精品解析：广东省惠州市光正实验学校2025-2026学年八年级第二学期期中测试数学试题

惠州市光正实验学校2025-2026学年度第二学期 八年级数学期中检测试题 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 根据我国数学典籍《周髀算经》记载，在约公元前11世纪，人们就知道了勾股定理．下列各组数中，“是勾股数”的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 如图，在中，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列选项的命题中，是真命题的是（ ） A. 有三边相等的四边形是菱形 B. 四个角相等的菱形是正方形 C. 两条对角线互相平分的四边形是矩形 D. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 5. 下列运算正确的是（） A. B. C. D. 6. 如图，小明从点出发，沿直线前进后向左转，又向左转，照这样走下去回到原点，共走路程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，矩形的两条对角线相交于点O， ，点E是的中点，连接，则的长是( ) A. B. 2 C. D. 4 8. 下列条件不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 10. 如图，把正方形沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为 再过点折叠纸片，使点格在上的点处，折痕为若长为则的长为(（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 12. 若直角三角形的三边长为6，8，m，则m的值为_____． 13. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 _____． 14. 如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么CD的长是 ___________ 15. 如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是上的动点，M，N分别是的中点，则的最大值为______． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21小题） 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27小题） 19. 若一个正多边形的内角和比外角和多． （1）求这个多边形的边数； （2）求这个多边形每个角的度数． 20. 如图，菱形的对角线与交于点，过点作，过点作，与交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求菱形的面积． 21. 如图，在边长为6的正方形中，点在边上，连接，的平分线与边交于点，与的延长线交于点． （1）求证：为等腰三角形； （2）若时，求线段的长． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。） 22. 随着教育教学改革的不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题．从数学的产生和发展历程来看分析，不外乎就是三个环节，【阅读观察】－【类比应用】－【拓展延伸】．下面同学们从这三个方面试着解决下列问题， 阅读观察： 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如，化简． 解：将分子、分母同乘以得，． 类比应用： （1）化简：__________； （2）化简： 拓展延伸： 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD的宽． （3）黄金矩形ABCD的长____________； （4）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论： （5）在图②中，请连接AE，则点D到线段AE的距离为____________． 23. 如图，在矩形中，边上有一点E，连接，若，．． （1）直接写出的长； （2）有一点P从点A出发，以的速度沿向点D运动，有一点Q从点C出发，以的速度沿向点B运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动，设点P的运动时间为t秒． ① 秒时，四边形为平行四边形； ② 秒时，四边形为矩形； （3）有一点M从点D出发，以的速度沿向点A运动，有一点N从点B出发，以的速度沿射线运动，当点M到达点A时，点M、N同时停止运动，设点M的运动时间为x秒，问x取何值时，以M、N、C、D为顶点的四边形为平行四边形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州市光正实验学校2025-2026学年度第二学期 八年级数学期中检测试题 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵，被开方数含有能开得尽方的因数，∴选项A中的二次根式不是最简二次根式； ∵，被开方数含有分母，∴选项B中的二次根式不是最简二次根式； ∵，被开方数含有分母，∴选项C中的二次根式不是最简二次根式； ∵满足最简二次根式的两个条件，∴选项D中的二次根式是最简二次根式.，符合题意． 2. 根据我国数学典籍《周髀算经》记载，在约公元前11世纪，人们就知道了勾股定理．下列各组数中，“是勾股数”的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】先明确勾股数的定义：若三个正整数中，两个较小数的平方和等于最大数的平方，则这组数是勾股数，本题根据定义逐一验证各选项即可得到结果． 【详解】∵A选项，最大数为，且，，， ∴A不是勾股数； ∵B选项，最大数为，且，，， ∴B是勾股数； ∵C选项，最大数为，且，，， ∴C不是勾股数； ∵D选项，最大数为，且，，， ∴D不是勾股数； 综上，选B． 3. 如图，在中，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，故D说法正确，符合题意； 根据现有条件无法得到，，，故A、B、C说法错误，不符合题意； 故选：D． 4. 下列选项的命题中，是真命题的是（ ） A. 有三边相等的四边形是菱形 B. 四个角相等的菱形是正方形 C. 两条对角线互相平分的四边形是矩形 D. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了真假命题的判断，涉及正方形、菱形和矩形的判定定理．根据相关判定定理可知：对角线相等且互相平分的四边形是矩形；对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形．据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、菱形的定义是四条边都相等的四边形，“有三边相等的四边形是菱形”是假命题，因为三边相等不能保证四边形是菱形，不符合题意； B、正方形的定义是四个角都是直角且四条边都相等的四边形，菱形已满足四边相等，若四个角相等，则每个角为，“四个角相等的菱形是正方形”是真命题； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，但矩形需满足对角线相等或有一个角是直角，“两条对角线互相平分的四边形是矩形”是假命题，不符合题意； D、对角线相等、互相垂直且平分的四边形是正方形，对角线互相垂直且相等的四边形不一定是平行四边形，因此不一定是正方形，“两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形”是假命题，不符合题意； 故选：B． 5. 下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的乘方、乘除、化简规则，逐一计算各选项即可解答． 【详解】解：选项A：，错误； 选项B：，错误； 选项C：，错误； 选项D：，D正确． 6. 如图，小明从点出发，沿直线前进后向左转，又向左转，照这样走下去回到原点，共走路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用多边形的外角和求出边数，进而即可求解． 【详解】解：由题意可知，小明每次向左转的角度为，这相当于正多边形的一个外角， ∵多边形的外角和为，  ∴该正多边形的边数 ， ∵每次前进的距离为，  ∴共走路程为 ． 7. 如图，矩形的两条对角线相交于点O， ，点E是的中点，连接，则的长是( ) A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，三角形的中位线定理，根据矩形的性质，推出为的中位线，进行求解即可． 【详解】解：∵矩形的两条对角线相交于点O， ∴， ∵点E是的中点， ∴为的中位线， ∴； 故选A． 8. 下列条件不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理可判断A、B选项，由三角形内角和为可判断C、D选项． 【详解】解：A选项，满足勾股定理逆定理，是直角三角形； B选项，由，设， 则，满足勾股定理逆定理，是直角三角形； C选项，由，结合， 则，解得，是直角三角形； D选项，由，设， 则，解得， 此时最大角，不是直角三角形． 9. 如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠BAC=∠DCE，进而利用AAS可证明△ACB≌△DCE，再结合全等三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， ∵a、b、c都是正方形， ∴AC=CD，∠ACD=∠ABC=∠DEC=90°， ∴∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，即∠BAC=∠DCE， 在△ABC和△CED中，， ∴△ACB≌△CDE（AAS）， ∴AB=CE，BC=DE； 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2， 即Sb=Sa+Sc=1+9=10， ∴b的面积为10， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理及正方形的性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 10. 如图，把正方形沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为 再过点折叠纸片，使点格在上的点处，折痕为若长为则的长为(（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据翻转变换的性质求出BM、BF，根据勾股定理计算求出FM的值；再在Rt△NEF中，运用勾股定理列方程求解，即可得到EN的长． 【详解】∵四边形ABCD为正方形，AB=2，过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处， ∴FB=AB=2，BM=BC=1，BF=BA=2，∠BMF=90°， 则在Rt△BMF中， ， ∴， 设AE=FE=，则EN=， ∵Rt△EFN中，， ∴， 解得：， ∴EN=． 故选：A． 【点睛】本题考查了翻转变换的性质、勾股定理的应用，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式中被开方数是非负数这一条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，由此建立关于的不等式，求解不等式得到的取值范围． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，二次根式中被开方数须大于等于， ∴， 解不等式得：． 故答案为： ． 12. 若直角三角形的三边长为6，8，m，则m的值为_____． 【答案】10或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及分类讨论，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解题的关键．分两种情况，①当边长8为直角三角形的直角边时，②当边长8为直角三角形的斜边时，分别由勾股定理求出m的值即可． 【详解】解：分两种情况： ①当边长8为直角三角形的直角边时，， ②当边长8为直角三角形的斜边时，； 综上所述，m的值为10或， 故答案为：10或． 13. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】由数轴上a的位置确定a的取值范围，再进一步求出和的取值范围，然后化简求值． 【详解】解：由图象可得， ∴，， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查数轴与二次根式及绝对值，解题关键是熟练掌握绝对值与二次根式的化简方法． 14. 如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么CD的长是 ___________ 【答案】6.5 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到AC＝2DE＝5，AC∥DE，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到DC＝BD＝AB． 【详解】解：∵D，E分别是AB，BC的中点， ∴AC＝2DE＝5，AC∥DE， AC2＋BC2＝52＋122＝169， AB2＝132＝169， ∴AC2＋BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∵AC∥DE， ∴∠DEB＝90° ，又∵E是BC的中点， ∴直线DE是线段BC的垂直平分线， ∴DC＝BD＝AB＝6.5， 故答案是：6.5． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握线段垂直平分线的判定和性质，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 15. 如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是上的动点，M，N分别是的中点，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先证明出是的中位线，得到，然后由正方形的性质和勾股定理得到，证明出当最大时，最大，此时最大，进而得到当点E和点C重合时，最大，即的长度，最后代入求解即可． 【详解】如图所示，连接， ∵M，N分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴当最大时，最大，此时最大， ∵点E是上的动点， ∴当点E和点C重合时，最大，即的长度， ∴此时， ∴， ∴的最大值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21小题） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘除运算以及加减运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 先根据二次根式的乘除法法则分别计算乘法和除法部分，再将所得结果化为最简二次根式，最后进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则对式子化简，再代入x的值，根据二次根式的运算法则求解即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 18. 如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得AF∥EC．AF=EC，然后根据平行四边形的定义即可证得． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴AF∥EC， ∵BE=FD， ∴BC-BE=AD-FD， ∴AF=EC， ∴四边形AECF是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质，证出AF=EC是解决问题的关键． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27小题） 19. 若一个正多边形的内角和比外角和多． （1）求这个多边形的边数； （2）求这个多边形每个角的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和、 （1）任意多边形的外角和均为360度，然后依据多边形的内角和公式列方程求解即可； （2）根据多边形内角和除以边数求解即可得． 【小问1详解】 解：设这个多边形的边数为n． 根据题意得：，解得：． 答：这个多边形的边数为8． 【小问2详解】 解：这个多边形每个角的度数为：， 答：这个多边形每个角的度数为． 20. 如图，菱形的对角线与交于点，过点作，过点作，与交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）24 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质得，再结合题意证四边形是平行四边形，即可得结论； （2）根据（1）的结论求出，再根据菱形的性质和面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，在边长为6的正方形中，点在边上，连接，的平分线与边交于点，与的延长线交于点． （1）求证：为等腰三角形； （2）若时，求线段的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由得，由平分得，得出，从而得出，再根据等腰三角形的判定得出结论； （2）先求出，再根据勾股定理求出及的长，最后可得的长； 【小问1详解】 证明：∵正方形， ∴， ∴， 又AG平分， ∴， ∴， ∴， 即为等腰三角形； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。） 22. 随着教育教学改革的不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题．从数学的产生和发展历程来看分析，不外乎就是三个环节，【阅读观察】－【类比应用】－【拓展延伸】．下面同学们从这三个方面试着解决下列问题， 阅读观察： 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如，化简． 解：将分子、分母同乘以得，． 类比应用： （1）化简：__________； （2）化简： 拓展延伸： 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD的宽． （3）黄金矩形ABCD的长____________； （4）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论： （5）在图②中，请连接AE，则点D到线段AE的距离为____________． 【答案】（1） （2） （3） （4）见解析 （5） 【解析】 【分析】（1）仿照题干中的过程进行计算即可； （2）仿照题干中的过程进行计算，然后化简即可； （3）根据黄金矩形定义结合AB=1进行计算即可； （4）根据题意计算出AD的长，从而可得DF，证明DF和EF的比值为即可； （5）在图②中，连接AE，DE，过点D作DG⊥AE于点G，根据三角形AED的面积不同算法列出方程，解出DG的长即可． 【小问1详解】 化简：． 故答案为：． 【小问2详解】 解：原式＝ 【小问3详解】 ∵宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形ABCD的宽， 黄金矩形ABCD的长BC为：． 故答案为：． 【小问4详解】 矩形DCEF是黄金矩形，理由如下： 由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=1， 根据黄金矩形的性质可知： ， FD=EC=AD-AF， ， 所以矩形DCEF是黄金矩形； 【小问5详解】 如图，连接AE，DE，过点D作DG⊥AE于点G， ∵AB=EF=1，， ， 在△AED中， ， ， ， 解得， 以点D到线段AE的距离为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割、平方差公式、分母有理化、二次根式的混合运算、矩形的性质、正方形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 23. 如图，在矩形中，边上有一点E，连接，若，．． （1）直接写出的长； （2）有一点P从点A出发，以的速度沿向点D运动，有一点Q从点C出发，以的速度沿向点B运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动，设点P的运动时间为t秒． ① 秒时，四边形为平行四边形； ② 秒时，四边形为矩形； （3）有一点M从点D出发，以的速度沿向点A运动，有一点N从点B出发，以的速度沿射线运动，当点M到达点A时，点M、N同时停止运动，设点M的运动时间为x秒，问x取何值时，以M、N、C、D为顶点的四边形为平行四边形． 【答案】（1） （2）①；②2 （3）2秒或6秒 【解析】 【分析】（1）本题考查勾股定理和矩形的性质，利用，求出,根据，即可得出． （2）①本题考查平行四边形的判定和矩形的性质，根据点P的运动时间为t秒，将四边形的边用t表示出来，，，，，再根据四边形为平行四边形，应满足，建立等式求解即可． ②本题考查矩形的性质和判定，解题方法与①类似，根据四边形为矩形，应满足，建立等式求解即可． （3）本题考查平行四边形的判定和矩形的性质，解法仍与①类似，用将、、表示出来，注意对点N在边上或在延长线上两种情况进行分类讨论，根据以M、N、C、D为顶点的四边形为平行四边形，应满足，建立等式求解即可． 【小问1详解】 解：，理由如下： 四边形是矩形，，， ，， 在中， ， ， ． 【小问2详解】 解：由运动知，，， ，， ①如图1， 四边形为平行四边形， ， ，解得， 故答案为：． ②如图2、四边形为矩形， ， ， ， 故答案为：． 【小问3详解】 解：由运动知，，， 以M、N、C、D为顶点的四边形为平行四边形． ， 当点N在边上时，， ， ， 当点N在延长线上时，， ， ， 即：x为2秒或6秒时，以M、N、C、D为顶点的四边形为平行四边形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $