浙江省余姚中学2025-2026学年第二学期学期期中考试高二数学试卷

余姚中学2025学年第二学期期中考试高二数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 3．若两个正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．设函数满足，且是上的增函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 5．已知，，，，，则的最大值为（ ） A．1 B． C． D． 6．六位同学站成一排照毕业相，甲同学和乙同学要求相邻，并且都不和丙丁相邻，则一共有（ ）种排法 A．72 B．144 C．180 D．288 7．甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为，则（ ） A． B． C． D． 8．已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为（ ） A．31 B．33 C．41 D．133 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．下列各结论正确的是（ ） A．“”是“”的充要条件 B．命题“，有”的否定是“，使” C．，的最小值为2 D．若，，则 10．已知两个变量与对应关系如下表： 1 2 3 4 5 5 8 9 10.5 若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（ ） A．与正相关 B． C．各组数据的残差和为0 D．样本数据的第60百分位数为8 11．已知定义域为的函数满足，且，则（ ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．为周期函数 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式中，常数项为________．（用数字作答） 13．已知定义域为的函数，则关于的不等式的解集为________． 14．设方程的两根为，，方程的两根为，，，则的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，已知，，． （1）求a的值； （2）求的值； （3）求的值． 16．（15分）已知三棱柱的棱长均为2，，平面平面． （1）求该棱柱的体积； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17．（15分）国家加大了对全民体育锻炼的重视程度，推行全民体育锻炼工作，全民体育锻炼活动在全国各地蓬勃发展，活动规模不断扩大，内容不断充实，方式不断创新，影响日益扩大，使我国国民身体素质得到了大幅度提高．某高中为响应政府号召，在寒假中对某校高二400名学生（其中男生240名）按性别采用分层抽样的方法抽取100名学生进行调查，了解他们每天的体育锻炼情况如下表： 每天体育锻炼时间低于1 h 每天体育锻炼时间不低于1 h 合计 男生 30 女生 10 合计 100 （1）根据统计数据完成以上列联表，依据的独立性检验，能否认为该校女生和男生在每天体育锻炼时间方面存在差异？ （2）若从抽出的100名学生中按“每天体育锻炼时间是否低于1 h”采用分层随机抽样抽取10名学生准备进行身体素质测试，在这10名学生中随机抽取3名学生，记这3名学生每天体育锻炼时间不低于1 h的人数为，求的分布列和数学期望． 附参考数据及公式：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 18．（17分）甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，．若采用局胜制（先赢得局胜利的一方获胜），，记甲获胜的概率为． （1）若，求； （2）比较与的大小并说明理由． 19．（17分）已知函数，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且．（其中为自然对数的底数） （1）求的值； （2）若函数存在零点，求的取值范围； （3）设函数，若对任意的，的函数值非负，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $报告查询：登录zhixue..com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 余姚中学2025学年第二学期期中考试 高二数学答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 正确填涂 考号 ■ [0] [0] [0] [0] 0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] 缺考标记 [1] [1] [1] 1] 1] [1] [1] [1] [1] [1] [11 口 [2] [2] [2] 「21 2] [2] [2] [2] [2] [2] [2 [2] [3] [3] [31 [31 「3] [31 「31 [31 [3 回回 [4] [4] 47 4 4 [41 「4 [4] [4] [4] [4] [5] [5] [51 5] 5 [51 [5 [5] [5] [5] [5] [5] [6 [6 6 61 6 [6 [6] 61 6] [6 [6 [6] [7] [7] 7 7 [7] 7 [7 [71 [7 [7J [8] [8] 8] 8 8] L8] [8 [8 [8] [8] [9] [9] 9] 9 9 [9] [9] 「91 [9] [9] 注意事项 1.答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 3.必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四 个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分 分，有选错的得0分， 9[A][B][C][D] I0[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. 12. 13 14. ㄖㄖ■ 解答题 15.(13分) 囚囚■ ■ 16.(15分) C B ■ 囚■ㄖ ■ 0 0 0 1 00T 鸟 OT 再4 道 he T王业[但褂具￥国肛上褂具￥每 (SI)LI ■ 18.(17分) 囚■ㄖ ▣ 19.(17分) 余姚中学2025学年第二学期期中考试高二数学答案 1．C 2．D 3．C 4．B 5．D 6．A 7．D 8．C 9．BD 10．ABC 11．ACD 12．84 13． 14． 15．【答案】解：（1）方法一：由， 根据余弦定理可得，， 则，即， 2分 由，根据正弦定理可得，则，即； 4分 方法二：由， 2分 根据正弦定理可得，，则， 则，即， 2分 由，根据正弦定理可得，则，即； 4分 （2）由余弦定理可得， 6分 又因为，可得； 8分 （3）由（2）知，，， 则，， 10分 由正弦定理，则，即， 又，则，所以， 所以． 13分 16．解：（1）取的中点，连接，， 由题意知，是边长为2的等边三角形， 所以，， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 2分 而平面， 所以， 因为，所以， 又，，所以，即， 又，、平面， 所以平面， 4分 所以棱柱的体积． 6分 （2）方法1：作 9分 即为所求 12分 15分 方法2：由（1）知平面，， 所以，，两两互相垂直， 故以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 9分 则，，， 所以，， 设平面的法向量为，则， 取， 12分 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则，故平面与平面夹角的余弦值为． 15分 17．【答案】解：高二有400名学生（其中男生240名），则抽取100名学生中，男生有名，女生有40名， 列联表如下： 3分 每天体育锻炼时间低于1 h 每天体育锻炼时间不低于1 h 总计 男生 30 30 60 女生 10 30 40 总计 40 60 100 ：女生和男生在每天体育锻炼时间方面无差异 5分 （1）， 7分 所以我们没有充分证据推断不成立，可以认为女生和男生在每天体育锻炼时间方面无差异； 9分 （2）100名学生中“每天体育锻炼时间不低于1 h”的人数为60人， 因此抽取10名学生“每天体育锻炼时间不低于1 h”的人数为6人， 而的所有可能取值为0，1，2，3， ，，， 所以的分布列为： 13分 X 0 1 2 3 P 数学期望； 15分 18．（1）不妨设赛满5局，用表示5局比赛中甲胜的局数，则 3分 7分（有式子但结果错给2分） 若直接算也可 （2）考虑最后两局， 若前局胜局，最后两局怎么样都行； 若前局胜局，最后两局不能全输； 若前局胜局，最后两局都胜； 若前局胜局，最后两局怎么样都不行；……有这个想法 9分 14分 ， ， 17分 , 19．【答案】解：（1）由可得：， 因为为奇函数，为偶函数，所以①， 与②，由①②，解得，， 2分 所以． 4分 （2）由，可得， 分离参变量得：， 6分 记，由， 知，从而，即， 又在上单调递增， 当时，函数与函数的图象有交点，即函数存在零点， 所以． 8分 （3）由于在上单调递增， 所以由，可知， 又由（1）知，， 所以等价于， 令，则不等式对恒成立， 10分 ①当即时，函数在上单调递增， ，即， 所以，当且仅当，时等号成立； 12分 ②当即时，函数在上单调递减， ，即， 所以，当且仅当，时等号成立； 14分 ③当即时， 函数在上单调递减，在上单调增， ，即， 所以，当且仅当，时等号成立． 16分 综合①②③，可知的最小值为-8． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $