第八节 直线与圆锥曲线的位置关系 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“直线与圆锥曲线的位置关系”专题，依据新课标要求梳理了建立关系、代数方法研究、解决实际问题三大考查维度，结合2023-2025年全国II卷、新高考I/II卷真题分布，明确位置判断、弦长计算、中点弦为高频考点，构建完整知识体系与题型分类。 课件亮点在于“真题实战+方法建模+素养培养”，如以2025年全国II卷弦长问题为例，深入解析代数联立、韦达定理应用，培养数学思维与运算能力，提供“判别式-韦达-弦长”答题模板，帮助学生掌握得分技巧，教师可据此精准定位学情，实现高效复习。

第八节　直线与圆锥曲线的位置关系 1 新课标要求 真题分布 能够根据不同的情境，建立平面直线与椭圆、抛物线、双曲线的关系，能够运用代数的方法研究上述曲线之间的基本关系，能够运用平面解析几何的思想解决一些简单的实际问题． 2025年 全国Ⅱ卷T16 2024年 新高考Ⅰ卷T16 2023年 新高考Ⅰ卷T22， 新高考Ⅱ卷T5 2 知识清单 1.直线与圆锥曲线的位置判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交⇔Δ______0；直线与圆锥曲线相切⇔Δ________0；直线与圆锥曲线相离⇔Δ________0. ＞ ＝ ＜ 3 剖析　 (1)与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点． (2)与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点． 4 2．弦长公式 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)， 则|AB|＝ ＝ ＝_________________________________， 或|AB|＝ ＝_____________________________． 5 【常用结论】 (1)已知M，N是椭圆C：＝1(a＞b＞0)上的两点，点O为坐标原点，且P是M，N的中点，则；若曲线为双曲线，其余条件不变，则kMN·kOP＝. (2)若曲线为抛物线，P(x0，y0)为弦MN的中点；kMN＝(开口向右)，kMN＝－(开口向左)，kMN＝(开口向上)，kMN＝－(开口向下)． 6 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)过点的直线一定与椭圆＋y2＝1相交．(　　) (2)直线与抛物线只有一个公共点，则该直线与抛物线相切．(　　) (3)与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点．(　　) (4)圆锥曲线的通径是所有的焦点弦中最短的弦．(　　) √ × √ √ 7 2．(人教A版选修一P114例7改编)直线y＝kx＋2与椭圆＝1有且只有一个交点，则k的值是(　　) A．　　B．－　　C．±　　D．± 答案：C 8 3．(人教A版选修一P126例6)过双曲线＝1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，则|AB|＝(　　) A． B． C． D． 答案：D 9 10 4．(人教A版选修一P135例4)垂直于x轴的直线交抛物线y2＝4x于A，B两点，且|AB|＝，则直线AB的方程为(　　) A．x－3＝0 B．x＋3＝0 C．y－3＝0 D．y＋3＝0 答案：A 11 命题点一　直线与圆锥曲线位置关系的判断 例1 (1)已知直线l：y＝k(x－1)，“k＝或k＝－”是“直线l与双曲线＝1有且仅有一个公共点”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A　 12 (2)直线l过点P(2，4)且与抛物线y2＝8x只有一个公共点，则直线l的方程为__________________________． 答案：y＝4或x－y＋2＝0 13 14 15 学霸笔记：在判断直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去x(或y)，得到关于y(或x)的方程，如果是直线与椭圆，则所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形． 16 　跟踪训练　(1)(衔接·人教A版选修一P114例7)已知直线l：4x－5y＋m＝0和椭圆C：＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，－25)∪(25，＋∞) B．[－25，25] C．{－25，25} D．(－25，25) 答案：D　 17 18 (2)(衔接·人教A版选修一P145复习参考题T4)已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4没有公共点，则k的取值范围是________． 19 命题点二　弦长问题 例2 (2025·全国Ⅱ卷)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，长轴长为4. (1)求C的方程； 20 (2)过点(0，－2)的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为. 21 22 学霸笔记： (1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解． (2)若直线经过的定点在y轴上且斜率存在，一般设为斜截式方程y＝kx＋b，再利用弦长公式求解． (3)若直线经过的定点在x轴上且斜率不为0，一般设为x＝ty＋m，再利用弦长公式求解． 23 　跟踪训练　已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程； 24 (2)若直线y＝x＋m被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值．   25 命题点三　中点弦问题 例3 (1)(链接·2023年全国乙卷)设A，B为双曲线x2－＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是(　　) A．(1，1) B．(－1，2) C．(1，3) D．(－1，－4) 答案：D　 26 27 28 (2)(链接·2022年新高考Ⅱ卷)已知直线l与椭圆＝1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2，则l的方程为______________． 29 30 　真题探源　(源自人教A版选修一P128T13)已知双曲线x2－＝1，过点P(1，1)的直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？请说明理由． 31 32 学霸笔记：(1)根与系数的关系法：联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解． (2)点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB斜率有关的式子，可以大大减少计算量． 33 1．已知F为抛物线C：y2＝8x的焦点，过F的直线交C于A，B两点，若弦AB的中点的横坐标为4，则|AB|＝(　　) A．8 B．10 C．12 D．16 答案：C 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝4，所以x1＋x2＝8，由抛物线的焦点弦公式可得|AB|＝x1＋x2＋4＝12.故选C. 34 2．已知双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x与双曲线的右支交于点P，则＝(　　) A．1 B．0 C．－1 D．－2 答案：C 35 解析：由题意F1(－2，0)，F2(2，0)，联立可得x＝y＝或x＝y＝－，因为点P是直线y＝x与双曲线的右支交点，所以P.＝＝，所以＝＋＝－1.故选C. 36 3．(2026·鹰潭模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，椭圆上任意一点到F1，F2的距离之和为4，过焦点F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，若线段AB的长为3，则椭圆C的方程为(　　) A．＝1 B．＋y2＝1 C．＝1 D．＝1 答案：C 37 解析：因为椭圆上任意一点到F1，F2的距离之和为4，由椭圆的定义得2a＝4，即a＝2，令椭圆C：＝1(a>b>0)的半焦距为c(c>0)，则F2(c，0)，则直线AB：x＝c，由解得＝＝3，则b2＝3，所以椭圆C的方程为＝1.故选C. 38 4．已知双曲线C：x2－＝1的左、右顶点分别为点A，B，点P在双曲线的右支上且异于点B.若直线AP的斜率的取值范围是，则直线BP的斜率的取值范围是(　　) A．[4，8] B．(2，4]∪[8，＋∞) C．(4，8) D．(0，4]∪[8，＋∞) 答案：A 39 解析：由双曲线方程C：x2－＝1可得A(－1，0)，B(1，0)，设P(x0，y0)，则＝1，即.所以kAP·kBP＝＝4，所以kBP＝.又，所以kBP∈[4，8].故选A. 40 5．(2026·曲靖模拟)设抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，直线x－y－1＝0经过焦点F，且与E相交于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足分别为P，Q，设PQ的中点为R，则|RF|＝(　　) A．2 B．3 C．2 D．2 答案：C 41 解析：直线x－y－1＝0过焦点，则F(1，0)，故抛物线E的方程为y2＝4x，准线l：x＝－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程消去x得y2－4y－4＝0，故y1＋y2＝4，由题设知R的纵坐标与AB的中点纵坐标相等，且R在准线上，而＝2，故R(－1，2)，所以|RF|＝.故选C. 42 6．椭圆E：＝1与曲线H：xy＝k在第一象限内交于P，Q两点，则直线PQ的斜率为(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 答案：D 43 解析：不妨设P(x1，y1)，Q(x2，y2)(0<x1<x2)，则直线PQ的斜率kPQ＝，将xy＝k与＝1联立，得＝1，即3x4－12x2＋4k2＝0，由韦达定理得(x1x2)2＝，所以，又kPQ<0，所以kPQ＝－.故选D. 44 7．过P点可以作双曲线x2－y2＝1的两条切线，则P点坐标可以是(　　) A．(0，0) B． C． D．(1，0) 答案：B 45 解析：对于A，设过点(0，0)的切线为y＝kx，代入x2－y2＝1化简整理有(1－k2)x2－1＝0，1－k2≠0得k≠±1，Δ＝4(1－k2)＝0得k＝±1，故A错误；对于B，设斜率为k，则过点的直线方程为y－1＝k，联立得－k(2－k)x＋k－k2－2＝0，则由Δ＝k2(2－k)2－4(1－k2)＝－3k2－4k＋8＝0⇒3k2＋4k－8＝0⇒Δ＝16＋4×3×8＝16×7>0，所以过点有两条切线，故B正确；对于C，因为双曲线x2－y2＝1的两条渐近线为y＝±x，又因为在直线y＝x上，所以过点的切线有且只有一条，故C错误；对于D，因为(1，0)在双曲线上，所以过点(1，0)的切线有且只有一条，故D错误．故选B. 46 8．已知椭圆＋y2＝1，斜率为k且不经过原点O的直线l与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是(　　) A．直线AB与OM垂直 B．若点M的坐标为，则直线l的方程为x＋2y－2＝0 C．若直线l的方程为y＝x＋1，则点M的坐标为 D．若直线l过椭圆的焦点，则1<|AB|<4 答案：BD 47 解析：对于A，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，因此，即kAB·kOM＝－≠－1，直线AB与OM不垂直，A错误；对于B，由点M，得kOM＝，则kAB＝－，则直线l的方程为y－(x－1)，即x＋2y－2＝0，B正确； 48 对于C，由直线l的方程为y＝x＋1，得kOM＝－，点M的坐标不可能为，C错误；对于D，过椭圆＝1(a>b>0)焦点的弦中，最短弦长为通径长，最长弦长为长轴长2a，而椭圆＋y2＝1最短弦长为1，最长弦长为4，又直线l的斜率存在且不过原点，则1<|AB|<4，D正确．故选BD. 49 9．(2026·长沙模拟)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则(　　) A．抛物线C的准线方程为x＝－4 B．若|AF|＝8，则x1＝6 C．|AF||BF|的最大值为16 D．∠AOB为钝角 答案：BD 50 解析：如图，对于A，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2，0)，准线方程为x＝－2，A错误； 51 对于B，|AF|＝x1＋2，而|AF|＝8，则x1＝6，B正确；显然直线l不垂直于y轴，设其方程为x＝ty＋2，由消去x得y2－8ty－16＝0，则y1＋y2＝8t，y1y2＝－16，x1＋x2＝t(y1＋y2)＋4＝8t2＋4，x1x2＝＝4，对于C，|AF||BF|＝(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝8＋8(2t2＋1)≥16，当且仅当t＝0时等号成立，C错误；对于D，＝x1x2＋y1y2＝－12<0，则∠AOB为钝角，D正确．故选BD. 52 10．若过点P(1，n)的任意直线均与椭圆＝1相交，则实数n的取值范围是________． 答案： 解析：若过点P(1，n)的任意直线均与椭圆＝1相交(非相切)，说明点P必须在椭圆内部，得到<1，解得n∈. 53 11．过双曲线x2－＝1的右焦点F作斜率为正的直线交渐近线于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为16，则直线AB的斜率为________.   答案：2或 54 解析：双曲线的渐近线方程为y＝x和y＝－x，设直线AB的方程为y＝kx－2k，由和解得yA＝，因为△OAB的面积为16，所以＝16＝，解得k＝2或k＝. 55 四、解答题(共28分) 12．(13分)(2026·绥化模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是椭圆C上一点，且△MF1F2的周长是4＋2，椭圆C的离心率为. (1)求椭圆C的方程； 答案：设椭圆的焦距为2c，由题意可得 解得a＝2，c＝，所以b2＝a2－c2＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1. 56 (2)已知O为坐标原点，过点P(4，0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且. 答案：由题意可知直线l的斜率存在，设为k，所以直线l的方程为y＝k(x－4)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(1＋4k2)x2－32k2x＋64k2－4＝0， 所以x1＋x2＝，由Δ>0得0≤. 由＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2－4k2(x1＋x2)＋16k2＝， 得k2＝，满足Δ>0，所以x1＋x2＝，x1x2＝0， 所以|AB|＝. 57 13．(15分)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，焦距为4. (1)求双曲线C的方程； 答案：由题意知， 解得a2＝16，b2＝4，c2＝20，故双曲线C的方程为＝1. 58 (2)过点A(6，1)作直线与双曲线C相交于M，N两点，且A为线段MN的中点，求这条直线的方程． 答案：①当过点A的直线斜率不存在时，若点A为MN的中点， 则点A必在x轴上，这与A(6，1)矛盾； ②当过点A的直线斜率存在时，设斜率为k(k≠0)，则直线方程为y－1＝k(x－6)， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为点A(6，1)为线段MN的中点， 所以x1＋x2＝12，y1＋y2＝2， 59 因为M，N在双曲线＝1上，所以 则(x1－x2)(x1＋x2)＋4(y2－y1)(y2＋y1)＝0， 所以k＝， 则所求直线方程为y－1＝(x－6)，即3x－2y－16＝0.经检验此时直线与双曲线有两个交点，满足题意． 60 14.(15分)已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点(点A在第一象限)． (1)若∠AFO＝120°，|AF|＝4，求p的值； 答案：因为点A在第一象限，∠AFO＝120°，则p>0， 焦点F，准线x＝－，直线lAB：y＝， 联立得12x2－20px＋3p2＝0，解得xA＝， 由|AF|＝xA＋＝2p＝4，得p＝2. 61 (2)设点M为抛物线准线与x轴的交点，求kMA＋kMB.   答案：因为点A在第一象限，则p>0，焦点F，点 设点A，B，直线lAB：x＝my＋， 联立得y2－2mpy－p2＝0， 所以y1＋y2＝2mp，y1y2＝－p2， 62 则kMA＋kMB＝＝2p ＝2p· ＝2p· ＝2p·＝0. 综上，kMA＋kMB的值为0. 63 解析：由得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，由题意知Δ＝(12k)2－4×6×(2＋3k2)＝0，解得k＝±.故选C. 解析：由双曲线的方程得F1(－3，0)，F2(3，0)，直线AB的方程为y＝(x－3)　①，将其代入双曲线方程消去y得5x2＋6x－27＝0，解得x1＝－3，x2＝，将x1，x2代入①得y1＝－2，y2＝－，故|AB|＝.故选D. 解析：设直线AB的方程为x＝a，a＞0，代入y　2＝4x，得y＝±2．因为|AB|＝4，所以4＝4，得a＝3，故直线AB的方程为x－3＝0.故选A. 解析：(1)联立消去y得(k2－1)x2－2k2x＋k2＋4＝0，当k＝±1时，有－2x＋5＝0，解得x＝，此时直线l与双曲线－＝1有且仅有一个公共点；当k≠±1时，令Δ＝4k4－4(k2－1)(k2＋4)＝0，化简得3k2＝4，即k＝±.综上所述，当k＝±1或k＝±时，直线l与双曲线－＝1有且仅有一个公共点，故“k＝或k＝－”是“直线l与双曲线－＝1有且仅有一个公共点”的充分不必要条件．故选A. (2)若直线l的斜率不存在，显然不符合题意，故直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k.　①当k＝0时，符合题意，直线l的方程为y＝4.　②当k≠0时，由消去x得ky2－8y＋32－16k＝0，由Δ＝0，得k＝1，所以直线l的方程为x－y＋2＝0.综上，直线l的方程为y＝4或x－y＋2＝0. 解析：由方程组消去y得25x2＋8mx＋m2－225＝0.　① 方程①的根的判别式Δ＝64m2－4×25×(m2－225)＝36×(252－m2).由Δ＞0，得－25＜m＜25，此时方程①有两个不相等的实数根，直线l与椭圆C有两个不同的公共点．故选D. 答案：(－∞，－)∪(，＋∞) 解析：由题意，将直线方程代入双曲线方程可得(1－k2)x2＋2kx－5＝0，当1－k2＝0，即k＝±1时，不符合条件；当1－k2≠0时，由Δ＝20－16k2＜0，解得k＞或k＜－.故k的取值范围为(－∞，－)∪(，＋∞). 答案：因为长轴长为4，故a＝2，而离心率为，故c＝， 故b＝，故椭圆C的方程为＋＝1. 答案：由题设直线AB的斜率不为0，故设直线l：x＝t(y＋2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由可得(t2＋2)y2＋4t2y＋4t2－4＝0， 故Δ＝16t4－4(t2＋2)(4t2－4)＝4(8－4t2)>0，即－<t<， 且y1＋y2＝－，y1y2＝， 故S△OAB＝×|2t|×|y1－y2|＝|t|＝＝， 解得t＝±，故|AB|＝|y1－y2|＝ ×＝ ×＝. 答案：∵双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为，∴解得a＝1，b＝，所求双曲线C的方程为x2－＝1. 答案：联立得x2－2mx－m2－2＝0, ∵直线y＝x＋m被双曲线C截得的弦长为8， ∴Δ＝4m2＋4m2＋8>0， 设直线与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝2m，x1x2＝－m2－2，则×＝8⇒m＝±. 解析：(1)结合选项可知，直线AB的斜率存在且不为零． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，由点A，B在双曲线上，得两式作差，得x－x＝，即(x1－x2)(x1＋x2)＝， 化简得＝9，即·＝kAB·＝9，因此kAB＝9·. 由双曲线方程可得渐近线方程为y＝±3x，如图， 对于A，因为kAB＝9×＝9>3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于B，因为kAB＝9×＝－＜－3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于C，kAB＝9×＝3，此时直线AB与渐近线y＝3x平行，与双曲线不可能有两个交点，不符合题意；对于D，因为kAB＝9×＝<3，所以直线AB与双曲线有两个交点，满足题意．故选D. 答案：x＋y－2＝0 解析：取线段AB的中点E，连接OE(O为坐标原点).因为|MA|＝|NB|，所以|ME|＝|NE|.设A(x1，y1)，B(x2，y2).由题意可得×＝＝＝－，即kOE·kAB＝－.设直线AB的方程为y＝kx＋m，k<0，m>0.令x＝0，则y＝m.令y＝0，则x＝－.所以点E的坐标为(－，)，所以k×＝－k2＝－，解得k＝－，所以m2＋2m2＝12，解得m＝2，所以直线AB的方程为y＝－x＋2，即x＋y－2＝0. 答案：这样的直线l不存在． 理由：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2， 代入双曲线方程得x－＝1，x－＝1， 两式相减得x－x＝－，可得(x1－x2)(x1＋x2)＝. 若P是线段AB的中点，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴＝2，得直线AB的斜率为2，∴直线AB的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.联立得2x2－4x＋3＝0，则Δ＝16－4×2×3＝－8＜0，方程无解，∴直线l不存在． $