18.3 正方形 教学设计 2025--2026学年华东师大版数学八年级下学期

该初中数学教学设计聚焦正方形的性质、判定及与矩形、菱形的从属关系，通过回顾边、角、对角线特点唤醒已有认知，从矩形和菱形的特殊性切入，搭建从特殊平行四边形到正方形的学习支架。 亮点在于探究环节的动手操作与批判性讨论，如折叠正方形纸片观察对称轴，辨析三种检验方法的合理性并举例反例，结合包含关系图构建知识网络。体现几何直观与推理意识，帮助学生发展空间观念和逻辑表达，为教师提供分层练习与结构化教学思路。

18.3正方形 教学设计 学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 第十八章 课题 18.3正方形 课时 1课时 课标要求 理解正方形与矩形、菱形、平行四边形之间的关系，掌握正方形的概念、性质及判定方法，能运用正方形的性质解决简单的几何证明与计算问题。 教材分析 本节课是学生在学习了平行四边形、矩形、菱形之后，对特殊平行四边形的最后一种图形进行系统研究。正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，教材通过回顾正方形的已有认知，引导学生从边、角、对角线三个维度系统梳理正方形的性质，并通过例题巩固性质的应用。讨论环节设计了三种检验四边形是否为正方形的不同方法，引发学生对判定条件的深入思考。本节课的内容既是对前面所学知识的综合与提升，也为后续解决更复杂的几何问题奠定了基础。 学情分析 八年级的学生已具备一定的观察、比较、归纳和简单推理能力，能够理解图形、符号和几何语言所表达的基本关系。在之前的学习中，他们已经掌握了平行四边形的概念和性质，也经历了矩形性质的学习过程，对研究几何图形的基本思路有了一定了解，但尚未将其系统化地应用于正方形的自主探究中。学生对“正方形既是特殊的矩形又是特殊的菱形”这一双重身份的理解，以及在不同条件下灵活选择判定方法，还需要教师进一步引导。 核心素养目标 1.通过观察和归纳正方形的性质，学生经历从矩形和菱形出发定义正方形的过程，发展逻辑推理和几何直观能力； 2.在运用正方形的性质解决具体问题的过程中，学生能够有条理地表达推理过程，提升数学表达的规范性； 3.通过讨论三种检验方法的合理性，学生能够从反面思考正方形的判定条件，增强批判性思维和空间观念； 4.学生能够体会正方形与矩形、菱形之间的从属关系，感受一般与特殊的数学思想。 教学重点 正方形的性质及其应用。 教学难点 理解正方形与矩形、菱形之间的内在联系，以及从性质到判定的逻辑转换。 教学准备 多媒体课件、学习资料 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、引新 正方形是我们早已熟悉的平面图形，它既是中心对称图形，也是轴对称图形，具有如下性质： 1.四条边都相等； 2.四个角都是直角； 3.对角线相等且互相垂直平分。 回顾已学知识，说出正方形的边、角、对角线特点。 唤醒学生对正方形的已有认知，为系统梳理性质做铺垫，激发学习兴趣。 二、探究 因此，正方形可以看成： 有一个角是直角的菱形； 有一组邻边相等的矩形。 正方形有几条对称轴？他的对称中心在哪里？ 正方形有4条对称轴，分别是两条对角线所在的直线以及两条对边中点连线所在的直线；它的对称中心是两条对角线的交点。 例1 如图18.3.1，已知正方形。求、、的大小。 分析 由正方形的特殊性质，可知。易证，从而可得 同理可得。 请写出完整的解答过程。 解： ∵ 四边形是正方形， ∴ （正方形的对角线互相垂直平分）。 ∴ 。 ∵ 是正方形， ∴ ，（正方形的对角线平分内角）， 又 ， ∴ （SAS）。 ∴ 。 又 （正方形的四个角都是直角）， ∴ 。 同理，在正方形中，平分， ∴ 。 因此，，，。 讨论 老师给学生布置了一项任务：从一张彩色纸中剪出一个正方形。 小明剪完后，这样检验它：比较边长，发现四条边是相等的，于是就判定自己完成了这项任务。这种检验可信吗？ 小兵用另一种方法检验：他量的不是边，而是对角线，他发现对角线是相等的，于是就认为自己正确地剪出了正方形。这种检验对吗？ 小英剪完后，比较了由对角线相互分成的4条线段，发现它们是相等的。按照小英的意见，这说明剪出的四边形是正方形。你的意见怎样？ 你认为应该如何检验，才能又快又准确呢？ 小明不对，四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形；小兵不对，对角线相等的四边形不一定是正方形（例如等腰梯形的对角线也相等，矩形对角线也相等但不一定是正方形）；小英不对，对角线互相平分的四边形是平行四边形，四条线段相等只能说明对角线互相平分且相等，得到的是矩形，不一定是正方形。可以同时验证它既是菱形又是矩形，一是先测量四条边是否相等（确保是菱形），再测量其中一个角是否为直角；二是先测量对角线是否相等（确保是矩形），再测量对角线是否互相垂直。 读一读 我们在平行四边形的学习基础上，又探索研究了矩形、菱形、正方形的一些特点。这些几何图形之间的相互关系如图18.3.2所示。 矩形、菱形都是特殊的平行四边形，因而既具有平行四边形的一般性质，又具有它们自己的特殊性质。 正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，它具有更多的性质。 我们在研究几何图形时，必须关注这种一般与特殊的关系，从而更好地认识各种几何图形，顺利解决各类问题。 观察并动手折叠正方形纸片，数出对称轴条数，指出对称中心，验证结论。 独立完成解答过程，与课本比对并纠正书写格式，小组内互批互评。 分组讨论三种检验方法的合理性，举例反驳错误方法，归纳正确的判定条件。 观察包含关系图，用语言描述四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的从属关系。 通过动手操作，直观感受正方形的轴对称和中心对称性，加深对性质的理解。 训练学生规范书写几何推理过程，巩固正方形性质的运用，提升逻辑表达能力。 通过辨析反例，深化对正方形判定条件的理解，培养批判性思维和严谨态度。 帮助学生构建知识网络，理解一般与特殊的逻辑关系，形成结构化的几何认知。 三、尝试 （课堂练习） 1.2025年10月29日，阳江市举办了国际风筝邀请赛。参赛的一个风筝的主骨架由一个边长为2m的正方形构成，副骨架由该正方形的两条对角线构成，则副骨架的总长为　 　m(结果保留根号)。 解：正方形的对角线长为， ∴骨架的总长为。 2.在矩形中，对角线与交于点Q，请添加一个条件：　 　使得矩形是正方形．（只写一个） 解：根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件为：或或或或，故答案为：（答案不唯一）． 3.如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为　 　． 解：如图所示，过点作于， ∵点是正方形的对角线上的一点，于点 ∴四边形是矩形， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴四边形是正方形， ∴。 4.如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F，若AD=4，则EF=　 　. 解：过点 E 作 于点G， ∴∠AGE=90°， 又∵ABCD是正方形， EF⊥AB， ∴∠DAB=∠AFE=90°， ∴四边形AFEG为矩形， 为等边三角形， 5.如图，在正方形纸片ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，将纸片沿过点C的直线折叠，使点D落在MN上的点E处， 折痕CF交AD 于点 F， 连接EB， 若EB=4， 则FD的长为（　　) A． B． C． D． 解：∵在正方形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点， ∴BE=CE=4，且MN⊥AD，MN⊥BC，BN=NC=AM=MD=2， ∵将纸片沿过点C的直线折叠，使点D落在MN上的点E处， 折痕CF交AD于点F， ∴CD=CE=4，EF=DF， ∴MN=CD=CE=BE=4， 在Rt△BEN中， EN=， ∴ME=MN-EN=4-， 设EF=DF=a，则MF=2-a， 在Rt△MEF中，， 即， 解得a=， ∴FD的长为。 6.如图，正方形和正方形按如图方式摆放，两个正方形面积之差为16，连接．若，则的面积为（　　） A． B．16 C．15 D．8 解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则有， ∵， ∴， ∵两个正方形面积之差为16， ∴， ∴， ∴。 7.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且. 求证：CE=CF. 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=BC=DC=AD，∠B=∠D. ∵∠BAE=∠DAF， ∴△ABE≌△ADF， ∴BE=DF， ∴BC-BE=DC-DF， 即CE=CF。 独立完成练习题，认真审题、规范书写推理过程，完成后同桌互批或小组交流订正。 通过练习巩固正方形性质与判定的应用，检测学生对本节知识的掌握情况，及时发现并纠正问题。 四、总结提升 本节课系统梳理了正方形的所有核心性质：四条边相等、四个角都是直角、对角线相等且互相垂直平分，同时明确了正方形既是轴对称图形又是中心对称图形。在知识关系上，正方形既可以看成“有一个角是直角的菱形”，也可以看成“有一组邻边相等的矩形”，这体现了它与矩形、菱形之间的从属关系。在判定方法上，仅凭边相等或对角线相等都不足以判定正方形，必须同时满足菱形和矩形的双重条件。 认真倾听教师的总结，回顾自己本节课的学习过程，反思自己的收获和不足。 帮助学生梳理知识体系，强化重点知识，让学生对本节课的内容有更清晰、系统的认识。 板书 设计 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。 作业 设计 【知识技能类作业】必做题： 1.已知正方形的面积为x2+4x+4（x>0），则正方形的边长为　 　（用含x的代数式表示）. 解：由题意可得：x2+4x+4=(x+2)2，∴正方形的边长为x+2。 2. “正方形的四条边都相等”的逆命题可以写成　 　，该逆命题是　 　命题（填写“真”或“假”）． 解：命题“正方形的四条边都相等”，它的逆命题是“四条边相等的四边形是正方形”，该逆命题是假命题，故答案为：四条边相等的四边形是正方形；假． 3.如图，在正方形中，，为半径作圆弧，交的延长线于点E，阴影部分面积为　 　． 解：∵四边形是正方形，，以为半径作圆弧，交的延长线于点， ∴，， ∴，， ∴。 4.如图，正方形的边长为4，E为边上一点，，连接，过D作的垂线交于点F，交于点G，则的长为　 　． 解：四边形为正方形，且边长为4， ，， ， 又， ， ， 在和中， ， ，， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 由三角形的面积得：， ， ，， ． 【知识技能类作业】选做题： 5.如图，E是正方形边上一点，连接，过点E作，且，连接交于点G，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 解：∵，， ∴， 延长到点H，使，连接、，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，∴， ∴，∵，， ∴， 设，则， 则在直角三角形中，根据勾股定理可得：， 解得：，即。 6.如图，P 是正方形ABCD 的对角线BD上的一点，连结AP，PE⊥DC，PF⊥BC，垂足分别是E，F，连结EF.若CE=5，CF=3，则AP 的长为(　　) A．4 B．5 C． D． 解：如图，连接PC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=DC，∠ADP=∠CDP，∠BCD=90° ∵PD=PD， 在△APD和△CPD中， ∴△APD≌△CPD(SAS)，∴AP=CP， ∵PE⊥DC， PF⊥BC， ∴∠PFC =∠BCD =∠CEP =90°， ∴四边形PFCE是矩形， ∴PC=EF，∴AP=EF， ∴在Rt△CEF中， CE=5， CF =3， 。 【综合拓展类作业】： 7.如图，为的对角线，延长至点，使得，连接，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，试判断四边形的形状，并说明理由． （1）解：∵在中，∴，， ∵，∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，∴是菱形； （2）解：结论：四边形是正方形，理由如下： 由（1）得，，， ∵四边形是平行四边形，∴， ∵，∵， ∴，∴是矩形， 又∵是菱形，∴四边形是正方形． 教学反思 本节课是从学生已有的知识经验出发，通过复习矩形和菱形的性质自然过渡到正方形，学生对正方形同时具有两者的性质理解较为顺畅。学生能够独立完成计算，但在几何推理的书写规范上仍有个别学生不够严谨，需要在后续教学中持续强化。讨论环节是本节课的亮点，三种检验方法的辨析有效激发了学生的思考热情，从而深化了对判定条件的理解。不足之处在于，个别学生在表达“对角线互相垂直平分且相等”时逻辑顺序不够清晰，后续可以设计针对性的填空或判断练习加以巩固。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $