微专题21 圆中的最值问题-【练测考】2025-2026学年九年级全一册数学（鲁教版五四制）

微专题二十一 类型一点圆最值 @解题模型 平面内一定点D和⊙O上一动点E的所有连 线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大 (小)值（依据：直径是圆中最长的弦）.具体分 以下三种情况讨论（设点O与点D之间的距离 为d,⊙O的半径为r): 点D在 点D在 点D在 位置关系 ⊙0内 ⊙O上 ⊙O外 图示 O D D DE的 d+r 2r d+r 最大值 此时点E 连接DO并延长交⊙O于点E 的位置 DE的 r-d 0 d-r 最小值 连接OD并 此时点E 点E与点D 连接OD交 延长交⊙0 的位置 重合 ⊙O于点E 于点E @模型应用 1.如图，在平面直角坐标系中，已知C(3,4),以 点C为圆心的圆与y轴相切.点A,B在x轴 上，且OA=OB,点P为⊙C上的动点， ∠APB=90°，则AB长度的最大值为() A.14 B.15 C.16 D.8 B 第1题图 第2题图 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC= BC=2,以BC为直径的半圆交AB于点D, P是CD上的一个动点，连接AP,则AP的 最小值是 欧拉在年幼时就展现出了非凡的数学才能.他在帮爸 中，有不少数学书.（待续） 第五章圆 圆中的最值问题 类型二线圆最值 @解题模型 如图，⊙O与直线1相离，点P是⊙O上的一 个动点，设圆心O到直线1的距离为d,⊙O 的半径为r,则点P到直线1的最小距离是 d一r(如图1)，点P到直线l的最大距离是 d十r(如图2). 图1 图2 @模型应用 3.如图，在△ABC中，∠BAC= 60°，∠ABC=45°，AB= 2√2，D是线段BC上的一 个动点，以AD为直径画 B D ⊙O分别交AB,AC于点E,F,连接EF,则 线段EF长度的最小值为 4.如图，已知A,B两点的坐标分别为(2,0)， (0,2),⊙C的圆心坐标为(-1,0)，半径 为1.若D是⊙C上的一个动点，线段DA 与y轴交于点E,求△ABE面积的最小值. 爸放羊时，经常一边放羊，一边读书，他读的书 171 练测考九年级数学全一册LJ 类型三最大张角 ©解题模型 如图，两定点A,B在∠C的一条边CN上，另 有一动点P在这个角的另一边CM上，连接 AP,BP,则点P在何处时，∠APB最大？ M C -N 如图，过A,B两点作⊙O和CM相切于点P', 当△ABP的外接圆与边CM相切时，∠APB 最大 简证：点P是CM上一动点，连接AP,BP, AP交⊙O于点Q,则∠APB≤∠AQB= ∠AP'B 依据：同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆 外角小于圆周角 ©模型应用 5.如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P 在步道上由点O出发沿OB方向行走.已知 ∠AOB=30°，MN=2OM=40m,当观景视 角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP 是 m. 0 -B 6.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=8,M 是CD的中点，P是BC上的一个动点.若 ∠DPM的度数最大，则BP= 类型四阿氏圆 @解题模型 已知点A,B都在⊙O外，满足半径r=k· 爸爸的羊渐渐增多，达到了100只.原来的羊圈有， 172块长方形的土地，长40米，宽15米，他一算，面积1 OB,P为⊙O上一动点，连接PA,PB,求 PA十kPB的最小值， 0 分析： ①将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心 相连接，即连接OP,OB; ②计算所连接的这两条线段OP,OB的长度， 确定满足OB P =k; 团在0B上取成C,使降8O那南在世子 型相似； ④连接AC,AC与⊙O的交点即为所求最小值 时的点P,AC的长即为PA十kPB的最小值. ©模型应用 7.如图，在Rt△ABC中，AB=AC=4,点E,F分别 是AB,AC的中点，点P是EF上任意一点，连接 BP,CP,则2BP+CP的最小值是 第7题图 第8题图 8.已知在△ABO中，∠AOB=90°，AO=6, BO=4,以点O为圆心，2为半径作圆，点D 是圆O上一个动点，连接AD,BD,则 AD十2BD的最小值是 小了，爸爸决定建造一个新的羊圈.他用尺子量出了一 好是600平方米，平均每一头羊占地6平方米.（待续）∴.OC=OB=2. 在Rt△BCE中，BC=23,BE=3, BE3√3 .os∠CBE=BC232 ∴.∠CBE=30°. ∴.∠C0D=60°， 图3 ∴∠AOC=60° .O0℃=OD, ∴.△COD是等边三角形 ∴∠OCD=60°， ∴.∠OCD=∠AOC ∴.CD∥AB, .∴SACOD=S△cBD, _60xX222 .S阴影=S刚形oD 360 3元 15.(√/2)2019π 10圆锥的侧面积 1.6【变式】C2.√15【变式】423.240x4.1203π 5.14π6.1000元7.A8.C9.120°10.B 微专题十九求阴影部分面积的技巧 3π 1.C2.6x3.4-元4.6-x5.2-46.2 π 7.3 8.89.B10.6π11.4π 12.解：根据题意画图： 将△ABC内的阴影绕点C顺时针旋转 到△A'B'C中， 则S阴形=S扇形ACA'一S扇形MCM =.14x×-314x2× =12.56(cm2). 故AB边扫过图形的面积是12.56cm. 13.A14.8π-1615.A 16.(1)证明：连接OD,如图. .OA=OD, ∠OAD=∠ODA. .'AD平分∠BAC, ∴.∠OAD=∠BAD, .∠ODA=∠BAD. ..OD//AB. ∴.∠ODC=∠B=90°， .半径OD⊥BC于点D, BC是⊙O的切线. (2)解：连接OF,DE,如图. :∠B=90°，tan∠ADB=√3 ∴.∠ADB=60°，∠BAD=30° BD=5, .AD=2BD=10. .AE是⊙O的直径， ∴.∠ADE=90°. ,AD平分∠BAC, .∠DAE=∠BAD=30°，∠BAC=60° 在Rt△ADE中，AD=10, ·Cos∠DAE=AD-3 AE 2' AE=203 3 01=A-1og 3 .OA=OF. △AOF是等边三角形， .∴.∠AOF=60°. OD∥AB, .S△ADF=S△AOF, 60πX(103)2 3 50元 .S阴影=S喇形A0F 360 9 微专题二十隐圆问题 1D2号32549 5.5+526.2g53 Z18020 8.解：连接AP,如图」 点O是AB的中点， ..OA=OB. ,OB绕点O顺时针旋转a(0°<a<180),得 到OP, ∴.OP=OB, ,∴.点P在以AB为直径的圆上， ∴∠BAP=3∠BOP= 2a. ,∠ACB=90°， ,∴.∠APC=∠ABC=70°， ∴.点P,C在以AB为直径的圆上， ∠ACP=∠ABP=90°-2a. 当AP=AC时，∠ACP=∠APC.即90°-&=70. 解得a=40°； 当PA=PC时，∠PAC=∠ACP.即2a+20=90-a, 解得a=70°； 当CP=CA时，∠CAP=∠CPA,即2a+20°=70， 解得a=100°， 综上所述，a的值为40或70或100°. 微专题二十一 圆中的最值问题 1.C2.√5-13.3 4.解：若△ABE的面积最小，则AD与 ⊙C相切，连接CD,则CD⊥AD. 在Rt△ACD中，CD=1, AC-OC+OA-3. 由勾股定理，得AD=2√2！ :∠ADC=∠AOE=90°，∠CAD=∠EAO, ∴.△ACDO△AEO, 器-器 08- ·BE=2-2 2 1 .S△ABE= 2x(-》-2 2 5.2056.8-2√27.√178.√37 微专题二十二 圆的综合问题 1.(1)证明：如图，连接OE ,AE平分∠BAC, ∴.∠OAE=∠DAE .OE=0A. ∴.∠OEA=∠OAE, ∠DAE=∠OEA, ∴.OE∥AD. ED⊥AC,.OE⊥PD. OE是⊙O的半径， ∴PE是⊙O的切线， 2解，mP=号85BP=4.OB=0E OE ..OE=2, ∴.AB=2OE=4, .'.AP=AB+BP=8. 在△APD中mP-0-名 AD-号AP-景 .AB为⊙O的直径， .∠AEB=90°=∠AEC AE平分∠BAC, ∠BAE=∠CAE .AE=AE, .△AEB≌△AEC(ASA), ,∴.AB=AC=4, CD=AC-AD=I8-合 GD的长为 2.(1)证明：：D是BC的中点，.CD=BD DE⊥AB且AB为⊙O的直径， ∴.BE=BD,∴.BC=DE, ∴.BC=DE. (2)解：连接OD,如图1. .CD=BD, .∠CAB=∠DOB. AB为⊙O的直径， .∠ACB=90 DE⊥AB,.∠DFO=90°， .∴.△ACBc∽△OFD, 图1 指需 设00的半径为则'，， 解得r=5,经检验，r=5是方程的根， ∴.AB=2x=10 ∴.BC=√AB2-AC=8, BC 84 ∴tan∠CAB=AC=6=3 ,∠BPC=∠CAB, a∠BPC=专 (3)解：如图2，过点B作BG⊥CP交 CP于点G, ∴∠BGC=∠BGP=90°. 10 ,∠ACB=90°，CP是∠ACB的平 分线， .∴.∠ACP=∠BCP=45°， .∠CBG=45°， 图2 ..CG=BG=BCcos 45=42. anC-手 ∴.GP=3W2,CP=4W2+3W2=72. 3.(1)证明：连接OD,BD,如图. 在Rt△ABC中，∠ABC=90°， AB是⊙O的直径， ∴.∠ADB=90°， .∠BDC=180°-∠ADB=90. :点E是BC的中点， ..DE=BE=EC. OB.OD是⊙O的半径， ∴.OB=OD. 又，OE=OE, .∴.△ODE≌△OBE(SSS), .∴.∠ODE=∠OBE=90°， ∴.OD⊥DE. OD是⊙O的半径 DE是⊙O的切线. (2)解：由(1)知DE=BE=EC,∠ADB=∠BDC= ∠ABC=90°. DE=5, ∴.BC=10. 血c-台 腮 ∴.BD=8. :∠C+∠CBD=∠ABD+∠CBD=9O°， .∴.∠ABD=∠C, ∴sn∠ABD=nC=手 温 设AD=4x,则AB=5.x, .AD2+BD2=AB2, .(4x)2+82=(5.x)2, 解得x-号（负值会去 832 AD=4r=4X3=3 (3)证明：由(1)(2)得∠BDC=∠OBE=90°，BE=DE. 点O是AB的中点，点E是BC的中点， 6