精品解析：2026年江苏泰州市靖江市九年级中考模拟试题（一）数学

2026年九年级中考模拟试题（一）【靖江卷】 数学 注意事项： 1. 本试题分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）； 2. 所有试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效： 3. 作图题必须用2B铅笔，且加黑加粗． 4. 本试题共6页，26小题，考试时间120分钟，试卷满分150分． 第一部分 选择题（18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 2025年5月，我国自主研发的“天衍”量子计算原型机成功突破1000个量子比特，其核心处理器的工作温度需维持在约（开尔文）．将用科学记数法表示，以下正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：将用科学记数法表示为． 2. 刘徽在《九章算术注》中提出“割圆术”，通过不断倍增圆内接正多边形的边数来逼近圆的面积．设圆的半径为R，其内接正n边形的面积记为．下列选项中，中心对称图形个数最多的一组是（ ） A. 正三角形、正方形 B. 正方形、正五边形 C. 正五边形、正八边形 D. 正方形、正八边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义，正多边形只有边数为偶数时才是中心对称图形，据此即可得出结果． 【详解】解：∵把一个图形绕某点旋转，若旋转后的图形能和原图形重合，则该图形是中心对称图形， ∴对于正多边形，只有边数为偶数时，绕中心旋转后能与自身重合，即边数为偶数的正多边形是中心对称图形，边数为奇数的正多边形不是中心对称图形， ∴正方形、正八边形是中心对称图形，正三角形、正五边形不是中心对称图形，故选：D． 3. 下列运算正确的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】积的乘方，同底数幂相除，完全平方公式和二次根式的性质，逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A、，故该选项符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 4. 如图，已知直线，一块含角的直角三角板放置在两平行线之间，三角板的一条边与所成的锐角，则三角板的另一条边与所成的锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，利用平行线内错角相等的性质结合三角板的角度特征即可计算出的度数． 【详解】解：作直线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 5. 中，，点，分别在边，上，连结，，，若，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，30度所对的直角边等于斜边的一半，平行的判定与性质，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 作于，取，交于，作于，通过等腰三角形三线合一，可知 ，，，，，那么可证，不妨设，，通过，可知，从而得到，那么，不妨设，那么，，，从而得到，推出 ，，接着依次表示出，，你那么，最后求得． 【详解】解：如图，作于，取，交于，作于，如图所示： ，， ，，， ，， ，， ， 不妨设，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 不妨设， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 6. 如图，在中，．点在边上，且．下列结论中，正确的个数是（ ） ① ② ③平分 ④的周长为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由相似三角形的判定定理判断①；由相似三角形面积比等于相似比判断②；由相似三角形相似比求长度判断③；结合求出的长度及已知长度计算的周长判断④即可． 【详解】解：，， ，故①正确； ，， ， 则， 设 ，，则 ， ，故②正确； ，， ， 则，， ， 则， ， ， ，即平分，故③正确； ，， ，故④错误； 综上所述，结论正确的是①②③，共个． 第二部分 非选择题（132分） 二、填空题（本大题共有10小題，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数不小于零的条件进行解题即可； 【详解】解：由题可知， 解得： 故答案为： ． 8. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，熟练掌握分解因式的方法，是解题的关键．先提公因式2，然后用平方差公式，分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 9. 若关于x的一元二次方程有2个不等的实数根，则k的最大整数值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式的性质，当方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于0. 据此建立关于的不等式，求解得到的取值范围，即可确定的最大整数值． 【详解】解： 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 的最大整数值为． 10. 在中，，请按下列步骤作图： ①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点D、E； ②分别以D、E为圆心．大于的长为半径画弧，两弧交于点F； ③作射线，交于点G． 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出图形，由作图可知：平分，得出，进而得到，在中，求出即可． 【详解】解：根据题意画出图形，如图所示： 由作图可知：平分， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 11. 若抛物线的顶点在轴的下方，则实数的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】先将抛物线解析式化为顶点式，再利用顶点在轴下方，即可求出的范围． 【详解】解：， 化为顶点式为：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线的顶点式解析式，解题关键是理解当顶点纵坐标小于时，顶点位于轴下方． 12. 如图，的半径为1，为的切线，切点为A，B，，点M为劣弧上一动点，过点M作的切线，分别交于点E，F，的最小值 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】由切线的性质定理，可得，从而得到，再证明可得，，从而得到，设的外心为点C，作于点H，连接，根据三角形外心的性质，可得，从而得到，，再由，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵为的切线， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴， 设的外心为点C，作于点H，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为： 【点睛】本题考查有关圆的最值问题，关键是掌握切线的性质定理，全等三角形的判定和性质，三角形外心的性质． 13. 如图，在矩形ABCD中，E是线段BC的一个三等分点（靠近B点），于点F，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据四边形ABCD是矩形，得到，根据余角的性质得到，∽，根据相似三角形的性质，设，则，，得，，过F作于G，由直角三角形性质得到，，，求出，即可求得的值． 【详解】解：四边形ABCD是矩形， ， ， ， ， ， ∽， ，即， 是线段BC的一个三等分点， 设，则， ，即， 中，， ，， ， 过F作于G， 则在中，， ， ， ， ． ． 故答案为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，锐角三角函数，直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 14. 如图，在正方形中，，点是的中点，连接交对角线于点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先由正方形性质、中点定义得到，再由证得，列相似比计算即可． 【详解】解：在正方形中，，点是的中点，则，，， ， 则， ． 15. 定义新运算：对于任意实数a、b，都有．例如：．若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据定义将转化为关于x的一元二次方程，其有两个相等的实数根，得出，即可求出m的值． 【详解】解：∵， ∴， 即关于x的方程有两个相等的实数根， ∴，即， ∴． 16. 在平面直角坐标系中，菱形的顶点C在x轴的正半轴上，顶点A在第一象限，，边长，将菱形绕原点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，顶点A的对应点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意画出图形，判断出第2025次旋转结束时，顶点A的对应点的坐标和点的坐标相同，过点A作轴于点D，点作轴于点E，然后求出，，证明，得到，进而求解即可． 【详解】解：如图， ∵将菱形绕原点O顺时针旋转，每次旋转， ∴点A绕原点O顺时针旋转得到点，然后继续旋转得到点，然后继续旋转得到点，然后继续旋转得到点， ∴点A的坐标每旋转4次一个循环， ∵ ∴第2025次旋转结束时，顶点A的对应点的坐标和点的坐标相同， 过点A作轴于点D，过点作轴于点E， ∵， ∴ ∵轴 ∴ ∴ ∵轴 ∴ ∴ 由旋转得，， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴第2025次旋转结束时，顶点A的对应点的坐标为． 三、解答题（本大题共有10题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算及解不等式组： （1）计算： ； （2）解不等式组： ，并写出它的所有非负整数解． 【答案】（1） （2），非负整数解为0，1，2 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的非负整数解为0，1，2． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的运算法则化简原式，进而可知原式的值为． 【详解】解：原式 ， ∴当时，原式的值为． 19. 为弘扬中华优秀传统文化，某校开展了“非遗进校园”系列活动．九年级（）班准备从报名的甲、乙、丙、丁名同学中随机选取名参加“剪纸技艺展示”活动． （1）若采用抽签方式，甲同学被选中的概率是 ； （2）请用列表或画树状图的方法，求恰好选中乙、丙两名同学的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先列举出从报名的甲、乙、丙、丁名同学中随机选取名参加“剪纸技艺展示”活动的结果，得到甲同学被选中的结果，代入简单概率公式计算即可； （2）用列表法得到所有等可能的结果及恰好选中乙、丙两名同学的结果，代入简单概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：从报名的甲、乙、丙、丁名同学中随机选取名参加“剪纸技艺展示”活动有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共种等可能的结果，其中含甲同学的结果有种， 甲同学被选中的概率是； 【小问2详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 — 甲乙 甲丙 甲丁 乙 乙甲 — 乙丙 乙丁 丙 丙甲 丙乙 — 丙丁 丁 丁甲 丁乙 丁丙 — 由表可知，共有种等可能的结果，其中恰好选中乙、丙两名同学的结果有种， 恰好选中乙、丙两名同学的概率是． 20. 为了解九年级学生体育模拟测试成绩情况，某学校从九年级随机抽取了部分学生的体育模拟测试成绩进行统计分析（成绩分为36分、37分、38分、39分、40分，满分40分），并将结果绘制成如下不完整的统计图（条形统计图和扇形统计图）．根据图中信息，解答下列问题： （1）本次调查一共抽取了 名学生，扇形统计图中“36分”对应的圆心角为 ； （2）请补全条形统计图； （3）若该校九年级共有800名学生，试估计体育模拟测试成绩为40分的学生人数． 【答案】（1）； （2）补全条形统计图见解析 （3）估计成绩为40分的学生有400人 【解析】 【分析】（1）由条形统计图与扇形统计图中的信息关联求解即可； （2）由（1）中“36分”人数占比求出该项人数，即可补全条形统计图； （3）由扇形统计图中“40分”人数占比为估计总体即可． 【小问1详解】 解：由条形统计图与扇形统计图中“40分”人数占比可得本次调查一共抽取的学生数为（人）； 由扇形统计图可知“36分”和“37分”人数占比为， 由条形统计图知“37分”人数为，占比为， 则“36分”人数占比为， 则扇形统计图中“36分”对应的圆心角为； 【小问2详解】 解：由（1）知“36分”人数占比为，则“36分”人数为（人）， 补全条形统计图如下： ； 【小问3详解】 解：由扇形统计图中“40分”人数占比为可得该校九年级800名学生体育模拟测试成绩为40分的学生人数： （人） 答：估计成绩为40分的学生有400人． 21. 为响应“双碳”目标，某市推行公共自行车与新能源摆渡车的“零碳出行”方案．市民张老师从家到学校全程，他先骑行公共自行车一段路程，再换乘新能源摆渡车．公共自行车平均速度为，新能源摆渡车的平均速度为，全程共用时．求张老师骑行公共自行车的路程． 【答案】骑行公共自行车的路程为 【解析】 【分析】设骑行公共自行车的路程为，则换乘摆渡车的路程为，根据全程共用时列出方程，解方程即可． 【详解】解：设骑行公共自行车的路程为，则换乘摆渡车的路程为． ， 由题意得：， 解得：， 答：骑行公共自行车的路程为． 22. 为测量路灯杆的高度，某小组设计了如下方案：如图，在地面上有两个高度相同的观测台和，已知观测台的高在同一直线上，，在观测台顶端测得路灯顶端的仰角为，在观测台顶端测得路灯顶端的仰角为． （1）设，请用含的代数式表示； （2）求路灯杆的高度．（参考数据：） 【答案】（1） （2）路灯杆高度为 【解析】 【分析】（1）在中，由正切函数定义列式求解即可； （2）设，得出，利用（1）中正切函数定义得到的式子代入计算求出即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，，，则， ； 【小问2详解】 解：由题意得，， 在中，，则， 则，则 ， 由（1）知，则， 解得， 经验证是原分式方程的解， ∴， 答：路灯杆高度为． 23. 在数学探究课上，老师给出如下定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点称为P、Q两点间的“折线距离”，记作． （1）已知点，则 ； （2）已知点，若点D在直线上，且，求点D的坐标； （3）已知点，点，若点P是线段上的一个动点，求（O为坐标原点）的最小值及此时点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）最小为，此时 【解析】 【分析】（1）充分理解题意，进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，先设，再得出，然后进行分类讨论计算，即可作答． （3）先运用待定系数法进行求解线段的解析式：，再设，故，然后化简绝对值计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 解：依题意，设， ∵，且， ∴， ①当时，， 解得， 则， ∴； ②当时，， 解得， 此种情况不符合题意，舍去； ③当时，， 解得， ∴， ∴； 综上，或． 【小问3详解】 解：依题意，设线段的解析式为 把点，点分别代入， 得， 解得， ∴线段的解析式：， 设， 则 ∵ ∴， 当时，最小为， 此时． 24. 如图，在等边中，边长为6，是边上的高，点E在上，且，与交于点Q． （1）求线段与的长度； （2）连接，求证：平分； （3）求的面积． 【答案】（1）， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求解，，过作于，，，证明 ，可得，进一步求解即可． （2）如图，连接，证明分别为的平分线，可得平分． （3）证明，可得，进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵等边，，， ∴ ，， 过作于，，， ∴ ，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 解得：，． 【小问2详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴分别为的平分线， ∴平分． 【小问3详解】 解：∵为等边三角形，平分． ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 25. 如图，是半圆的直径，为圆心，，点、分别是、的中点，点在半圆上，且，以为直角顶点作，使得，连接、、． （1）求证：； （2）求线段的长； （3）求； （4）求的正切值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理可得，结合可得，由三角函数可得，因此； （2）由中点的定义可计算出，结合可得，因此； （3）由可得，进而求得，由中点的定义可得，使用三角形的面积公式进行计算即可； （4）作于点，使用勾股定理计算出，，使用面积法求出，进而求出，因此． 【小问1详解】 解：∵是半圆的直径， ∴， 由题意可知，， ∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解： ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵点是的中点， ∴， ∴，， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：如图，作于点， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∴． 26. 在平面直角坐标系中，对于抛物线，若点P是该抛物线上除顶点外的任意一点，过点P向抛物线的对称轴作垂线，垂足为Q，则称点Q为点P的“垂伴点”，称线段的长度为点P的“垂伴距”，记作． 如图1，抛物线与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，顶点为B． （1）①求点A、C的坐标； ②若点的垂伴距，求点P的坐标； （2）如图2，点P是抛物线在第一象限部分上的一个动点（不与B、C重合），Q为其垂伴点．记的面积为，的面积为． ①设点P的横坐标为t，分别求、关于t的函数表达式； ②当时，求点P的坐标． （3）点D是抛物线在第二象限部分上的一动点（不与A、B重合），连接，并延长交y轴于点G． ①求证：； ②当时，求点D的坐标． （4）如图3，点E是线段上的一动点（不与端点重合），过点E作x轴的垂线交抛物线于点H，连接交y轴于点K．称点H关于点K的对称点N为点H的“镜像点”． ①当时，求点N的坐标； ②证明：点N在一条固定的抛物线上运动，并求出该抛物线的解析式． 【答案】（1）①，；②或 （2）①，；② （3）①证明见解析；② （4）①；②证明见解析，固定抛物线解析式为： 【解析】 【分析】本题考查二次函数与几何综合，待定系数求一次函数解析式，一次函数与几何综合； （1）①令，即，即可求出点A、C的坐标；②点的垂伴距，即点到轴的距离为，将代入解析式算出P的纵坐标即可； （2）①利用，得出，进而表示出，，，再依据，，即可得出结果；②由，建立方程即可求解； （3）①设，，设直线解析式为，求出，进而得出点，比较与的大小，判断出点与点的位置关系，得出与为同一个角，即可得证；②过点作轴垂足为，由，可得为中点，进而得出为中位线，D的横坐标为，代入中即可求出D的坐标； （4）①由点，可求出，进而求出直线解析式为，过点作轴，过点作轴，由对称性可得点横坐标为，代入中，即可求出N的坐标；②设，，先求出，进而求出直线解析式，由对称性得出点横坐标为，代入解析式得出点的坐标为，进而得出点的坐标满足解析式． 【小问1详解】 解：①令，即， 解得：，， ∵点在轴负半轴上，点在轴正半轴上， ∴，； ②∵的对称轴为，即对称轴为轴， ∴点的垂伴距，即点到轴的距离为， ∴或， ∴， ∴或． 【小问2详解】 解：①令，， ∴， 设点P的横坐标为t，如图所示： ∵点P是抛物线在第一象限部分上的一个动点（不与B、C重合）， ∴，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴，； ②∵， ∴，即， ∴（舍去）或（舍去）或， ∴． 【小问3详解】 解：①证明：∵点D是抛物线在第二象限部分上的一动点（不与A、B重合）， ∴设，， 设直线解析式为，将，代入得： ，解得：， ∴点， ∵， 又∵， ∴，即， ∴点在点的上方， ∴与为同一个角， ∴； ②过点作轴垂足为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，为中点， ∵轴， ∴， ∴为中位线， ∴， ∵点D是抛物线在第二象限， ∴D的横坐标为， 在中，令得：， ∴． 【小问4详解】 解：①∵点， 在中，令得：， ∴， 设直线解析式为，将、代入得： ，解得：， ∴直线解析式为， 过点作轴，过点作轴， ∵交y轴于点，点H与点N关于点K的对称， ∴ ，点在第二象限，且点也在直线上， ∴点横坐标为， 在中，令，得：， ∴， ②证明：∵点E是线段上的一动点（不与端点重合）， ∴设，， 在中，令得：， ∴， 设直线解析式为，将、代入得： ，解得：， ∴直线解析式为， ∵， ∴点横坐标为， 令，得： ， ∴点的坐标为， 令，即， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标满足解析式，， 即点N在一条固定的抛物线上运动，该抛物线的解析式：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级中考模拟试题（一）【靖江卷】 数学 注意事项： 1. 本试题分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）； 2. 所有试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效： 3. 作图题必须用2B铅笔，且加黑加粗． 4. 本试题共6页，26小题，考试时间120分钟，试卷满分150分． 第一部分 选择题（18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 2025年5月，我国自主研发的“天衍”量子计算原型机成功突破1000个量子比特，其核心处理器的工作温度需维持在约（开尔文）．将用科学记数法表示，以下正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 刘徽在《九章算术注》中提出“割圆术”，通过不断倍增圆内接正多边形的边数来逼近圆的面积．设圆的半径为R，其内接正n边形的面积记为．下列选项中，中心对称图形个数最多的一组是（ ） A. 正三角形、正方形 B. 正方形、正五边形 C. 正五边形、正八边形 D. 正方形、正八边形 3. 下列运算正确的是 A. B. C. D. 4. 如图，已知直线，一块含角的直角三角板放置在两平行线之间，三角板的一条边与所成的锐角，则三角板的另一条边与所成的锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 中，，点，分别在边，上，连结，，，若，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，．点在边上，且．下列结论中，正确的个数是（ ） ① ② ③平分 ④的周长为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第二部分 非选择题（132分） 二、填空题（本大题共有10小題，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是________． 8. 分解因式：______． 9. 若关于x的一元二次方程有2个不等的实数根，则k的最大整数值为______． 10. 在中，，请按下列步骤作图： ①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点D、E； ②分别以D、E为圆心．大于的长为半径画弧，两弧交于点F； ③作射线，交于点G． 若，则______． 11. 若抛物线的顶点在轴的下方，则实数的取值范围是______． 12. 如图，的半径为1，为的切线，切点为A，B，，点M为劣弧上一动点，过点M作的切线，分别交于点E，F，的最小值 ___________． 13. 如图，在矩形ABCD中，E是线段BC的一个三等分点（靠近B点），于点F，则的值是______． 14. 如图，在正方形中，，点是的中点，连接交对角线于点，则______． 15. 定义新运算：对于任意实数a、b，都有．例如：．若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 16. 在平面直角坐标系中，菱形的顶点C在x轴的正半轴上，顶点A在第一象限，，边长，将菱形绕原点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，顶点A的对应点的坐标为______． 三、解答题（本大题共有10题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算及解不等式组： （1）计算： ； （2）解不等式组： ，并写出它的所有非负整数解． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 为弘扬中华优秀传统文化，某校开展了“非遗进校园”系列活动．九年级（）班准备从报名的甲、乙、丙、丁名同学中随机选取名参加“剪纸技艺展示”活动． （1）若采用抽签方式，甲同学被选中的概率是 ； （2）请用列表或画树状图的方法，求恰好选中乙、丙两名同学的概率． 20. 为了解九年级学生体育模拟测试成绩情况，某学校从九年级随机抽取了部分学生的体育模拟测试成绩进行统计分析（成绩分为36分、37分、38分、39分、40分，满分40分），并将结果绘制成如下不完整的统计图（条形统计图和扇形统计图）．根据图中信息，解答下列问题： （1）本次调查一共抽取了 名学生，扇形统计图中“36分”对应的圆心角为 ； （2）请补全条形统计图； （3）若该校九年级共有800名学生，试估计体育模拟测试成绩为40分的学生人数． 21. 为响应“双碳”目标，某市推行公共自行车与新能源摆渡车的“零碳出行”方案．市民张老师从家到学校全程，他先骑行公共自行车一段路程，再换乘新能源摆渡车．公共自行车平均速度为，新能源摆渡车的平均速度为，全程共用时．求张老师骑行公共自行车的路程． 22. 为测量路灯杆的高度，某小组设计了如下方案：如图，在地面上有两个高度相同的观测台和，已知观测台的高在同一直线上，，在观测台顶端测得路灯顶端的仰角为，在观测台顶端测得路灯顶端的仰角为． （1）设，请用含的代数式表示； （2）求路灯杆的高度．（参考数据：） 23. 在数学探究课上，老师给出如下定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点称为P、Q两点间的“折线距离”，记作． （1）已知点，则 ； （2）已知点，若点D在直线上，且，求点D的坐标； （3）已知点，点，若点P是线段上的一个动点，求（O为坐标原点）的最小值及此时点P的坐标． 24. 如图，在等边中，边长为6，是边上的高，点E在上，且，与交于点Q． （1）求线段与的长度； （2）连接，求证：平分； （3）求的面积． 25. 如图，是半圆的直径，为圆心，，点、分别是、的中点，点在半圆上，且，以为直角顶点作，使得，连接、、． （1）求证：； （2）求线段的长； （3）求； （4）求的正切值． 26. 在平面直角坐标系中，对于抛物线，若点P是该抛物线上除顶点外的任意一点，过点P向抛物线的对称轴作垂线，垂足为Q，则称点Q为点P的“垂伴点”，称线段的长度为点P的“垂伴距”，记作． 如图1，抛物线与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，顶点为B． （1）①求点A、C的坐标； ②若点的垂伴距，求点P的坐标； （2）如图2，点P是抛物线在第一象限部分上的一个动点（不与B、C重合），Q为其垂伴点．记的面积为，的面积为． ①设点P的横坐标为t，分别求、关于t的函数表达式； ②当时，求点P的坐标． （3）点D是抛物线在第二象限部分上的一动点（不与A、B重合），连接，并延长交y轴于点G． ①求证：； ②当时，求点D的坐标． （4）如图3，点E是线段上的一动点（不与端点重合），过点E作x轴的垂线交抛物线于点H，连接交y轴于点K．称点H关于点K的对称点N为点H的“镜像点”． ①当时，求点N的坐标； ②证明：点N在一条固定的抛物线上运动，并求出该抛物线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $