安徽六安第一中学2026届高三第十次月考数学试卷

**基本信息** 高三数学月考卷以高考能力要求为导向，通过基础题巩固集合、复数等知识，综合题如双曲线冷却塔模型、向量新定义问题渗透数学应用与创新思维，适配复习备考。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|集合、复数、函数图像|基础概念辨析，如集合子集个数| |多项选择|3/18|概率、三角函数性质|概念深度理解，如互斥与对立事件判断| |填空|3/15|三点共线、椭圆离心率|综合应用，如椭圆焦点三角形离心率计算| |解答题|5/77|解三角形、立体几何、导数、双曲线应用、向量新定义|实际情境（购车贷款）与创新情境（向量集合），考查数学建模与逻辑推理|

六安一中2026届高三年级第十次月考 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则集合A的子集个数是（     ） A．8 B．16 C．32 D．无数个 2．在复平面内，复数对应的点关于实轴对称，且，则（     ） A． B． C． D． 3．如图，用斜二测画法画出的水平放置的的直观图为，且与轴平行，，则（     ） A． B． C． D． 4．设a，，以下四幅图象中，可能代表函数与的图象是（    ） A．  B．  C．  D．   5．等比数列中，与的等差中项为17，若，则（     ） A． B． C．8 D． 6．已知点P为抛物线上一点，过点P作圆C：的两条切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C．7 D．9 7．对于函数、，若函数的零点为，的零点为，当存在，满足，则、称为亲密函数.若，互为亲密函数，则实数a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．如图，O是锐角三角形ABC的外心，角A，B，C所对的边分别为a，b，c,且，若，则（    ） A． B． C． D．1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9．已知A，B是概率均不为0的随机事件，下列说法正确的是（    ） A．若，则事件A与B为对立事件 B．若则事件A与B为互斥事件 C．若，，则 D．若，则 10．已知函数，则下列说法正确的是（     ） A．若，则在上单调递增 B．若，则的图象关于点中心对称 C．若在上恰有三个零点，则 D．若将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为2 11．某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率0.3％，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法正确的是（    ）（参考：，，计算结果精确到元） A．等额本息方案，每月还款金额为10196元 B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元 C．等额本金方案，所有的利息和为2430元 D．等额本金方案比等额本息方案还款的利息少 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知、、三点共线（该直线不过原点），且，则的最小值为______. 13．已知分别是椭圆的左、右焦点，是上位于轴上方的一点，直线交于另一点，且，则的离心率为_______. 14．已知球是正三棱锥的外接球， ，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分） 已知的内角A，B，C的对边分别为，，，且A为钝角，，的面积为． （1）求； （2）若的周长为，求的面积． 16．（本小题满分15分） 如图，圆台的轴截面为等腰梯形，为底面圆周上的点，且是线段的中点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 17．（本小题满分15分） 已知函数 ，. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，若对，有恒成立，求实数m的取值范围. 18．（本小题满分17分） 双曲线冷却塔模型的外形如图1，是由双曲线的右支的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如图2），其中双曲线冷却塔模型的上、下口是分别由的右支上的点、点旋转成的圆，的右顶点旋转成的圆半径为，上口圆的半径为，下口圆的半径为，高为. （1）如图3所示，在所在的平面内，以的实轴所在的直线为轴，虚轴所在的直线为轴，建立直角坐标系，求的方程； （2）按照如下方式依次构造点，为点关于轴的对称点，过作与平行的直线与的右支交于点，记的坐标为. ①求证：数列为等比数列； ②求数列的通项公式. 19．（本小题满分17分） 设，集合（为向量），若，定义． （1）若，且，写出所有的； （2）若，且，设满足的的个数为，求的值； （3）从集合中任取两个不同的向量，记，求X的分布列与数学期望． 六安一中2026届高三年级第十次月考 数学试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D B C B A C CD BCD 题号 11 答案 ABD 9．CD 【详解】对A：由，故，则、互斥，但不能得到、对立，故A错误；对C：，则，故C正确；对D：，，若则，故D正确。 10．BCD 【详解】对于A，若，可得，当，可得， 当时，即时，函数单调递增；当时，即时，函数单调递减，即在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以A错误； 对于C，当，可得，要使得函数在上恰有三个零点，则需要包含，则满足，解得，所以C正确；对于D，将的图象向左平移个单位长度后，可得，要使得函数的图象关于轴对称，则满足，解得，因为，所以的最小值为，所以D正确. 11．ABD 【详解】BC选项，对等额本金的还款方案，设每月的还款额为（万元）， 则，，…，. 所以所还的利息总数为（万元）. 故B正确C错误；对等额本息的还款方案，设第个月的贷款利息为（万元），偿还本金为（万元）， 则，，， ， 同理可得：，，…，.所以是以为首项，为公比的等比数列.其前12项的和为：. 所以每月的还款额为.所还利息总和为，故A正确；又，所以等额本息还款的利息多，故D正确.故选：ABD 12．9 13． 【详解】 设，则，由椭圆定义可知：，，由余弦定理得：，整理可得：，（舍）或，，，，，，即，的离心率. 14． 【详解】如图，作平面，垂足为，则是正三角形的中心， 因为 ，，所以，则， 因为，取的中点，所以， ， 设正三棱锥外接球的半径为，则，得，所以，故，设过点的球的截面圆的半径为，圆心为，为截面圆上一点，，则，所以，则，所以与该截面所成角为，故，即与该截面所成角为. 15．(1) (2) 【详解】（1）因为，由正弦定理得，……（2分）因为的面积为，所以，即，所以，……（4分）因为为钝角，所以．……（6分） （2）由余弦定理，所以，……（9分） 又，……（11分）所以．故……（13分） 16．(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点，连接，如图所示， 因为为的中点，所以.……（2分）在等腰梯形中，， 所以，……（4分）所以四边形为平行四边形，所以，……（6分）又平面平面，所以平面；……（7分） （2）因为，故，故以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 在等腰梯形中，，则此梯形的高为. 因为，则，……（10分）所以.设平面的法向量为，则有，即，取，则，，即.……（12分）则点到平面的距离.……（15分） 17．(1)当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在 上单调递增 ，当时，函数在上单调递减，在 上单调递增. (2) 【详解】（1）函数的定义域为，由，……（2分） ①当时，，则函数在上单调递减；……（3分）②当时， ，则函数在上单调递增；……（4分）③当时，，令，得，令，得或，故函数在上单调递减，在 上单调递增；……（5分）④当时，，令，可得，令，得或，故函数在上单调递减，在 上单调递增.……（6分） 综上所述：当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在 上单调递增 ，当时，函数在上单调递减，在 上单调递增.……（7分） （2）当时，可得，此时恒成立，所以在上单调递增，……（9分）若对，有恒成立，……（10分）可得恒成立，且，即；……（11分）可等价于对恒成立，……（12分）令，则；因为时，恒成立，因此在上单调递增，所以即可满足题意，……（14分）因此实数m的取值范围为……（15分） 18．(1) (2)①证明见解析；②. 【详解】（1）设的方程为,因的右顶点旋转成的圆半径为，上口圆的半径为，下口圆的半径为，则，……（2分）设，，则代入方程可得，且，解得,，……（2分）故该双曲线的标准方程为；……（5分） （2）（i）因为，可得，，， 则,直线，即，……（7分）联立方程组，整理得，……（8分）则恒成立……（9分） 所以，即……（10分）①又因为满足直线方程，所以，即②……（11分）设，由①、②得，所以，解得，当时，，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列.……（12分） （ii）由（i）知……（13分）③当时，，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，④，……（15分）由③减去④整理得到.……（17分） 19．(1)； (2)； (3)分布列见解析，. 【详解】（1）设，，，因为，， 所以，，所以，……（2分）若，则，若，则，或，，所以满足的为：．……（4分） （2）法一：因为，，则满足等价于向量的坐标中有个位置上的值为1，剩下个位置上的值为0，即，……6分由二项式定理，， 所以，……（8分）因此．……（9分）法二：因为，，则满足等价于向量的坐标中有个位置上的值为1，剩下个位置上的值为0，即．……（6分）由帕斯卡恒等式得：，所以为奇数时，．……（7分） 为偶数时，．……（8分） 因此；……（9分） （3）法一：若，则，，与为不相等的向量矛盾， 所以随机变量的可能取值有，对于的随机变量，在坐标与中有个对应位置上的值均为1，剩下个对应位置上的值有3种对应关系， 且个对应位置上的值不能同时为0，否则，两个向量相等，此时所对应情况数为种. 中元素的个数为个，所以.……（10分） 所以随机变量的分布列为： 所以随机变量的数学期望为.……（11分） 首先计算：设， 两边求导得，，两边乘以后得，令，得，所以 所以.……（13分）下面计算：因为， ，…， ，因为， 所以，……（15分）所以.所以.……（17分） 法二：由题意可知，，对于的随机变量，在坐标与中有个对应位置上的值均为1，剩下个对应位置上的值有3种对应关系， 且个对应位置上的值不能同时为0，否则，两个向量相等， 此时所对应情况数为种. 中元素的个数为个，所以.……（10分） 所以随机变量的分布列为： 所以随机变量的数学期望为，……（11分） 令，因为， 可得 其中，……（13分） 因为， 所以，，，……（15分） 所以.……（17分） 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $