18.1.1 矩形的性质 教学设计 2025--2026学年华东师大版八年级数学下册

该初中数学教学设计聚焦“18.1.1矩形的性质”，通过尺规作图给定邻边长的平行四边形，观察夹角差异引出不稳定性，搭建从平行四边形到矩形的过渡支架，衔接已学平行四边形知识。 此资料以生活实例引入矩形，培养数学眼光中的几何直观，通过观察猜想证明性质定理发展数学思维中的推理能力，例题练习结合勾股定理等综合应用强化数学语言的应用意识。分层作业设计兼顾不同学生，助力教师高效教学，提升学生逻辑推理与问题解决能力。

18.1.1矩形的性质 教学设计 学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 第十八章 课题 18.1.1矩形的性质 课时 3课时 课标要求 1.理解矩形的概念，知道矩形是特殊的平行四边形，明确矩形与平行四边形的区别与联系；2.探索并证明矩形的性质定理； 3.能运用矩形的性质进行简单的几何推理和计算，解决与矩形相关的边长、对角线、周长、面积等实际问题。 教材分析 本节课是第十八章《矩形、菱形与正方形》第1节第1课时。本章系统研究矩形、菱形、正方形这三种特殊的平行四边形，而矩形是学生最先接触的一种，在整章中起着基础性和引领性的作用。教材从生活实例引入矩形的概念，引导学生通过观察、猜想、证明逐步揭示矩形的性质，体现了从一般到特殊的数学思想。本节课的内容不仅是对平行四边形知识的深化，也为后续学习矩形的判定以及菱形、正方形的性质与判定奠定了坚实的基础。 学情分析 学生已经掌握了平行四边形的性质，具备了一定的几何推理和计算能力，但对于“特殊平行四边形”的研究方法还不够熟悉，对矩形与平行四边形之间的从属关系理解还不够深入。此外，学生目前已初步具备了观察、猜想、验证的能力，但将矩形性质与勾股定理、面积法等工具综合运用时，思路还不够清晰。八年级学生思维活跃，对生活中的几何图形有较强的兴趣，乐于动手操作和合作探究，这为矩形性质的学习提供了良好的情感基础。 核心素养目标 1.通过观察生活中的矩形实物，从具体物体中抽象出矩形的几何图形，明确矩形是特殊的平行四边形，理解矩形与平行四边形的联系与区别； 2.经历从平行四边形性质出发推导矩形性质的过程，证明矩形的四个角都是直角、对角线相等，体会由一般到特殊的逻辑推理方法； 3.能运用矩形的性质解决相关计算问题，提高灵活运用知识解决问题的能力； 4.在探究和解决问题的过程中，发展逻辑推理能力和几何直观，感受数学在生活中的应用价值。 教学重点 掌握矩形的定义及其性质定理。 教学难点 运用矩形性质定理进行几何证明与计算，解决综合问题。 教学准备 多媒体课件、学习资料。 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、引新 试一试 给你一个平行四边形相邻两边的长，你能利用尺规作图作出这个平行四边形吗？相信你能行！如图18.1.1所示，作出那样的平行四边形。 现在将你与同伴所作的图形放在一起，仔细看看，发现它们都是平行四边形，相邻两边的长也一样。但似乎又不完全一样——两邻边之间的夹角有大有小。 学生动手尺规作图，作出给定邻边长的平行四边形，观察比较不同作品，发现夹角不同。 通过作图与对比，引出平行四边形的不稳定性，为引入矩形做铺垫。 二、探究 我们若改变平行四边形的内角，使其一个内角恰好为直角，就得到一种特殊的平行四边形，也就是我们早已熟悉的长方形，即矩形，如图18.1.2所示。矩形是有一个角为直角的平行四边形。 矩形是一种特殊的平行四边形。 作为一种特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的一般性质，同时也具有一些特殊性质。观察图18.1.2所示的矩形，将你的发现填入下表。 我们发现，作为特殊的平行四边形，矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为通过对边中点的直线。 【提问】矩形有几条对称轴？2条 由此，很容易猜想矩形所具有的一些特殊性质： 矩形的性质定理1： 矩形的四个角都是直角。 矩形的性质定理2 ：矩形的对角线相等。 对于性质定理1，如图18.1.3，我们很容易根据矩形的定义和平行四边形角的性质加以证明。 对于性质定理2，如图18.1.4，我们可以找到对角线AC、BD分别所在的三角形，借助性质定理1证明这两个三角形全等，从而得到结论。 【提问】请给出完整的证明过程。 性质定理1：矩形的四个角都是直角。 已知：四边形ABCD是矩形，∠A=90°。求证：∠B=∠C=∠D=90°。 证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ 四边形ABCD是平行四边形（矩形定义）， ∴ AD∥BC, AB∥CD, ∴ ∠A+∠B=180°，∠A+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵ ∠A=90°, ∴ ∠B=90°,∠D=90°, 又∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ ∠C=∠A=90°（平行四边形对角相等）， ∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°. 性质定理2：矩形的对角线相等。 已知：四边形ABCD是矩形。求证：AC=BD。 证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠ABC=∠DCB=90°（矩形四个角都是直角），AB=DC（平行四边形对边相等）， 在△ABC和△DCB中，AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°， BC=CB（公共边）， ∴ △ABC≌△DCB(SAS), ∴ AC=BD. 例1 如图18.1.5，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果这四个小三角形周长的和是86cm，矩形的对角线长是13cm，那么该矩形的周长是多少？ 解∵△AOB、△BOC、△COD和△AOD这四个小三角形周长的和为86cm， ∴AB+BC+CD+DA+2(OA+OB+OC+OD) =AB+BC+CD+DA+2(AC+BD)=86. 又∵AC=BD=13（矩形的对角线相等）， ∴AB+BC+CD+DA=86-2(AC+BD)=86-4×13=34(cm). 即该矩形的周长是34cm。 例2 如图 18.1.6，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，BE⊥AC，垂足为点E。求BE的长。 解 在矩形中，， 又∵ 例3 如图 18.1.7，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点，。求、的长。 解 ∵四边形是矩形， 即的长为，的长为。 学生观察从平行四边形变为矩形的过程，说出矩形的定义，举例生活中常见的矩形物体。 学生观察矩形图形，结合平行四边形性质，分组讨论并填写表格，归纳矩形的特殊性质。 学生独立写出证明过程，同桌互评，教师展示规范证明。 学生先独立审题，尝试分析解题思路，然后小组交流讨论，请学生代表上台板演或讲解解题过程。 引导学生从一般到特殊，理解矩形与平行四边形的从属关系，建立矩形定义的直观认识。 引导学生通过对比发现矩形独有的性质，培养观察、归纳和类比的能力，为后续定理证明做铺垫。 通过完整的几何证明，培养学生逻辑推理能力和规范书写习惯，深化对矩形性质的理解。 通过三个典型例题，让学生在不同情境中运用矩形的性质解决问题，巩固所学知识，提升几何推理和计算能力，体会矩形性质的综合应用。 三、尝试（课堂练习） 1.一个长方形的面积为，若它的长为，则它的宽为　 　。 解：长方形的面积为，长为，长方形的宽为． 2.矩形的面积为，一条边长为，则矩形的对角线的长为　 　。 解：根据题意画出示意图，假设，矩形的面积为，矩形的另一条边长为， ，矩形的对角线，故答案为：． 3.如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长是　 　。 解：∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∵AB＝2，∴OA＝OB＝AB＝2，∴AC＝2AO＝4，故答案为：4． 4.如图，矩形的两条对角线相交于点，已知，，则矩形对角线的长为 　 　． 解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=CO=BO=DO， ∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，且AO=BO， ∴△ABO为等边三角形，∴AO=BO=AB=2.5， ∴BD=5，故答案为：5． 5.如图，在矩形中，对角线、交于点O，若，，则矩形的面积是（　　） A． B． C． D． 解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO，∵，∴是等边三角形，∵，AO=BO=3， ∵四边形ABCD是矩形，∴AC=2AO=6，BD=2OB=6， ∴,,∵∠ABC=90°, ∴AB2+BC2=AC2，∴，∴矩形的面积． 6.如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 解：如图，∵是矩形，，，∴，，再根据折叠性质得：，， 又∵，∴，∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：解得：，∴. 7.如图，在长方形ABCD中，AB=8，BC=4，将长方形的一角沿AC折叠，求重叠阴影部分△AFC的面积。 解：由折叠可得：∠ACD=∠ACF ∵四边形ABCD是长方形∴∠ACD=∠CAF ∴∠ACF=∠CAF,∴AF=CF 设AF=x，则BF=AB-AF=8-x，CF=AF=x 在Rt△BCF中，BC2+BF2=CF2 即，解得：x=5 ∴ 学生独立完成课堂练习题，教师巡视指导，随后请学生展示答案。 通过课堂练习及时检测学生对矩形性质的理解与掌握情况，发现共性问题并当堂解决，帮助学生巩固所学知识，提高应用能力。 四、总结提升 本节课我们从平行四边形出发，通过改变内角得到特殊的平行四边形——矩形。我们学习了矩形的定义，探究并证明了矩形的两条性质定理。同时明确了矩形既是中心对称图形又是轴对称图形。通过例题的讲解，我们学会了运用矩形的性质解决与边长、对角线、周长、面积等相关的问题，体会了从一般到特殊的数学思想，以及几何证明中转化与推理的方法。 认真倾听教师的总结，回顾自己本节课的学习过程，反思自己的收获和不足。 帮助学生梳理知识体系，强化重点知识，让学生对本节课的内容有更清晰、系统的认识。 板书 设计 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。 作业 设计 【知识技能类作业】必做题： 1.一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积是　 　。 解：∵一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积2m，故答案为：2m。 2.如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，，则的长为 　 　。 解：，， 四边形为矩形，， 为等边三角形，， 3.若矩形的面积为12，长和宽的比为 则矩形的周长为　 　。 解：设这个矩形的长为，宽为，由题意得，解得， ∴，∴该矩形的长为，宽为．∴该矩形的周长为。 4. 已知矩形的一边长为，一条对角线的长为，则矩形的面积为　 　。 解：在矩形ABCD中，𝐵𝐶=6𝑐𝑚，𝐴𝐶=10𝑐𝑚，∴在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=102−62=8(cm),∴𝑆矩形𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐵×𝐵𝐶=8×6=48(𝑐𝑚2). 【知识技能类作业】选做题： 5.在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（　　） A． B． C．4 D． 解：过点作， ∵长方形，∴，∵平分，∴， 由翻折可得，由勾股定理，得：， 设，∴，∵， ∴，解得：，∴. 6. 如图，在直角坐标系中，矩形，点B的坐标是，则的长是（　　） A．3 B． C． D． 解：连接，， ∵点B的坐标是,∴，∵四边形是矩形，∴. 【综合拓展类作业】： 7.如图，已知在四边形 ABCD中，AB∥CD，∠C=∠D. （1）求证：AD=BC； （2）若AB=17，AD=2CD=10，求AB与CD间的距离。 （1）证明：过点C，D分别作AB的垂线，垂足分别为E，F， ∵CE⊥AB, DF⊥AB, AB//CD,∴CE⊥CD, DF⊥CD ∴四边形 AECD 是平行四边形。∴DF=CE，∠FDC=∠ECD=90°，∠AFD=∠BEC=90°， ∵∠BCD=∠ADC,∴∠BCD-∠ECD=∠ADC-∠FDC, ∴∠BCE=∠ADF，在△ADF和△BCE中， ∴△ADF≌△BCE(ASA),∴AD=BC （2）解：∵AB=17，AD=2CD=10，∴CD=5， ∵四边形DCEF为矩形，∴EF=CD=5， ∵△ADF≌△BCE,∴, 在Rt△ADF中，AD=10，AF=6，由勾股定理得：. 故AB与CD间的距离为8. 教学 反思 本节课整体教学效果较好，学生能够理解矩形的定义及其与平行四边形的关系，对矩形性质的掌握也比较扎实。但在定理证明的规范性和例题中综合运用知识的能力方面，部分学生还存在不足，需要在后续教学中继续强化。课堂互动较为积极，但时间分配上还有优化空间，后续要注意兼顾全体学生的接受程度。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $