21.2.1平行四边形及其性质 课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦平行四边形性质，核心内容为对角线互相平分的性质及应用。通过“老人分地”生活情境导入，结合回顾旧知中边和角的性质作为学习支架，引导学生自然过渡到对角线性质的探究，构建完整知识脉络。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，如老人分地问题激发探究兴趣；通过证明过程和典例精析发展数学思维，例如例2中证明OE=OF的推理训练；以跟踪训练和变式题强化数学语言应用，像跟踪训练3计算EC长度。采用情境导入、探究式学习和变式训练等方法，帮助学生提升推理能力与应用意识，也为教师提供丰富教学案例和清晰知识支架。

21.2.1平行四边形及其性质 学习目标 1. 理解并掌握平行四边形的对角线互相平分的性质. 2. 根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明. 一位饱经沧桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的： 同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么? 引入新课 平行四边形的性质： 边 平行四边形的对边平行且相等. ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB CD， AD BC ∥ ﹦ ∥ ﹦ 角 平行四边形的对角相等. ∵四边形ABCD是平行边形 ∴ ∠A=∠C， ∠D=∠B. 对角线 O ？ 想一想，平行四边形除了边、角这两个要素的性质外，对角线有什么性质？ 回顾旧知 新课导入 下面图形给我们留下什么图形的形象？ 伸缩门 竹篱笆 只有一组对边平行 两组对边分别平行 四边形 平行四边形 梯形 探索新知 A B C D 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形. 什么样的图形叫作平行四边形呢？ 平行四边形用“□ ”表示. 平行四边形 ABCD 记作“□ ABCD”. 注意：表示平行四边形时，要按照顺时针或者逆时针方向依次书写各顶点字母，不能打乱顺序. A B C D 证明：如图，连接AC. ∵AB∥CD，AD∥BC, ∴∠1 = ∠2,∠3 = ∠4. 又AC是△CBA和△ADC的公共边. ∴△ADC≌△CBA ∴AB=CD，AD=BC. ∠B = ∠D. 又 ∠1 = ∠2,∠3 = ∠4. ∴∠1+∠4=∠2+∠3， 即∠BAD =∠BCD. 1 2 3 4 不添加辅助线、你能否直接运用平行四边形的定义,证明其对角相等? 证明：如图， ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴∠A+∠B=180°，∠C+∠B=180°， ∴∠A = ∠C. 同理，可得∠B = ∠D. A B C D 例2 如图， ABCD的对角线AC,BD交于点O.过点O作直线EF,分别交AB,CD于点E，F.求证：OE=OF. A B C D F E O 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠ODF=∠OBE, ∠DFO=∠BEO, ∴△DOF≌△BOE（AAS）, ∴AB∥CD, OD=OB, ∴OE=OF. 思考 改变直线EF的位置，OE=OF还成立吗? 典例精析 议一议 A B C D O E F A B C D O E F A B C D O E F 请判断下列图中，OE=OF还成立么？ 同例3易证明OE=OF还成立. 过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等. 归纳 A B C D 　　证明：如图，连接 BD． 　　∵四边形 ABCD 是平行四边形， 　　∴AD∥BC，AB∥CD． 　　∴∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD． 　　∴∠ABD＋∠CBD＝∠ADB＋∠CDB． 　　即∠ABC＝∠ADC． 　　又∵BD＝DB， 　　∴△ABD≌△CDB （ASA）． 　　∴∠A＝∠C，AD＝CB，AB＝CD． 思考 　　不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等？ 　　∴AD∥BC，AB∥CD． 　　证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， 　　∴ ∠A＋∠B＝180°，∠A＋∠D＝180°． A B C D 　　∴ ∠B＝∠D． 　　同理可证明∠A＝∠C． 1.如图，已知AD//BC，判断S△ABC和S△DBC是否相等，并说明理由. A B C D 解：相等. ∵ AD//BC， ∴ 点D，点A到BC的距离相等， ∴ △ABC 和△DBC 同底等高，面积相等. 跟踪训练 新知探究 2. 如图，a//b，AB//CD，FG⊥b，CE⊥b，下列说法不正确的是（ ）. A.AB=CD B.EC=FG C.AB=FG D.a，b之间的距离就是CE的长度 C A B C D E F G ┐ ┐ a b 两条平行线之间的任何两条平行线段都相等,两条平行线之间的距离相等. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB = DC . 求证 ∠B = ∠C. 例 3 证明：如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，过点 A，D 分别作 AE ⊥ BC，DF ⊥ BC，垂足分别为 E，F. ∵AE，DF 的长都是平行线 AD，BC 之间的距离， ∴AE = DF.（两条平行线之间的距离处处相等） 又 AB = DC， ∴Rt△ABE ≌ Rt△DCF . ∴∠B = ∠C. A D B C E F 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB = DC . 求证 ∠B = ∠C. 例 3 A D B C 你还有其他证明方法吗？ 有. 证明：如图，过点 A 作 AE∥DC交 BC 于点 E . ∵AD∥BC，AE∥DC，AB = DC， ∴AE = DC = AB，∠C = ∠AEB . ∴∠B = ∠AEB = ∠C. E 在△ADF 与△CBE 中， ∠A = ∠C， AD = CB， ∠ADF = ∠CBE， ∴△ADF ≌ △CBE (ASA) ∴AF = CE. 4.如图，直线 AE//BD，点 C 在 BD上，若AE=5，BD=6，△ABD的面积为18，则△ACE的面积为 . 解：设直线AE与直线BD之间的距离为h. 所以. A B C D E 15 反思感悟 过平行四边形一个内角的角平分线交平行四边形的对边或对边的延长线围成一个等腰三角形，从而得到的两条线段相等. 跟踪训练3　如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=5，AD=3，∠DAB的平分线AE交线段CD于点E，则EC=　　 .  解析　∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，DC=AB. ∴∠DEA=∠EAB， ∵∠DAB的平分线AE交DC于点E， ∴∠EAB=∠DAE， ∴∠DEA=∠DAE， ∴AD=DE， ∵AD=3，AB=5， ∴EC=DC-DE=AB-AD=5-3=2. 2 知识点2　利用平行四边形对角线的性质进行证明 【例2】如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线EF，分别交AD，BC于点E，F.求证：OE＝OF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，⁠ ∴OA＝OC，AD∥BC.⁠ ∴∠EAO＝∠FCO.⁠ 在△AEO和△CFO中，⁠ ​⁠ ∴△AEO≌△CFO(ASA).⁠ ∴OE＝OF.⁠ 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，AD∥BC. ∴∠EAO＝∠FCO. 在△AEO和△CFO中， ​ ∴△AEO≌△CFO(ASA). ∴OE＝OF. 【变式2】如图，▱ABCD 的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE＝CF.求证：BE＝DF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，⁠ ∴OA＝OC，OB＝OD.⁠ 又∵AE＝CF，⁠ ∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF.⁠ 在△DOF和△BOE中，⁠ ​⁠ ∴△DOF≌△BOE(SAS).∴BE＝DF.⁠ 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD. 又∵AE＝CF， ∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF. 在△DOF和△BOE中， ​ ∴△DOF≌△BOE(SAS).∴BE＝DF. ∴AE=CF. A B D C E F 5.已知在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC,BF平分∠ABC.求证:AE=CF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD=BC. ∴∠CDE=∠DEA,∠CFB=∠FBA. ∵DE,BF分别平分∠ADC,∠ABC, ∴∠CDE=∠ADE,∠CBF=∠FBA, ∴∠DEA=∠ADE,∠CFB=∠CBF, ∴AE=AD,CF=BC, 24 6.有一块形状如图 所示的玻璃，不小心把EDF部分打碎了，现在只测得AE=60cm，BC=80cm，∠B=60°且AE∥BC、AB∥CF,你能根据测得的数据计算出DE的长度和∠D的度数吗？ 解：∵AE//BC，AB//CF， ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴∠D=∠B=60º,AD=BC=80cm. ∴ED=AD-AE=20cm. 答：DE的长度是20cm,∠D的度数是60º. 25 $