微专题4 镶嵌在双曲线上的几何图形-【练测考】2025-2026学年九年级全一册数学（鲁教版五四制）

'∠CEA=∠CDO,∠AHE=∠COD, ∴.△CODp△AHE, CO AH OD HE' 品HE=4@,-. 综上，E(0,-1)或(0,3). 微专题四镶嵌在双曲线上的几何图形 1.B 2.解：(1)由y=ax十1，可知当x=0时，y=1, ..B(0,1),.OB=1. OA=2OB,.OA=2,∴.A(-2,0). 将A(-2,0)代入y=a.x+1,得-2a+1=0, 1 解得a=2 1 (2)由PC=2,把y=2代人y=2x+1,得x=2, .P(2,2) :点P在双线)一空上 将P2,2代人y=冬得=4 “双曲线的表达式为y=文 4 (3)如图，设Q(a,b).:点Q(a,b) 为双曲线y=4上右侧一点， x a>2,b=4 a A0八 当△QCH∽△BAO时， 可得器器即2。 2=1a-2=2b,即a-2 ∴.a=4或a=-2(舍去)，∴.Q(4,1). 当△cHO△A0时，可得 即-合蓝理得2山一4 1 a 解得a=1+√3或a=1一√3（舍），∴.Q(1+3,2√3一2). 综上所述，Q(4,1)或Q(1十3,2√3-2). 3.3 1 4.解：1)把x=ay=3代入y=2x+1,得2a十1=3， .a=4,∴.A(4,3). k 把x=4y=3代人y=,得3=4， .∴.k=12. (2)点A(4,3),点D的纵坐标是0，AD=AC, .点C的纵坐标是3×2一0=6. 把y=6代入y=12,得x=2.C(2,6. x ①如图1，作CF⊥x轴于点F,交 AB于点E, 当x=2时y=×2+1=2, ∴.E(2,2) C(2,6),.CE=6-2=4, B 图 4=8. ②由题知点B(0,1). 设P(x1y1),Q(x2,0). 分两种情况： i.如图2，当四边形ABQP为平 行四边形时， ,点B向下平移1个单位，向右平 移x2个单位得到点Q, ∴点A向下平移1个单位，向右平 移x2个单位得到点P =3-1=2-号=6 图2 ∴.P(6,2). i.如图3，当四边形AP'BQ为平 行四边形时， :点Q'向上平移1个单位，向左平 移x2个单位得到点B, 点A向上平移1个单位，向左平 移x2个单位得到点P =8+1=4--8 图3 ∴.P'(3,4). 综上所述，符合条件的点P的坐标是(6,2)和(3,4). 5.6+256.6 7.解：(1)将点A(一1，m)代入一次函数y=一x+1, 得m=1十1=2，.A(-1,2). 将A(-1,2代人y=是得==-2 即这个反比例函数的表达式为y=一 (2)作点B关于x轴的对称点B',连接 AB交x轴于点P,此时线段AP与BP 之和最小，如图. :一次函数y=一x+1与y轴交于 点B, ∴.B(0,1),B(0,-1). 设直线AB'的表达式为y=a.x十b, 则信二6邻得亿一 直线AB的表达式为y=-3x一1. 令y=0,则0=-3x-1,解得x=-3 1 ∴点P的坐标为-号0. 8.C g解：1：双曲线y冬上的一点A(m,m,过点A作AB⊥ x轴于点B, .AB=1,OB=m.又，△AOB的面积是3， 57m=3m=6 :点A在双曲线y=上k=mm=6 (2)如图，延长DC交x轴于点E,由旋转y 可得△AOB≌△ACD,∠BAD=90°， ∴.AD=AB=n,CD=OB=m,∠ADC=90° AB⊥x轴，∴.∠ABE=90°， .四边形ABED是正方形， .∴.∠DEB=90°， .∴.BE=DE=AB=n,..CE=n-m,OE=m十n, .∴.C(m十n,n-m). 点A,C都在双曲线上， .m=(m十n)(n一m),即m2十mm一n2=0,方程两边同 时除以，得(》广+”一-10. n 解得”=一1±5 2 n>m>0,.m=-1十5 2 微专题五学科融合一反比例函数的跨学科应用 1.D2.D3.C4.D5. 6解：(1)由题意设y=(6≠0). 把x=6,y=2代入，得k=6×2=12, y关于x的函数表达式为y=1 _12,得x=4 (2)把y=3代人y= ∴.小孔到蜡烛的距离为4cm 7解：(1设反比例函数的表达式为1=食 由图象可知(9,4)在反比例函数图象上， 只把(9,4代入反比例函数的表达式1尽了 k=9X4=36I= 36 答案：I=R 6 (②当R=12a时，1-93A 答案：3 (3当110A时则≤10， ∴.R≥3.62，∴.用电器的可变电阻至少是3.62. 8.解：(1)，阻力×阻力臂=动力×动力臂， ∴.重物的质量×OA=秤砣的质量×OB, .OA=2cm,重物的质量为xkg,OB的长为ycm,秤砣为 0.5kg, .2x=0.5y,∴y=4x.,4>0,∴y随x的增大而增大， :当y=0时，x=0;当y=48时，x=12, ∴.0x<12. (2),阻力×阻力臂=动力×动力臂， ,秤砣的质量×OA=重物的质量XOB OA=2cm,秤砣为0.5kg,OB的长为ycm,重物的质量 为xkg2X0.5=y= 1 当x=0.25时y=0.25=4: 1 当x=0.5时y=0.5=2 当x=1时y=1:当x=2时y2 当x=4时y=4: 1 答案：421日 4 作函数图象如图， 4 01234x 9.解：(1)将(0,240)，(120,0)代入R1=km+b, 得6=240， k=一2， 1120k+b=0 解得6=240， .∴.R1=-2m+240(0m120),k=-2,b=240. (2)由题意得可变电阻两端的电压=电源电压一电表电压， 即可变电阻两端的电压=8一U. U “I=尺，通过可变电阻和定值电阻的电流大小相等· ..8-U_U, R 2是化简得R=R(贷) :R。=30,R1= 240 一30. 3)将R=二2m十240(0m≤120)代入R,=-30 得-2m十240 240一30 U 化简，得m=一 20 +135(0m120). (4):m= 120+135中，k=-120<0,且0U,≤6. U。 ∴.m随U。的增大而增大， ∴.U。取最大值6V的时候，m取最大值， 此时m=-10+135=15(千克》 故该电子体重秤可称的最大质量为115千克. 章末复习 1.A2.B3.B4.D5.C6.B7.48.0 9解：(1)将A(2,3)代入双曲线的表达式y= x ∴m=6双曲线的表达式为y 6 将点B(n,1)代入y= x ,.n=6,.B(6,1). 将A(2,3),B(6,1)代入y=kx+b, 1 得股名纸得货了 b=4, 小直线的函数表达式为y=一2x十4 (2),直线AB向下平移至CD, AB/CD,设直线CD的函数表达式为y= 2x+n, 将点C(-2,0)代入y=-2x+1, 1 得1十1=0，解得n=-1, 1 六直线CD的函数表达式为y=一2x-1D(0,-1), 过点D作DG⊥AB于点G, 设直线AB与y轴的交点为H,与x轴的交点为F, ∴.H(0,4),F(8,0).第一章反比例函数 微专题四 镶嵌在双曲线上的几何图形 类型一双曲线与特殊三角形 类型二双曲线与平行四边形 1.如图所示，△OAB,△BCD 3.(安微中考)如图，□OABC 都是等边三角形，且均在 的顶点O是坐标原点，A 第一象限，若双曲线y 在x轴的正半轴上，B,C 在第一象限，反比例函数 「经过A,C两点，OB日 0 2,则点C的坐标为 ( y=的图象经过点C, A.(2+1,2-1) B.(2+1,6-√3) (k≠O)的图象经过点B.若0C=AC, y C.(2+1,√3-1)D.(2+1,√6-1) 则k= 2.[分类思想]如图，直线y=ax十1与x轴， 4.(济南中考)[分类思想]如图，一次函数 轴分别相交于A,B两点，与双曲线心令 2x+1的图象与反比例函数y=（x>0) y= (x>0)相交于点P,PC⊥x轴于点C,且 的图象交于点A(a,3),与y轴交于点B. PC=2,OA=20B. (1)求a,k的值： (1)求一次函数系数a的值； (2)直线CD过点A,与反比例函数图象交于 (2)求双曲线的表达式： 点C,与x轴交于点D,AC=AD,连接CB. (3)若点Q为双曲线上点P右侧一点，且 ①求△ABC的面积； QH⊥x轴于H,当以点Q,C,H为顶点的 ②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴 三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标. 上，若以点A,B,P,Q为顶点的四边形是平行 四边形，请求出所有符合条件的点P的坐标. 备用图 为国争光的信念驱使苏步青较早地进入了数学的研究领域，在完成学业的同时，写了30多篇论文，在 微分几何方面取得令人瞩目的成果，并于1931年获得理学博士学位.（待续） 17 练测考九年级数学全一册L小 类型三双曲线与特殊平行四边形 类型四双曲线与图形变换 5.(日照中考)如图，在平 8.将y=1的图象向右平移1个单位，再向上 面直角坐标系xOy中， 四边形ODEF和四边形 平移1个单位所得图象如图，则所得图象的 ABCD都是正方形，点 D 函数表达式为 () F在x轴的正半轴上， 6 点C在边DE上，反比 0 例函数y=(使≠0，x>0)的图象过点B,E. x 若AB=2,则k的值为 54-3-2-i0M123456龙 6.如图，在平面直角坐标系中， 四边形OABC为矩形，点C, A分别在x轴和y轴的正半 轴上，点D为AB的中点.已 1 A.y=- B.y= 知实数≠0，一次函数 +1十1 x+1>1 y=一3x十k的图象经过点 1 1 C.y= x-1+1 D.y x-11 C,D,反比例函数y=飞(x> 9.(淄博周村区模拟)如图，已知双曲线y= 0)的图象经过点B,则k的值为 上的一点A(m,n),其中n>m>0,过点A 7.[综合与探究]如图，一次函数y=一x十1与 作AB⊥x轴于点B,连接OA. 反比例两数y(:<0)的图象交于点 (1)已知△AOB的面积是3，求k的值； A(-1,m),与y轴交于点B. (2)将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到 (1)求这个反比例函数的表达式； △ACD,且点O的对应点C恰好落在该双 (2)点P是x轴上的一个动点，连接AP, 曲线上，求%的值。 BP,当线段AP与BP之和最小时，求点P 的坐标. 获得博士学位之前，苏步青已经在日本帝国大学数学系当讲师，当日本一个大学准备聘他去任待遇 18 优厚的副教授时，苏步青却决定回国，回到抚育他成长的祖国任教.（待续）