．（2026春•杨浦区校级期中）已知：如图AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的角平分线EG与∠DFE的角平分线FG交于点G．作∠BEG的角平分线EM与∠DFG的角平分线FM交于点M，则∠EMF＝　45°　 ． 【分析】先求∠EGF的度数，然后过M作MN∥AB，得到MN∥CD，由平行线的性质推得到∠EMF＝∠BEM+∠MFD，同理∠EGF＝∠BEG+∠DFG，由角平分线定义得到∠EGF＝2（∠BEM+∠MFD）＝2∠EMF，即可求出∠EMF＝45°． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BEF+∠EFD＝180°， ∵EG平分∠BEF，FG平分∠EFD， ∴∠GEF∠BEF，∠GFE∠EFD， ∴∠GEF+∠GFE（∠BEF+∠EFD）＝90°， ∴∠EGF＝180°﹣90°＝90°， 如图，过MN∥AB， ∵AB∥CD， ∴MN∥CD， ∴∠EMN＝∠BEM，∠FMN＝∠MFD， ∴∠EMN+∠FMN＝∠BEM+∠MFD， ∴∠EMF＝∠BEM+∠MFD， 同理：∠EGF＝∠BEG+∠DFG， ∵EM平分∠BEG，FM平分∠DFG， ∴∠BEG＝2∠BEM，∠DFG＝2∠DFM， ∴∠EGF＝2（∠BEM+∠MFD）＝2∠EMF， 又∠EGF＝90°， ∴∠EMF∠EGF＝45°． 故答案为：45°． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是灵活应用平行线的性质来解决问题． 23．（2026春•杨浦区校级期中）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，EF∥HC，连接FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK．则下列结论：①AD∥BC；②AB∥DC；③GK平分∠AGC；④∠DGH＝37°．其中正确结论为　①②③④　 ． 【分析】根据平行线的判定定理得到AD∥BC，故①正确；根据平行线的判定定理得到AB∥DC，故②正确；由平行线的性质得到∠AGK＝∠CKG，等量代换得到∠AGK＝∠CGK，求得GK平分∠AGC；故③正确；根据题意列方程得到∠FGA＝∠DGH＝37°，故④正确． 【解答】解：∵∠EAD＝∠D，∠B＝∠D， ∴∠EAD＝∠B， ∴AD∥BC， 故①正确，符合题意； ∵∠EAD＝∠D， ∴AB∥DC， 故②正确，符合题意； ∴∠AGK＝∠CKG， ∵∠CKG＝∠CGK， ∴∠AGK＝∠CGK， ∴GK平分∠AGC； 故③正确，符合题意； ∵∠FGA的余角比∠DGH大16°， ∴90°﹣∠FGA＝∠DGH+16°， ∵∠FGA＝∠DGH， ∴90°﹣2∠FGA＝16°， ∴∠FGA＝∠DGH＝37°， 故④正确，符合题意； 故答案为：①②③④． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，对顶角性质，正确的识别图形是解题的关键． 24．（2026春•闵行区期中）如图，指甲剪利用杠杆原理操作，图1是实物图，图2是使用指甲剪的侧面示意图，∠CEO＝90°，未使用指甲剪时，杠杆BC与上臂OC重合；使用时，下压点A至A'时，B刚好至B'点，当A'B∥OE时，两刀片咬合，恰好CB'平分∠OCE，若∠CB'A'＝128°，则∠COE的度数为　14　 度． 【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：延长A′B′交CE于点M， ∵A'B∥OE，∠CEO＝90°， ∴∠CMA′＝∠CEO＝90°． ∵∠CB′A′＝128°， ∴∠B′CE＝128°﹣90°＝38°． ∵CB'平分∠OCE， ∴∠OCE＝2∠B′CE＝76°， ∴∠COE＝90°﹣76°＝14°． 故答案为：14． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 25．（2026春•浦东新区校级同步）如图，DB∥AG∥EC，∠ABD＝70°，∠ACE＝38°，AP是∠BAC的平分线，则∠BAP的度数是　54°　 ． 【分析】先根据平行线的性质得出∠BAG与∠CAG的度数，再由角平分线的性质求出∠PAC的度数，进而可得出结论． 【解答】解：∵DB∥AG∥EC，∠ABD＝70°，∠ACE＝38°， ∴∠BAG＝∠ABD＝70°，∠CAG＝∠ACE＝38°， ∴∠BAC＝70°+38°＝108°． ∵AP是∠BAC的平分线， ∴∠BAP∠BAC180°＝54°． 故答案为：54°． 【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等． 26．（2026春•徐汇区校级期中）如图，一束平行主光轴EF的光线AB经凸透镜折射后，其折射光线为BF，一束光线CO经过光心O，其折射光线为OD，折射光线BF与OD交于P点，点F为焦点，若∠ABF＝145°，∠COE＝30°，则∠DPF＝ 　65°　 ． 【分析】根据平行线的性质求出∠BFE的度数，再结合光线CO经过光心O，得出∠POF＝∠COE，最后利用外角定理即可解决问题． 【解答】解：∵AB∥EF， ∴∠ABF+∠BFE＝180°． 又∵∠ABF＝145°， ∴∠BFE＝35°． 又∵光线CO经过光心O，且∠COE＝30°， ∴∠POF＝∠COE＝30°， ∴∠DPF＝∠BFE+∠POF＝65°． 故答案为：65°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 27．（2026春•上海校级期中）阅读下列文字，补全推理过程，并填写依据． 如图，直线AB上有两点G、K，直线CD上有一点H，点H、F、K三点共线，点E在直线AB和直线CD之间，连接EG、EF，∠2＝∠3，∠1+∠4＝180°，试说明：AB∥CD． 解：∵∠2＝∠3（已知）， ∴HK∥EG （　内错角相等，两直线平行　 ）， ∴∠1＝　∠AKH （　两直线平行，同位角相等　 ）， ∵∠1+∠4＝180°（已知）， ∴　∠AKH +∠4＝180°（等量代换）， ∴AB∥CD（　同旁内角互补，两直线平行　 ）． 【分析】根据平行线的判定和性质，先说明HK∥EG，从而∠1＝∠AKH，再根据∠1+∠4＝180°，等量代换得∠AKH+∠4＝180°，即可说明． 【解答】解：∵∠2＝∠3， ∴HK∥EG（内错角相等，两直线平行）， ∴∠1＝∠AKH（两直线平行，同位角相等）， ∵∠1+∠4＝180°， ∴∠AKH+∠4＝180°（等量代换）， ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）， 故答案为：EG；内错角相等，两直线平行；∠AKH；两直线平行，同位角相等；∠AKH；同旁内角互补，两直线平行． 【点评】本题考查了平行性的判定与性质，关键是相关性质和定理的熟练掌握． 28．（2026春•普陀区期中）如图，已知：AB∥CD，EF平分∠AEG，GH平分∠DGE．求证：EF∥GH． 对于这道题，某同学的证明过程如下： 证明：∵AB∥CD， ∴∠AEG＝∠DGE（两直线平行，内错角相等）． ∵EF平分∠AEG，GH平分∠DGE． ∴∠AEF∠AEG，∠HGD∠DGE． ∴∠AEF＝∠HGD． ∴EF∥GH（内错角相等，两直线平行）． （1）请找出这位同学出错的地方，并指出错误原因； （2）请写出本题正确的证明过程． 【分析】（1）根据平行性的判定与性质解答即可； （2）根据平行性的判定与性质解答即可 【解答】（1）解：最后一步出现错误，∠AEF与∠HGD不是一组内错角； （2）证明：∵AB∥CD， ∴∠AEG＝∠DGE． ∵EF平分∠AEG，GH平分∠DGE． ∴，． ∴∠GEF＝∠HGE． ∴EF∥GH． 【点评】本题考查了平行性的判定与性质，关键是相关性质和定理的熟练掌握． 29．（2026春•普陀区期中）如图，已知：AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分别为D、G，∠1+∠2＝180°． （1）求证：ED∥AC； （2）如果∠BED＝70°，AD平分∠BAC，求∠BDE的度数． 【分析】（1）先证明AD∥FG，利用等角的补角相等求得∠CAD＝∠2，利用内错角相等两直线平行证明ED∥AC； （2）利用平分线的性质求解即可． 【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，FG⊥BC， ∴AD∥FG， ∴∠1+∠CAD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠CAD＝∠2（同角的补角相等）， ∴ED∥AC（内错角相等，两直线平行）； （2）解：∵ED∥AC， ∴∠BAC＝∠BED＝70°， ∵AD平分∠BAC， ∴， ∵ED∥AC， ∴∠2＝∠CAD＝35°， ∵AD⊥BC， ∴∠BDE＝90°﹣∠2＝55°． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，关键是相关性质和定理的熟练掌握． 30．（2026春•上海期中）在综合探究课堂上我们学习了平行线的性质，平行线具有“等角转化”的功能，“三线八角”图是研究平行线性质的“基本图形”． （1）阅读理解：如图1，AB∥CD，点E、F分别为直线AB、CD上的点，点P为平行线间一点，猜想∠AEP、∠CFP与∠EPF之间的关系，并说明理由．阅读并补充下面推理过程： 解：∠EPF＝∠AEP+∠CFP，理由如下： 过点P作MN∥AB， ∴∠AEP＝∠EPN， ∵AB∥CD， ∴MN∥CD（　平行于同一直线的两直线平行　 ）， ∴∠CFP＝　∠FPN ， ∴∠EPF＝∠EPN+∠FPN＝∠AEP+∠CFP（等量代换）， ∴∠EPF＝∠AEP+∠CFP． （2）方法运用：如图2，AB∥CD，猜想∠AEP、∠CFP与∠EPF之间的关系，并说明理由． （3）深化拓展：如图3，AB∥CD，∠AEP、∠CFP的角平分线相交于点Q． ①过点E、F作射线EG、FG交于点G，若，求∠G的度数； ②若，请直接写出∠G的度数　（360°﹣n°）　 ．（用含m、n的代数式表示） 【分析】（1）根据平行线的性质与判定条件结合已给推理过程求解即可； （2）同理可得∠EPF＝∠BEP+∠DFP，由平角的定义可得∠AEP+∠BEP+∠CFP+∠DFP＝360°，则∠AEP+∠CFP+∠EPF＝360°； （3）①根据（2）的结论得到∠AEP+∠CFP＝252°，再由角平分线的定义和角之间的关系得到∠AEG∠AEP，∠CFG∠CFP，则∠G＝∠AEG+∠CFG＝42°；②仿照①求解即可． 【解答】解：（1）∠AEP、∠CFP与∠EPF之间的关系：∠EPF＝∠AEP+∠CFP，理由如下： 如图， 过点P作MN∥AB， ∴∠AEP＝∠EPN（两直线平行，内错角相等）， ∵AB∥CD， ∴MN∥CD（平行于同一直线的两直线平行）， ∴∠CFP＝∠FPN， ∴∠EPF＝∠EPN+∠FPN＝∠AEP+∠CFP（等量代换） ∴∠EPF＝∠AEP+∠CFP． 故答案为：平行于同一直线的两直线平行；∠FPN． （2）猜想∠AEP+∠CFP+∠EPF＝360°，理由如下： 同理可得∠EPF＝∠BEP+∠DFP， ∵∠AEP+∠BEP＝180°，∠CFP+∠DFP＝180°， ∴∠AEP+∠BEP+∠CFP+∠DFP＝360°， ∴∠AEP+∠CFP+∠EPF＝360°； （3）①同理可得∠AEP+∠CFP+∠EPF＝360°， ∵∠EPF＝108°， ∴∠AEP+∠CFP＝252°， ∵∠AEP与∠CFP的角平分线相交于点Q， ∴∠AEQ∠AEP，∠CFQ∠CFP， ∵∠AEG∠AEQ，∠CFG∠CFQ， ∴∠AEG∠AEP，∠CFG∠CFP， ∴∠AEG+∠CFG（∠AEP+∠CFP）252°＝42°， ∴∠G＝∠AEG+∠CFG＝42°； ②如图 ∵∠AEP+∠CFP+∠EPF＝360°，∠EPF＝n°， ∴∠AEP+∠CFP＝360°﹣n°， ∵∠AEP与∠CFP的角平分线相交于点Q， ∴∠AEQ∠AEP，∠CFQ∠CFP， ∵， ∴∠AEG∠AEP，∠CFG∠CFP， ∴若， 则∠G＝∠AEG+∠CFG（∠AEP+∠CFP）（360°﹣n°）． 故答案为：（360°﹣n°）． 【点评】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质及角平分线的性质是解题的关键． 31．（2026春•松江区期中）课题学习：平行线的“等角转化”功能． 阅读理解： 如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求∠BAC+∠B+∠C的度数． （1）阅读并补充下面推理过程． 解：过点A作ED∥BC． ∴∠B＝∠EAB，∠C＝　∠DAC ． ∵　∠EAB+∠BAC+∠DAC ＝180°． ∴∠B+∠BAC+∠C＝180°． 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 方法运用： （2）如图2，已知AB∥ED，求证：∠D+∠BCD﹣∠B＝180°（提示：过点C作CF∥AB）． 深化拓展： （3）已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝60°．BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间． ①如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC＝50°，求∠BED的度数． ②如图4，点B在点A的右侧，且AB＜CD，AD＜BC．若∠ABC＝100°，则∠BED的度数为 　160　 °． 【分析】（1）根据平行线的性质即可得到结论； （2）过C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠D+∠FCD＝180°，∠B＝∠BCF，然后根据已知条件即可得到结论； （3）①过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数； ②∠BED的度数改变．过点E作EF∥AB，先由角平分线的定义可得：∠ABE∠ABC＝50°，∠CDE∠ADC＝30°，然后根据两直线平行内错角相等及同旁内角互补可得：∠BEF＝180°﹣∠ABE＝130°，∠CDE＝∠DEF＝30°，进而可求∠BED＝∠BEF+∠DEF＝130°+30°＝160°． 【解答】解：（1）如图1，过点A作ED∥BC， ∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC， ∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°， ∴∠B+∠BAC+∠C＝180°， 故答案为：∠DAC，∠EAB+∠BAC+∠DAC； （2）如图2，过C作CF∥AB ， ∵AB∥DE， ∴CF∥DE， ∴∠D+∠FCD＝180°， ∵CF∥AB， ∴∠B＝∠BCF， ∵∠D+∠BCD＝180°+∠BCF， ∴∠D+∠BCD＝180°+∠B， 即∠D+∠BCD﹣∠B＝180°； （3）①如图3，过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF， ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝50°，∠ADC＝60°， ∴∠ABE∠ABC＝25°，∠CDE∠ADC＝30°， ∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝25°+30°＝55°； ②如图4，过点E作EF∥AB， ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝100°，∠ADC＝60°， ∴∠ABE∠ABC＝50°，∠CDE∠ADC＝30°， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝130°，∠CDE＝∠DEF＝30°， ∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝130°+30°＝160°， 故答案为：160． 【点评】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线． 【模块三】命题与证明（对应第32-40题） ※ 方法总结 · 命题的判断：陈述句且能判断真假才是命题（题33）。 · 假命题的反例：满足条件但不满足结论的例子（题32、35）。 · 真命题的判断：根据定义、定理、性质判断（题34）。 · 逆命题：交换原命题的条件和结论（题36-38）。 · 命题的证明：根据已知条件，利用平行线的判定与性质进行逻辑推理（题39-40）。 · 补充证明过程：填写推理依据，完成证明（题27、练习4、作业12）。 32．（2026春•松江区期中）对于命题“如果a＜1，那么a2＜1”能证明它是假命题的反例是（　　） A．a＝﹣2 B．a＝2 C． D．a＝0 【分析】根据实数的大小比较、实数的平方以及假命题的概念判断． 【解答】解：A、当a＝﹣2时，a＜1，而a2＞1， 说明命题“如果a＜1，那么a2＜1”是假命题，符合题意； B、当a＝2时，a＞1， 不能说明命题“如果a＜1，那么a2＜1”是假命题，不符合题意； C、当a时，a＜1，而a2＜1， 不能说明命题“如果a＜1，那么a2＜1”是假命题，不符合题意； D、当a＝0时，a＜1，而a2＜1， 不能说明命题“如果a＜1，那么a2＜1”是假命题，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查的是命题与定理，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 33．（2026春•普陀区期中）下列语句中，是命题的是（　　） A．画一个角等于已知角 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等吗？ C．等角的余角相等 D．延长线段AB到点D，使得BD＝AB 【分析】根据“判断一件事情的语句叫做命题”这一定义，逐一判断选项即可得到结果． 【解答】解：根据“判断一件事情的语句叫做命题”这一定义逐项分析判断如下： A选项是操作指令，没有对事件做出判断，不是命题； B选项是疑问句，没有对事件做出判断，不是命题； C选项是对等角的余角关系做出判断的陈述句，符合命题定义，是命题； D选项是操作指令，没有对事件做出判断，不是命题． 故选：C． 【点评】本题考查命题的定义，熟练掌握该知识点是关键． 34．（2026春•虹口区期中）下列命题中，真命题的个数是（　　） ①钝角大于直角； ②对顶角相等； ③同位角相等，两直线平行； ④如果两条直线被第三条直线所截，那么一对同旁内角的平分线互相垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】逐个判断四个命题的真假，统计真命题的个数，用到钝角的定义，对顶角的性质，平行线的判定与性质等知识点． 【解答】解：根据真假命题及平行线性质、钝角、对顶角性质逐项分析判断如下： ①∵钝角是大于90°且小于180°的角，直角为90°， ∴钝角大于直角，①是真命题． ②∵对顶角相等是对顶角的性质， ∴②是真命题． ③同位角相等，两直线平行是平行线的判定定理， ∴③是真命题． ④只有两条平行直线被第三条直线所截时，同旁内角互补，同旁内角的平分线才互相垂直，命题未说明被截的两条直线平行， ∴④是假命题． 故选：C． 【点评】本题考查了命题与定理、平行线的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 35．（2026春•虹口区期中）对于命题“如果∠1+∠2＝180°，那么∠1＝∠2”，能说明它是假命题的反例是（　　） A．∠1＝∠2＝90° B．∠1＝50°，∠2＝130° C．∠1＝50°，∠2＝50° D．∠1+∠2＝90° 【分析】要说明原命题是假命题，需要找到满足命题条件，但不满足命题结论的例子． 【解答】解：根据真假命题的判定、平行线的判定与性质逐项分析判断如下： A、∠1＝∠2＝90°，则∠1+∠2＝180°，满足条件也满足结论，不能作为反例，故A不符合题意； B、∠1＝50°，∠2＝130°，则∠1+∠2＝180°，满足条件，但∠1≠∠2，不满足结论，可以作为反例，故B符合题意； C、∠1＝50°，∠2＝50°，∠1+∠2＝100°≠180°，不满足条件，不能作为反例，故C不符合题意； D、∠1+∠2＝90°≠180°，不满足条件，不能作为反例，故D不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了命题与定理、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点是关键． 36．（2026春•上海期中）“如果两个角相等，那么它们是对顶角”的逆命题是　真　 （填“真”或“假”）命题． 【分析】交换原命题的题设和结论后即可写出原命题的逆命题，然后判断正误即可． 【解答】解：“如果两个角相等，那么它们是对顶角”的逆命题是对顶角相等，正确，是真命题， 故答案为：真． 【点评】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大． 37．（2026春•黄浦区期中）命题：“如果两个角是对顶角，那么它们相等．”的逆命题　如果两个角相等，那么它们是对顶角　 ． 【分析】逆命题是通过交换原命题的条件和结论得到的． 【解答】解：交换条件和结论，得到逆命题“如果两个角相等，那么它们是对顶角”． 故答案为：如果两个角相等，那么它们是对顶角． 【点评】该题考查了逆命题，熟练掌握该知识点是关键． 38．（2026春•上海期中）将命题“对顶角相等”写成“如果，那么”的形式 　如果两个角是对顶角，那么这两个角相等　 ． 【分析】直接写成“如果，那么”的形式即可． 【解答】解：将命题“对顶角相等”写成“如果，那么”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等， 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 【点评】本题考查了命题与定理的知识，命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面． 39．（2026春•中山市校级期中）如图，有三个论断： ①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③AB∥CD． （1）如果以①和②作为题设，③作为结论，请你写出该命题，并判断该命题是真命题还是假命题； （2）若（1）中的命题为真命题，请你完成证明过程；若为假命题，请你说明理由． 【分析】（1）根据题意写出命题，再判定其真假； （2）先说明CE∥FB，进而得证． 【解答】解：（1）若∠1＝∠2，∠B＝∠C，则AB∥CD，此命题为真命题； （2）∵∠1＝∠2，∠1＝∠CGH， ∴∠2＝∠CGH， ∴CE∥FB， ∴∠C＝∠HFD， ∵∠B＝∠C， ∴∠HFD＝∠B， ∴AB∥CD． 【点评】本题主要考查命题与定理平行线的性质与判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 40．（2026春•七星区校级月考）命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． （1）已知：如图，EF分别交AB，CD于G，H，EF分别交AB，CD于G，H，GI平分∠AGH，HJ平分∠GHD ，GI∥HJ，求证AB∥CD ． （2）证明： （3）命题“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的角平分线互相垂直”，此命题是　真　 命题（填“真”或“假”）． 【分析】（1）根据题意、结合图形写出已知和求证即可； （2）根据平行线的性质和判定证明即可； （3）写出已知和求证，然后证明即可． 【解答】解：（1）命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”． 如图，EF分别交AB，CD于G，H，GI平分∠AGH，HJ平分∠GHD，GI∥HJ．求证：AB∥CD． 故答案为：EF分别交AB，CD于G，H，GI平分∠AGH，HJ平分∠GHD；AB∥CD； （2）证明：∵GI平分∠AGH， ∴∠AGH＝2∠IGH， ∵HJ平分∠GHD， ∴∠DHG＝2∠JHG， ∵GI∥HJ， ∴∠IGH＝∠JHG， ∴∠AGH＝∠DHG， ∴AB∥CD； （3）命题“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的角平分线互相垂直”，此命题是真命题， 已知：AB∥CD，被EF所截，GN平分∠AGH，HM平分∠CHG，求证：GN⊥MH； 如图所示， ∵AB∥CD，被EF所截，GN平分∠AGH，HM平分∠CHG， ∴∠AGH+∠CHG＝180°， ，，则：， ∴GN⊥MH． 【点评】本题考查的是命题的真假判断、平行线的判定和性质，掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题是解题的关键． 随堂检测 · 精选练习 · 练习1 — 平行线求角度：利用内错角、同位角相等，角的和差计算。 · 练习2 — 长方形纸带折叠：利用平行线内错角相等、折叠角相等，求角度。 · 练习3 — 多组平行线综合：过拐点作平行线，利用内错角、同旁内角互补求角度。 · 练习4 — 补充证明过程：填写平行线判定与性质的理由，完成推理。 · 练习5 — 平行线判定与性质综合：通过等角转化证明AB∥CD。 ⭐ 复习重点：平行线辅助线 · 角度转化 · 命题推理。 【练习1】（2026春•上海校级期中）如图，AB∥CD，AC∥DE，∠FAB＝96°，∠DCE＝62°，则∠E的度数　34°　 ． 【分析】由平行线的性质可得∠FCD＝∠FAB＝96°，则∠FCE＝34°，再由平行线的性质即可求解． 【解答】解：∵AB∥CD，∠FAB＝96°， ∴∠FCD＝∠FAB＝96°， ∴∠FCE＝∠FCD﹣∠DCE＝96°﹣62°＝34°， ∵AC∥DE， ∴∠E＝∠FCE＝34°（两直线平行，内错角相等）， ∴∠E的度数为34°， 故答案为：34°． 【点评】本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 【练习2】（2026春•普陀区期中）如图，长方形纸带ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在边AD、BC上，将纸带沿EF折叠，点C、D两点分别与点C'、D'对应．如果∠EFB＝72°，那么∠AED′＝　36　 °． 【分析】根据平行线的性质求出∠DEF 的度数，再根据折叠的性质得出∠D′EF＝∠DEF＝72°，最后利用平角的定义计算∠AED′的度数． 【解答】解：∵四边形 ABCD是长方形， ∴AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFB， ∵∠EFB＝72°， ∴∠DEF＝72°， 由折叠的性质可知，∠D′EF＝∠DEF＝72°， ∴∠D′ED＝∠D′EF+∠DEF＝72°+72°＝144°， ∵∠AED′+∠D′ED＝180°， ∴∠AED′＝180﹣144°＝36° 故答案为：36． 【点评】本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 【练习3】（2026春•杨浦区校级期中）2026年春晚机器人表演武术，动作精准，难度极高，视觉冲击力极强意义重大．如图1，这是捕捉某款机器人表演的姿态，图2为其某一瞬间姿态的平面示意图，其中∠BAE＝110°，∠BCD＝140°，∠ABC＝3∠CBF，若AE∥CD，则∠ABF＝　100　 度． 【分析】过点B作TH∥CD，结合平行线的性质得∠TBA＝∠BAE，∠BCD+∠CBT＝180°，代入数值得∠TBA＝110°，∠CBT＝40°，再运算角的和差以及根据∠ABC＝3∠CBF列式计算，即可作答． 【解答】解：过点B作TH∥CD，如图2所示： ∵AE∥CD，TH∥CD， ∴TH∥CD∥AE， ∴∠TBA＝∠BAE（两直线平行，内错角相等），∠BCD+∠CBT＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠BAE＝110°，∠BCD＝140°， ∴∠TBA＝110°，∠CBT＝40°， ∴∠ABC＝40°+110°＝150°， ∵∠ABC＝3∠CBF， ∴∠CBF＝50°， ∴∠ABF＝150°﹣50°＝100°， 故答案为：100． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，关键是相关性质和定理的熟练掌握． 【练习4】（2026春•杨浦区期中）如图，点A、B、C和点D、E、F分别在同一直线上，DB、EC分别交AF于点G、H，∠A＝∠F，∠C＝∠D，求证：∠AGB＝∠EHF． 证明：∵∠A＝∠F， ∴DF∥AC（　内错角相等，两直线平行　 ）． ∴∠D＝∠DBA（　两直线平行，内错角相等　 ）． ∵∠D＝∠C， ∴∠C＝∠DBA． ∴BD ∥CE （　同位角相等，两直线平行　 ）． ∴∠AGB＝∠AHC （　两直线平行，同位角相等　 ）． 又∵∠EHF＝∠AHC （　对顶角相等　 ）， ∴∠AGB＝∠EHF． 【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求证即可． 【解答】证明：∵∠A＝∠F， ∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行）． ∴∠D＝∠DBA（两直线平行，内错角相等）． ∵∠D＝∠C， ∴∠C＝∠DBA． ∴BF∥CE（同位角相等，两直线平行）． ∴∠AGB＝∠AHC（两直线平行，同位角相等）． 又∵∠EHF＝∠AHC（对顶角相等）， ∴∠AGB＝∠EHF． 故答案为：内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；BD；CE；同位角相等，两直线平行；AHC；两直线平行，同位角相等；AHC；对顶角相等． 【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 【练习5】（2026春•杨浦区校级期中）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是CD、AB延长线上的点，连接EF．分别交AD、BC于点G、H．若∠1＝∠2，∠A＝∠C．证明：AB∥CD． 【分析】先根据同位角相等，两直线平行，判定AD∥BC，进而得到∠ADE＝∠C，再根据内错角相等，两直线平行，即可得到AB∥CD． 【解答】证明：∵∠1＝∠2， ∠1＝∠AGH， ∴∠2＝∠AGH， ∴AD∥BC， ∴∠ADE＝∠C， ∵∠A＝∠C， ∴∠ADE＝∠A， ∴AB∥CD． 【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握同位角相等，两直线平行，和内错角相等，两直线平行． 课后巩固 · 针对性练习 · 作业1 — 利用平行线性质求角度（内错角、平角差）。 · 作业2 — 平行线的判定：同位角、内错角、同旁内角的转化。 · 作业3 — 平行线与角平分线：同位角、内错角、同旁内角的角平分线的位置关系。 · 作业4 — 三角板与平行线：过点作垂线构造平行，利用内错角、平角求角。 · 作业5 — 等腰三角形相似命题的真假判断（假命题需举反例）。 · 作业6 — 垂线、余角计算：由垂直得余角，求两直线夹角。 · 作业7 — 平行线间距离与重心原理：求积木最远延伸长度。 · 作业8 — 平行线传递性：由BE∥DF，AB∥CD，推同位角相等，再求补角。 · 作业9 — 折叠与平行：折叠得角平分线，结合平行线、三角形内角和求角。 · 作业10 — 平行线性质与对顶角：找出与∠CGF相等的所有角（同位角、内错角、对顶角）。 · 作业11 — 角平分线与垂直：设参数，利用方程思想求角。 · 作业12 — 补充证明过程：填写平行线判定与性质的理由。 · 作业13 — 过拐点作平行线证明EF∥GH，再结合角平分线、设参数求角度。 · 作业14 — 三角尺旋转与平行：利用平行线性质列方程求旋转角。 ❤ 复习建议 相交线平行线是几何推理的基础，务必熟练掌握三线八角的识别、平行线的判定与性质。遇到折线或拐点，常通过添加平行线转化角度。命题部分要能准确写出逆命题并用反例证明假命题。 【作业1】（2026•青浦区二模）如图，AB∥CD，如果∠1＝63°，∠2＝120°，那么∠3的度数为（　　） A．47° B．57° C．60° D．63° 【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝63°， ∴∠ACD＝∠1＝63°． 又∵∠2＝120°， ∴∠3＝∠2﹣∠1＝120°﹣63°＝57°． 故选：B． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 【作业2】（2026春•杨浦区期中）如图，直线a、b被直线c所截，由下列条件能推出a∥b的是（　　） ①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠1＝∠8；④∠5+∠8＝180°． A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【分析】根据平行线的判定定理求解判断即可． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴a∥b（同位角相等，两直线平行）， 故①符合题意； ∵∠3＝∠6， ∴a∥b（内错角相等，两直线平行）， 故②符合题意； ∵∠2＝∠8，∠1＝∠8， ∴∠1＝∠2， ∴a∥b（同位角相等，两直线平行）， 故③符合题意； ∵∠5+∠8＝180°，∠6+∠8＝180°， ∴∠5＝∠6， ∴a∥b（同位角相等，两直线平行）， 故④符合题意； 故选：D． 【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 【作业3】（2026春•黄浦区期中）已知如果两条平行线被第三条直线所截，那么下列说法正确的是（　　） A．截得的一对同旁内角相等 B．截得的一对同旁内角的角平分线互相平行 C．截得的一对内错角的角平分线互相平行 D．截得的一对同位角的角平分线互相垂直 【分析】根据平行线的性质，结合图形分析平分角之后得到的角之间的位置关系，运用平行线的判定判断是否平行；若不平行，则进一步探究其特殊性． 【解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补，所以该选项说法错误，不符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，其角平分线分得的不同的两角互余，从而推出两条角平分线相交成90°角，即互相垂直，所以该选项说法错误，不符合题意； C、两直线平行，内错角相等，其角平分线分得的角也相等；根据平行线的性质可判断角平分线互相平行，所以该选项说法正确，符合题意； D、两直线平行，同位角相等，其角平分线分得的角也相等；根据平行线的性质可判断角平分线互相平行，而不是互相垂直，所以该选项说法错误，不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的性质，垂线，同位角、内错角、同旁内角，关键是相关性质的熟练掌握． 【作业4】（2026春•松江区期中）如图，一副三角板放置在两条平行线l1，l2之间，两块三角板斜边恰好在同一直线上，则∠α的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【分析】过A作AC⊥l2于C，由平行线的性质推出AC⊥l1，判定ED∥AC，得到∠EAC＝∠DEM＝45°，求出∠BAC＝∠EAC﹣∠BAE＝15°，由直角三角形的性质得到∠ABC＝90°﹣15°＝75°，由平角定义即可求出∠α的度数． 【解答】解：过A作AC⊥l2于C， ∵l1∥l2， ∴AC⊥l1， ∵∠EDM＝90°， ∴ED⊥l1， ∴ED∥AC， ∴∠EAC＝∠DEM＝45°， ∴∠BAC＝∠EAC﹣∠BAE＝45°﹣30°＝15°， ∴∠ABC＝90°﹣15°＝75°， ∴∠α＝180°﹣90°﹣75°＝15°． 故选：B． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠EAC＝∠DEM． 【作业5】（2025秋•松江区期末）已知命题： ①腰和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似； ②底边和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似． 下列对这两个命题的判断，正确的是（　　） A．①和②都是真命题 B．①和②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【分析】根据等腰三角形的性质、相似三角形的判定定理判断即可． 【解答】解：①两个三角形都是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形时，腰和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似，本小题说法是假命题； ②底边和一腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似，本小题说法是真命题； 故选：D． 【点评】本题考查的是命题的真假判断，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【作业6】（2026春•普陀区期中）如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥CD，如果∠BOE＝59°，那么直线AB，CD的夹角是　31　 °． 【分析】根据垂线定义及余角概念解答即可． 【解答】解：根据垂线定义及余角概念可知： OE⊥CD，∠BOE＝59°， ∴∠BOD＝90°﹣∠BOE＝31°． 故答案为：31． 【点评】本题考查了垂直的定义、余角．解题的关键在于对垂直的定义的熟练理解与掌握． 【作业7】（2026春•普陀区期中）将若干块长、宽、高分别对应相等且材质均匀、质量相等的积木如图1叠起来．如图2，沿平行于积木长边的方向推动积木①而不触碰其他积木，在不倾倒的前提下，将积木①推至最远．如图3保持积木②和积木①的相对位置不变，按图3手指方向推动积木①②组合，如果积木的长度为10m，那么积木①②组合最远延伸长度是多少　7.5　 cm． 【分析】分别计算积木中心偏离的距离，再相加即可． 【解答】解：积木①的中心偏离积木②的中心距离为：， 设积木②的中心偏离最下面的积木的中心距离为x， 则， 即， 5+2.5＝7.5cm，即积木①②组合最远延伸长度是7.5cm， 故答案为：7.5． 【点评】本题考查了平行线的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 【作业8】（2026春•普陀区期中）如图，已知AB∥CD，BE∥DF，如果∠B＝30°，那么∠CDH＝　150　 °． 【分析】先根据BE∥DF，∠B＝30°得出∠FMA＝∠B＝30°，再由AB∥CD即可得出∠CDM的度数，再由平角的定义即可得出结论． 【解答】解：∵BE∥DF，∠B＝30°， ∴∠FMA＝∠B＝30°， ∵AB∥CD， ∴∠CDM＝∠FMA＝30°， ∴∠CDH＝180°﹣∠CDM＝180°﹣30°＝150°， 故答案为：150． 【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键． 【作业9】（2026春•杨浦区校级期中）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB和AC上的点，将这个△ABC纸片沿DE折叠，点A落到点F的位置．如果DF∥BC，∠B＝50°，∠CEF＝30°，那么∠A＝　80　 度． 【分析】先根据平行线的性质求出∠ADF的度数，再由∠CEF＝30°求出∠DEC的度数，根据翻折变换的性质求出∠EDF的度数，根据三角形内角和定理即可得出∠F的度数，进而可得出结论． 【解答】解：∵DF∥BC，∠B＝50°， ∴∠ADF＝50°． ∵△DEF由△DEA翻折而成， ∴∠ADE＝∠EDF∠ADF50°＝25°，∠A＝∠F． ∵∠CEF＝30°， ∴∠AED75°， ∴∠A＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝180°﹣75°﹣25°＝80°． 故答案为：80． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键． 【作业10】（2026春•上海校级月考）如图，点E、F分别在线段AD、BC上，线段AC、EF交于点G，AB∥EF∥DC，找出图中与所有∠CGF相等的角：　∠CAB，∠DCG，∠AGE ． 【分析】根据平行线的性质和对顶角相等进行求解即可． 【解答】解：∵AB∥EF，（已知） ∴∠CGF＝∠CAB（两直线平行，同位角相等）， ∵EF∥CD， ∴∠DCG＝∠CGF（两直线平行，内错角相等）， ∴∠CGF＝∠CAB＝∠DCG（等量代换）， 又∵∠AGE与∠CGF是对顶角， ∴∠AGE＝∠CGF（对顶角相等）， ∴图中与所有∠CGF相等的角有∠CAB，∠DCG，∠AGE． 故答案为：∠CAB，∠DCG，∠AGE． 【点评】本题考查平行线的性质，正确进行计算是解题关键． 【作业11】（2026春•嘉定区期中）如图，已知EF∥GH，点A、D、B在直线EF上，点C在直线GH上，AC⊥BC，垂足为点C，CB平分∠DCH，若∠ACD：∠BCH＝7：3，则∠DAC＝　63　 ． 【分析】设∠BCH＝3x，根据比例关系表示出∠ACD，利用角平分线的定义表示出∠DCB，结合垂直定义建立方程求出 x 的值，进而求出∠BCH 的度数，最后利用平角的定义和平行线的性质求解即可． 【解答】解：设∠BCH＝3x，则∠ACD＝7x， ∵CB平分∠DCH， ∴∠BCH＝∠DCB＝3x， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠DCB＝90°， ∴7x+3x＝90°， ∴x＝9°， ∴∠BCH＝3×9°＝27°， ∵点 C 在直线 GH 上， ∴∠ACG＝180°﹣∠ACB﹣∠BCH＝180°﹣90°﹣27°＝63°， ∵EF∥GH， ∴∠DAC＝∠ACG＝63°． 故答案为：63°． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握该知识点是关键． 【作业12】（2026春•宝山区校级期中）将下面证明过程补充完整． 如图，已知∠ADC＝∠ABC，BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC且∠1＝∠2． 求证：∠A＝∠C． 证明：∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC， ∴，． ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠　1　 ＝∠　3　 ． ∵∠1＝∠2， ∴∠　2　 ＝∠　3　 ． ∴AB ∥CD （ 　内错角相等，两直线平行　 ）． ∴∠A+∠ADC ＝180°，∠C+∠ABC ＝180°（ 　两直线平行，同旁内角互补　 ）． ∴∠A＝∠C． 【分析】根据两直线平行的判定和性质，补齐相应的条件或结论，即可得到结果． 【解答】证明：∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC， ∴∠1∠ABC，∠3∠ADC， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠1＝∠3， ∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠3， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）， ∴∠A+∠ADC＝180°，∠C+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠A＝∠C． 故答案为：1，3；2，3；AB，CD，内错角相等，两直线平行；ADC，ABC，两直线平行，同旁内角互补． 【点评】本题考查两直线平行的判定和性质的应用，熟练掌握两直线平行的判定方法是解题的关键． 【作业13】（2026春•杨浦区期中）如图1，A是直线EF上一点，C是直线GH上一点，B是直线EF、GH之间的一点，且∠EAB+∠ABC+∠GCB＝360°． （1）求证：EF∥GH； （2）如图2，过点C作直线CD，使∠BCD＝∠BCH，且直线CD与∠FAB的平分线交于点D，若2∠B﹣∠D＝75°，求∠BAF的度数． 【分析】（1）过点B作BM∥EF，然后根据平行线的判定和性质进行推理证明； （2）设∠BAF＝2x，∠BCH＝y，根据角平分线定义求出∠FAD∠BAF＝x，∠DCH＝∠BCD+∠BCH＝2y，过点D作DP∥EF，过点B作BQ∥EF，根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【解答】（1）证明：如图1，过点B作BM∥EF， ∴∠EAB+∠ABM＝180°， ∵∠EAB+∠ABC+∠GCB＝360°，∠ABC＝∠ABM+∠CBM， ∴∠CBM+∠GCB＝180°， ∴BM∥GH， ∴EF∥GH； （2）解：如图2， 设∠BAF＝2x，∠BCH＝y， ∵AD平分∠FAB， ∴∠FAD∠BAF＝x， ∵∠BCD＝∠BCH， ∴∠DCH＝∠BCD+∠BCH＝2y， 过点D作DP∥EF，过点B作BQ∥EF， ∵EF∥GH， ∴DP∥GH∥BQ， ∴∠ADP＝∠FAD＝x，∠CDP＝∠DCH＝2y， ∴∠ADC＝∠ADP+∠CDP＝x+2y， 同理，∠ABQ＝∠FAB＝2x，∠CBQ＝∠BCH＝y， ∴∠ABC＝∠ABQ+∠CBQ＝2x+y， ∵2∠ABC﹣∠ADC＝75°， ∴2（2x+y）﹣（x+2y）＝75°， ∴x＝25°， ∴∠BAF＝50°． 【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 【作业14】（2026春•宝山区校级期中）如图（1），把一把含30°角的三角尺ABC的边BC放置于直尺DEFG的边EF上． （1）填空：如图（1），∠1＝　120　 °，∠2＝　90　 °； （2）如图（2），现把三角尺ABC绕点B逆时针方向旋转n°，当0＜n＜90且点C恰好落在边DG上，若∠2恰好是∠1的倍，求n的值． （3）按图（1）所示的方式放置三角尺ABC和直尺DEFG，现将射线BF绕点B以每秒1°的速度逆时针方向旋转得到射线BM，同时射线QA绕点Q以每秒2°的速度顺时针方向旋转得到射线QN．当射线QN旋转至第一次与QB重合时，射线BM、QN均停止转动，设旋转时间为t秒．在旋转过程中，是否存在BM∥QN？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）依据题意，根据邻补角的定义和平行线的性质解答； （2）依据题意，根据∠2恰好是∠1的倍列方程，计算可求解； （3）依据题意，分两种情况，根据∠AQN＝∠ABM画出图形，列方程可解得答案． 【解答】解：（1）由题意，∵DG∥EF， ∴∠AQG＝∠ABC＝60°，∠2＝∠ACF＝90°， ∴∠1＝180°﹣60°＝120°； 故答案为：120，90； （2）由题意，∵∠2恰好是∠1的倍， ∴90+n（120﹣n）， ∴n＝36． （3）存在BM∥NQ，理由如下： 如图：则∠FBM＝t°，∠AQN＝2t°， ∵BM∥NQ， ∴∠AQN＝∠ABM＝∠ABF﹣∠FBM， ∴2t＝60﹣t， ∴t＝20； 如图： ∵BM∥NQ， ∴∠ABM＝∠BQN， ∴t﹣60＝180﹣2t， ∴t＝80． 综上所述，t的值为20或80． 【点评】本题主要考查平行线的性质及应用，解题的关键是掌握平行线的性质定理并能熟练应用． 学科网（北京）股份有限公司 $ 【期末冲刺】第16章 相交线与平行线 培优讲义 (新题速达)2026年沪教版数学七年级下册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解 对顶角、邻补角的概念及性质，掌握垂线、垂线段、点到直线距离的定义。 · 熟练 识别同位角、内错角、同旁内角，能运用平行线的判定与性质进行角度计算与推理。 · 学会 添加辅助线（过拐点作平行线）解决复杂角度问题，掌握“猪蹄”模型及其变式。 · 理解 命题的概念，能判断真假命题，会写出逆命题，会用反例证明假命题。 · 体会 数形结合、转化思想、分类讨论在几何问题中的运用。 ✨ 核心：三线八角识别 · 平行线辅助线 · 命题真伪判断。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 相交线 · 对顶角： 两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线。性质：对顶角相等。 · 邻补角： 两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线。性质：邻补角互补。 · 垂线： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线。 · 垂线段最短： 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 · 点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 · 角平分线： 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线。角平分线上的点到角的两边距离相等。 · 新定义（如“完美交线”）： 两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是60°，就称这两条直线互为完美交线。需分类讨论求解。 ☆ 平行线 · 三线八角： 两条直线被第三条直线所截，形成八个角。 · 同位角（F型）： 在截线的同旁，被截两直线的同一方。 · 内错角（Z型）： 在截线的两旁，被截两直线之间。 · 同旁内角（U型）： 在截线的同旁，被截两直线之间。 · 平行线的判定： · 同位角相等 ⇔ 两直线平行。 · 内错角相等 ⇔ 两直线平行。 · 同旁内角互补 ⇔ 两直线平行。 · 平行于同一直线的两直线平行。 · 平行线的性质： · 两直线平行 ⇔ 同位角相等。 · 两直线平行 ⇔ 内错角相等。 · 两直线平行 ⇔ 同旁内角互补。 · 平行公理及推论： 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；平行于同一直线的两直线平行。 · 常见辅助线： 遇平行线间转折角，常过转折点作平行线（“猪蹄”模型），将角度转化到同一组平行线中。 · 角平分线与平行线综合： 由角平分线+平行线可推出等腰三角形，或利用角平分线定义及平行线性质求角度。 · 翻折（折叠）与平行： 折痕是角平分线，折叠前后对应角相等，结合平行线可求角。 ☆ 命题与证明 · 命题： 判断一件事情的语句。通常由“题设”和“结论”两部分组成。 · 真命题与假命题： 正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题。说明一个命题是假命题，只需举出一个反例。 · 逆命题： 交换原命题的题设和结论得到的命题。原命题为真，逆命题不一定为真。 · 证明： 根据已知条件，通过逻辑推理，得出结论的过程。 ☑ 知识总结表 类别 核心内容 常用结论/方法 相交线 对顶角相等，邻补角互补；垂线段最短；角平分线定义 分类讨论（如完美交线） 三线八角 同位角（F）、内错角（Z）、同旁内角（U） 根据截线和被截线位置判断 平行线判定 同位角/内错角相等，同旁内角互补 常用辅助线：过拐点作平行线 平行线性质 两直线平行→同位角/内错角相等，同旁内角互补 可进行角度转化、求值 命题 真命题、假命题、逆命题、反例 反例需满足条件但不满足结论 核心考点 ·3大考点精讲 【模块一】相交线（对应第1-11题） ※ 方法总结 · 对顶角识别：有公共顶点，两边互为反向延长线（题1）。 · 点到直线距离：垂线段最短，距离小于任意斜线段（题2、3、6）。 · 新定义“完美交线”：分两种情况（夹角60°可能在∠AOC或∠BOC），结合垂直求角度（题4）。 · 折叠旋转与矩形：利用全等、勾股、含30°直角三角形求边长（题5）。 · 对顶角、角平分线、邻补角综合：利用对顶角相等、角平分线定义、邻补角互补求角度（题7-10）。 · 分类讨论：点E,F在直线同侧或异侧，利用余角、平角、角平分线推导角度关系（题11）。 1．（2026春•普陀区期中）下面的四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026春•浦东新区期中）如图，点A，B在直线l上，点P在直线l外，连接PA，PB，若PA＝3，PB＝5，则点P到直线l的距离可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2026春•思明区校级期中）立定跳远是常州体育中考项目之一，女生成绩达到或超过1.85m获得满分，达到或超过1.95m获得加分．如图，一女生在起跳线l上的点A处起跳，BC⊥l，垂足为C．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（　　） A．BC可能为1.95m B．BC可能为1.8m C．AB可能为1.85m D．AB可能为1.95m 4．（2026春•上海校级期中）新定义：两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是60°，就称这两条直线互为完美交线，交点叫完美点，已知直线AB、CD互为完美交线，O为它们的完美点，OE⊥AB，则∠EOC的度数为　 　 ． 5．（2026春•徐汇区校级期中）如图，直尺ABCD直立在水平桌面GE上，点B不动，转动直尺，使其一顶点靠在竖直墙壁EF上．观测发现，点D、C、D′在同一直线上，顶点A到墙壁EF的距离为20cm，∠C'BE＝30°，则直尺长AD为　 　 cm． 6．（2026春•上海期中）如图，△ABC中，CD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别是C、E，那么点C到线段AB的距离是线段　 　 的长度． 7．（2026春•闵行区期中）如图，直线AB与CD相交于一点O，OE平分∠BOD，若∠AOC＝60°，则∠COE＝　 　 度． 8．（2025春•闵行区校级月考）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠AOD． （1）若∠BOD＝40°，求∠COF的度数； （2）若∠AOC：∠COE＝2：3，求∠DOF的度数． 9．（2025秋•徐汇区校级期中）如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE：∠COE＝2：3，OF平分∠BOE． （1）如图1，如果AB⊥CD，求∠BOF的度数； （2）如图2，如果∠BOF＝∠AOC+12°，则∠BOF的度数为　 　 ． 10．（2026春•青浦区校级期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF＝90°． （1）若∠BOE＝70°，求∠AOF的度数； （2）若∠BOD：∠BOE＝1：2，求∠AOF的度数． 11．（2025春•虹口区校级月考）直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部． （1）当点E，F在直线AB的同侧； ①如图1，若∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，求∠EOF的度数； ②如图2，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分∠AOE，并说明理由； （2）若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系． 【模块二】平行线（对应第12-31题） ※ 方法总结 · 三线八角识别：根据截线和被截线位置判断同位角、内错角、同旁内角（题12）。 · 平行线求角度：利用内错角、同位角相等，同旁内角互补，结合三角板已知角计算（题13-15、25-27）。 · 多组平行线综合：作辅助平行线，利用平行线的传递性，将角度转化（题16-18、22-24）。 · 翻折（折叠）与平行：折痕为角平分线，折叠前后对应角相等，结合平行线求角度（题20、练习2、作业9）。 · “猪蹄”模型（过拐点作平行线）：证明∠EPF＝∠AEP+∠CFP 或 ∠AEP+∠CFP+∠EPF＝360°（题30）。 · 角平分线与平行线综合：由角平分线+平行线可得等腰或等角，进而证明垂直或平行（题21、22、28、29）。 · 利用平行线性质推导角度和（题31、练习1、练习3）。 · 光的反射：入射角等于反射角，转化为角度相等，结合平行线求角（题17、19）。 · 平行线间距离：通过中心偏离原理求最远延伸长度（作业7）。 12．（2026春•普陀区期中）如图，下列说法中不正确的是（　　） A．∠1与∠3是直线AB、FC被直线DE所截得的内错角 B．∠1与∠4是直线AB、FC被直线DE所截得的同位角 C．∠1与∠2是直线AB、FC被直线DE所截得的同旁内角 D．∠B与∠C是直线AB、FC被直线BC所截得的同旁内角 13．（2026春•上海期中）健康骑行越来越受到大众的喜欢，某自行车的示意图如图所示，其中AB∥CD，AE∥BD，若∠CDB＝∠ACD＝70°，则∠EAC的度数为（　　） A．60° B．50° C．40° D．30° 14．（2026春•浦东新区校级月考）将三角板ABC按如图位置摆放，顶点A落在直线l1上，顶点B落在直线l2上，若l1∥l2，∠2＝25°，则∠1的度数是（　　） A．45° B．35° C．30° D．25° 15．（2026春•徐汇区校级期中）图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱AB、CD和折叠杆“AE﹣EF”组成．道闸工作时，折叠杆“AE﹣EF”可绕点A在一定范围内转动，且杆EF始终与地面BD保持平行，则下列判断中，正确的是（　　） A．∠BAE+∠AEF＝180° B．∠BAE+∠AEF＝270° C．∠BAE+∠AEF＝360° D．∠BAE+∠AEF的度数无法确定 16．（2026春•嘉定区期中）如图，下列说法正确的有（　　）个． （1）若∠1＝∠2，则DB∥EG； （2）若∠1＝80°，∠A＝55°，则∠DBA＝45°； （3）∠A和∠F是内错角； （4）若DB∥EG，则∠A+∠DBA+∠2＝180°． A．1 B．2 C．3 D．4 17．（2026春•杨浦区校级期中）如图，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜，夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回（即a∥b），根据光的反射可知∠1＝∠3，∠2＝∠4，其原理如图2所示，若∠1＝48°，则∠2的度数为（　　） A．52° B．54° C．48° D．42° 18．（2026春•闵行区校级月考）已知直线AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，如图，点H是直线AB与CD外一点，连接HE、HF．若∠EHF＝120°，∠BEH＝n∠PEH，∠CFH＝n∠HFQ，点P、H、Q在同一直线上，若∠Q﹣∠P＝50°，则n的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 19．（2026春•上海期中）有一个质量均匀的透明水晶球，过球心的截面如图所示，PQ为直径，一单色光线AP从点P射入，折射光线PB从点B射出，出射光线BC∥PQ．若AP与QP延长线的夹角∠APD＝74°，则入射光线AP所在直线与出射光线BC所在直线相交形成的∠BEP的度数为　 　 ． 20．（2026春•徐汇区校级期中）如图，有一张三角形纸片ABC，∠B＝36°，∠A＝96°，点D是边AB上的定点．在BC上找一点E，将纸片沿DE折叠（DE为折痕），点B落在点F处，当EF与边AC平行时，∠BDE的度数为　 　 ． 21．（2026春•上海校级期中）如图，已知AB∥MN，点C在AB上，点D，E在MN上，连接CD，CE，∠DCE＝∠CDE，EF⊥CD，EG∥CD，CG平分∠BCE．给出下列结论：①EG平分∠CEN；②∠BCG＝∠DEF；③∠G＝90°；④∠CDM﹣∠CEF＝90°．上述结论中，正确的是　 　 ． 22．（2026春•杨浦区校级期中）已知：如图AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的角平分线EG与∠DFE的角平分线FG交于点G．作∠BEG的角平分线EM与∠DFG的角平分线FM交于点M，则∠EMF＝　 　 ． 23．（2026春•杨浦区校级期中）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，EF∥HC，连接FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK．则下列结论：①AD∥BC；②AB∥DC；③GK平分∠AGC；④∠DGH＝37°．其中正确结论为　 　 ． 24．（2026春•闵行区期中）如图，指甲剪利用杠杆原理操作，图1是实物图，图2是使用指甲剪的侧面示意图，∠CEO＝90°，未使用指甲剪时，杠杆BC与上臂OC重合；使用时，下压点A至A'时，B刚好至B'点，当A'B∥OE时，两刀片咬合，恰好CB'平分∠OCE，若∠CB'A'＝128°，则∠COE的度数为　 　 度． 25．（2026春•浦东新区校级同步）如图，DB∥AG∥EC，∠ABD＝70°，∠ACE＝38°，AP是∠BAC的平分线，则∠BAP的度数是　 　 ． 26．（2026春•徐汇区校级期中）如图，一束平行主光轴EF的光线AB经凸透镜折射后，其折射光线为BF，一束光线CO经过光心O，其折射光线为OD，折射光线BF与OD交于P点，点F为焦点，若∠ABF＝145°，∠COE＝30°，则∠DPF＝ 　 　 ． 27．（2026春•上海校级期中）阅读下列文字，补全推理过程，并填写依据． 如图，直线AB上有两点G、K，直线CD上有一点H，点H、F、K三点共线，点E在直线AB和直线CD之间，连接EG、EF，∠2＝∠3，∠1+∠4＝180°，试说明：AB∥CD． 解：∵∠2＝∠3（已知）， ∴HK∥　 　 （　 　 ）， ∴∠1＝　 　 （　 　 ）， ∵∠1+∠4＝180°（已知）， ∴　 　 +∠4＝180°（等量代换）， ∴AB∥CD（　 　 ）． 28．（2026春•普陀区期中）如图，已知：AB∥CD，EF平分∠AEG，GH平分∠DGE．求证：EF∥GH． 对于这道题，某同学的证明过程如下： 证明：∵AB∥CD， ∴∠AEG＝∠DGE（两直线平行，内错角相等）． ∵EF平分∠AEG，GH平分∠DGE． ∴∠AEF∠AEG，∠HGD∠DGE． ∴∠AEF＝∠HGD． ∴EF∥GH（内错角相等，两直线平行）． （1）请找出这位同学出错的地方，并指出错误原因； （2）请写出本题正确的证明过程． 29．（2026春•普陀区期中）如图，已知：AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分别为D、G，∠1+∠2＝180°． （1）求证：ED∥AC； （2）如果∠BED＝70°，AD平分∠BAC，求∠BDE的度数． 30．（2026春•上海期中）在综合探究课堂上我们学习了平行线的性质，平行线具有“等角转化”的功能，“三线八角”图是研究平行线性质的“基本图形”． （1）阅读理解：如图1，AB∥CD，点E、F分别为直线AB、CD上的点，点P为平行线间一点，猜想∠AEP、∠CFP与∠EPF之间的关系，并说明理由．阅读并补充下面推理过程： 解：∠EPF＝∠AEP+∠CFP，理由如下： 过点P作MN∥AB， ∴∠AEP＝∠EPN， ∵AB∥CD， ∴MN∥CD（　 　 ）， ∴∠CFP＝　 　 ， ∴∠EPF＝∠EPN+∠FPN＝∠AEP+∠CFP（等量代换）， ∴∠EPF＝∠AEP+∠CFP． （2）方法运用：如图2，AB∥CD，猜想∠AEP、∠CFP与∠EPF之间的关系，并说明理由． （3）深化拓展：如图3，AB∥CD，∠AEP、∠CFP的角平分线相交于点Q． ①过点E、F作射线EG、FG交于点G，若，求∠G的度数； ②若，请直接写出∠G的度数　 　 ．（用含m、n的代数式表示） 31．（2026春•松江区期中）课题学习：平行线的“等角转化”功能． 阅读理解： 如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求∠BAC+∠B+∠C的度数． （1）阅读并补充下面推理过程． 解：过点A作ED∥BC． ∴∠B＝∠EAB，∠C＝　 　 ． ∵　 　 ＝180°． ∴∠B+∠BAC+∠C＝180°． 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 方法运用： （2）如图2，已知AB∥ED，求证：∠D+∠BCD﹣∠B＝180°（提示：过点C作CF∥AB）． 深化拓展： （3）已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝60°．BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间． ①如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC＝50°，求∠BED的度数． ②如图4，点B在点A的右侧，且AB＜CD，AD＜BC．若∠ABC＝100°，则∠BED的度数为 　 　 °． 【模块三】命题与证明（对应第32-40题） ※ 方法总结 · 命题的判断：陈述句且能判断真假才是命题（题33）。 · 假命题的反例：满足条件但不满足结论的例子（题32、35）。 · 真命题的判断：根据定义、定理、性质判断（题34）。 · 逆命题：交换原命题的条件和结论（题36-38）。 · 命题的证明：根据已知条件，利用平行线的判定与性质进行逻辑推理（题39-40）。 · 补充证明过程：填写推理依据，完成证明（题27、练习4、作业12）。 32．（2026春•松江区期中）对于命题“如果a＜1，那么a2＜1”能证明它是假命题的反例是（　　） A．a＝﹣2 B．a＝2 C． D．a＝0 33．（2026春•普陀区期中）下列语句中，是命题的是（　　） A．画一个角等于已知角 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等吗？ C．等角的余角相等 D．延长线段AB到点D，使得BD＝AB 34．（2026春•虹口区期中）下列命题中，真命题的个数是（　　） ①钝角大于直角； ②对顶角相等； ③同位角相等，两直线平行； ④如果两条直线被第三条直线所截，那么一对同旁内角的平分线互相垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 35．（2026春•虹口区期中）对于命题“如果∠1+∠2＝180°，那么∠1＝∠2”，能说明它是假命题的反例是（　　） A．∠1＝∠2＝90° B．∠1＝50°，∠2＝130° C．∠1＝50°，∠2＝50° D．∠1+∠2＝90° 36．（2026春•上海期中）“如果两个角相等，那么它们是对顶角”的逆命题是　 　 （填“真”或“假”）命题． 37．（2026春•黄浦区期中）命题：“如果两个角是对顶角，那么它们相等．”的逆命题　 　 ． 38．（2026春•上海期中）将命题“对顶角相等”写成“如果，那么”的形式 　 　 ． 39．（2026春•中山市校级期中）如图，有三个论断： ①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③AB∥CD． （1）如果以①和②作为题设，③作为结论，请你写出该命题，并判断该命题是真命题还是假命题； （2）若（1）中的命题为真命题，请你完成证明过程；若为假命题，请你说明理由． 40．（2026春•七星区校级月考）命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． （1）已知：如图，EF分别交AB，CD于G，H，　 　 ，GI∥HJ，求证　 　 ． （2）证明： （3）命题“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的角平分线互相垂直”，此命题是　 　 命题（填“真”或“假”）． 随堂检测 · 精选练习 · 练习1 — 平行线求角度：利用内错角、同位角相等，角的和差计算。 · 练习2 — 长方形纸带折叠：利用平行线内错角相等、折叠角相等，求角度。 · 练习3 — 多组平行线综合：过拐点作平行线，利用内错角、同旁内角互补求角度。 · 练习4 — 补充证明过程：填写平行线判定与性质的理由，完成推理。 · 练习5 — 平行线判定与性质综合：通过等角转化证明AB∥CD。 ⭐ 复习重点：平行线辅助线 · 角度转化 · 命题推理。 【练习1】（2026春•上海校级期中）如图，AB∥CD，AC∥DE，∠FAB＝96°，∠DCE＝62°，则∠E的度数　 　 ． 【练习2】（2026春•普陀区期中）如图，长方形纸带ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在边AD、BC上，将纸带沿EF折叠，点C、D两点分别与点C'、D'对应．如果∠EFB＝72°，那么∠AED′＝　 　 °． 【练习3】（2026春•杨浦区校级期中）2026年春晚机器人表演武术，动作精准，难度极高，视觉冲击力极强意义重大．如图1，这是捕捉某款机器人表演的姿态，图2为其某一瞬间姿态的平面示意图，其中∠BAE＝110°，∠BCD＝140°，∠ABC＝3∠CBF，若AE∥CD，则∠ABF＝　 　 度． 【练习4】（2026春•杨浦区期中）如图，点A、B、C和点D、E、F分别在同一直线上，DB、EC分别交AF于点G、H，∠A＝∠F，∠C＝∠D，求证：∠AGB＝∠EHF． 证明：∵∠A＝∠F， ∴DF∥AC（　 　 ）． ∴∠D＝∠DBA（　 　 ）． ∵∠D＝∠C， ∴∠C＝∠DBA． ∴　 　 ∥　 　 （　 　 ）． ∴∠AGB＝∠　 　 （　 　 ）． 又∵∠EHF＝∠　 　 （　 　 ）， ∴∠AGB＝∠EHF． 【练习5】（2026春•杨浦区校级期中）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是CD、AB延长线上的点，连接EF．分别交AD、BC于点G、H．若∠1＝∠2，∠A＝∠C．证明：AB∥CD． 课后巩固 · 针对性练习 · 作业1 — 利用平行线性质求角度（内错角、平角差）。 · 作业2 — 平行线的判定：同位角、内错角、同旁内角的转化。 · 作业3 — 平行线与角平分线：同位角、内错角、同旁内角的角平分线的位置关系。 · 作业4 — 三角板与平行线：过点作垂线构造平行，利用内错角、平角求角。 · 作业5 — 等腰三角形相似命题的真假判断（假命题需举反例）。 · 作业6 — 垂线、余角计算：由垂直得余角，求两直线夹角。 · 作业7 — 平行线间距离与重心原理：求积木最远延伸长度。 · 作业8 — 平行线传递性：由BE∥DF，AB∥CD，推同位角相等，再求补角。 · 作业9 — 折叠与平行：折叠得角平分线，结合平行线、三角形内角和求角。 · 作业10 — 平行线性质与对顶角：找出与∠CGF相等的所有角（同位角、内错角、对顶角）。 · 作业11 — 角平分线与垂直：设参数，利用方程思想求角。 · 作业12 — 补充证明过程：填写平行线判定与性质的理由。 · 作业13 — 过拐点作平行线证明EF∥GH，再结合角平分线、设参数求角度。 · 作业14 — 三角尺旋转与平行：利用平行线性质列方程求旋转角。 ❤ 复习建议 相交线平行线是几何推理的基础，务必熟练掌握三线八角的识别、平行线的判定与性质。遇到折线或拐点，常通过添加平行线转化角度。命题部分要能准确写出逆命题并用反例证明假命题。 【作业1】（2026•青浦区二模）如图，AB∥CD，如果∠1＝63°，∠2＝120°，那么∠3的度数为（　　） A．47° B．57° C．60° D．63° 【作业2】（2026春•杨浦区期中）如图，直线a、b被直线c所截，由下列条件能推出a∥b的是（　　） ①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠1＝∠8；④∠5+∠8＝180°． A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【作业3】（2026春•黄浦区期中）已知如果两条平行线被第三条直线所截，那么下列说法正确的是（　　） A．截得的一对同旁内角相等 B．截得的一对同旁内角的角平分线互相平行 C．截得的一对内错角的角平分线互相平行 D．截得的一对同位角的角平分线互相垂直 【作业4】（2026春•松江区期中）如图，一副三角板放置在两条平行线l1，l2之间，两块三角板斜边恰好在同一直线上，则∠α的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【作业5】（2025秋•松江区期末）已知命题： ①腰和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似； ②底边和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似． 下列对这两个命题的判断，正确的是（　　） A．①和②都是真命题 B．①和②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【作业6】（2026春•普陀区期中）如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥CD，如果∠BOE＝59°，那么直线AB，CD的夹角是　 　 °． 【作业7】（2026春•普陀区期中）将若干块长、宽、高分别对应相等且材质均匀、质量相等的积木如图1叠起来．如图2，沿平行于积木长边的方向推动积木①而不触碰其他积木，在不倾倒的前提下，将积木①推至最远．如图3保持积木②和积木①的相对位置不变，按图3手指方向推动积木①②组合，如果积木的长度为10m，那么积木①②组合最远延伸长度是多少　 　 cm． 【作业8】（2026春•普陀区期中）如图，已知AB∥CD，BE∥DF，如果∠B＝30°，那么∠CDH＝　 　 °． 【作业9】（2026春•杨浦区校级期中）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB和AC上的点，将这个△ABC纸片沿DE折叠，点A落到点F的位置．如果DF∥BC，∠B＝50°，∠CEF＝30°，那么∠A＝　 　 度． 【作业10】（2026春•上海校级月考）如图，点E、F分别在线段AD、BC上，线段AC、EF交于点G，AB∥EF∥DC，找出图中与所有∠CGF相等的角：　 　 ． 【作业11】（2026春•嘉定区期中）如图，已知EF∥GH，点A、D、B在直线EF上，点C在直线GH上，AC⊥BC，垂足为点C，CB平分∠DCH，若∠ACD：∠BCH＝7：3，则∠DAC＝　 　 ． 【作业12】（2026春•宝山区校级期中）将下面证明过程补充完整． 如图，已知∠ADC＝∠ABC，BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC且∠1＝∠2． 求证：∠A＝∠C． 证明：∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC， ∴，． ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠　 　 ＝∠　 　 ． ∵∠1＝∠2， ∴∠　 　 ＝∠　 　 ． ∴　 　 ∥　 　 （ 　 　 ）． ∴∠A+∠　 　 ＝180°，∠C+∠　 　 ＝180°（ 　 　 ）． ∴∠A＝∠C． 【作业13】（2026春•杨浦区期中）如图1，A是直线EF上一点，C是直线GH上一点，B是直线EF、GH之间的一点，且∠EAB+∠ABC+∠GCB＝360°． （1）求证：EF∥GH； （2）如图2，过点C作直线CD，使∠BCD＝∠BCH，且直线CD与∠FAB的平分线交于点D，若2∠B﹣∠D＝75°，求∠BAF的度数． 【作业14】（2026春•宝山区校级期中）如图（1），把一把含30°角的三角尺ABC的边BC放置于直尺DEFG的边EF上． （1）填空：如图（1），∠1＝　 　 °，∠2＝　 　 °； （2）如图（2），现把三角尺ABC绕点B逆时针方向旋转n°，当0＜n＜90且点C恰好落在边DG上，若∠2恰好是∠1的倍，求n的值． （3）按图（1）所示的方式放置三角尺ABC和直尺DEFG，现将射线BF绕点B以每秒1°的速度逆时针方向旋转得到射线BM，同时射线QA绕点Q以每秒2°的速度顺时针方向旋转得到射线QN．当射线QN旋转至第一次与QB重合时，射线BM、QN均停止转动，设旋转时间为t秒．在旋转过程中，是否存在BM∥QN？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $