精品解析：河南周口市太康县2026届高三下学期4月综合模拟数学试题

2026届高三下学期4月综合模拟 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，的唯一元素是零，而，所以，故A错误； 对于B，是无理数，是有理数集，故B错误； 对于C， 左边为数字集合，右边为点集，不是同类型，故C错误； 对于D，由集合的无序性可得D正确. 2. “”是“函数在区间上单调递增”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合导数将函数单调问题转化为恒成立问题，求出，再结合充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意得，则， 若在区间上单调递增，则在上恒成立， 化简得在上恒成立，令， 由二次函数性质得在上单调递增， 而，则，得到， 可得“”是“”的充分而不必要条件，故A正确. 3. 高二某班生日活动之4月活动，四个小寿星想互相交换礼物.若每个小寿星只能拿一份别人准备的礼物，则共有（ ）种拿法. A. 18 B. 11 C. 9 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】第一步，第一位同学选礼物，有3种方法， 第二步，礼物被拿走的同学选礼物，有3种方法， 第三步，余下两位同学选礼物，只有1种方法， 根据分步计数原理，共有种拿法. 4. 最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”．如图，树顶A离地面18米，树上另一点B离地面11米，若在离地面2米的C处看此树，则取最大值时，点C到树底的距离与值的积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】如图，过点作，交于点， 则，，， 设，，，在中，， 在中，， 所以， 其中，当且仅当，即时等号成立， 所以，即当时， 取得最大值， 点到树底的距离为水平距离，则 取得最大值时， 点C到树底的距离与值的积为. 5. 已知是直线上的任意一点，若过点作圆的两条切线，切点分别记为A,B，则弦长AB的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离可得，由于，所以与互补，从而得弦长AB最小得情况，即可得所求. 【详解】圆心到直线的距离为， 在直角三角形OAP中，， 所以，由于， 所以可得，则， 因为，所以与互补， 所以当时，弦长AB最小，此时，弦长. 故选：C. 6. 已知，有，且点为角的终边上一点，则角（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式差角的正弦公式化简，再利用三角函数定义及同角公式、差角的正弦公式求解. 【详解】由，得， 则，由，得，则， 由点为角终边上一点，得， 因此，锐角. 故选：D 7. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】分别求解两个不等式，再通过判断两个解集之间的包含关系，确定条件类型. 【详解】由，得， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：C. 8. 已知函数，其中e是自然对数的底数，若直线与曲线相切于不同的两点A，B，且A，B的横坐标分别为，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由导数的几何意义与切点的性质得到同时满足方程和方程，从而推得方程与，两式相加即可求得，由此得解. 【详解】由题意可知，同时满足方程和方程， 因为，则，所以， 因为，所以满足方， 又满足方程，所以，则， 又由得，则，即， 上述两式相加得，整理得， 所以实数a的值为. 故选：D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知四边形是平行四边形， ，则（ ） A. 点D的坐标是 B. C. 四边形的面积是3 D. 坐标原点O到直线的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质、中点坐标公式，结合空间向量夹角公式、三角形面积公式、空间点到线距离公式逐一判断即可. 【详解】A：设平行四边形的对角线交点为点， 因为，所以点坐标为， 设点D的坐标是，因为， 所以，即点D的坐标是，所以本选项说法正确； B：因为， 所以，所以本选项说法不正确； C：由上可知：， 所以， 四边形的面积是，所以本选项说法正确； D：，，设方向上的单位向量为 坐标原点O到直线的距离为，所以本选项说法正确. 10. 函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 在区间单调递减 C. 在有4个零点 D. 的最大值为6 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题关键在于把绝对值和三角函数复合后的表达式转化为关于的二次函数，这样奇偶性容易判断；单调性可通过导数直接判断；零点和最值问题都可转化为二次函数问题. 【详解】对于A，因为 所以 所以是偶函数，A 正确. 对于B，当时，故 求导得 当时， 所以从而 故在区间上单调递减，B 正确. 对于 C，当时，设则 且转化为 由得或 当时， ，解得； 当时，，解得 故在范围内有这三个零点， 因为是偶函数，所以当时，有这三个零点， 所以在范围内有6个零点，C错误. 对于 D，对于任意实数，均有，所以， 令 则求的最大值转化为求在上的最大值. 对称轴为，开口向上， 当时，， 当时，， 当时，， 因此，D 正确. 11. 记等差数列的前n项和为，数列的前k项和为，则（ ） A. 若且，则时，的最小值为21 B. 若当且仅当时，取得最小值，则 C. 若取最小值时，k有两个不同解，则 D. 若以1为首项，以为公差，则数列中存在三项成等比数列 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等差数列的前n项和公式，结合二次函数的性质、等比数列的性质逐一判断即可. 【详解】设等差数列的公差为. A：， 因为，所以， ， 因为， 所以由， 的最小值为，所以本选项说法不正确； B：令， 因为， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 当时，取得最小值， 所以数列是首项为负，单调递增的等差数列，且有，， 则有， ，故有，因此本选项说法正确； C：因为取最小值时，k有两个不同解，不妨设，， 所以数列先单调递减，再单调递增，因此有，且， 所以，所以， 所以一定，使得成立，所以本选项说法正确； D：假设数列中存在三项成等比数列，这三项设为， 所以有，因为以1为首项，以为公差， 所以 ， 因为，且互不相等， 所以有 ，这与互不相等矛盾，所以假设不成立，因此本选项说法不正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知函数，则____________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据分段函数解析式代入求解即可. 【详解】由，可得， 由，可得， 由，可得，故， 因此. 13. 已知圆与圆外切于点，且直线是圆与圆的一条公切线，则的最小值为__________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据已知条件分析得到点与满足抛物线定义，确定与在抛物线上，且线段是抛物线的焦点弦，求出焦点弦的最小值通径即可求解. 【详解】根据题意点与满足到定点的距离等于到直线的距离， 所以与在抛物线上，，线段是抛物线的焦点弦， 又抛物线的焦点弦最小值为抛物线的通径，所以的最小值为. 14. 已知集合，集合，现有甲，乙两名同学玩一种游戏，甲､乙两人分别从集合中随机抽取3个不同的元素各构成最大的三位数和，若，则甲获得胜利.甲获得胜利的概率为__________. 【答案】## 【解析】 【详解】由题意得甲从集合中抽取3个不同元素，共有种抽法， 乙从集合中抽取3个不同元素，共有种抽法， 情况一：甲抽到数字， 甲抽到6的抽法数为， 此时甲构成的最大三位数的百位一定是，而乙构成的最大三位数最大只能是， 所以一定有 故这种情况下甲必胜； 情况二：甲没有抽到数字 ， 甲没有抽到 6 的抽法数也为， 这时甲实际上也是从集合中抽取 3 个不同元素，与乙的抽法范围完全相同， 因此，甲和乙构成的最大三位数都等可能地取自同样的10个值，且地位对称， 所以在这种情况下： 又因为共有10个不同的最大三位数，故 于是 故甲获胜的概率为 四、解答题：共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 新型AI模型是近年来针对数据降噪任务研发的算法工具，通过创新神经网络结构，优化传统模型难以处理的高噪声数据．实验人员用含噪声的图象数据对一种新型AI降噪模型进行实验，对使用该模型后，图象中的噪声残留量（单位：个/像素）进行检测，统计得到下表： 第轮迭代 1 2 3 4 5 噪声残留量（个/像素） 70 60 52 45 38 并计算得：． （1）计算变量（迭代轮数）和变量（噪声残留量）的样本相关系数，并说明两变量线性的相关程度； （2）若图象中的噪声残留量不高于个/像素，则说明数据降噪完成．用最小二乘法求关于的经验回归方程，并预测该AI模型至少需要迭代多少轮才可以完成降噪？ 参考数据及公式： 样本数据的相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为：，． 【答案】（1），迭代轮数与噪声残留量之间存在极强的负线性相关关系； （2）经验回归方程为;该AI模型至少需要迭代7轮才可以完成降噪 【解析】 【分析】（1）利用相关系数的公式求解即可； （2）求出，利用的公式代值计算即可得到经验回归方程，令，解不等式即可求解. 【小问1详解】 由题可得：， 样本相关系数 ，非常接近，说明迭代轮数与噪声残留量之间存在极强的负线性相关关系； 【小问2详解】 噪声残留量的取值为 因此：， 根据题意可得， 所以关于的经验回归方程为， 要使图象中的噪声残留量不高于25个/像素，则，即， 所以该AI模型至少需要迭代轮才可以完成降噪. 16. 已知数列满足 （1）求证：为等差数列； （2）设，记数列的前项和为， ①求； ②若，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）要证明为等差数列，可根据等差数列的定义，通过计算是否为常数来判断； （2）①先根据(1)求出的通项公式后，进而可得到的通项公式，求出的表达式，然后利用错位相减法求出， ②由恒成立，可将m分离出来，通过求数列的最大值来确定m的取值范围. 【小问1详解】 由． 则数列是以为首项，2为公差的等差数列. 【小问2详解】 ， 所以数列的通项公式为； ①由（1）得; 则． 于是， 以上两式相减得： 所以 ②由，得．令， 所以， 所以不是数列的最大项，不妨设的第项取得最大值． 由，即，解得， 即数列的最大值为，所以， 即的取值范围是 17. 如图，在三棱柱中，平面，侧面是菱形，且，点为的中点． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明、，利用线面垂直的判定定理即可得证； （2）以点为原点建系，求出两个平面的法向量,利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 因为侧面是菱形，，所以为等边三角形， 因为点为的中点，所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面； 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 以为原点，所在直线为轴，平行于的直线为轴建立空间直角坐标系， 因为，，所以， 则， 则， 分别设平面与平面的法向量为， 则，， 令，则， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知椭圆（）和抛物线（），在，上各取两个点，这四个点的坐标为，，， （1）求，的方程； （2）若直线l过椭圆的左焦点F，与椭圆交于A，B两点，设点A关于x轴的对称点为C，直线与x轴交于点D，当的面积最大时，求直线l的方程； （3）设M是在第一象限上的点，在点M处的切线与交于P，Q两点，线段的中点为N，过原点O的直线与过点M且垂直于x轴的直线交于点R.证明：点R在定直线上. 【答案】（1）， （2）或 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先将四个点代入抛物线方程，判断哪些点在上，进而求出得到的方程，将剩余的点代入椭圆方程，结合，求出和得到的方程； （2）先求出椭圆的左焦点的坐标，设出直线的方程联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理得到坐标的关系，写出的坐标，令得到点的坐标，根据三角形面积公式表示出面积，求出直线的斜率，进而得到直线的方程； （3）设出点的坐标，通过抛物线切线公式求出切线的方程，联立切线与椭圆的方程，利用韦达定理求出中点的坐标，求出直线的方程，再求出过且垂直于轴的直线方程，联立这两个方程得到点的坐标，通过化简判断其是否在定直线上. 【小问1详解】 抛物线满足与成正比，将四个点代入验证： 点和满足，得，故； 剩余两点、在椭圆上，代入椭圆方程： 将代入得，再代入得， 故； 【小问2详解】 设，，则，由题意可知直线的斜率存在，， 设直线l的方程为：， 由得：，此时， 所以，， 由直线BC的方程：得：， 令，则， 所以，此时，所以，当最大时， 的面积最大，而，即：，所以当的面积最大时， 直线l的方程为：或． 【小问3详解】 设，由得， 所以切线的方程为：， 设，，由得：， 由，得：，代入得：， 所以，所以， 由得：，所以点R在定直线上． 19. 已知函数． （1）求函数的最小值； （2）证明：当时，； （3）若时，不等式 恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）0 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数分析函数单调性及最值； （2）化简不等式，构造函数并求导，结合单调性证明结论； （3）化简不等式，构造函数并求导，结合单调性求实数的取值范围． 【小问1详解】 已知函数，求导得， 令，解得， 当时，，故，函数单调递减； 当时，，故，函数单调递增； 是极小值点，即为最小值点，最小值为． 【小问2详解】 因为， 所以要证明，只需证明， 只需证明， 设，求导得， 令，求导得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 在处取得极大值，即为最大值，， 当时，， ， 在上单调递增，故， 又，故， ，原不等式得证． 【小问3详解】 ，不等式等价于， ， 令， 当时，，故处等号成立； 求导得， ， 令，求导得，，则， 在上单调递增， 当时，，， 存在，使得， 当时，，又， 所以当时，，不满足条件； 当时，， 在上单调递增，故，单调递增， ，满足条件； 实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三下学期4月综合模拟 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 2. “”是“函数在区间上单调递增”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 高二某班生日活动之4月活动，四个小寿星想互相交换礼物.若每个小寿星只能拿一份别人准备的礼物，则共有（ ）种拿法. A. 18 B. 11 C. 9 D. 6 4. 最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”．如图，树顶A离地面18米，树上另一点B离地面11米，若在离地面2米的C处看此树，则取最大值时，点C到树底的距离与值的积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是直线上的任意一点，若过点作圆的两条切线，切点分别记为A,B，则弦长AB的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 6. 已知，有，且点为角的终边上一点，则角（ ） A. B. C. D. 7. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知函数，其中e是自然对数的底数，若直线与曲线相切于不同的两点A，B，且A，B的横坐标分别为，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知四边形是平行四边形， ，则（ ） A. 点D的坐标是 B. C. 四边形的面积是3 D. 坐标原点O到直线的距离为 10. 函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 在区间单调递减 C. 在有4个零点 D. 的最大值为6 11. 记等差数列的前n项和为，数列的前k项和为，则（ ） A. 若且，则时，的最小值为21 B. 若当且仅当时，取得最小值，则 C. 若取最小值时，k有两个不同解，则 D. 若以1为首项，以为公差，则数列中存在三项成等比数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知函数，则____________. 13. 已知圆与圆外切于点，且直线是圆与圆的一条公切线，则的最小值为__________. 14. 已知集合，集合，现有甲，乙两名同学玩一种游戏，甲､乙两人分别从集合中随机抽取3个不同的元素各构成最大的三位数和，若，则甲获得胜利.甲获得胜利的概率为__________. 四、解答题：共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 新型AI模型是近年来针对数据降噪任务研发的算法工具，通过创新神经网络结构，优化传统模型难以处理的高噪声数据．实验人员用含噪声的图象数据对一种新型AI降噪模型进行实验，对使用该模型后，图象中的噪声残留量（单位：个/像素）进行检测，统计得到下表： 第轮迭代 1 2 3 4 5 噪声残留量（个/像素） 70 60 52 45 38 并计算得：． （1）计算变量（迭代轮数）和变量（噪声残留量）的样本相关系数，并说明两变量线性的相关程度； （2）若图象中的噪声残留量不高于个/像素，则说明数据降噪完成．用最小二乘法求关于的经验回归方程，并预测该AI模型至少需要迭代多少轮才可以完成降噪？ 参考数据及公式： 样本数据的相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为：，． 16. 已知数列满足 （1）求证：为等差数列； （2）设，记数列的前项和为， ①求； ②若，求的取值范围． 17. 如图，在三棱柱中，平面，侧面是菱形，且，点为的中点． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知椭圆（）和抛物线（），在，上各取两个点，这四个点的坐标为，，， （1）求，的方程； （2）若直线l过椭圆的左焦点F，与椭圆交于A，B两点，设点A关于x轴的对称点为C，直线与x轴交于点D，当的面积最大时，求直线l的方程； （3）设M是在第一象限上的点，在点M处的切线与交于P，Q两点，线段的中点为N，过原点O的直线与过点M且垂直于x轴的直线交于点R.证明：点R在定直线上. 19. 已知函数． （1）求函数的最小值； （2）证明：当时，； （3）若时，不等式 恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $