2.10 函数的图像 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦函数图像高考核心考点，涵盖平移、对称、伸缩、翻折四大变换及作图像、图像识别、解析式选择、变换应用五大考点，按“变换原理-图像绘制-识别应用”逻辑架构知识。通过考点梳理、方法指导（如分段函数作图步骤）、真题训练（各地模拟题），帮助学生突破难点，体现复习系统性与针对性。 资料采用“问题驱动+分层训练”特色教学，如在图像应用中设计方程根的个数讨论，引导学生用图像直观分析（数学眼光），通过性质推理排除干扰（数学思维）。设置基础到综合分层练习，配合即时反馈，保障复习效果，提升学生应考能力，为教师把控复习节奏提供有力指导。

2.10 函数的图像 利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象; y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象; y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象; y＝ax(a>0,且a≠1)的图象 y＝logax(a>0,且a≠1)的图象. (3)伸缩变换 y＝f(x)y＝f(ax); y＝f(x)y＝Af(x). (4)翻折变换 y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象; y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象. 考点一　作具体函数的图像 考点二　函数图象的识别 考点三　利用函数图象选择解析式 考点四　函数图象的变换 考点五　函数图象的应用 考点一　作具体函数的图像 1．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）已知函数． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)将函数写成分段函数的形式，并在如图所示的坐标系内作出函数的图象，写出单调区间． 2．（25-26高三上·天津·月考）函数的图象与的图象交点的个数为________. 3．（2026高三上·全国·专题练习）作出函数的图象. 4．（25-26高三上·江西南昌·期中）已知函数. (1)在上边所给的坐标系中画出该函数的图象. (2)写出该函数的单调区间及值域（不要求证明）. 5．（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列函数的图象 (1)； (2)； (3)； 6．（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列函数的图象 (1)； (2)； (3)； 考点二　函数图象的识别 7．（2026·河北衡水·模拟预测）函数在区间上的图象大致为（    ） A．B．C．D． 8．（2026·安徽合肥·三模）当时，函数的图象大致是（   ） A．B．C．D． 9．（2026·天津·模拟预测）函数，的图象大致为（ ） A．B．C．D． 10．（25-26高二下·天津滨海新区·期中）已知函数的导函数的图像如图所示，则的图像可能是（   ） A．B．C． D． 11．（25-26高三上·北京·期中）函数在区间上的大致图象不可能为（    ） A．B．C．D． 12．（25-26高二下·安徽·期中）（多选）函数的大致图象可能是（   ） A．B．C．D． 考点三　利用函数图象选择解析式 13．（2026·天津滨海新区·三模）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为：（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高三下·天津·阶段检测）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 15．（2026·山东济南·二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 16．（2026·天津东丽·二模）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 17．（2026·天津南开·一模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 18．（2026·天津·一模）已知函数的部分图象如下： 则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 考点四　函数图象的变换 19．（2026·北京顺义·二模）把函数的图象向右平移2个单位长度，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到图象，若此时图象恰与重合，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 20．（2026·北京密云·一模）为了得到的图象，只需把函数的图象上所有点的（    ） A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） 21．（2026高二上·北京·学业考试）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度 22．（25-26高三上·全国·课后作业）把函数的图象向右平移个单位，然后把横坐标扩大为原来的3倍（纵坐标不变），则得到的函数解析式为_____________． 23．（25-26高三上·江苏南通·月考）（多选）下列各组函数中，可以只通过图象平移变换从变为的是（   ） A． B． C． D． 24．（25-26高三上·北京通州·期末）函数的图象向右平移个单位长度，所得图象与关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 25．（2026·河北邢台·一模）函数图象的对称中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 考点五　函数图象的应用 26．（25-26高三上·湖南邵阳·期中）（多选）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A． B．有3个实数根 C．若有8个实数根，则 D．若有4个实数根，从小到大分别为，则 27．（2026·湖南湘西·三模）已知分别为函数的零点，且，则（   ） A． B． C． D． 28．（25-26高三上·海南海口·期中）已知函数，则关于直线与函数的图象的交点的个数说法错误的是（    ） A．当时，有3个交点 B．当时，有且只有1个交点 C．当时，有2个交点 D．当时，没有交点 29．（25-26高三下·云南昭通·期中）已知函数则图象上关于原点对称的点有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 30．（2026·山西临汾·二模）已知函数若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 31．（25-26高二下·云南怒江·阶段检测）（多选）已知函数且，，则（   ） A． B．的值可能为 C．的取值范围是 D．关于x的方程至多有13个不同的根 1．（2026高三·全国·专题练习）函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 2．（2026高三上·甘肃武威·开学考试）将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（   ） A．B． C． D． 3．（2026·四川南充·二模）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·湖北十堰·月考）已知函数若有个不同的实数根，则的范围为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·湖南长沙·月考）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有的点（    ） A．保持y不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移1个单位长度 B．保持y不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移1个单位长度 C．保持y不变，横坐标缩短为原来的一半，再向左平移1个单位长度 D．保持y不变，横坐标缩短为原来的一半，再向右平移1个单位长度 6．（25-26高三上·河南·月考）（多选）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点（   ） A．横坐标变成原来的（纵坐标不变） B．横坐标变成原来的2倍（纵坐标不变） C．向上平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度 7．（25-26高三上·陕西渭南·期末）（多选）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数可以是（    ） A． B．0 C．1 D．2 8．（25-26高二下·天津西青·月考）已知定义在上的函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是__________. 9．（25-26高三上·北京·月考）已知函数，方程有四个不等的实数解，分别为，，，（），则m的取值范围是__________；的取值范围是__________. 10．（25-26高二下·四川内江·期中）已知函数    (1)求函数的极值； (2)在给定的直角坐标系中画出函数的大致图像； (3)讨论关于x的方程的实根个数． 11．（25-26高三上·甘肃兰州·期末）用图像法判定方程的根的个数. 12．（25-26高三上·宁夏吴忠·期中）已知函数，. (1)在图1同一坐标系中画出函数，的图象： (2)用表示，中的较小者，即  ，画出函数的图象(图2），并求函数 的解析式，写出的单调区间和值域（不需要证明）． (3)若，求的取值范围 13．（25-26高二下·山东菏泽·期中）已知函数． (1)求的极值； (2)直接写出方程解的个数； (3)若恒成立，求实数的取值范围． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.10 函数的图像 利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象; y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象; y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象; y＝ax(a>0,且a≠1)的图象 y＝logax(a>0,且a≠1)的图象. (3)伸缩变换 y＝f(x)y＝f(ax); y＝f(x)y＝Af(x). (4)翻折变换 y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象; y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象. 考点一　作具体函数的图像 考点二　函数图象的识别 考点三　利用函数图象选择解析式 考点四　函数图象的变换 考点五　函数图象的应用 考点一　作具体函数的图像 1．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）已知函数． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)将函数写成分段函数的形式，并在如图所示的坐标系内作出函数的图象，写出单调区间． 【答案】(1)是偶函数，证明见解析 (2)，函数图象见解析；单调增区间为：，单调减区间为： 【分析】（1）利用奇函数定义，直接判断的奇偶性即可； （2）讨论和去绝对值，即得到解析式，再利用解析式特征作图，看图得到单调区间即可． 【详解】（1）函数，定义域为， 对于任意的， 故是偶函数； （2）依题意，时，，开口向下、对称轴为的抛物线的一部分； 时，，开口向下、对称轴为的抛物线的一部分， 故， 作图如下： 由图象可知，函数的单调增区间为：，单调减区间为：． 2．（25-26高三上·天津·月考）函数的图象与的图象交点的个数为________. 【答案】2 【分析】根据指数函数和对数函数的图象判断即可. 【详解】. 当时，单调递减，值域为，单调递减，值域为， 此时有1个交点； 当时，单调递减，值域为，单调递增，值域为， 此时有1个交点； 综上，函数的图象与的图象有2个交点. 故答案为：2. 3．（2026高三上·全国·专题练习）作出函数的图象. 【答案】图象见解析 【分析】先作的图象，保留轴上方的图象，把轴下方的图象对称翻到轴上方，再把它向上平移1个单位，即得到的图象. 【详解】先作函数的图象，保留轴上方的图象，把轴下方的图象对称翻到轴上方，再把它向上平移1个单位， 即得到的图象，如下图所示： 4．（25-26高三上·江西南昌·期中）已知函数. (1)在上边所给的坐标系中画出该函数的图象. (2)写出该函数的单调区间及值域（不要求证明）. 【答案】(1)作图见解析； (2)函数的单调递增区间是，，单调递减区间是.值域为. 【分析】（1）解析式化为，直接画出图形即可； （2）由分段函数的性质结合二次函数的性质可得. 【详解】（1）因为，画出其大致图象如下， （2）， 由图象可知：的单调递增区间是，，单调递减区间为， 值域为. 5．（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列函数的图象 (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【解析】略 6．（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列函数的图象 (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】（1）根据对数函数的图象结合函数图象的对称变换作图即可； （2）根据对数函数的图象结合函数图象的对称变换作图即可； （3）根据对数函数的图象结合函数图象的对称变换及平移变换作图即可. 【详解】（1）先作出的图象，再将横轴下方的图象沿横轴上翻，并去除横轴下方的图象， 如下： （2）先作出的图象，保留并作关于纵轴对称的图象，如下： （3）同上先作出，将图象向右平移一个单位得到的图象， 再保留横轴上方的图象，并将横轴下方的图象向上翻折，去除横轴下方的图象可得， 如下： 考点二　函数图象的识别 7．（2026·河北衡水·模拟预测）函数在区间上的图象大致为（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】利用奇偶性排除C，D；利用复合函数的单调性排除B. 【详解】易知函数的定义域为， 因为， 所以为奇函数，图象关于原点对称，排除C，D； 当时，令，则， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在区间上为增函数，且， 又在区间上为增函数，且， 所以在区间上为增函数，排除B． 8．（2026·安徽合肥·三模）当时，函数的图象大致是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】求出函数的定义域，结合时，的符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，因为，由可得且， 故函数的定义域为，排除AC， 当时，，排除D. 9．（2026·天津·模拟预测）函数，的图象大致为（ ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性及赋值法判断即可． 【详解】由，， 可得， 所以函数为奇函数，其图像关于原点对称，故可排除选项C、D， 当时，可得，可排除选项B， 所以该函数的图象大致为选项A． 10．（25-26高二下·天津滨海新区·期中）已知函数的导函数的图像如图所示，则的图像可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【详解】由导函数的图像可知，当时，，当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以B正确，A，C，D错误. 11．（25-26高三上·北京·期中）函数在区间上的大致图象不可能为（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】根据函数图象的对称性可得函数的奇偶性，从而确定参数的值，再判断即可. 【详解】选项A，B中函数图象关于原点对称，则对应的为奇函数， 令，则为偶函数， 即，即， 所以，解得， 当时，，符合A项， 当时，，符合B项； 选项C，D中函数图象关于轴对称，则对应的为偶函数， 令，则为奇函数， 即，即， 所以，此时，当时，，故D符合，故C不符合. 12．（25-26高二下·安徽·期中）（多选）函数的大致图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】ABC 【分析】求导可得，分类讨论的取值情况，得出函数对应的单调性，结合选项即可求解. 【详解】因为，所以． 当时，，可能是A中的图象； 当时，恒成立， 所以在上单调递增，可能是B中的图象； 当时，令，得或，令，得， 故在上单调递减，在上单调递增， 可能是C中的图象，但不可能是D中的图象． 考点三　利用函数图象选择解析式 13．（2026·天津滨海新区·三模）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇偶性、单调性排除选项求解 【详解】由图可知，关于原点中心对称，且不是上的单调函数； 对于B，是偶函数，不符合，排除B； 对于C， 的定义域不含，不符合，排除C； 对于D，由复合函数的单调性知是单调递增函数，排除D； 对于A，是奇函数，且在上递增，在上递减，在上递减，符合图像，是的一个解析式，A正确. 14．（25-26高三下·天津·阶段检测）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由取值情况判断B；由时函数值情况判断C；由的值判断D；分析函数性质判断A. 【详解】对于B，函数的定义域为R，而给定图象对应函数中，B不是； 对于C，函数，当时，，此时图象在下方，C不是； 对于D，函数，，其图象过点，D不是； 对于A，函数，定义域为， ，函数为奇函数，图象关于原点对称， 当时，；当时，，A可能是. 15．（2026·山东济南·二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析各选项中函数的定义域、零点、奇偶性以及函数值符号，结合题中图象可得答案. 【详解】对于A选项，对于函数，由可得， 即函数的定义域为，与题中图象不符； 对于B选项，令，可得，即函数只有一个零点，与题中图象不符； 对于C选项，函数的定义域为， ，函数为偶函数，与题中图象不符； 对于D选项，函数的定义域为， ，函数为奇函数， 令得，可得， 当时，，则，与题中图象相符. 16．（2026·天津东丽·二模）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数性质，利用排除法逐项判断即可得. 【详解】由图象可知，函数定义域为，为奇函数，且， 对B：的定义域为，不符，故B错误； 对C：时，，不符，故C错误； 对D：时，，不符，故D错误； 对A：时，，定义域为， 且， 故该函数为奇函数，符合题意，故A正确. 17．（2026·天津南开·一模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性以及，逐一验证选项，即可求解. 【详解】由图可知：的图象关于坐标原点对称，故为奇函数，且， 对于A， ，故为偶函数，不合题意， 对于C， ，故为偶函数，不合题意， 对于B， ，故为奇函数，但，不合题意， 对于D， ，故为奇函数，，符合题意. 18．（2026·天津·一模）已知函数的部分图象如下： 则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为无法通过五点作图得出具体函数图像，所以本题使用奇偶性，特殊值逐项排除得出答案. 【详解】A选项：，为偶函数.题中图像为奇函数，所以A不可能. C选项：同A选项判断方法也可判断C选项为偶函数，C错误. D选项：因为，当足够大时，显然不满足图像显示最后一部分由负到正的急剧递增，且当时，，与图像矛盾. B选项：从奇偶性，特殊值角度分析均有可能满足，因此图像解析式可能为. 考点四　函数图象的变换 19．（2026·北京顺义·二模）把函数的图象向右平移2个单位长度，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到图象，若此时图象恰与重合，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】首先根据平移变换求出图象的函数解析式，然后根据图象重合列方程解出的值. 【详解】把函数的图象向右平移2个单位长度， 得到函数表达式为， 再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍， 得到图象的函数表达式为， 因为图象与重合，所以， 即，解得，. 20．（2026·北京密云·一模）为了得到的图象，只需把函数的图象上所有点的（    ） A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） 【答案】B 【详解】对于A，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得，A错误； 对于B，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得，B正确； 对于C，把函数的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得，C错误； 对于D，把函数的图象上所有点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得，D错误. 21．（2026高二上·北京·学业考试）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度 【答案】A 【详解】根据图形平移变换 “左加右减”的规则，可得：向左平移一个单位得到的图像. 22．（25-26高三上·全国·课后作业）把函数的图象向右平移个单位，然后把横坐标扩大为原来的3倍（纵坐标不变），则得到的函数解析式为_____________． 【答案】 【分析】根据三角函数平移变换和伸缩变换即可得出函数的解析式. 【详解】把函数的图象向右平移个单位， 则得到的图象， 即解析式为，然后把横坐标扩大为原来的3倍（纵坐标不变）， 得到函数的图象，即函数的解析式为：， 故答案为：. 23．（25-26高三上·江苏南通·月考）（多选）下列各组函数中，可以只通过图象平移变换从变为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据函数图像的平移变换规律进行判断即可. 【详解】对于A，无法通过平移由得到，故A错误， 对于B，涉及伸缩变换，故B不正确， 对于C，，所以可通过的图象向左平移个单位得到，故C正确； 对于D，， 故可将的图象向上平移1个单位得到的图象，故D正确， 故选：CD． 24．（25-26高三上·北京通州·期末）函数的图象向右平移个单位长度，所得图象与关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出与关于轴对称的函数，再将所得函数的图象向左平移一个单位，即可求解. 【详解】设与关于轴对称的函数为，且为函数的图象上任一点， 则关于轴的对称点为，所以点在的图象上， 则，又的图象向左平移一个单位得到，所以， 故选：B. 25．（2026·河北邢台·一模）函数图象的对称中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分离常数项化简函数解析式，根据函数图像变换，结合奇函数的对称性，可得答案. 【详解】， 易知函数的图像可由函数向左平移个单位，再向下平移个单位得到， 由奇函数的图像关于成中心对称，则函数的图像关于成中心对称. 故选：D. 考点五　函数图象的应用 26．（25-26高三上·湖南邵阳·期中）（多选）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A． B．有3个实数根 C．若有8个实数根，则 D．若有4个实数根，从小到大分别为，则 【答案】ACD 【分析】直接计算，根据自变量范围进行取舍即得判断AB；设，结合图象，将问题转化为方程在上有两个相异实根的问题，利用一元二次方程的根的分布列出不等式组计算即得参数范围判断C；则需要作出函数的图象，利用函数与方程的关系，结合函数的对称性和图象变换，由双勾函数的单调性即可判断D. 【详解】对于A，由题意，，故A正确； 对于B，当时，由，可得， 解得，因，故得； 当时，由可得，或， 解得或，故有x＝－2±，共四个实数根，故B错误； 对于C，设，则方程，即， 由图知，要使原方程有8个实数根，需使有两个相异实根， 且，，设， 依题意，需使， 解得，故C正确； 对于D，作出函数的图象，由时，≤5， 且，可知当时，直线与函数有两个交点； 又由时，， 当时，直线与函数均有两个交点，故由有4个实数根可得，， 由图知，， 则，解得＝4，又由解得， 由解得x＝1，则有，于是， 因函数在单调递减，故， 则，故D正确. 27．（2026·湖南湘西·三模）已知分别为函数的零点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据零点的定义转化问题为函数与函数的交点问题，再结合图象判断大小即可. 【详解】由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是； 由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是； 由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是． 作出函数图象如图，可知． 28．（25-26高三上·海南海口·期中）已知函数，则关于直线与函数的图象的交点的个数说法错误的是（    ） A．当时，有3个交点 B．当时，有且只有1个交点 C．当时，有2个交点 D．当时，没有交点 【答案】D 【分析】作出，，的函数图象，根据图象的交点以及的范围进行分类讨论，由此判断即可. 【详解】直线与直线有一个交点， 联立直线，解得或， 所以直线与直线的交点为，， 在同一平面直角坐标系中作出，，的图象如图所示， 当时，有3个公共点，分别为，A正确. 当时，有且只有1个公共点，为，B正确. 当时，有2个公共点，分别为，C正确. 当时，①时，有3个公共点，分别为；时，有2个公共点，分别为，D错误. 29．（25-26高三下·云南昭通·期中）已知函数则图象上关于原点对称的点有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【详解】点关于原点的对称点为，即时，， 已知函数， ， 当时，，方程图象有两个交点； 当时，，方程图象有1个交点； 综上，图象上关于原点对称的点有3对． 30．（2026·山西临汾·二模）已知函数若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解方程得或，数形结合得方程无解，进而得到直线与曲线有个交点，结合图象可得出实数的取值范围. 【详解】由可得或， 当时，； 当时，； 当时，. 作出函数、、的图象如下图所示： 由图可知，直线与曲线有个交点，即方程无解， 所以由题方程有个不同的解，即直线与曲线有个交点，则. 31．（25-26高二下·云南怒江·阶段检测）（多选）已知函数且，，则（   ） A． B．的值可能为 C．的取值范围是 D．关于x的方程至多有13个不同的根 【答案】ACD 【详解】对于A，的图象如图所示.由图可知，，A正确. 对于B，由图可知，，， 则，，当且仅当，时，等号成立. 因为，所以，B错误. 对于C，设，则.由，得，得， 因为，，所以的取值范围是，C正确. 对于D，令，则至多有5个不同的根，此时，有5个不同的根. 设这5个不同的根从小到大分别为，，，，，则. 由图可知，均有5个不同的根，，，均有1个根， 所以关于x的方程至多有13个不同的根，D正确. 1．（2026高三·全国·专题练习）函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数的奇偶性及其在时的符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对任意的，，故函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，故函数为偶函数， 函数的图象关于轴对称，排除AC选项， 当时，，则，此时，排除B选项， 选项D满足以上特点. 2．（2026高三上·甘肃武威·开学考试）将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，将函数化为分段函数的形式，得到其大致图象，即可判断平移之后的函数图象. 【详解】， 函数的大致图象如图所示， 将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度， 则C选项符合所得函数图象. 故选：C. 3．（2026·四川南充·二模）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数定义域、值域及对称性判断. 【详解】B选项，函数，定义域为R，与图象不符，B选项错误； CD选项，对于函数， 当时，恒成立，与图象不符，CD选项错误； A选项，函数，定义域为， ，函数为奇函数，图象关于原点对称， 当或时，；当或时，. A选项正确. 4．（25-26高三上·湖北十堰·月考）已知函数若有个不同的实数根，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简分段函数，画出函数的图象，分析的根的个数，确定的范围. 【详解】， 将函数的图象关于轴对称并将轴下方部分翻折到轴上方，即可得到的图象； 对于，最小正周期为， 故上有个周期，令，， 则可得，， 由此作出函数的图象， 如图， 当时，由图可知，当时，， 取其他值时，，故D正确. 5．（25-26高三上·湖南长沙·月考）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有的点（    ） A．保持y不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移1个单位长度 B．保持y不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移1个单位长度 C．保持y不变，横坐标缩短为原来的一半，再向左平移1个单位长度 D．保持y不变，横坐标缩短为原来的一半，再向右平移1个单位长度 【答案】A 【详解】把函数的图象的所有的点保持不变，横坐标伸长为原来的2倍得到函数的图象，向左平移1个单位长度得到函数的图象. 6．（25-26高三上·河南·月考）（多选）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点（   ） A．横坐标变成原来的（纵坐标不变） B．横坐标变成原来的2倍（纵坐标不变） C．向上平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度 【答案】AC 【分析】利用对数的运算性质及换底公式，可将化为，结合函数图象的变换即可进行判断. 【详解】因为， 即,将函数图象上所有点横坐标变成原来的（纵坐标不变），可得到的图象； 又因为， 所以还可以将函数图象上所有点向上平移1个单位长度，可得到的图象． 故选：AC． 7．（25-26高三上·陕西渭南·期末）（多选）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数可以是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】AD 【分析】根据幂函数、对数函数、二次函数在各自定义域的图像特点，画出函数，由数形结合思想直线与图象的有两个交点，即可求解. 【详解】当时，为增函数，值域为. 当时，为增函数，值域为. 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则此时，值域为. 作出函数的图象如下：     由函数恰有个零点，得恰有两个不等实数解， 即与有两个不同交点. 由图象可知， 当或或时，满足条件，故AD正确. 故选：AD. 8．（25-26高二下·天津西青·月考）已知定义在上的函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】， 函数恰有2个零点等价于函数和有恰两个交点， 作出函数的图象 由得，设直线与图象的切点为， 则，所以， 由得， 与在原点相切时，， 由得， 与在原点相切时，， 所以直线与曲线相切， 由直线与曲线的位置关系可得：当时有两个交点，即函数恰有两个零点. 9．（25-26高三上·北京·月考）已知函数，方程有四个不等的实数解，分别为，，，（），则m的取值范围是__________；的取值范围是__________. 【答案】 【分析】分段画出函数图像，将方程不同的实数解转化为图象间的交点问题进行解答，之后使用二次函数的韦达定理和函数的单调性进行解答. 【详解】函数， 当时，， 令，即，图象为对勾函数向下平移个单位， 最低点是，即时取到，坐标为； 当时，， 当时，，即，可得， 这是单调递减的指数型函数，最低点坐标为，与轴交点为， 当时，，即，可得， 这是单调递增的指数型函数，从点开始，当时，，渐近线为， 分段画出函数图象， 由图象可知，有四个不等的实数解， 即函数和直线有四个交点，的取值范围是. 根据题目条件，， 因此由图象可知，和是方程的两个根，化简可得， 根据韦达定理，可得， 是方程的根， 可得，即， 是方程的根，可得，即， 所以， 因此， 设函数，配方可得， 当时，单调递减，值域为， 所以，即 ， 因此的取值范围是. 10．（25-26高二下·四川内江·期中）已知函数    (1)求函数的极值； (2)在给定的直角坐标系中画出函数的大致图像； (3)讨论关于x的方程的实根个数． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)   (3)当时，方程有唯一的实数根； 当时，方程有两个不同的实数根； 当时，方程无实数根. 【分析】（1）求导得，分析单调性，得极小值，无极大值； （2）结合单调性、零点和极限趋势，画出函数图像； （3）将方程根的个数转化为函数与的交点个数，结合图像分情况讨论. 【详解】（1）因为函数定义域为，，又恒成立， 当时，；当时，； 所以，的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值. （2）当时，，，此时， 再结合（1）中分析，可得图象如下：    （3）方程的根的个数等价于函数与的交点个数； 结合（2）中图象可知： 当时，与有且仅有一个交点； 当时，与有两个不同交点； 当时，与有且仅有一个交点； 当时，与无交点； 综上所述：当时，方程有唯一的实数根； 当时，方程有两个不同的实数根； 当时，方程无实数根. 11．（25-26高三上·甘肃兰州·期末）用图像法判定方程的根的个数. 【答案】无实数根 【分析】将问题转化为判断函数与函数图象的交点个数. 【详解】 由上图可知两函数图象没有交点， 所以该方程无实数根. 12．（25-26高三上·宁夏吴忠·期中）已知函数，. (1)在图1同一坐标系中画出函数，的图象： (2)用表示，中的较小者，即  ，画出函数的图象(图2），并求函数 的解析式，写出的单调区间和值域（不需要证明）． (3)若，求的取值范围 【答案】(1)作图见解析 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据解析式直接作出图像即可； （2）根据的定义可得解析式和图象.即可求解； （3）由得或，结合（2）得图象即可求解. 【详解】（1）图象如下图所示， （2）令，即， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 则当时，； 当时，； 当时，； ；图象法表示如下： 由图象可得： m(x)的单调增区间为；单调减区间为 m(x)的值域为 （3）由得或. 所以由图像可知不等式解集为 13．（25-26高二下·山东菏泽·期中）已知函数． (1)求的极值； (2)直接写出方程解的个数； (3)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)极小值，无极大值 (2)当时，方程的解的个数为0个； 当或时，方程的解的个数为1个； 当时，方程的解的个数为2个． (3) 【分析】（1）对函数求导，利用导数分析函数单调性，进而得出极值点，进而求解； （2）结合函数图象分析得出的解的个数； （3）把不等式进行化简变形为，令，结合函数单调递增，将不等式转化为，构造函数，求导并分析函数单调性得出最小值，进而求出实数的取值范围． 【详解】（1）由题意得，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极小值，无极大值． （2）方程解的个数即为函数的图象与直线的交点个数， 时，， 由（1）知在时， ，； 时，，时，， 函数的图象如下： 当时，方程的解的个数为0个； 当或时，方程的解的个数为1个； 当时，方程的解的个数为2个． （3）由，可得， 即， 则， 令，则， 在上单调递增， 在上恒成立， 即在上恒成立， 令， 则，令，得， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， ，故， 实数的取值范围是． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $