微专题3 反比例函数与一次函数的综合应用-【练测考】2025-2026学年九年级全一册数学（鲁教版五四制）

练测考九年级数学全一册L小 微专题三 反比例函数与一次函数的综合应用 类型一函数图象的位置判定 于A,B两点，其中点A的横坐标为1.当 1.已知一次函数y=kx十b的图 v=kx+b 象如图所示，则y=一kx十b与 女时女的取值范国是 b 0 类型三函数图象的交点问题 y=一的图象为 5.(巴中期末)如图，一次函 朵太新 数y=x十1的图象与反比 例函数y=6(x>0)的图 象交于点D,与x轴交于了O B 2.[分类思想]在同一平面直角坐标系中，函数 点A,与y轴交于点C, y=ax十b与y=b(其中a,b是常数，ab≠ DB⊥x轴于点B,连接BC,在y轴的负半 ax 轴存在一点P,使得S△CD=S△BCp,则点P 0)的大致图象是 的坐标为 米★产 6.(菏泽中考)如图，已知坐标轴上两点A(0,4), B(2,O),连接AB,过点B作BC⊥AB,交反比 例函数y=在第一象限的图象于点C(a,l). 类型二确定不等式解集 (1)求反比例函数y=和直线OC的表达式： 3.(东营中考)如图，一次函数y1=1x十b与反 比例函数，-：的图象相交于A,B两点，点 (2)将直线OC向上平移个单位，得到直线 1,求直线（与反比例函数图象的交点坐标 A的横坐标为2，点B的横坐标为一1，则不等 式k1x十b<的解集是 A.-1<x<0或x>2 B.x<-1或0<x<2 C.x<-1或x>2 D.-1<x<2 、2 A 第3题图 第4题图 4.(枣庄中考)如图，正比例函数y1=k1x(k1≠ 0)与反比例函数y,=(k,≠0)的图象相交 读书，不仅是为个人找出路，更是为中华民族求新生，当晚，苏步青辗转反侧，彻夜难眠.在杨老师的 14 影响下，他的兴趣从文学转向了数学，并立下了“读书不忘救国，救国不忘读书”的座右铭.（待续） 第一章反比例函数 类型四图象的面积问题 7.(枣庄中考)如图，一次函数y=kx十b(k≠0)的 8.(济宁中考)如图，正比例函数y,=2x和反 图象与反比例函数y=的图象交于 比例函数y,=(r>0)的图象交于点 A(m,1),B(-2,n)两点. A(m,2) (1)求一次函数的表达式，并在所给的平面 (1)求反比例函数的解析式； 直角坐标系中画出这个一次函数的图象； (2)将直线OA向上平移3个单位后，与y轴 k (2)观察图象，直接写出不等式x十b<4的 交于点B,与y2=二(x>0)的图象交于点 x 解集； C,连接AB,AC,求△ABC的面积. y (3)设直线AB与x轴交于点C,若P(0,a) 为y轴上的一动点，连接AP,CP,当 △APC的面积为时，求点P的坐标。 y↑ 0 5 4 3 2 4 -6-5-4-3-2-10 23456x 3 4 5 -6 9.(苏州中考)如图，一次函数y=kx十2(k卡 0)的图象与反比例函数y%(m≠0，>0) 的图象交于点A(2,n),与y轴交于点B,与 x轴交于点C(-4,0). 一迷上数学，不管酷暑还是寒冬，苏步青只知道读书、思考、解题、演算，4年中演算了上万道数学习 题.现在温州一中（即当时省立十中）还珍藏着他的一本练习薄，用毛笔书写，工工整整.（待续） 15 练测考九年级数学全一册L小 (1)求k与m的值； (2)P(a,0)为x轴上的一动点，当△APB 12如图，一次两效y=2+的图象与反 的面积为，时，求a的值. 比例雨数=的图象相交于点A,点B AC⊥x轴于点C,BD⊥y轴于点D.P是线 段AB上的一点，连接PC,PD,若△BDP∽ △ACP,则点P的坐标为 1B.已平面直角坐标系中，反比例函数y= (x>0)的图象经过点A(2,3),B(6,a),直 线l:y=x十n经过A,B两点，直线l分 别交x轴，y轴于D,C两点. (1)求反比例函数与一次函数的表达式； 类型五反比例函数与相似三角形 (2)在y轴上是否存在一点E,使得以A, 10.(菏泽巨野县模拟)已知 C,E为顶点的三角形与△CDO相似？若 9 反比例函数yy 9 存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说 B 明理由. 4的图象如图所示，点可 A在y=9的图象上，连接OA交y=4的 图象于点B,则AB:BO为 ( A.1:2 B.2:3 C.4:5 D.4:9 11.(淄博淄川区期中)如图， 在Rt△OAC中，O为坐 标原点，直角顶点C在 x轴的正半轴上，反比例 函数y=(6≠0)在第 一象限的图象经过OA的中点B,交AC于 点D,连接OD.若△OCD∽△ACO,则直 线OA的函数表达式为 () A.y=√2x B.√3x C.y=2x D.y=5x 中学毕业时，苏步青门门功课都在90分以上.17岁时，苏步青赴日留学，并以第一名的成绩考取东京 16 高等工业学校，在那里他如饥似渴地学习着.（待续）(2)在Rt△ADC中，AC=/AD2+CD2=2√2， ,∴.AC=CE=2W2, 当点E在点C的左侧时，a=1-2√2， 当点E在点C的右侧时，a=1十2√2， .∴.a的值为1士2√2 6-2<0或>47A8号<m<2 9.解：(1)：点B(4,一3)在反比例函数y=的图象上， -3=夸=-12， 小反比例函数的表达式为y=一12 x :A一m,3m)在反比例函数y=的图象上， 12 .3m= -m .∴.m1=2,m2=-2(舍去). ,∴.点A的坐标为（一2,6）. .点A,B在一次函数y=ax十b的图象上，把点A(一2,6)， B(4,-3)分别代人，得2a+b=6, 14a+b=-3, 3 a=-2 b=3, 3 ·.一次函数的表达式为y=一2x十3. (2):点C为直线AB与y轴的交点， .C(0,3),.OC=3, 1 1 S△A0B=SAx+S△c=2·OC·|xA|+2·OC· 1 1 |xB=2X3×2+2×3X4=9. (3)由题意，得x<一2或0<x<4. 10.解：(1)设当0x<3时，硫化物的浓度y与时间x的函数 表达式为y=kx十b(k≠0)， 把0,12).(3,4.5)代入，得6=12. 3k+b=4.5, 解得6=12. 1k=-2.5. .当0≤x<3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式 为y=-2.5.x+12(0x<3). (2),3×4.5=5×2.7=…=13.5, .y是x的反比例函数， ,当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为 13.5(x≥3. y- (3)该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不 超过最高允许的1.0mgL,理由如下： 13.5=0.9. 当x=15时y=15 0.91,13.5>0, y随x的增大而减小， ,∴.该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超 过最高允许的1.0mgL. 微专题三反比例函数与一次函数的综合应用 1.A2.A3.A4.0x1或x<-15.(0,-2) 6.解：(1)如图，过点C作CD⊥x轴 y个 于点D, ∴∠BDC=90° ∠AOB=90°， ∴.∠BDC=∠AOB. BC⊥AB,∴.∠ABC=90°， .∠ABO+∠CBD=90°. ∠AOB=90°， ∴.∠ABO+∠BAO=90°， ∴.∠CBD=∠BAO. CD BD ·.△CBD∽△BAO,BOAO A(0,4),B(2,0),C(a,1), ..AO=4,BO=2,CD=1,OD=a, ∴.BD=2,.OD=BO+BD=4, ∴.a=4,.点C的坐标是(4,1). :反比例函数y=女的图象过点C, .k=4X1=4, 八反比例函数的表达式为y=4 设直线OC的表达式为y=mx, 其图象经过点C(4,1), 4m=1,解得m=4 1 直线OC的表达式为y=4 1 (2)将直线0C向上平移个单位，得到直线1. 1 3 “直线1的表达式为y=4x+2, 1 ,3 y=4x十2 x1=-8, 由题意，得 解得( x2=2, 4 y= y1=2,y2=2 “直线1与反比例函数图象的交点坐标为（一8，一号）或 (2,2) 7.解：D:反比例函数y=的图象经过A(m,1D.B(-2 n)两点， 1=4 =2解得m=4=一2 ∴.A(4,1),B(-2,-2). 将A(4,1),B(-2,一2)代入y=kx十b, 1 /4k+b=1, 解得k=2· 得-2k+b=一2， b=-1, 。一次函数的表达式为y=宁：-1，该函数的图象如图 所示 D (2)由图可得，不等式kx+6<4的解集是x<-2或0< x<4. 1 (3)设直线AB交y轴于点D.在y=2x-1中，当x=0 时y=-1…D(0,-1),当y=0时，得2x-1=0, 解得x=2,.C(2,0),.OC=2. P(0,a),D(0,-1),.PD=a+1. 5 SAre=2A(4.1), 2a+114-2)=2 5 解得a=或子 点P的坐标为(0，)或(0，-) 8解：1)把Am,2)代人=2x,得 m=2,解得m=4, .A(4,2). 把A4,2)代入=冬(>0)，得冬=2.解得及=8 8 ∴.反比例函数的解析式为y2= (2)过点C作CM⊥x轴于点M,交AB于点V,如图所示. 将直线OA向上平移3个单位后，其函数解析式为y=2x+ 3,当x=0时，y=3, 点B的坐标为(0,3). 设直线AB的函数解析式为y=m.x十n, 将A(4,2),B(0,3)代入，可得4m十n=2, n=3, 1 解得 m=-4 n=3, 直线AB的函数解析式为y=一}x十3 y=2x+3, 联立解析式 解得红=2或=一8（舍去） 8 y= y=4, (y=-1, .C点坐标为(2,4) +8中，当=2时y=名N(2） 在y=一1 53 即△ABC的面积为3. 9.解：1把C(-4,0)代入y=kx十2，得为= 1 小y=2x+2. 1 把A(2,m)代人y=2x十2，得n=3.A(2,3. 把A2.3f代入y=2,得m=6, 1 k=2m=6. 1 (2)在y=2x+2中，当x=0时0=2，.B(0,2) ∴.OB=2. P(a,0)为x轴上的一动点，∴.PC=a十4， Sm=2·PC.0B=号×a+4X2=a+4, sw=r0a=号×1a+4×8 Saae=Sm+S受a+4=号+la+4, .a=3或-11. 10.A11.C12.(3,1) 13.解：1)将A(2,3)代人y=,得=2X3=6反比例函 数的表达式为y=6;把B(6,a)代入y=6,得a=1, x x .B(6,1) 将A(2,3),B(6,1)代人y=mr十n,得2m十n=3, (6m+n=1, 1 解得m=一2'：一次函数的表达式为y=一2x十4 1 n=4. (2)存在，理由如下：当△COD∽△CEA时， B D主 则∠CEA=∠COD=90°，，一次函数的表达式为 1 y=-2x+4C(0.4).D(8,00C=4.0D=8. △c0△cE…恶88 9-号- ∴E(0,3), 当△COD∽△CAE时，作AH⊥y轴于H,则AH=2. '∠CEA=∠CDO,∠AHE=∠COD, ∴.△CODp△AHE, CO AH OD HE' 品HE=4@,-. 综上，E(0,-1)或(0,3). 微专题四镶嵌在双曲线上的几何图形 1.B 2.解：(1)由y=ax十1，可知当x=0时，y=1, ..B(0,1),.OB=1. OA=2OB,.OA=2,∴.A(-2,0). 将A(-2,0)代入y=a.x+1,得-2a+1=0, 1 解得a=2 1 (2)由PC=2,把y=2代人y=2x+1,得x=2, .P(2,2) :点P在双线)一空上 将P2,2代人y=冬得=4 “双曲线的表达式为y=文 4 (3)如图，设Q(a,b).:点Q(a,b) 为双曲线y=4上右侧一点， x a>2,b=4 a A0八 当△QCH∽△BAO时， 可得器器即2。 2=1a-2=2b,即a-2 ∴.a=4或a=-2(舍去)，∴.Q(4,1). 当△cHO△A0时，可得 即-合蓝理得2山一4 1 a 解得a=1+√3或a=1一√3（舍），∴.Q(1+3,2√3一2). 综上所述，Q(4,1)或Q(1十3,2√3-2). 3.3 1 4.解：1)把x=ay=3代入y=2x+1,得2a十1=3， .a=4,∴.A(4,3). k 把x=4y=3代人y=,得3=4， .∴.k=12. (2)点A(4,3),点D的纵坐标是0，AD=AC, .点C的纵坐标是3×2一0=6. 把y=6代入y=12,得x=2.C(2,6. x ①如图1，作CF⊥x轴于点F,交 AB于点E, 当x=2时y=×2+1=2, ∴.E(2,2) C(2,6),.CE=6-2=4, B 图 4=8. ②由题知点B(0,1). 设P(x1y1),Q(x2,0). 分两种情况： i.如图2，当四边形ABQP为平 行四边形时， ,点B向下平移1个单位，向右平 移x2个单位得到点Q, ∴点A向下平移1个单位，向右平 移x2个单位得到点P =3-1=2-号=6 图2 ∴.P(6,2). i.如图3，当四边形AP'BQ为平 行四边形时， :点Q'向上平移1个单位，向左平 移x2个单位得到点B, 点A向上平移1个单位，向左平 移x2个单位得到点P =8+1=4--8 图3 ∴.P'(3,4). 综上所述，符合条件的点P的坐标是(6,2)和(3,4). 5.6+256.6 7.解：(1)将点A(一1，m)代入一次函数y=一x+1, 得m=1十1=2，.A(-1,2). 将A(-1,2代人y=是得==-2 即这个反比例函数的表达式为y=一 (2)作点B关于x轴的对称点B',连接 AB交x轴于点P,此时线段AP与BP 之和最小，如图. :一次函数y=一x+1与y轴交于 点B, ∴.B(0,1),B(0,-1). 设直线AB'的表达式为y=a.x十b, 则信二6邻得亿一 直线AB的表达式为y=-3x一1. 令y=0,则0=-3x-1,解得x=-3 1 ∴点P的坐标为-号0. 8.C g解：1：双曲线y冬上的一点A(m,m,过点A作AB⊥ x轴于点B, .AB=1,OB=m.又，△AOB的面积是3， 57m=3m=6 :点A在双曲线y=上k=mm=6 (2)如图，延长DC交x轴于点E,由旋转y 可得△AOB≌△ACD,∠BAD=90°， ∴.AD=AB=n,CD=OB=m,∠ADC=90° AB⊥x轴，∴.∠ABE=90°， .四边形ABED是正方形，