带电粒子在组合场中含动量问题 专题训练 -2026届高考物理电磁学二轮压轴计算题

**基本信息** 聚焦带电粒子在组合场中含动量问题，以11道压轴题构建“受力分析-运动分解-规律应用-几何建构”的系统方法体系，融合动量与能量观念，强化科学推理与模型建构能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |带电粒子组合场含动量问题|11道综合题|动量定理处理非匀强场、轨迹几何关系分析、动能定理与洛伦兹力公式结合|以“力（电场力/洛伦兹力）-运动（类平抛/圆周）-动量-能量”为逻辑链，整合电磁场性质与力学规律，层层递进突破复杂运动问题|

23 带电粒子在组合场中含动量问题--2026年高考物理电磁学二轮压轴计算题专题复习【难点突破】 一、解答题 1．在如图1所示的xOy平面内，存在方向沿y轴正方向的电场和方向垂直xOy平面向外的磁场，电场强度和磁感应强度随时间的变化规律如图2所示。O点放置一粒子源，可连续释放质量为m、电荷量为、初速度为零的粒子，不计重力及粒子间的相互作用，图中物理量均为已知量。求： (1)时刻释放的粒子，在时刻的速度大小； (2)在时间内，静电力对t=0时刻释放的粒子所做的功； (3)在之间的t时刻释放粒子，第一次到达直线时的位置到x轴的距离为y，写出y与t的关系式。 2．如图所示，在第一象限的区域内和第四象限内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，在第二象限内的曲线上方有沿轴负方向的匀强电场，其场强大小为，曲线左侧有一粒子源AB，B端位于轴上，能够持续不断地沿轴正方向发射速度为、质量为、电荷量为的粒子束，这些粒子经电场偏转后均能够通过点，已知从A点射出的粒子恰好从P点进入电场，不计重力及粒子间的相互作用。 (1)写出匀强电场边界段的边界方程（粒子入射点的坐标和间的关系式）； (2)若某带电粒子在第二象限从点沿轴正方向射出后，进入第四象限的匀强磁场，刚好不从磁场上边界射出，求磁感应强度的大小； (3)若第四象限内磁场为非匀强磁场，磁感应强度大小随轴坐标均匀变化，其关系为（为第（2）问中求得的值），某带电粒子从点沿轴正方向射出后，进入第四象限的非匀强磁场，求粒子从射入磁场到速度方向变为沿轴正方向的过程中，其运动轨迹与轴所围成的面积。 3．如图所示，平行边界、间为区域II，宽度为，上方的区域I内有与纸面平行、垂直于向下的匀强电场，下方有垂直于纸面向里的匀强磁场， 下方的区域III内还有与纸面平行、垂直向下的匀强电场，两电场的电场强度均为。一个质量为、电荷量为的带正电的粒子在区域I中的A点由静止释放，粒子经电场加速、区域II中的磁场偏转，在区域II中的轨迹刚好与相切，A点离的距离为，不计粒子的重力，求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小； (2)粒子从静止释放到第次经过所用的时间； (3)将粒子在区域I中的点由静止释放，点到的距离为，则粒子在区域III中的最大速度为多少。 4．如图所示，第一象限内充满了垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），一带正电的粒子（不计重力）从轴上的点沿轴正方向以初速度进入该匀强磁场区域，点坐标为。粒子从轴上的点离开磁场时速度与轴负方向成角，随后进入充满第四象限、且方向沿轴正方向的匀强电场区域。经该电场偏转后，粒子恰好垂直于轴进入第三象限的匀强电、磁场区域，其中磁场方向均垂直于纸面向里，磁感应强度大小均为，电场方向均沿轴负方向，电场强度大小均为，电、磁场区域的宽度均为。已知粒子的质量为、电荷量为，虚线边界上有电场。 (1)求第一象限中匀强磁场的磁感应强度的大小； (2)设粒子刚离开第三象限中第一个电场区域时速度与水平方向的夹角为，求； (3)求在第三象限内运动的整个过程中，粒子距离轴最远的水平距离。 5．现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。如图所示，xOy平面直角坐标系中第I象限存在垂直于纸面向外的匀强磁场B0（大小未知）；第II象限存在沿x轴正方向的大小未知的匀强电场；第IV象限交替分布着沿方向的匀强电场和垂直xOy平面向里的匀强磁场，电场、磁场的宽度均为L，边界与y轴垂直，电场强度，磁感应强度。一质量为m，电量为+q的粒子从点以平行于y轴的初速度v0进入第II象限，恰好从点N（0，2L）进入第I象限，然后又垂直于x轴进入第IV象限，多次经过电场和磁场后某时刻粒子的速度沿x轴正方向。粒子始终在电场、磁场中运动，不计粒子重力及运动时的电磁辐射。求： (1)磁感应强度B0的大小； (2)粒子刚射出第1层磁场下边界时的速度方向； (3)粒子进入第n层磁场时的速度大小vn以及最远能进入第几层磁场。 6．如图，在光滑的水平桌面上建立平面直角坐标系，在第一、四象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场，在第二、三象限内存在指向x轴正方向且电场强度大小为E的匀强电场。现将一质量为m且不带电的小球P放置于A(L，0)点，将一质量为2m带正电的小球Q从桌面的C(-L，-L)点静止释放，小球Q运动一段时间后与小球P发生弹性正碰，小球碰撞过程电量等分，已知第四象限的磁感应强度大小是第一象限磁感应强度大小的 小球Q所带的电荷量为q，碰后运动过程两小球所带电荷量不变，忽略碰后两小球之间的相互作用。求： (1)第四象限磁感应强度B的大小； (2)碰后小球 P 和小球Q 的瞬时速度； (3)碰后小球P 和小球Q第二次经过y轴的时间差。 7．如图所示，在x轴的上方存在垂直纸面向里，磁感应强度大小为B0的匀强磁场。位于x轴下方的离子源C发射质量为m、电荷量为q的一束负离子，其初速度大小范围，这束离子经电势差的电场加速后，从小孔O（坐标原点）垂直x轴并垂直磁场射入磁场区域，最后打到x轴上。在x轴上区间水平固定放置一探测板（），假设每秒射入磁场的离子总数为N0，打到x轴上的离子数均匀分布（离子重力不计）。 （1）求离子束从小孔O射入磁场后打到x轴最远处位置（用含的物理量a表示）； （2）调整磁感应强度的大小，可使速度最大的离子恰好打在探测板右端，求此时的磁感应强度大小B1； （3）保持磁感应强度B1不变，求每秒打在探测板上的离子数N；若打在板上的离子80%被吸收，20%被反向弹回，弹回速度大小为打板前速度大小的0.6倍，被吸收和被弹回的离子数在探测板上沿x轴均匀分布，求探测板受到的作用力大小。 8．芯片制造中，离子注入是一道重要的工序。如图是一部分离子注入工作原理示意图。从离子源A处飘出带正电的离子初速度不计，经匀强电场加速后，从P点以速度v沿半径方向射入圆形磁分析器，磁分析器中存在垂直于纸面向外的匀强磁场（大小未知），与矩形离子控制区abcd相切于Q点，ad边长为L，开始时控制区无任何场，离子从Q点离开磁分析器后可匀速穿过控制区，注入cd处的硅片上。已知离子质量为m，电荷量为q，在圆形磁分析器中运动的时间为t，图中a、P、Q三点连线正好可构成一个等边三角形，bQ足够长，不计离子的重力和离子间的相互作用。 （1）求加速电场的电压U； （2）求圆形磁分析器的半径r； （3）若在控制区加上垂直于纸面向里磁场，其磁感应强度大小沿ad方向按的规律均匀变化，x为该点到ab边的距离，k为已知的常数且，则要使离子不打到硅片上，ab边所在位置的磁感应强度至少为多少？ 9．如图是离子控制器工作原理示意图。装置由加速电场、电磁分析器、偏转电场和偏转磁场组成。各组件中心截面均分布在坐标平面xOy。加速电场在第三象限，带正电离子自O点由静止释放，自A点垂直x轴进入电磁分析器。电磁分析器截面是内外半径分别为和的四分之一圆环，圆心均处在坐标原点，电磁分析器所处区域可以周期性的加入垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B（已知），或者指向坐标原点的辐向电场，离子进入分析器位置和射出位置到圆心等距，且无论是电场还是磁场，离子均在该区域做半径为R的圆周运动。第一象限存在沿y轴负向的匀强电场，离子第一次穿越x正半轴时速度方向与x轴正方向夹角为45°。第四象限存在垂直纸面的匀强磁场。整个系统置于真空中，已知离子离开第二象限时速度为v，不计离子重力。 （1）求电磁分析器中的离子轨迹所处区域的电场强度E与磁感应强度B之比和离子的比荷； （2）求第一项象限匀强电场的电场强度；假设第四象限磁场方向垂直纸面向外，为使离子不再次穿过y轴，第四象限磁场磁感应强度的最小值； （3）如果第四象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，在区域磁感应强度为；在磁感应强度为，区域磁感应强度为B，……，区域磁感应强度为，求离子第二次穿越x正半轴之前，在运动过程中离x轴的最大距离。 10．如图为某同学设计的带电粒子的聚焦和加速装置示意图。位于S点的粒子源可以沿纸面内与SO1（O1为圆形磁场的圆心）的夹角为的方向内均匀地发射速度为v0=10m/s、电荷量均为q=-2.0×10-4C、质量均为m=1.0×10-6kg的粒子，粒子射入半径为R=0.1m的圆形区域匀强磁场。已知粒子源在单位时间发射N=2.0×105个粒子，圆形区域磁场方向垂直纸面向里，沿着SO1射入圆形区域磁场的粒子恰好沿着水平方向射出磁场。粒子数控制系统是由竖直宽度为L、且L在范围内大小可调的粒子通道构成，通道竖直宽度L的中点与O1始终等高。聚焦系统是由有界匀强电场和有界匀强磁场构成，匀强电场的方向水平向右、场强E=0.625N/C，边界由x轴、曲线OA和直线GF（方程为：y=-x+0.4（m））构成，匀强磁场方向垂直纸面向里、磁感应强度B=0.25T，磁场的边界由x轴、直线GF、y轴构成，已知所有经过聚焦系统的粒子均可以从F点沿垂直x轴的方向经过一段真空区域射入加速系统。加速系统是由两个开有小孔的平行金属板构成，两小孔的连线过P点，上下两板间电势差U=-10kV，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力。求： （1）圆形磁场的磁感应强度B0； （2）当L=R时，求单位时间进入聚焦系统的粒子数N0； （3）若进入加速系统内粒子的初速度均忽略不计，设从加速系统射出的粒子在测试样品中运动所受的阻力f与其速度v关系为（k=0.2N·s·m-1），求粒子在样品中可达的深度d； （4）曲线OA的方程。 11．如图，光滑水平桌面上有一个矩形区域abcd，bc长度为2L，cd长度为1.5L，e、f分别为ad、bc的中点。efcd区域存在垂直桌面向内的匀强磁场，磁感应强度为B，质量为m、电荷量为的绝缘小球A静止在磁场中f点．abfe区域存在沿bf方向的匀强电场，电场强度为，质量为km的不带电绝缘小球P，以大小为的初速度沿bf方向运动。P与A发生弹性碰撞，A的电量保持不变，P、A均可视为质点。 （1）试求碰后A在磁场中做圆周运动的半径； （2）若，试分析A从ed边何处离开磁场； （3）若A从ed边中点离开磁场，求k的可能值和A在磁场中运动的最长时间 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《23 带电粒子在组合场中含动量问题--2026年高考物理电磁学二轮压轴计算题专题复习【难点突破】》参考答案 1．(1) (2) (3) 【详解】（1）（1）作出粒子运动轨迹如图所示 令，在时间内，根据动量定理有 在时间内，粒子在磁场中运动的周期 在时间内，根据动量定理有 解得粒子在时刻粒子的速度 （2）在时间内，根据动量定理有 解得粒子在时刻的速度 在时间内，静电力对粒子的做功大小为 解得 （3）在之间的t时刻释放粒子，粒子运动轨迹如图所示 在时间内，根据动量定理有 粒子在电场中的位移 在时间内，粒子圆周运动的半径 在时间内，根据动量定理有 粒子在电场中的位移 在时间内，粒子圆周运动的半径 解得 所以第一次到达直线时到轴的距离 解得 2．(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在电场区域做类平抛运动，则， 代入 解得 （2）由段的边界方程可知 粒子在电场中做类平抛运动，水平、竖直位移分别满足， 联立可得 从点出电场时的速度与水平方向的夹角满足 则 粒子从点出电场时的速度为 设粒子在磁场中做圆周运动的半径为，粒子轨迹刚好磁场上边界相切时，由几何关系得 由洛伦兹力提供向心力有 解得 （3）粒子进入第四象限的磁场后，沿轴方向应用动量定理有 对粒子从进入磁场到速度方向变为沿轴正方向的过程求和得 可得 运动轨迹与轴所围成的面积 代入 解得 3．(1) (2)n为奇数时，n为偶数时， (3) 【详解】（1）设粒子刚进区域II时的速度大小为，根据动能定理有： 解得 根据题意可知，粒子在磁场中做圆周运动的半径 根据牛顿第二定律 解得 （2）设粒子第一次在电场中运动的时间为，则 解得 粒子每次在磁场中运动的时间 粒子从静止释放到第n次经过PQ所用的时间 当n为奇数时： 当n为偶数时： （3）由题求得粒子进入区域III的水平分速度大小为，在区域III中运动的速度最大时，速度方向与MN平行，设最大速度为v，根据动量定理：， 即 根据动能定理 解得 4．(1) (2) (3)（4） 【详解】（1）由几何关系得，由牛顿第二定律 解得 （2）设粒子刚进入第三象限第一个磁场时的速度为，则 粒子在第一个磁场中运动有 解得 由几何关系，粒子出磁场时与水平方向的夹角为。 则粒子刚进入电场时水平方向的速度为 竖直方向的速度为 由运动学公式得 其中 粒子刚离开第一个电场区时速度大小为 所以 （3）方法一： 设粒子在第三象限运动过程中，从右向左在第层磁场中运动的速度为，轨道半径为，由动能定理有 由牛顿第二定律有 联立解得， 设粒子进入第层电场时，速度与水平方向的夹角为，从第层电场左边界穿出时速度与水平方向的夹角为，粒子在电场中运动时，垂直电场线方向的速度分量不变，有 电磁场区域的宽度均为， 又， 解得 可知、、、⋯⋯，是一组等差数列，公差为，可得 将代入，得 令，则有 由于，且为整数，故的最大值为4 此时； 即粒子在第5层磁场中达到轨迹最左端，此时速度竖直向下，几何关系得轨迹最左端距离第5层磁场右边界距离为 综上，轨迹最左端离轴的水平距离为 方法二： 设在第个磁场中达到距轴最远，在轴方向，由动量定理得 因为 由动能定理得 联立解得 又 即 整理得 故 5．(1) (2)与y轴负方向夹角为30° (3)，4 【详解】（1）设粒子在第II象限运动的时间为t，在N点沿x轴的分速度为vx，由于粒子垂直电场方向进入电场则可知粒子在电场中做类平抛运动，由平抛运动的研究方法，x方向有 y方向有 通过N点的速度 与y轴正方向的夹角满足 在第I象限运动由牛顿第二定律有 根据垂直于x轴进入第IV象限，由几何关系知 联立解得 （2）设穿过x轴下方第一层电场后的速度为v1，由动能定理有 解得 在x轴下方第一层磁场中运动的轨迹如图所示 由洛伦兹力充当向心力有 解得 设速度偏转角为θ，则根据几何关系可得 则 即粒子射出第1层磁场下边界时速度的方向与y轴负方向夹角为30°。 （3）当粒子在第n层磁场中运动时，此前粒子已经过n个电场， 由动能定理 解得 若粒子在第n层磁场中距离x轴最远，则最大速度为vn 在水平方向上由动量定理有 即 其中ym为磁场中向下运动的最远距离，由题意 满足条件：且 解得满足条件的整数 故最远能进入第4层磁场。 6．(1) (2)，方向沿y轴正方向，，方向沿y轴正方向 (3) 【详解】（1）由几何关系可知，小球Q在匀强磁场中做圆周运动的半径 小球Q在匀强电场中运动，可得 设第四象限的磁感应强度大小为B，由洛伦兹力提供圆周运动的向心力，可得 解得第四象限磁感应强度大小为 （2）小球Q 与小球P 发生弹性正碰，根据动量守恒和机械能守恒可得 解得 方向沿y轴正方向； 方向沿y轴正方向。 （3）碰后小球Q的速度变为 ，小球P的速度变为 ，进入第一象限，设小球Q 圆周运动的半径为，小球P圆周运动的半径为则 碰后到小球Q第二次经过y轴的时间 碰后到小球 P第二次经过y轴的时间 其中碰后小球P 和小球Q第二次经过y轴的时间差 其中 ，，，代入数据可得 7．（1）4a；（2）；（3） 【详解】（1）粒子进入电场中有 在磁场中有 打到x轴的距离为 由上述分析可知，当粒子在磁场中的半径最大，即最远，此时粒子从粒子源出来时的速度最大，解得 （2）由题意可知，速度最大粒子打在探测板最右侧，则由几何关系有 磁场中有 结合（1）中数据，解得 （3）对初速度为零的离子，经过电场加速度后，有 解得 在磁场中有 解得 磁感应强度为时，粒子打在x轴上的区间为[1.5a，3a]，每秒打在探测板上的离子数为 对打探测器最左端（）的离子，轨道半径为a，则离子在磁场中 解得 打到x轴上的离子均匀分布，所以打在探测板上的离子的平均速度为 被吸收和弹回的离子数在探测板上沿x轴均匀分布，由动量定理可得 解得单位时间内探测板受到的作用力 8．（1）；（2）；（3） 【详解】（1）在加速电场有 解得 下图为（2）（3）问运动轨迹的配图 （2）在圆形磁分析器中，做圆周运动，运动轨迹如图 其周期为 在磁场中运动时间有 有几何关系有 解得 （3）要使离子恰好不打到硅片上，离子运动到cd边时，速度应与cd边相切，又因为洛伦兹力不改变速度大小，因此分解洛伦兹力，在平行于ab方向用动量定理 整理有 由题意有 整理有 结合数学知识可知，等式坐标是x从0一直到L的求和，即图像的面积为求和结果，有 解得 9．（1），；（2），；（3） 【详解】（1）根据题意离子在电磁分析器中做圆周运动，半径为R，当电场存在时，电场力提供向心力 当磁场存在时，洛伦兹力提供向心力 ， 所以 （2）离子穿过x轴速度方向与x轴成45°，所以沿y方向速度为 离子在第二象限做类平抛运动，该过程水平方向位移 设第一象限中电场强度为，竖直方向位移 根据平抛运动推论，末速度与x轴反向夹角的正切值等于位移与x轴方向夹角正切值的2倍，所以 解得，水平位移为 联立解得，电场强度 为使离子不自y轴离开，则离子运动轨迹如图 设离子在第四象限中运动半径为，根据几何关系可得 其中 综上解得 （3）离子第一次穿过x轴水平速度为v，竖直方向速度也为v，当距离x轴最远时，离子速度与x轴平行，速度为，选取刚进入磁场的很短时间，离子竖直方向分速度产生水平方向洛伦兹力，该力产生的冲量等于水平方向的动量变化，根据动量定理 进行求和 代入数据 所以 设粒子在区域沿y轴方向位移为，则有 解得 所以距离x轴最大距离 10．（1）0.5T；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）由洛伦兹力提供向心力得 解得圆形磁场的磁感应强度为 （2）临界1：粒子恰好从控制系统上边界进入，粒子在S点入射速度与的夹角为，则 解得 临界2：粒子恰好从控制系统下边界进入，粒子在S点入射速度与的夹角为，则 解得 能进入控制系统的粒子数 （3）对粒子在加速系统运用动能定理 解得 对粒子进入样品得过程运用动量定理 粒子在样品中可达的深度为 （4）设粒子从曲线OA的点进入电场，则粒子从直线GF的点射出电场，根据动能定理有 由洛伦兹力提供向心力得 曲线OA的方程为 11．（1）；（2）；（3）或， 【详解】（1）由于P球不带电，桌面光滑所以P球在电场中匀速直线运动，其速度，设P、A碰后的速度分别为和，由动量守恒定律 由机械能守恒定律 可得 设A在磁场中运动轨迹半径为R，由牛顿第二定律 可得 （2）当时，由上述分析得 其小球的轨迹如图1，有几何关系得离开磁场的点离e点距离 （3）令z点为ed边的中点，分类讨论如下。第一种可能：A球在磁场中偏转一次从z点就离开磁场，如图2有 解得 由 可得 第二种可能：图可知A球能从z点离开磁场要满足，则A球在磁场中还可能经历一次半圆运动后回到电场，再被电场加速后又进入磁场，最终从z点离开。由题知，电场强度；如图3和如图4 由几何关系有 解得 或 带入整理可得 或 当时 由于 不符合题意舍去 当时 由于 此类情形取符合题意要求，即 综合上述两种可能可得A球能从z点离开的k的可能值为或，A球在磁场中运动周期为 当时，如图4，A球在磁场中运动的最长时间 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $