18.2.2 菱形的判定 教学设计 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

该初中数学教学设计聚焦“18.2.2菱形的判定”，从菱形定义及性质出发，引导学生逆向思考判定方法，通过回顾性质建立与判定的联系，搭建从已知到新知的学习支架。 特色在于以作图操作和反例辨析为核心，如作四条边相等的四边形验证判定定理1，用木棒模型探究对角线垂直的平行四边形，培养几何直观与逻辑推理能力，规范证明书写提升数学语言表达，分层作业设计兼顾基础与拓展，助力教师高效教学，促进学生深度学习。

18.2.2菱形的判定 教学设计 学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 第十八章 课题 18.2菱形 课时 2课时 课标要求 探索并掌握菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。经历从菱形的性质逆向思考得到判定方法的过程，体会几何研究中“性质与判定”之间的互逆关系，能运用菱形的判定定理解决简单的几何证明和实际问题。 教材分析 本节课是特殊平行四边形判定部分的重要内容，是学生系统掌握菱形知识结构的关键环节。本节以菱形的两条主要性质为线索展开，教学内容蕴含着从性质到判定的逆向思维、从一般到特殊的研究思路，以及合情推理与演绎推理相结合的思想方法。教材通过作图操作、反例辨析、平行四边形框架转动等活动，让学生在动手实践中经历猜想、验证、证明的完整过程，为后续学习正方形的判定奠定基础。 学情分析 八年级的学生已具备一定的观察、比较、归纳和简单推理能力，能够理解图形、符号和几何语言所表达的基本关系。在之前的学习中，他们已经掌握了平行四边形的概念和性质，也经历了矩形性质的学习过程，对“从一般到特殊”研究几何图形的基本思路有了一定了解，但尚未将其系统化地应用于菱形的自主探究中，学生对“等腰三角形三线合一”等知识点的灵活迁移运用也还需要进一步引导。 核心素养目标 1.通过对菱形判定定理的探究，学生经历从特殊到一般的归纳过程，发展几何直观和抽象能力； 2.在猜想、作图、验证和证明等活动中，逐步形成逻辑推理能力； 3.通过对比不同判定方法的适用条件，体会数学知识之间的内在联系； 4.在小组交流与辨析中，敢于提出自己的猜想并尝试论证，逐步形成严谨求实的科学态度。 教学重点 菱形判定定理的探究。 教学难点 菱形判定定理的探究与应用。 教学准备 多媒体课件、学习资料 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、引新 我们已经知道,有一组邻边相等的平行四边形是菱形,这是菱形的定义.我们可以根据定义来判定一个四边形是不是菱形.除此之外,还能找到其他的判定方法吗? 菱形是特殊的平行四边形,具有如下性质: 1.四条边都相等; 2.两条对角线互相垂直. 这些性质,对我们寻找判定菱形的方法有什么启示呢? 回顾菱形的定义和两条主要性质，思考性质与判定之间的互逆关系。 激活学生已有知识经验，建立性质与判定的联系，为后续探究判定方法做好思维铺垫。 二、探究 思考 对于一般的四边形,如何寻找判定它是不是菱形的方法呢?由菱形的性质“四条边都相等”,你可能会想到:如果一个四边形的四条边都相等,那么它肯定是一个菱形.试着画一画,与周围的同学讨论,猜一猜结论是否成立. 试一试 如图18.2.10,作一个四条边都相等的四边形. 作法: 1.作两条相等的线段AB、AD; 2.分别以点B和点D为圆心、AB长为半径作弧,两弧相交于点C; 3.连结BC、CD. 四边形ABCD即为所要求作的四边形. 观察你所画的图形,它是菱形吗? 由此我们可以得到判定菱形的一种方法: 菱形的判定定理1： 四条边都相等的四边形是菱形. 你能证明这个结论吗？ 已知：在四边形  中，。 求证：四边形  是菱形。 证明：连接 。 在  和  中， ∴ （SSS） ∴ ， ∴ ， ∴ 四边形  是平行四边形（两组对边分别平行） 又 ∵ （已知） ∴ 平行四边形  是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形） 这里的条件能否再减少一些呢?有三条边相等的四边形是菱形吗?试着画一画,相信你很快会发现,这个结论是不成立的. 例4 如图18.2.11,在矩形ABCD中,点E,F,G,H分别是四条边的中点.试问:四边形EFGH是什么图形?并说明理由. 分析 四边形EFGH的四条边分别属于矩形四个角上的三角形,如果能够证明这四个三角形全等,那么就可以利用菱形的判定定理1,得出四边形EFGH是菱形. 你能说出完整的证明过程吗？ 证明：四边形  是菱形。 理由如下： 在矩形  中，，，。 ∵ 点  分别是四条边的中点， ∴ 。 在  和  中， ∴ （SAS），∴ 。 同理可得：，，。∴ 。 ∴ 四边形  是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）。 思考 “对角线互相垂直”是菱形所特有的性质.那么从对角线的角度,你可以得到关于菱形判定的什么猜想?和你的同伴交流一下,看看你们的想法是否一致、可行. 由此,我们可以得到一个猜想:“如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直,那么这个平行四边形是菱形.” 探索 如图18.2.12,取两根长度不等的细木棒,让这两个细木棒的中点重合并固定在一起,用笔和直尺画出木棒四个端点的连线.我们知道,这样得到的四边形是平行四边形.转动其中一根木棒,重复上面的做法,当两根木棒之间的夹角等于90°时,得到的是什么图形呢? 试一试 如图18.2.13,作一个两条对角线互相垂直的平行四边形. 作法: 1.作两条互相垂直的直线m、n,记交点为O; 2.以点O为圆心,适当长为半径作弧,在直线m上截取相等的两条线段OA,OC; 3.以点O为圆心,另一适当长为半径作弧,在直线n上截取相等的两条线段OB,OD; 4.顺次连结所得的四个点. 显然,四边形ABCD是一个对角线互相垂直且平分的四边形,即为所要求作的两条对角线互相垂直的平行四边形. 和你的同伴交流一下,看看它是否也是一个菱形. 这就是判定菱形的另一种方法: 菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 结论的证明很简单.如图18.2.14,在▱ABCD中,对角线AC,BD互相垂直,只需证明有一组邻边相等,即可证得▱ABCD是菱形. 证明 ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA = OC。 又∵ AC ⊥ BD， ∴ BD所在直线是线段AC的垂直平分线， ∴ AB = BC。 ∴ ▱ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）。 例5 如图18.2.15，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F。求证：四边形AFCE是菱形。 证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AE ∥ FC， ∴ ∠1 = ∠2。 ∵ EF平分AC， ∴ OA = OC。 在△AOE和△COF中， ∵ ∠1 = ∠2，OA = OC，∠AOE = ∠COF， ∴ △AOE ≌ △COF， ∴ OE = OF。 ∴ 四边形AFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。 又∵ EF ⊥ AC， ∴ ▱AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。 按作法动手画图，观察四边形形状，小组交流猜想；尝试画反例验证“三条边相等”，发现结论不成立。 根据分析提示，独立完成证明，并尝试用规范的几何语言表达推理过程。 小组交流提出猜想，操作木棒模型观察夹角90°时图形形状，按步骤作图验证，理解证明思路并完成定理证明。 识别图形中的平行、相等和垂直关系，理解证明思路，独立完成证明书写，并尝试说出每一步的依据。 通过作图操作和反例辨析，帮助学生直观感知定理条件，理解“四条边都相等”的必要性，培养严谨思维。 让学生在实际问题中运用判定定理1，巩固全等三角形的证明方法，培养学生将综合法分析转化为规范书写的能力。 通过实验操作和尺规作图，让学生在直观体验中发现结论，再上升为严格证明，培养合情推理与演绎推理相结合的能力。 通过综合运用矩形性质、全等三角形判定和平行四边形判定，帮助学生巩固菱形判定定理2的应用，提升几何综合推理能力。 三、尝试 （课堂练习） 1.已知菱形的边长为，一条对角线长为，则菱形的面积为　 　． 解：如图,在菱形中，，， 对角线互相垂直平分，，， 在中，， ．. 2.顺次连接一个矩形各边中点得到的四边形是　 　． 解：如图，连接AC、BD， ∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD， ∵点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点， ∴EH是中位线，FG是中位线，EF是中位线， ∴，，，，，∴EH=FG=EF，EH∥FG，∴四边形EFGH是菱形.故答案为：菱形. 3.如图，分别以点、为圆心，以大于的定长为半径画弧，两弧相交于点、，则四边形是菱形的理由是　 　． 解∶根据作图方法可知四边形一定是菱形； 分别以点A，B为圆心，以大于的定长a为半径画弧，两弧相交于C，D， ， 四边形是菱形． 4.如图，四边形是平行四边形，使它成为菱形的条件可以是　 　． 解：根据一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴当时，平行四边形是菱形； 故答案为：（答案不唯一）． 5．如图，将沿折叠，使点与点A重合．如果，，那么的边上的高为（　　） A． B． C．6 D．8 解：如图：连接、，设的边上的高为h，与于点O， ∵将沿折叠，使点与点A重合，∴，， ∵四边形是平行四边形，∴， ∴， 又∵，， ∴，∴， 又∵，∴四边形是平行四边形， 又∵，∴平行四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴，解得：，即的边上的高是． 6.如图，平行四边形，对角线，交于点，添加下列条件，不能使平行四边形变为菱形的是（　　） A． B． C．平分 D． 解：A、∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形，故选项A不符合题意； B、∵四边形是平行四边形，， 不能证明平行四边形是菱形，故选项B符合题意； C、∵四边形是平行四边形，∴， ∴， ∵平分，∴， ∴，∴， ∴平行四边形是菱形，故选项C不符合题意； D、∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形，故选项D不符合题意； 7.在中，点E，F分别在边上，连接，，，与相交于点O，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若的周长为22，，，求的长． （1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵，∵， ∴，∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵，∴四边形是菱形； （2）解：由（1）知， ∴，∴， ∴ 又∵，四边形是菱形，∴ ∴是等边三角形，∴. 独立完成课堂练习，认真审题、规范书写证明过程，参与答案交流，听取教师点评并订正错误。 检测学生对本节课判定方法的掌握程度，及时发现问题并反馈，强化知识应用能力，规范几何证明书写。 四、总结提升 本节课我们围绕菱形展开了探究，一共收获了三种判定方法：一是从定义出发，有一组邻边相等的平行四边形是菱形；二是从边的整体特征出发，四条边都相等的四边形是菱形；三是从对角线特征出发，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。在使用这些方法时，要特别注意两点：第一，判定定理1适用于任意四边形，而判定定理2必须在平行四边形的基础上使用；第二，证明时往往需要先根据已知条件得出平行四边形，再寻找邻边相等或对角线垂直的关系。 认真倾听教师的总结，回顾自己本节课的学习过程，反思自己的收获和不足。 帮助学生梳理知识体系，强化重点知识，让学生对本节课的内容有更清晰、系统的认识。 板书 设计 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。 作业 设计 【知识技能类作业】必做题： 1.下列命题：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形；②对角线相等的四边形是菱形.其中正确的是　 　.(填序号) 解：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确；②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，但不是菱形，错误. 2.已知 ABCD，对角线AC，BD相交于点0，请你添加一个适当的条件，使 ABCD成为一个菱形，你添加的条件是　 　． 解：∵邻边相等（对角线互相垂直）的平行四边形是菱形， ∴可以添加AD=DC或ACBD(答案不唯一），故答案为：AD=DC(答案不唯一) . 3.如图，在Rt ABC中 ， ， ，D为AB的中点， ，则四边形ADCE的周长为　 　． 解：∵ ，∴四边形ADCE为平行四边形， 又∵∠ACB=90°，D为AB的中点，∴ ， ∴平行四边形 为菱形，∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6， ∴AB=10，AD=5，∴菱形ADCE的周长为20． 4.如图，点B，C分别是锐角 两边上的点， ，分别以点B，C为圆心，以 的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接 ， .则四边形 是　 　. 解：根据作图过程判定四边形ABDC是菱形， 根据题意得：AB=AC=BD=DC， ∴四边形ABCD是菱形，故答案为：菱形. 【知识技能类作业】选做题： 5.已知在中，对角线交于点，添加下列条件后，不一定能使其成为菱形的是（　　） A． B． C． D． 解：A、由一组邻边相等的平行四边形是菱形判定是菱形，故A不符合题意； B、由四边形ABCD是平行四边形，推出AB//CD，得到∠ABD=∠CDB，因此∠ABD=∠ADB，得到AB=AD，判定是菱形，故B不符合题意； C、由四边形ABCD是平行四边形，推出AC=2OA，BD=2OB，得到AC=BD，判定是矩形，不一定是菱形，故C符合题意； D、由对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定是菱形，故D不符合题意. 故答案为：C. 6.如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、．若，则四边形的面积为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 解：∵四边形是矩形，∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， 在和中， ， ∴，∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． ∵，， ∴， ∵，∴， 解得，∴． ∴四边形的面积为． 【综合拓展类作业】： 7.如图，在中，D，E分别是，的中点，，延长到点F，使得，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． （1）证明： ∵D、E分别是、的中点，，， ，， ，， ，∴四边形是平行四边形， ，∴四边形是菱形 （2）解：连接，交于O， 四边形是菱形， ，，，， ， 在中，， ， ， 菱形的面积为. 教学反思 本节课从菱形的性质出发引导学生逆向思考判定方法，符合学生的认知规律。学生在动手作图环节表现出较高的积极性，通过实际操作验证猜想，对定理的理解更加深刻。在证明定理2时，部分学生对“垂直平分线”的推理依据理解不够顺畅，需要在后续练习中加强这一知识点的迁移训练。从课堂反馈来看，学生能够区分判定定理的使用条件，但在综合运用时仍存在选择困难，今后应设计更多变式练习，帮助学生建立判定方法选择的策略意识。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $