第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“直线与圆、圆与圆的位置关系”专题，依据新课标要求覆盖位置关系判断及应用两大核心考点，对接高考评价体系分析2025年全国Ⅰ卷、2023年新高考Ⅰ/Ⅱ卷等真题分布，通过表格对比几何法与代数法，归纳三大命题点及常考题型，备考针对性强。 课件亮点在于“真题溯源+方法建模+素养提升”，如以2025全国Ⅰ卷圆上点到直线距离问题为例，用几何法（d与r关系）突破，培养数学思维。总结切线方程、公共弦长等结论，设易错警示，帮助学生掌握技巧，教师可据此精准复习，助力高效备考。

第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 1 新课标要求 真题分布 1. 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系． 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 2025年 全国Ⅰ卷T7 2024年 — 2023年 新高考Ⅰ卷T6，新高考Ⅱ卷T15 2 知识清单 1.直线与圆的位置关系 设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)， 圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ. 位置关系 几何法 代数法 相交 d________r Δ________0 相切 d________r Δ________0 相离 d________r Δ________0 < > ＝ ＝ > < 3 2.圆与圆的位置关系 已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝， C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝， 则圆心距d＝|C1C2|＝ . 4 两圆C1，C2有以下位置关系： 位置 关系 外离 内含 相交 内切 外切 圆心距与 半径的关系 ________ ________ ________ ________ ________ 图示 公切 线条数 4 0 2 1 3 d>r1＋r2 0≤d<|r1－r2| |r1－r2|<d<r1＋r2 d＝|r1－r2| d＝r1＋r2 5 【常用结论】 1．圆的切线方程的常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 6 2．设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0， (1)若两圆相交，将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程．两圆圆心的连线垂直平分公共弦． (2)若两圆相切，将两圆方程直接作差，得到两圆公切线所在的直线方程． 7 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心．(　　) (2)在圆中最长的弦是直径．(　　) (3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交．(　　) (4)联立两相交圆的方程，并消去二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在直线的方程.(　　) √ √ × √ 8 2．(人教A版选修一P93练习T1(2)改编)直线3x＋4y＋2＝0与圆x2＋y2－2x＝0的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 答案：B 解析：由圆的方程得圆心(1，0)，半径r＝1，∵圆心到直线3x＋4y＋2＝0的距离d＝＝1＝r，∴直线与圆相切． 9 3．(人教A版选修一P98练习T1改编)已知圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置关系是 (　　) A．外切　　B．相交 C．外离　　D．内切 答案：A 解析：易知圆C1：x2＋y2＝4的圆心为C1(0，0)，半径为r1＝2，圆C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0可化为(x－4)2＋(y－3)2＝9，圆心为C2(4，3)，半径为r2＝3；圆心距|C1C2|＝＝5＝r1＋r2，所以两圆外切． 10 4．(人教A版选修一P93T3改编)直线2x－y＋2＝0被圆(x－1)2＋(y－2)2＝4截得的弦长为________． 答案： 解析：圆的圆心坐标为(1，2)，半径r＝2，圆心到直线的距离d＝＝，所以弦长l＝2＝2＝. 11 命题点一　直线与圆的位置关系 例1 (1)(多选)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　　) A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 答案：ABD　 12 解析：圆心C(0，0)到直线l的距离d＝，若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝＝|r|，则直线l与圆C相切，故A正确；若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2<r2，所以d＝>|r|，则直线l与圆C相离，故B正确；若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，所以d＝<|r|，则直线l与圆C相交，故C错误；若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0即a2＋b2＝r2，所以d＝＝|r|，直线l与圆C相切，故D正确．故选ABD. 13 (2)(2025·全国Ⅰ卷)已知圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线 y＝x＋2的距离为1的点有且仅有两个，则 r 的取值范围是(　　) A．(0，1) B．(1，3) C．(3，＋∞) D．(0，＋∞) 答案：B 解析：圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)的圆心的坐标为(0，－2)，圆心到直线y＝x＋2的距离d＝＝2，由题意得|r－d|<1，即|r－2|<1，解得1<r<3.故选B. 14 　真题探源　(源自人教A版选修一P99习题T13)圆x2＋y2＝4上恰有三个点到直线l：y＝x＋b的距离等于1，此时b＝________． 答案：± 解析：由题意得圆的圆心O(0，0)，半径为2，若圆上恰有三个点到直线l的距离为1，则圆心O到直线l：x－y＋b＝0的距离等于1，∴＝1，解得b＝±. 15 学霸笔记： (1)几何法：利用d与r的关系判断． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆上或圆内，可判断直线与圆相交或相切． 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法更适用于动直线问题． 16 命题点二　圆的弦长、切线问题 考向1　圆的弦长问题 例2 (链接·2023年新高考Ⅱ卷)已知直线l：x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值________． 答案：2(答案不唯一，可以是±，±2中任意一个) 17 解析：由条件知⊙C的圆心C(1，0)，半径r＝2，C到直线l的距离d＝，|AB|＝2＝2＝.由S△ABC＝，得＝，整理得2m2－5|m|＋2＝0，解得m＝±2或m＝±. 18 真题探源　(源自人教A版选修一P98习题T4)求圆心在直线3x－y＝0上，与x轴相切，且被直线x－y＝0截得的弦长为2的圆的方程． 答案：设圆心坐标为(a，3a)，半径r2＝(3a)2＝9a2， (a，3a)到直线x－y＝0的距离d＝＝|a|， 所以()2＋(|a|)2＝9a2，解得a＝1或a＝－1. 当a＝1时，圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9； 当a＝－1时，圆的方程为(x＋1)2＋(y＋3)2＝9. 19 学霸笔记： (1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长． (2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2. 20 考向2　圆的切线问题 例3 (1)(链接·2023年新高考Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝(　　) A．1 B． C． D． 答案：B　 21 解析：(1)如图，x2＋y2－4x－1＝0得＋y2＝5，所以圆心坐标为(2，0)，半径r＝，所以圆心到点(0，－2)的距离为＝2.由于圆心与点(0，－2)的连线平分角α，所以sin ＝＝＝，所以cos ＝，所以sin α＝2sin cos ＝2×＝.故选B. 22 (2)已知P为直线l：3x－4y＋9＝0上一点，过P作圆C：(x－2)2＋y2＝4的切线，则最短切线长为________． 答案： 23 解析： 依题意，圆C：(x－2)2＋y2＝4的圆心C(2，0)，半径r＝2，过点P作圆C的切线PA，A为切点，连接PC，AC，如图，显然AC⊥PA，在Rt△PAC中，|PA|＝＝＝，因此，要切线长PA最短，当且仅当线段PC长最短即可，而线段PC长是定点C与直线l上任意一点P之间的距离，于是得线段PC长的最小值是点C到直线l的距离d，而d＝＝3，因此，|PA|min＝＝，所以切线长最短为. 24 学霸笔记：(1)过一点求圆的切线方程的两种求法． ①代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.注意斜率不存在的情况； ②几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d ＝r，进而求出k.注意斜率不存在的情况． 特别地，当点在圆上时，可直接利用圆心与切点的连线的斜率及切线的性质求切线方程． (2)过圆外一点P引圆的切线，求切线长时，常利用点P、圆心、切点构成的直角三角形求解． 25 　跟踪训练　(1)圆O：x2＋y2＝25在点P(4，3)处的切线方程为(　　) A．4x＋3y－25＝0 B．3x＋4y－25＝0 C．4x－3y－25＝0 D．2x＋3y－17＝0 (2)过圆外一点P(－1，1)作圆x2＋y2－4x－4y＝1的切线，则切线方程为________________________． A x＝－1或4x＋3y＋1＝0 26 解析：(1)kOP＝＝，由切线l与直线OP垂直，得kl·kOP＝－1，得kl＝－，又因为切线l经过P(4，3)，所以切线l的方程为y－3＝－(x－4)，即4x＋3y－25＝0.故选A. (2)设圆x2＋y2－4x－4y＝1的圆心为C(2，2)，半径r＝3，若切线斜率不存在，则切线方程为x＝－1，此时圆心C(2，2)到直线x＝－1的距离为3，等于半径，符合题意； 27 若切线斜率存在，设斜率为k，则切线方程为y－1＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋1＝0，由题意可得圆心C(2，2)到直线kx－y＋k＋1＝0的距离等于半径，即＝3，解得k＝－，所以切线方程为4x＋3y＋1＝0.综上，过圆外一点P(－1，1)作圆x2＋y2－4x－4y＝1的切线，则切线方程为x＝－1或4x＋3y＋1＝0. 28 命题点三　圆与圆的位置关系 例4 (1)(多选)已知圆O1：(x－1)2＋(y－2)2＝4与圆O2：x2＋y2＝r2(r>0)，下列选项正确的有(　　) A．若r＝1，则两圆外切 B．若r＝1，则直线x＝－1为两圆的一条公切线 C．若r＝3，则两圆公共弦所在直线的方程为x＋2y＝0 D．若r＝3，则两圆公共弦的长度为4 (2)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________________． 答案：BD　 答案：3x＋4y－5＝0或7x－24y－25＝0或x＋1＝0(答对其中之一即可) 29 解析：(1)圆O1的圆心为O1(1，2)，半径为2；圆O2的圆心为O2(0，0)，半径为r，对于A，若两圆外切，则|O1O2|＝＝＝2＋r，解得r＝－2，A错误；对于B，若r＝1，圆心O1到直线x＝－1的距离为2，则直线x＝－1与圆O1相切，圆心O2到直线x＝－1的距离为1，则直线x＝－1与圆O2相切，故当r＝1时，直线x＝－1为两圆的一条公切线，B正确；对于C，若r＝3，因为3－2<|O1O2|＝<3＋2，此时两圆相交，将两圆方程相减得2x＋4y－5＝5，即x＋2y－5＝0，故当r＝3时，两圆公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＝0，C错误；对于D，当r＝3时，圆心O2到直线x＋2y－5＝0的距离为d＝＝，此时两圆的公共弦长度为2＝2＝4，D正确．故选BD. 30 (2)由题意知两圆的圆心和半径分别为O1(0，0)，O2(3，4)，r1＝1，r2＝4.因为|O1O2|＝r1＋r2，所以两圆外切．由两圆外切，画出示意图，如图， 31 设切点为A(x，y)．由O1A＝，得A().因为＝，所以切线l1的斜率k1＝－，所以l1：y－＝－(x－)，即3x＋4y－5＝0.由图象易得两圆均与直线l2：x＝－1相切，过两圆圆心的直线方程为l：y＝x.联立解得故直线l与l2的交点为P(－1，－).由切线定理得两圆的另一公切线l3过点P.设：y＋＝k(x＋1)，由点到直线的距离公式得＝1，解得k＝，所以l3：y＋＝(x＋1)，即7x－24y－25＝0． 32 学霸笔记： (1)处理与两圆的位置关系相关的问题时，多用圆心距与两圆半径的和或差的大小关系判断，一般不采用代数法．重视两圆内切的情况，作图观察． (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到． (3)求两圆公共弦长时，常选其中一圆，由弦心距d，半弦长，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解． 33 　跟踪训练　 (1)(衔接·人教A版选修一P103T13改编)圆x2＋y2－10x－10y＝0与圆x2＋y2－6x＋2y－40＝0的公共弦长是________． (2)(衔接·人教A版选修一P98T10改编)经过点M(3，－1)，且与圆C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0相切于点N(1，2)的圆的方程为___________． 答案：4　 答案：(x－)2＋(y－)2＝ 34 解析：(1)由两式相减得两圆公共弦所在直线的方程为x＋3y－10＝0，圆x2＋y2－10x－10y＝0的圆心坐标为(5，5)，半径为5，圆心(5，5)到直线x＋3y－10＝0的距离d＝＝，∴两圆的公共弦长为2＝4. 35 (2)圆C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0的圆心C(－1，3)，半径r＝＝，设所求圆的圆心A(a，b)，半径为R. ∵圆A过M(3，－1)，N(1，2)，且与圆C相切， ∴解得a＝，b＝，R2＝，∴所求圆的方程为(x－)2＋(y－)2＝. 36 1．已知直线l：x＋2y＋5＝0与圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝a2＋6，则直线l与圆C的位置关系是(　　) A．相离 B．相切 C．相交 D．与a的取值有关 答案：C 解析：由题意可得圆C的圆心坐标为(2，－1)，半径r＝，圆C的圆心到直线l的距离d＝，因为r＝，所以r>d，则直线l与圆C相交．故选C. 37 2．圆C1：x2＋y2－2x－4y＋4＝0与圆C2：(x－1)2＋(y＋2)2＝9的位置关系为(　　) A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 答案：C 解析：x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝1，圆心O1(1，2)，半径r＝1，(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心为O2(1，－2)，R＝3，|O1O2|＝＝4＝R＋r，故两圆外切．故选C. 38 3．由点P(1，1)向圆C：(x－3)2＋(y＋5)2＝4引切线，则切线长为(　　) A．2 B．4 C．6 D．2 答案：C 解析：圆C：(x－3)2＋(y＋5)2＝4的圆心为C(3，－5)，半径为r＝2，|PC|＝，点P在圆外，则切线长为＝6.故选C. 39 4．已知圆C1：(x＋1)2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－2)2＝4，则(　　) A．C1与C2相交，相交弦所在直线的方程为x＋2y－2＝0 B．C1与C2相交，相交弦所在直线的方程为x＋2y＝0 C．C1与C2外切，内公切线所在直线的方程为x＋2y－2＝0 D．C1与C2外切，内公切线所在直线的方程为x＋2y＝0 答案：B 40 解析：圆C1：(x＋1)2＋y2＝1的圆心C1(－1，0)，半径为r1＝1，圆C2：x2＋(y－2)2＝4的圆心C2(0，2)，半径为r2＝2，|C1C2|＝，因为r2－r1< －y2＝4－1，整理得x＋2y＝0，即相交弦所在直线的方程为x＋2y＝0.故选B. 41 5．(2026·驻马店模拟)若直线l：ax－by－4＝0与圆O：x2＋y2＝4相离，则点P(a，b)(　　) A．在圆O外 B．在圆O内 C．在圆O上 D．与圆O的位置关系不确定 答案：B 42 解析：由题意，圆O：x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径R＝2.直线l到圆心的距离为d＝，根据相离条件d>R，即>2，整理得a2＋b2<4，这表明点P(a，b)到原点的距离的平方小于4，即点P在圆O内部．故选B. 43 6．(2026·抚州模拟)已知直线l：mx＋y－m＋1＝0与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，则当|AB|取最小值时，m＝(　　) A．1 B．－1 C．－ D．2 答案：B 解析：直线l：mx＋y－m＋1＝0化简为m(x－1)＋(y＋1)＝0，即直线l恒过定点P(1，－1)．当OP⊥AB时，|AB|取得最小值．kOP＝＝－1，则直线l的斜率为－m＝1，解得m＝－1.故选B. 44 7．(2026·合肥模拟)已知实数x，y满足(x－2)2＋y2＝4，则3x－4y的取值范围为(　　) A．[－4，16] B．[－8，12] C．[－10，10] D．[－16，4] 答案：A 解析：设3x－4y＝t，问题可转化为直线3x－4y－t＝0与圆(x－2)2＋y2＝4有公共点．由≤2，得－4≤t≤16，所以3x－4y的取值范围为[－4，16].故选A. 45 8．(2026·九江模拟)过点P(3，2)作圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝3的两条切线，切点分别为A和B，则切点弦AB所在直线的方程为(　　) A．2x＋y－6＝0 B．x＋2y－7＝0 C．x－y＋1＝0 D．3x＋y－9＝0 答案：A 46 解析：如图所示，连接CA，CB，由平面几何知，CA⊥PA，CB⊥PB，点P，A，C，B共圆，且CP为直径．因为P(3，2)，C(1，1)，所以所求圆的圆心为PC的中点 47 即，半径为＝，所以所求圆的方程为(x－2)2＋2＝-4x-3y+5＝0.又直线AB为这两个圆的公共弦所在直线，由C：4x－3y＋5＝0相减，可得AB的方程为2x＋y－6＝0.故选A. 48 9．(2026·深圳模拟)已知直线l：3x＋y－6＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5相交于A，B两点，则(　　) A．l是圆C的一条对称轴 B．圆C的半径为 C．圆心C到l的距离为 D．△ABC的面积为 答案：BD 49 解析：对于A，直线l：3x＋y－6＝0不过圆心C(0，1)，∴l不是圆C的对称轴，A错误；对于B，由圆C的方程知，圆心C(0，1)，半径r＝，B正确；对于C，圆心C到直线l的距离d＝＝2，∴S△ABC＝·d＝，D正确．故选BD. 50 10．(2026·长沙模拟)已知a>0，圆O：x2＋y2＝a2，直线l1：x＋ay＋2＝0，l2：2ax＋y＋1＝0，则(　　) A．l1与l2不可能垂直 B．若a＝1，则l1与圆O相切 C．若a＝，则l2与圆O相交 D．若圆O与圆(x－2a)2＋y2＝4无交点，则a>2 答案：AC 51 解析：对于A，若l1与l2垂直，则1×2a＋a×1＝0，解得a＝0，又a>0，所以l1与l2不可能垂直，故A正确；对于B，当a＝1时，圆O：x2＋y2＝1，半径为1，l1：x＋y＋2＝0，圆心到直线的距离d＝>1，即直线l1与圆O相离，故B错误；对于C，若a＝，圆O：x2＋y2＝，半径为，l2：x＋y＋1＝0，圆心到直线的距离d＝<，即直线l2与圆O相交，故C正确； 52 对于D，圆O：x2＋y2＝a2，圆心(0，0)，半径a，另一圆(x－2a)2＋y2＝4，圆心(2a，0)，半径2，圆心距为d＝2a，若两圆无交点，则d>a＋2或d<|a-2|，由d>a+2可得2a>a+2⇒a>2，由d<|a-2|可得2a<|a-2|，且a>0，即+4a-4<0，即(3a-2)(a+2)<0，解得-2<a，又a>0，所以0<a<，即两圆无交点时a>2或0<a<，故D错误．故选AC. 53 11．已知直线x＝－1与圆(x－2)2＋(y－1)2＝a＋5有唯一交点，则a＝________． 答案：4 解析：由题意可知直线与圆相切，由直线和圆的方程可知圆心到直线的距离d＝2－(－1)＝3，圆的半径r＝，所以由d＝r可得＝3，解得a＝4. 54 12．(2026·荆州模拟)已知直线l：y＝x＋a与圆C：x2＋(y－1)2＝4交于A，B两点，写出满足“∠ACB＝120°”的a的一个值：________． 答案：－1(答案不唯一) 55 解析：由圆C：x2＋(y－1)2＝4可知，圆心C(0，1)，半径AC＝2.因为∠ACB＝120°，所以∠CAB＝30°.过C作CD⊥AB，则CD＝AC＝1. 所以圆心C到直线l的距离为|CD|＝＝1，解得a＝－1或a＝3. 56 13．(13分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过点M(4，－1)，且与圆D：x2＋y2－x－6y＋a＝0相切于点N(1，2)． (1)求圆C的方程； 答案：将点N(1，2)代入圆D可得1＋4－1－12＋a＝0， 解得a＝8，即圆D：x2＋y2－x－6y＋8＝0， 将点N(1，2)表示成“点圆”形式：(x－1)2＋(y－2)2＝0， 可设圆C的方程为(x－1)2＋(y－2)2＋λ(x2＋y2－x－6y＋8)＝0， 代入点M(4，－1)可得18＋27λ＝0，解得λ＝－， 所以圆C的方程为(x－1)2＋(y－2)2－(x2＋y2－x－6y＋8)＝0，即(x－2)2＋y2＝5. 57 (2)过点A(5，1)作圆C的切线，求切线l的方程． 答案：由(1)可知，圆C的圆心为C(2，0)，半径r1＝， 若切线l的斜率不存在，则x＝5，不满足题意舍去； 若切线l的斜率存在，设切线l的方程为y－1＝k(x－5)，即kx－y－5k＋1＝0， 则，解得k＝2或k＝－， 所以切线l的方程为2x－y－9＝0，x＋2y－7＝0. 58 14．(15分)已知圆C的圆心在第一象限，与x轴相切，与y轴交于A，B两点，且∠ACB＝120°，|OC|＝，点P(0，－2)在斜率为k的直线l上． (1)若直线l与圆C交于M，N两点，且|MN|＝，求直线l的方程； 答案：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝b2(a>0，b>0)，根据题意可得解得a＝1，b＝2，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4，可知直线l：y＝kx－2，圆心C(1，2)到l的距离d＝＝，所以2＋2＝4，即k2－40k＋76＝0，解得k＝2或38，所以直线l的方程为y＝2x－2或y＝38x－2. 59 (2)若存在圆心在直线l上，半径为1的圆D与圆C外切，求k的取值范围． 答案：若存在圆D与圆C外切，连接CD，即存在点D使得|CD|＝3，因为C到l的距离d＝，所以|CD|≥，所以≤3，即8k2＋8k－7≥0，所以k≥或k≤－，所以k的取值范围为∪. 60 15．(5分)若两条直线l1：y＝3x＋a，l2：y＝3x＋b与圆x2＋y2＝5的四个交点能构成长方形，其中较长边长度为4，则|a－b|＝(　　) A．2 B．2 C．或2 D．2或4 答案：D 61 解析：由题意直线l1，l2平行，且与圆的四个交点构成矩形ABCD， 62 故圆心到两直线l1，l2的距离相等，x2＋y2＝5的圆心为原点，半径为，故，又a≠b，所以a＝－b，故|a－b|＝2|a|.假设|AB|＝4，设原点到直线l1的距离为d，则d2＋22＝5，解得d＝1，故＝1，解得|a|＝＝2|a|＝＝4，则原点到直线l1的距离为＝2，即＝2，解得|a|＝2＝2|a|＝4.综上，|a－b|＝2或4.故选D. 63 16.(5分)(2026·抚州模拟)若对于圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上任意的点A，直线l：4x＋3y＋8＝0上总存在不同两点M，N，使得∠MAN≥90°，则|MN|的最小值为________． 答案：8 64 解析：C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0⇒(x－1)2＋(y－1)2＝1，故圆C的圆心坐标为(1，1)，半径为1，故圆心C(1，1)到l：4x＋3y＋8＝0的距离d＝＝3>1， 65 故直线l：4x＋3y＋8＝0与圆C相离，圆C上任意的点A，直线l：4x＋3y＋8＝0上总存在不同两点M，N，使∠MAN≥90°，设以MN为直径的圆的圆心为H，即圆H包含圆C，且至少圆C内切于圆H，当以MN为直径的圆与圆C内切且CH⊥MN时，即|CH|＝3时，|MN|取得最小值，最小值为2(CH＋1)＝8. 66 $