精品解析：河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026 学年高三下期 05 月测试（一） 数学试题数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高三下期05月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，即，解得：， 所以，又集合，所以，故A正确. 2. 在复平面内，所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘除法运算进行计算，进而确定结果. 【详解】， 显然其对应的点在第四象限． 3. 等差数列满足，记的n前项和为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用基本量转化已知条件和目标式，即可容易求得结果. 【详解】设的公差为d，由，则， 那么，可得， 那么. 故选：A. 【点睛】本题考查利用基本量表示等差数列的通项公式和前项和，属基础题. 4. 某校食堂新供应了四种不同的午餐套餐，小王同学计划周一到周五都从新供应的四种套餐中选择一种就餐，且在这五天里将这四种套餐都尝一遍，则不同的方案共有（ ） A. 120种 B. 144种 C. 240种 D. 288种 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，小王同学有两天吃同一种套餐，先从5天中选出两天吃同一种套餐，将这两天视为一个整体，然后将4种不同的套餐安排在这两天和另外3天中，即可求解. 【详解】由题意可得，小王同学有两天吃同一种套餐，先从5天中选出两天吃同一种套餐， 然后将4种不同的套餐安排在这两天和另外3天中，则不同的方案共有种. 故选：C. 5. 已知，若函数恰有1个零点，则（ ） A. e B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】由，得或. 令函数，则，所以在上单调递增. ，， 所以必有1个零点. 因为恰有1个零点，且是的零点， 所以，即，解得. 6. 在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，以为基底，分别用表示，建立方程组求解. 【详解】 ， 又因为，所以， 设，则， 所以，解得， 故选：B. 7. 已知函数若方程在上恰有4个不同实根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解出方程的根，然后结合根的个数列不等式求解即可. 【详解】因为函数 所以当时，方程可化为，解得， 则当时， 当时，方程可化为， 解得， 则当时， 因为方程在上恰有4个不同实根， 所以这4个不同实根为，则. 故选：A 8. 已知函数的定义域为，，为奇函数，，则（　　） A. B. 2025 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为①， 所以，所以， 所以函数是周期函数，且周期为4. 所以. 在①中，令得：. 因为为奇函数，所以② 在②中，令可得：. 结合①可得③. 在②中，令，可得； 在③中，令，可得； 在②中，令，可得. 由函数的周期性可知，的值呈周期变化， 故. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布，其中60分为及格线，则（ ）（参考数据：，） A. 该校学生成绩的均值为70 B. 该校学生成绩的标准差为2 C. 该校学生成绩的标准差为16 D. 该校学生成绩及格率超过95% 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意得，再结合正态分布的性质逐个分析判断即可. 【详解】因为该校学生的成绩服从正态分布， 所以， 所以该校学生成绩的均值为70，标准差为4， 所以A正确，BC错误， 对于D，因为，及格线，所以及格率， 因为， 所以，所以D正确. 10. 如图所示的花灯的轮廓是正六棱柱，其棱长均相等，且所有棱长的总和为36，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 直线到平面的距离等于 D. 平面与平面的夹角的余弦值等于 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理判断A；利用向量法判断BCD. 【详解】对于A，如图易证，平面，平面，所以平面. 对于B，C，D如图建立空间直角坐标系，因为棱长均相等，且所有棱长的总和为36， 所以，， ，，， 对于B，，， 所以与不垂直，故不垂直于平面. 对于C，易得平面，故直线到平面的距离即为点到平面的距离. 如图， 设平面的法向量为则即， 令，则，到平面的距离， 即直线到平面的距离等于. 对于D，设平面的法向量为， ,则,即 令，则.平面与平面的夹角的余弦值等于 11. 以坐标轴为对称轴的双曲线过点，其一条渐近线过点，且两焦点为.若直线，分别与的两支交于两点，线段的中点为，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的方程为 B. 若，则点在直线上 C. 若，则的取值范围为 D. 若，则与的内切圆的半径之比为2或 【答案】ACD 【解析】 【分析】A设双曲线的方程为，根据条件列方程组求解；B联立直线与双曲线的方程，求出点坐标即可；C根据对称性以及双曲线的定义求一元二次函数的值域；D联立联立直线与双曲线的方程，根据内切圆半径的计算公式化简即可. 【详解】对于A，设双曲线的方程为，则渐近线方程为， 则由题意得，，，解得， 则双曲线的方程为，故A正确； 对于B，若，则， 联立，得， 设， 则， 则，故， 则点在直线上，故B错误； 对于C，若，则，则由对称性可知关于原点对称，且不与顶点重合， 则四边形为平行四边形，则， 不妨设在第一象限，则由双曲线的定义可知，， 则， 因为，且在上单调递增， 所以， 则的取值范围为，故C正确； 对于D，若，则，恒过点， 联立，得， 则，即， 不妨设分别在第二、一象限， 则，， 则由双曲线的定义可知，， 则的内切圆的半径为， 的内切圆的半径为， 则与的内切圆的半径之比为 ， 若分别在第一、二象限，则半径之比为，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆与直线相交所得圆的弦长是，若过点作圆的切线，则切线长为_______. 【答案】3 【解析】 【分析】 根据题意，得出圆的圆心为，利用点到直线的距离公式，求出圆心到直线的距离，再结合弦长公式求得，即可求出切线长. 【详解】解：由题知，圆， 圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 所以，解得：. 故圆的方程为. 过点作圆的切线，所以切线长为： . 故答案为：3. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆心和半径、点到直线距离和切线长等知识，考查解题能力. 13. 已知等差数列的各项均为正数，记其前项和为，若数列是等差数列，且与的公差相等，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式以及的关系式可得或，分别验证计算可得. 【详解】设等差数列的公差为，则等差数列的公差也为， 设，则， 当时，， 当时，， 因为需满足， 即，故，所以， 因为数列的公差为， 所以，解得或， 若，则，与等差数列各项均为正数不符，舍去； 若，则，对任意的，符合题意， 故． 14. 已知，其中i为虚数单位，从组合数中取出一个数记作，从展开式中项的系数中取出一个数记作，若，则的概率为______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算可得，再利用组合数及二项式系数确定有序数对的个数，进而求出古典概率. 【详解】依题设，数都各有41种取法，因此有序数对的取法种数为， 由，得，， 由，得，则，， 当且仅当为奇数时，， 则，即或，显然均为奇数， 当时，共有20个对应的有序数对，当时，共有20个对应的有序数对， 因此使成立的有序数对共有40个， 所以的概率. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）求，根据其正负性得出函数的单调性即可； （2）令，根据得出，接着利用导数得出的单调性，解不等式即可. 【小问1详解】 当时，，则， 由得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则的极小值为，无极大值； 【小问2详解】 等价于， 令，则在上恒成立， 则，得， 因为， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以当时，， 综上，实数的取值范围为. 16. 在中，角所对的边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）若，且的面积为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可求解， （2）根据面积公式可得，由余弦定理可得，进而可得，即可根据正弦定理求解. 【小问1详解】 由，根据正弦定理可得 ， 由于， 故， 由于所以 由于故 【小问2详解】 因为，可得， 由余弦定理得，即，故， ， 由正弦定理可得， 所以， 故 17. 已知点，直线，动点到直线的距离为，且. （1）求动点的轨迹方程，并说明是什么曲线； （2）过点且倾斜角大于的直线与轴交于点，与的轨迹相交于两点，且，求的值及的取值范围. 【答案】（1），点的轨迹是焦点在轴上，实轴长，虚轴长均为的等轴双曲线 （2）， 【解析】 【分析】（1）设点，根据列出等量关系整理可得； （2）设直线，联立双曲线方程，利用韦达定理结合，可得的值及的取值范围. 【小问1详解】 设点， 根据题意，动点的轨迹就是点的集合 即，整理得. 所以，点的轨迹是焦点在轴上，实轴长，虚轴长均为的等轴双曲线. 【小问2详解】 设直线倾斜角大于 设，联立得， 故， 由题知，双曲线的焦点 由得的取值范围是 18. 如图，四棱锥中，底面为矩形，，，侧面为正三角形，且平面平面为棱上一点，，平面交棱于点． （1）求证：； （2）当时，点关于平面的对称点为，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理可证明面，再由线面平行的性质定理可证明； （2）建立空间直角坐标系利用空间向量求出点的坐标，再分别求出平面与平面的法向量，即可得出两平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 证明： 因为底面为矩形，所以， 又平面，平面，故面， 又面面，平面， 故； 【小问2详解】 设的中点为，连接， 显然，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，在底面内过点垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 易知， 当时，，设， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以， 由题易知点到平面的距离与点到平面的距离相等，且， 即， 即，且，解得或（舍去），， 所以. 设平面的一个法向量为， 又， 则，取， 所以. 设平面的一个法向量为， 则，取， 则，所以 设平面与平面所成角的平面角为， 则． 故平面与平面所成角的余弦值为. 19. 一只猫和一只老鼠在两个房间内游走，每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动，猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4，若是一只猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5，已知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第n分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为，. （1）求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率； （2）求证：为等比数列，并求表达式； （3）在第几分钟时，老鼠在0号房间的概率最大？ 【答案】（1） （2）证明见解析， （3）第2分钟 【解析】 【分析】（1）求出猫和老鼠分别在0与0、0与1、1与0、1与1号房间的概率，再利用全概率公式计算得解. （2）根据给定条件，求出的递推关系，再利用等比数列的定义推理得证.再根据等比数列定义即可求得结果. （3）由（2）的通项公式，按取奇数和偶数分类求出最大值. 【小问1详解】 在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间，设为第1分钟时， 猫在i号房间，老鼠在j号房间，则 ， 设第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为X，则， 所以第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率0.5. 【小问2详解】 依题意， 当时，猫在第n分钟时位于0号房间包含两种情况： 上一分钟在0号房间，继续保持在0号房间的概率为； 上一分钟在1号房间，转移到0号房间的概率为； 由全概率公式，得，则， 而，因此数列是首项为，公比为的等比数列， 满足上式，则， 老鼠第分钟在0号房间包含3种情况： 上一分钟猫和老鼠都在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为， 上一分钟猫在0号房间，老鼠在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为， 上一分钟猫在1号房间，老鼠在0号房间，老鼠仍在0号房间的概率为， 由全概率公式，得， 即，则， 即，而， 因此数列是首项为，公比为的等比数列， ，而也满足上式， 则， 又， 所以以为首项，为公比的等比数列. 【小问3详解】 由（2）知，显然不是其最大值， 设，当n为奇数时，， 当且仅当时取等号，最大值为0；当n为偶数且时，， 当时，，最大值为， 则的最大值为,所以在第2分钟时，老鼠在0号房间的概率最大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高三下期05月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 等差数列满足，记的n前项和为，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 某校食堂新供应了四种不同的午餐套餐，小王同学计划周一到周五都从新供应的四种套餐中选择一种就餐，且在这五天里将这四种套餐都尝一遍，则不同的方案共有（ ） A. 120种 B. 144种 C. 240种 D. 288种 5. 已知，若函数恰有1个零点，则（ ） A. e B. 1 C. D. 2 6. 在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 7. 已知函数若方程在上恰有4个不同实根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，，为奇函数，，则（　　） A. B. 2025 C. 1 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布，其中60分为及格线，则（ ）（参考数据：，） A. 该校学生成绩的均值为70 B. 该校学生成绩的标准差为2 C. 该校学生成绩的标准差为16 D. 该校学生成绩及格率超过95% 10. 如图所示的花灯的轮廓是正六棱柱，其棱长均相等，且所有棱长的总和为36，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 直线到平面的距离等于 D. 平面与平面的夹角的余弦值等于 11. 以坐标轴为对称轴的双曲线过点，其一条渐近线过点，且两焦点为.若直线，分别与的两支交于两点，线段的中点为，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的方程为 B. 若，则点在直线上 C. 若，则的取值范围为 D. 若，则与的内切圆的半径之比为2或 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆与直线相交所得圆的弦长是，若过点作圆的切线，则切线长为_______. 13. 已知等差数列的各项均为正数，记其前项和为，若数列是等差数列，且与的公差相等，则___________． 14. 已知，其中i为虚数单位，从组合数中取出一个数记作，从展开式中项的系数中取出一个数记作，若，则的概率为______________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）若，求实数的取值范围. 16. 在中，角所对的边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）若，且的面积为，求的值. 17. 已知点，直线，动点到直线的距离为，且. （1）求动点的轨迹方程，并说明是什么曲线； （2）过点且倾斜角大于的直线与轴交于点，与的轨迹相交于两点，且，求的值及的取值范围. 18. 如图，四棱锥中，底面为矩形，，，侧面为正三角形，且平面平面为棱上一点，，平面交棱于点． （1）求证：； （2）当时，点关于平面的对称点为，求平面与平面所成角的余弦值. 19. 一只猫和一只老鼠在两个房间内游走，每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动，猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4，若是一只猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5，已知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第n分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为，. （1）求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率； （2）求证：为等比数列，并求表达式； （3）在第几分钟时，老鼠在0号房间的概率最大？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $