四川省绵阳南山中学2026届高考适应性考试数学试题

Sheet1 题号 题型 分值 难度 知识模块 具体考点 1 单选题 5 易 集合 集合运算 2 5 易 复数 复数的概念、纯虚数 3 5 易 不等式 分式不等式求解 4 5 易 三角函数 三角函数的图象 5 5 中易 函数 奇偶性 6 5 中 解析几何 抛物线、抛物线的性质 7 5 中 立体几何 柱锥台的体积、线面角 8 5 中难 函数与导数 函数性质、切线、参数范围 9 多选题 6 中 概率统计 线性回归、相关系数、百分位数 10 6 中 解析几何 直线、圆、圆锥曲线基本量 11 6 中难 三角函数/解三角形 解三角形、三角恒等变化 12 填空题 5 中 计数原理 二项式定理 13 5 中 平面向量 平面向量数量积的运算、投影向量 14 5 中难 立体几何 外接球、内切球 15 解答题 13 中易 数列/三角函数 通项、求和、三角恒等变化 16 15 中 立体几何 平行垂直、线面角/二面角 17 15 中 函数与导数 导数的几何意义、极值、参数取值 18 17 中难 解析几何+解三角形 椭圆的简单几何性质、解三角形 19 17 难 概率统计 数值特征、分布列、概率决策 $秘密★启用前【考试时间：2026年5月17日15：00一17：00】 绵阳南山中学高2023级高考适应性考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3,考试结束后，将答题卡交回。 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.) 1.已知集合U={x∈Nx<9},A={3,4,5,6},则CA=( ) A.{0,1,2,7,8 B.{1,2,7,8} C.{1,2,7,8,9} D.{0,1,2,7,8,9} 2.若复数z=（(m-2)+(m-1)i是纯虚数，则实数m的值为() A.2 B.1 C.2或1 D.0或1 3已知不等式3x- ≥1的解集为(-0，-1)U[1,+o),则实数a的值为() +1 A.-1 B.0 C.1 D.2 4.已知函数f(x)=2sinx-石 6 则f(x)的一个对称中心为() D. 50 6 5.已知f(x)是奇函数，当x∈(0，+o)时，f(x)=log5x,则f(-3)=() B.2 c D.-2 6.已知F是抛物线C:x2=6y的焦点，M是C上一点，直线FM交x轴于点N,若M为FN的中 点，则FN=() A.3 > C.4 第1页 7.已知正三棱台ABC-AB,C的体积为 ,AB=6,AB,=2,则4A与平面ABC所成角的正切值为) 2 2 B.1 C.2 D.3 3x+2a-3 8.已知函数f(x)= x1 若对任意的x<x,都有f(x)-f(x)<2x-2x2,则实 2x+(a-1)e-1,x<1 数α的取值范围是( D.(1,2] 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分，) 9.己知两个变量y与x对应关系如下表： 3 4 5 5 m 8 9 10.5 若y与x满足一元线性回归模型，且经验回归方程为)=1.25x+4.25,则() Ay与x正相关 B.m=7 C.样本数据y的第60百分位数为8.5 D样本数据y的平均数为7 0.已知双曲线C: -y2=1的左、右焦点分别为F,E,P为C,右支上一点（异于右顶点），M为圆 C2:x2+(y+2)2=3上一点，则() A.C,的渐近线方程为y=±。 B.△PFF,的内切圆与x轴切于定点 C.sin∠M,C的最大值为 2 D.PM的最小值为5-5 5 11.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,记△ABC的面积为S,若(b2-a2)sinB=2S,则以下说法 正确的有() A.a2+ac=b2 B.B=24 4 D.b+c2+1,5+2) a 第2页 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.在(2x-V的展开式中，x的系数为 13.已知向量a=(1-元，V3,b=(2,2),若(a+)1(a-b),则a在6方向上的投影向量的坐标是 14.若各棱长均为2的正四面体可以在在一个圆柱内任意转动，则该圆柱的高的最小值为 四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知等差数列{a,}的公差为d,前n项和为S.,且a=sin20,4,=os20,S,=4,其中0∈(0，) (1)求公差d及0的值： 2设数列久=4s血受，数列物，的能n项和为，求工 16.如图，在三棱柱ABC-AB,C中，△ABC与△ABA均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠A4B= 2 AB=2,AC=2 A B (1)证明：平面AAB⊥平面ABC: (2)求平面B,AC与平面ACB夹角的余弦值. 17.已知函数f(x)=xe-anx-ax+a (1)当a=1时，求x)在点(1,1)处的切线方程； (2)若x)有极小值，且极小值等于0，求实数a的值 第3页 18.已知椭圆女+少2 。+方=(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为0c,△EFA b2 的面积为 2 (1)求椭圆的离心率： (2)设点Q在线段AE上，FQ=。c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上，PM∥QN,且直线 PM与直线QW间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c. ()求直线FQ的斜率； ()求椭圆的方程. 19.2026年马年春晚《武B0T》节目中，宇树科技的人形机器人与塔沟武校的少年武者进行了一场人机 武术对抗赛.假设每局比赛中，机器人获胜的概率为0.6，少年武者获胜的概率为0.4，且每局胜负相互 独立.比赛采用2k+1局k+1胜制（即先赢得k+1局者获胜）. (1)当k=1时，记结束比赛时的局数为X,求X的分布列和数学期望E(X); (2)设在该赛制下机器人获胜的概率为P(k). (①)求P(1)和P(2)的值，并比较它们的大小，据此说明k=1和k=2哪种赛制对机器人更有利： ()随着k的增大，机器人获胜的可能性如何变化？证明你的结论. 第4页南山中学2023级高考适应性考试 参考答案及评分标准 (注：答案仅供参考，解答方法并不唯一) 3 4 9 10 11 B C D D B D AC ABD ABD 1.【答案】B.因为U={x∈NIx<9}={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5,6 所以CuA={1,2,7,8} m-2=0 2.【答案】A由纯虚数概念， 所以m=2.故选：A. m-1≠0 3.【答案】C易知x=1是方程3x-0=1的根，即1=1，所以a=1, x+1 1+1 当a=1时，不等式为≥1，即≥0，其解集为k之1或x<-}.故实数a的值为1 x+1 4.【答案】A,令x-元=饥，k∈Z,得x=km+元，k∈Z: 6 6 当及=0时，x=名此时对称中心为0月 6 .f(x)的一个对称中心为 5.【答案】D【详解】f(x)是奇函数，f(-3)=-f(3)=-log53=-2故选：D 6【答案】D由抛物线C:x=6y得焦点F0,号 设N(t,0), 因为M是FN的中点，所以M的坐标为 因为M在抛物线上，将M坐标代入x2=6y得： =6x3→=18， 7.【答案】B.分别取BC,B,C的中点D,D,则AD=3V5,AD=V3, 可知SMBc=亏×6×6× =w5.562x5=5 2 答案第1页，共9页 设正三棱台ABC-A,B,C,的为h, 则BC-48G= 05:5+05xh=子.解得为=5 3 如图，分别过A,D作底面垂线，垂足为M,N,设AM=x, DN-AD-AM.MN25. 可得Dn=DN+nN=25-+5， B 然拾等区碳形CCA可爷B然-色二+D0, 即+6=(25-x+164,解得x=45, 3 所以AA与平面ABC所成角的正切值为an∠A4D=4M=1: AM 8.【答案】D.f(x)-f(x)<2x-2x3→f(x)-2x<f(x)-2x2, 设F(x)=f(x)-2x,则F(x)<F(x3), 「，2a-3 x+ 因为x<2,所以F(x)=f(x)-2x在R上单调递增，其中F(x)= ,x≥1 (a-1)e,x<1 需满足y=(a-)e1在(0,1)上单调递增，y=x+2a-3在[，+w)上单调递增， 且(a-1)e°≤1+2a-3,由(a-1)e°≤1+2a-3得a≥1， 根据y=(a-1)e在(-o,1)上单调递增，得到a-1>0,故a>1, 3 似a>1,当2a-3<0,即1<a<时，y=x+203在Lo)上单调递增 当2a-3=0,即a=3时，y=x在L,+w)上单调递增， 2 3 当2a-3>0,即a>三时，由对勾函数性质得， y=x+2a-3在(2a-3,+∞)上单调递增，故需满足V2a-3≤1，解得a≤2， 所以3 <a≤2，综上，实数a的取值范围是(1,2故选：D 9.AC.由回归直线方程知：1.25>0，所以y与x正相关，即A正确； 答案第2页，共9页 由表格数据及回归方程易知元=3,5=125×3+425=325+m一m=75,即B错误： 5 易知5x60%=3,所以样本数据y的第60百分位数为8，”=85，即C正确： 由B,m=7.5,则样本数据y的平均数为8，即D错误.故选：AC 10.ABD 1 因为双曲线的渐近线为。±芳-0，由题a=2,6=l,所以C的渐近线方程为y=±2，故A正确：设 PF,FF,PF分别与△PFF的内切圆切于点A,B,C, BF-BF2=AF-CF=(AF+PA)-CF+PC=PF-PF=2a=4, 又BF+BF=EF=2N5,所以BF=2+V5,BF=5-2,所以△PFE的内切圆与x轴切于定点 (2,0),故B正确： 易知EW5,0,C,(0,-2),则E,C=VW5-02+0+2)2=3,MC,=√5，当FM与C,相切时， sin∠MFC,取得最大值，最大值为 C=3,故C错误： 设P(o,,则x-4=4,PC=Vx+(+2}=V5+4y+8=1 当%=号时，PC取得最小值65，则PM的最小值为5-5，故D正确 5 5 1Ⅱ.4BD【详解】已知在锐角△ABC中，（仍2-a2)sinB=2S,其中面积S=& 2 acsin B, 公-a)snB=2 esin B=aesin B,因为smB≠0，所以公-d=ac,即d+c分，透顶4正痛： 由余弦定理，b2=a2+c2-2 ac cos B,代入b2=a2+ac得：a2+ac=a2+c2-2 ac cos B→a=c-2 a cos B, 由正弦定理，a=2 Rsin A,c=2 Rsin C,代入得：sinA=sinC-2 sin Acos B, 继续化简得sinA=sin(π-(A+B)-2 sin Acos B→sinA=sin(A+B)-2 sin Acos B→sinA=sin(B-A), 因为△ABC是锐角三角形，所以ABE心，B=A2,故B-A=A,即B=24,选项B西 确： 答案第3页，共9页 B=2A< 因为△ABC是锐角三角形，且B=2A,所以： C=元-A-B<π 解得：名<A<异，选项C错误： 6 b+c_sin B+sin C sin2A+sin34 ,而sin3A=sin(A+2A)=3sinA-4sin3A,代入得： a sin A sin A be-2 sin cos43sn4-454-46os2A+2cosA-1,因为Ae(,孕，所以csAe(5,5, sin A 6’4 2’2 令1=cosA,则f0=4+21-1,该函数是开口向上，对称轴为-力=-2=-1 的二次函数， 2a2×44 因为区间(5,5在对称轴右侧，所以函数在该区间上单调递增， 22 =V5+2,所以b+C∈(N2+1,V5+2),选项D正确 12.80.(2x-V的展开式中的通项公式为T1=C(-×(2x=C(-×2x, 所以当r=2时，T=C(-1)2x4,x4的系数为C(-1)?2-80.故答案为：80. 13.【答案】(1,0)a+b=(3-,V3+)a-b=(-1-3-): 因为(a+b)1(a-b,所以(3-)(-1-)+(3+)(v3-)=0, 解得元=0.所以a=1,V5),b=(2,0), ab 所以ā在b方向上的投影向量的坐标为 6=是·(2,0)=(1,0). 14.√6【详解】正四面体外接球的直径，由此求得圆柱的高的最小值 将边长为2的正四面体A-BC,D放置在正方体ABCD-ABC,D内如图所示， 设正方体的边长为a,则√2a=2,a=√2，正四面体的外接球即正方体的外接球， 正方体外接球的直径等于体对角线，即外接球的直径2R=(V2+(N2+(N2)=v6, 所以外接球的半径R=6.当圆柱高最小时，高为2R=6。 2 四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.【详解】(1)由题可知道：41+a2=1,S4=41+a2+a3+a4=4.2分 答案第4页，共9页 1 a+a2=12a+d=1 41= 4 故 a3+a4=3 2a3+5d=3 1 .6分 d22 公差d=a2-a41,所以d=cos20-sin20=cos20, 即cos20= 又因为00》 所以20∈(0，π)， 故20-骨即0= 6 .7分 (2)由(1)可知， 等差数列a的通项公式为：马，=a+-d-+-小 又因为b,=a,sin" (n_1》sin匹 5，所以b24 2 在yn中，o所以T0元= 2 2 即y=sin”匹是周期为4的周期函数， 2 …… .9分 所以当n=4秋+1时，sn受=1，当n=4秋+2时，sm受=0， 2 当n=4k+3时，sinm匹=-1，当n=4k+4时，sin匹=0， 2 其中k∈N,所以每4项一组，每组和为： bk41+bk42+bk+3+bk+4=a411+0+a43(-)+0=a4k1-a4k+3=-2d=-1,12分 8项刚好分为2组，故：Tg=2×(-1)=-213分 16.【详解】(1)设AB的中点为E,连接CE,AE,如图所示， A B C B 因为△ABC与△ABA均为等腰直角三角形，∠ACB=∠AAB=交 故BC=ABC0s45=V2,CE L AB,.2分 且CE-4B=1AE4B=1, 2 又AC=V2, 答案第5页，共9页 故AC2=CE2+AE2,即CE⊥AE,4分 且AB,AEC平面AAB,AEAB=E, 故CE⊥平面AA,B,且CEC平面ABC, 故平面AAB1平面ABC7分 (2)因为CE⊥AB,AE⊥AB,AE∩CE=E,且CE,AEc平面CAE, 所以AB⊥平面CAE,且AB∥AB,故AB,⊥平面CA,E, 且ACc平面CAE,故AB1AC,则BC=V4B)}+(4C)}=V6, 设AC和B,C的中点分别为M,N,连接MN,BN,BM, B C B 则AA马，MN=方48=L故N上AC, 又因为BC=AB=V2,故BM⊥AC, 且MNc平面AB,C,BMC平面ABC, 故∠BMN即二面角B-AC-B的平面角，10分 且w-vc-am-ac-4c-5 因为BB=AA=V2=BC,故BN⊥B,C, 2 12分 1、2 6 所以cos∠BMW= BM2+MW2-BN2_41-4-6 2BM·MN 2×6 .14分 +1 3 故平面8,4C与平面ACB夹角的余弦值为6 .15分 17.【详解】(1)当a=1时，f(x)=xe-lnr-x+1. 答案第6页，共9页 f(冈=e+xe-1-1=e*(x+1-1-1. .2分 又f(1)=e,f'(=2e-2=2(e-1).… ...4分 所以曲线在点(1，f(1)=(1,e)处的切线方程为y-e=2(e-1)(x-1): 化简得y=2(-1)x+2-C..7分 2f=e+e-是a=e(e+)-a 8分 设函数在x处取得极小值0，则f(x)=0,f(x)=0. 由f()=0得e(,+1=a1+i 从而a=xe6.… .12分 代入f(xo)=0,得xe-xe*Inxo。-xe+xe=0, 于是lnx=2-x,两边取指数，得x。=e2-.所以x,e=e2 而a=xe,故a=e2.… .15分 18【详解】①)设稀圆的离心率为e由已知，可得c+a)c-么又由公=a2-c,可得 2 1 2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.又因为0<e<1,解得e= 2 所以，椭圆的离心率为… ，1 .4分 (D(D依题意，设直线FQ的方程为x=my-c(m>0),则直线F0的斜率为1 由(D知a=2c,可得直线AB的方程为X+y=1, 2c c 即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立， 可解得x= 2m-2,y=3c,即点0的坐标为 2m-2)c3c m+2 m+2 m+2'm+2 7分 由已知FQ= 3c [j- 整理得3m2-4m=0,所以m= ，即直线FQ的斜率为 3 ..10分 答案第7页，共9页 (i)解：由a=2c,可得乃=V5c,故椭圆方程可以表示为+y 由(i)得直线FP的方程为3x-4y+3c=0, 3x-4y+3c=0, 与椭圆方程联立 x2 消去y, 整理得7x2+6cx-13c2-0,解得x=-13C (舍去) 或x=c.因此可得点P,2》 3c 进而待e+e小-多所以 IPg-IPr-IFei- 5c 3c ..13分 由已知，线段PQ的长即为PM与QW这两条平行直线间的距离， 故直线PM和QN都垂直于直线FP,因为ON1FP,所以2N=FO,am∠OFN=S×2-,所 248 以aFQN的面积为)Irglovl=27C,同理aFPM的面积等于75 ,由四边形PQWM的面积为 32 32 3c,得75c327c2 =3C,整理得c2=2c,又由C>0,得c=2… .16分 32 32 所以，椭圆的方程为上+上 =117分 1612 19.【详解】(1)当k=1时，赛制为三局两胜制，故X的可能取值为2,3， P(X=2)=0.42+0.62=0.52, P(X=3=C2×0.6×0.4=0.48,… …2分 所以X的分布列为： X 2 3 0.52 0.48 E(X)=2×0.52+3×0.48=2.48.… …4分 (2)①因为每局比赛中，机器人获胜的概率为p=0.6, 由题可知P(1)为3局2胜制时，机器人获胜的概率，机器人获胜的情形有两种：2：0或2：1， 所以P(①=p2+C2p2(1-p)=p2(3-2p)=0.62×(3-1.2）=0.648,6分 答案第8页，共9页 P(2)为5局3胜制时，机器人获胜的概率，机器人获胜的情形有三种：3：0或3：1或3：2， P(2)=p+Cp3(1-p)+Cp3(1-p)}'=p(6p2-15p+10) =0.63+C×(0.6×0.4×0.6+C×(0.6)×(0.4)2×0.6=0.68256.8分 所以P(2)>P(1), 所以k=2时，5局3胜制对机器人更有利.…. 10分 ②随着k的增大，机器人获胜的可能性越来越大… .11分 证明如下： 0a,P-艺cpp ，.13分 下面讨论2k+3局与前2k+1局的递推关系： ()若前2k+1局中机器人恰好赢了k局，则后两场机器人都要赢才能获胜， 其概率为Cp(-p)Hp2,即C1p2(1-p)1 ()若前2k+1局中机器人恰好赢了k+1局，则后两场机器人至少要赢一场才能获胜， 其获胜概率为Cp(1-p)「1-(-p],即Cp(1-p)(2-p). ()若前2k+1局中机器人至少赢了k+2局，则后两场机器人无论输赢都获胜， 其获胜概率为三CD0-p Pk+l=cpI-p+CnpI-p旷2-p+3Cp1-pj。 ·Pk+)-P)=C吃1p+2(1-p)+Cp+2(1-p)(2-p）-Cp(1-p) =C吃4D(1-p)+(2p-1), p=0.6,Cp1(1-p)+(2p-1)>0,即P(k+1)>P(k)....17分 答案第9页，共9页■ 绵阳南山中学高2023级高考适应性考试 数学答题卡 班级 姓名 贴条码区域 座位号 1,答题前请将姓名、班级、考场、座号和准考证号填写清楚 注 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 正确填涂■ 考生禁填 意 3.主观题必须使用黑色签字笔书写。 (由监考老师填涂) 今 4.必须在题号对应的答题区域内作答，超出答趣区域书写无效 错误填涂 缺考☐ 5.保持答卷清洁完整 项 名品鸟 违规☐ 客观题 1 AB]CD] 5 ABCD 9 ABCD 2 ABCD 6 ABCD 10 [ABCD] 3 A□B]CD 7 ABCD 11DB四C 4 A□BC D 8 [ABCD 填空题 12、 13、 14、 解答题 15.(13分) 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第1页共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 续15 16.(15分) A 心 G B 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第2页共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 17.(15分) 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第3页共6页 ■ 清保持答题卡干净整洁，不要污损 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 18.(17分) 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第4页共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 续18 19.(17分) 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第5页共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 续19 请在各题日的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第6页共6页