江苏南京市2025-2026学年九年级中考数学模拟练习卷二

**基本信息** 立足中考模拟，融合文化传承与现实应用，如桔槔杠杆、电商助农设备等情境，考查数学抽象、几何直观与模型意识，梯度覆盖基础与综合能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|实数、三角形、圆的弧长|调和数概念迁移，滑轮旋转应用| |填空题|10/20|分式方程、反比例函数、立方体展开图|桔槔杠杆计算，翻折动态问题| |解答题|11/88|二次函数、圆、统计与概率|电商设备三角函数应用，心形叶片二次函数探究，圆内接四边形综合证明|

2025-2026学年度江苏省南京市九年级中考数学模拟练习卷二（解析版） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题中只有一项是符合题目要求的。 1．实数2026的倒数是（    ） A．2026 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数求解即可． 【详解】解：2026的倒数为． 2．在中，，，， 则边的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，在直角三角形中，已知的长和角的正弦值可求出． 【详解】解：在中， ， 所以 故选：B． 3．研究15、12、10这三个数的倒数发现：，我们称15、12、10这三个数为一组调和数，现有一组调和数：x、8、5，则x的值是（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】D 【分析】根据题目给出的调和数定义，得到三个数倒数之间的等量关系，列出分式方程求解即可得到结果. 【详解】解：由题意，， 解得 ， 经检验，是原方程的解，符合题意， 4． 一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是，当重物上升时滑轮的一条半径绕轴心 按逆时针方向旋转的角度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧长的计算公式，正确理解公式是关键． 重物上升，即弧长是，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：设旋转角度为，由题意得， ， 解得． 故选D． 5． 如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交， 于点 和点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点， 连接并延长交于点．若的面积为6，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的平分线的基本作图，三角形面积的性质，直角三角形的性质，熟练掌握作图和性质是解题的关键．过点D作于点G，根据题意得，利用角的平分线性质，三角形面积性质解答即可． 【详解】解：过点D作于点G，根据题意，得平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵的面积为6， ∴， 故选：C． 6． 如图，在边长为2的菱形中，对角线交于点，于点，为上一点， ，延长交于点，记，，当的大小发生变化时， 则下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作于，过作于，先由四边形是矩形，得到，，再证明，得到，证明，得到，证明，得到，根据，，得到，，，再根据，得到． 【详解】解：过作于，过作于， ∵边长为2的菱形， ∴，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， 整理得， 即当的大小发生变化时，代数式的值不变的是． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。请将答案填写在答题卡相应位置上 7．计算：的结果是__________． 【答案】 【详解】解：． 8．若，，则代数式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查代数式求值．先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值． 【详解】解：∵，， ， 故答案为：2． 9． 某校拟招聘一名优秀教师，小王的面试、笔试、试讲成绩分别为95分、90分、96分． 根据实际需要，综合成绩将面试、笔试和试讲三项得分按的比例确定最后成绩， 那么小王最后的成绩为 分． 【答案】93.5 【分析】根据加权平均数求解公式解答即可．本题考查加权平均数，熟知加权平均数的计算公式是解答的关键． 【详解】解：由题意，（分， 小王最后的成绩为93.5分 故答案为：93.5 10．分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】解：原方程去分母得：，即 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为， 故答案为：． 11．设方程的正根介于整数与之间，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查解一元二次方程，估算无理数的大小，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用配方法解出的方程后利用夹逼法求得正根在哪两个连续整数之间即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得，， ， ， ， 则， 故答案为：2． 12． 如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆， 则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】延长FA交⊙A于G，如图所示：根据六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，利用外角和求得∠GAB=，再求出正六边形内角∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°， 利用扇形面积公式代入数值计算即可． 【详解】解：延长FA交⊙A于G，如图所示： ∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=2， ∴∠GAB=， ∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°， ∴， 故答案为． 13． 桔槔俗称“吊杆”“秤杆”（如图1），是我国古代农用工具，是一种利用杠杆原理的取水机械， 桔槔示意图如图2所示，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，米，，当点A位于最高点时，，此时，点A到地面的距离为______．    【答案】米/ 【分析】本题主要考查了含直角三角形的性质； 过O作，过A作于G，求出，根据含直角三角形的性质求出，然后可得答案． 【详解】解：过O作，过A作于G，    ∵米，， ∴米， ∵，， ∴， ∴在中，米， ∴点A位于最高点时到地面的距离为米， 故答案为：5米． 14．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在反比例函数的图象上， 轴于点．将沿翻折，若点的对应点落在该反比例函数的图象上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理、折叠问题等知识点，作轴，垂足为,利用对称性质和解直角三角形解答即可得到结果，熟练掌握图象上点的坐标特征是解决此题的关键． 【详解】解:设点坐标为,则, , , 由对称可知：, , 如图，作轴，垂足为,则， , 由勾股定理得，， ,, 点在反比例函数图象上， , 在中， , 由勾股定理得,即, 由解得， 故答案为：． 15．如图，在矩形内正好放置一个立方体的表面展开图，正方形是原立方体的一个面， 点，，是原立方体的顶点，展开后点，，，均在矩形的边上， 若点，，在同一直线上，则的值是______． 【答案】 【分析】过点作于点，不妨设，小正方形的边长为1，先证明四边形是矩形，根据，得到，接着，算得，再证明，从而得出答案． 【详解】解：过点作于点，不妨设，小正方形的边长为1，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（舍去负值）， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．如图，正方形中，E为上一点，于点F，已知，， 过C、D、F的与边交于点G，则的值为_______ 【答案】 【分析】交于M点，连接、，如图，根据正方形的性质得到，，，再利用圆周角定理得到，则可判断点A、F、M共线，接着证明，则利用相似比可求出，于是利用勾股定理可计算出，然后证明得到，最后证明，则利用相似比可求出的长． 【详解】解：交于M点，连接、，如图， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴点A、F、M共线， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得． 故答案为： 3、 解答题：本题共11小题，第17-18题各7分，19-25题各8分，26-27题各9分，共88分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．解不等式组．并在数轴上表示这个不等式组的解集． 【答案】，图见解析 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，再在数轴上画出两个解集，确定其公共部分即可． 【详解】解： 由①得： 解得； 由②得： 解得， ∴在数轴上表示两个不等式的解集如下： ∴不等式组的解集为：． 18．尺规作图问题：如图，在平行四边形中，用尺规作的角平分线． 小江：这简单！我们在八上就学过用尺规作角平分线的方法，除此之外，小苏你还有其它做法吗？ 小苏：我想到了！如图，以为圆心，为半径作弧，交于点，连结，则平分． (1) 按照小江的说法，在图中用尺规作的角平分线． (2) 小苏的做法是否正确？若错误，请说明理由；若正确，请证明． 【答案】(1)见解析 (2)正确，证明见解析 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，平行四边形的性质，等边对等角的性质，掌握以上知识是关键． （1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据平行四边形的性质，等边对等角的方法证明即可． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求， （2）解：正确， 证明：四边形为平行四边形， ， ， 由作图可知，， ， ， 平分． 19． 某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满5杯按8折销售． 小丽买了A，B饮料各1杯，用了元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了元． A，B两种饮料每杯分别是多少元？ 【答案】A饮料每杯元，B饮料每杯8元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设每杯饮料元，每杯饮料元，根据“小丽买了，饮料各1杯，用了元；小明买了3杯饮料和5杯饮料，用了元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设每杯饮料元，每杯饮料元， 根据题意得：， 解得：． 答：每杯饮料元，每杯饮料8元． 20．先化简，再求值：，并从，0，1，2四个数中，选一个合适的数代入求值； 【答案】，； 【分析】本题主要考查了解分式方程和分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件． 先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取是分式有意义的a的值代入计算可得． 【详解】解： ， ∵且且， ∴当时， 则原式． 21. 甲一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节， 书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀． (1) 若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为______； (2) 若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签）， 求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用画树状图或列表的方法求两次事件的概率，解题的关键是： （1）用标有“夏”书签的张数除以书签的总张数即得结果； （2）利用树状图画出所有出现的结果数，再找出1张为“春”，1张为“秋”的结果数，然后利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：∵有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节， ∴恰好抽到“夏”的概率为， 故答案为：； （2）解：用树状图列出所有等可的结果： 等可能的结果：（春，夏），（春，秋），（春，冬），（夏，春），（夏，秋），（夏，冬），（秋，春），（秋，夏），（秋，冬），（冬，春），（冬，夏），（冬，秋）． 在12个等可能的结果中，抽取的书签1张为“春”，1张为“秋”出现了2次， P（抽取的书签价好1张为“春”，1张为“秋”）． 22． 中考体考在即，为掌握本校九年级学生的体育训练成效，从慧学班、雅行班两班各随机抽取20名学生，对其本月体测成绩进行整理、描述和分析．（成绩用x表示，满分50，共分为四组： A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 慧学班20名学生的体测成绩在C组分数段的数据为：47，48，48，49，47，46，48，49． 雅行班20名学生的体测成绩为： 44，48，44，39，45，48，47，47，48，42，48，45，49，50，49，50，49，50，48，50． 两班抽取的学生体测成绩统计表 慧学班 雅行班 平均数 47 47 众数 50 b 中位数 a 48 根据以上信息，解答下列问题： (1) 上述表中，________，________，________； (2) 根据上述数据，你认为哪个班级的学生体测成绩更好？请说明理由（写出一条即可）； (3) 该校九年级共有800名学生参加本月体测，根据以上信息， 试估计此次体测成绩获得满分的学生人数是多少？ 【答案】(1)49；48；45 (2)慧学班成绩较好，理由见解析 (3)估计这次体测成绩为满分的学生人数是260人 【分析】（1）根据中位数的定义即可得出的值，根据众数的定义即可得出的值，先求出慧学班学生的体测成绩在D组的人数，再求出慧学班学生的体测成绩在D组的人数所占比例，即可得出的值； （2）结合中位数和平均数分析即可得出结果； （3）分别求出两个班级中满分的人数，再利用800乘以此次体测成绩获得满分的学生人数所占的比例即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：慧学班学生的体测成绩在A组的人数为：（人）, 慧学班学生的体测成绩在B组的人数为：（人）， 慧学班学生的体测成绩在C组的人数为：人， 将慧学班20名学生的体测成绩在C组分数段的数据按照从小到大排列为： 46，47，47，48，48，48，49，49， 故慧学班20名学生的体测成绩处在第位和第位的成绩分别为49和49， 故中位数； 雅行班20名学生的体测成绩中出现次数最多的为，故众数， 慧学班学生的体测成绩在D组的人数为：， ∴， ∴； （2）解：慧学班成绩较好，理由如下： 慧学班的平均数与雅行班一样，但中位数49大于雅行班中位数48，所以慧学班较好； （3）解：两个班级中，慧学班满分的有：（人），雅行班满分的有4人． ∴估计这次体测成绩为满分的学生人数是：（人）． 答：估计这次体测成绩为满分的学生人数是260人． 23．如图，菱形的对角线相交于点O，延长至点E，使，连接． (1) 求证：． (2) 若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质得到是的中位线，由中位线的性质即可求解； （2）根据题意得到，由勾股定理得到，由中位线的性质得到，则，根据菱形面积的计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴，即． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴菱形的面积为：． 24．在一条笔直的公路上依次有三地，小明、小红两人同时出发． 小明从地骑自行车匀速去地拿东西，停留一段时间后，再以相同的速度匀速前往地， 小红步行匀速从地至地．小明、小红两人距地的距离（米） 与时间（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1) 求小明、小红两人的速度． (2) 求小明从地前往地过程中关于的函数表达式． (3) 请求出经过多少时间后，小明与小红相距600米． 【答案】(1)小明骑自行车速度是 （米/分），小红步行速度是 （米/分） (2) (3)或或 【分析】（1）根据图象，得到，小红走完用时间为，计算速度即可；根据图象，得到，小明走完用时间为，计算速度即可． （2）根据题意，小明从地前往地用时间为，故直线经过点和，设解析式，代入解答解答即可． （3）分类求解即可． 【详解】（1）解：根据图象，得到，小红走完用时间为， 故小红的速度为：； 根据图象，得到，小明走完用时间为， 故小明的速度为：． （2）解：根据题意，小明从地前往地用时间为， 故直线经过点和， 设解析式， 故 ， 解得， 故解析式为． （3）① ， 解得 ； ②，解得 ； ③ ， 解得 . 综上所述，经过分钟或分钟或分钟，符合题意. 25．如为了“让人民群众奔着更好的日子去”，各地广泛进行电商助农销售． 如图，某款直播设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成． 如图是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂，，，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果．    (1)问悬臂端点到桌面的距离约为多少？ (2)已知摄像头点到桌面的距离为时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少?（参考数据：，，，，，） 【答案】(1)悬臂端点到桌面的距离约为； (2)． 【分析】（）过点作，垂足为，过点作，垂足为，则有四边形是矩形，，，再利用三角函数即可求解； （）过点作，垂足为，作，垂足为，则四边形是矩形，，，再利用三角函数即可求解； 本题考查了解直角三角形的实际应用，作垂线构造直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）过点作，垂足为，过点作，垂足为，    ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴ （）， ∴ （）， ∴悬臂端点到桌面的距离约为； （2）过点作，垂足为，作，垂足为，    则四边形是矩形， ∴，， ∵摄像头点到桌面的距离为， ∴， ∴（）， 在中，，， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴． 26．【综合探究】 运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘． 图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗， 它们都可以看作把抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1） 如图3建立平面直角坐标系，心形叶片对称轴下部的轮廓线可以看作是 二次函数图象的一部分，已知该抛物线经过原点， 顶点D坐标为且与x轴的另一交点为C．求C点坐标及抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2） 如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于A，B两点， 点C，是叶片上的一对对称点，线段交直线AB于点G． 证明是等腰直角三角形并求出线段的长度； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3） 小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是 二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同， 开口相反，已知叶尖P的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点M， 过M作x轴垂线交下方轮廓线于点N，求的最大值． 【答案】（1）C点坐标为，；（2）；（3）2 【分析】（1）根据顶点坐标公式列方程组求解，得到函数解析式，再令解方程得到点坐标； （2）先求出，得到，得，求得，根据对称性得； （3）运用待定系数求出右侧幼苗上方轮廓线表达式为，设M点坐标为，则，得，运用二次函数的性质可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为， ∴ 解得：，， ∴抛物线的解析式为． 当时，． 解得，， ∴C点坐标为； （2）∵直线与坐标轴交于，两点， ∴令，得，令，则，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵直线是心形叶片的对称轴，且点，是叶片上的一对对称点， ∴，， ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵C点坐标为， ∴， ∴， ∴； （3）∵右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反， 设右侧幼苗上方轮廓线表达式为，代入、得 ， 解得， ∴， 设M点坐标为，则， ， ∵，， ∴当时，的最大值为2 27． 如图，四边形内接于圆O，为直径，，交于点G，，垂足为E， 交于点F． (1) 如图1，证明：． (2) 如图2，连结，若，求的度数． (3) 如图3，连结，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据圆中直径对应的圆周角为和证明即可． （2）根据已知关系证明，得到F是中点，从而是中位线，故，再根据弧长相等则对应的角相等求得 ，最后求出． （3）连结，过O作，垂足为H，证明，得出相应边的比例关系，三角形的面积关系，用勾股定理表示出相应边和面积，最后求解． 【详解】（1）证明：为直径，所以，． 又． ． ． ， ． ， ． （2）解：由（1）已知，，， ， ． ， ，即F是中点， O是的中点， 所以． ，， ， ． ， ， ． （3）解：连结，过O作，垂足为H，所以， 由圆的性质和已知条件得， 由 ， ，， 是中点，， ，设， ， ，所以． ， ，， ， ， ， ． F为BG的中点， ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度江苏省南京市九年级中考数学模拟练习卷二 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题中只有一项是符合题目要求的。 1． 实数2026的倒数是（    ） A．2026 B． C． D． 2． 在中，，，， 则边的长是（    ） A． B． C． D． 3． 研究15、12、10这三个数的倒数发现：，我们称15、12、10这三个数为一组调和数，现有一组调和数：x、8、5，则x的值是（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 4． 一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是，当重物上升时滑轮的一条半径绕轴心 按逆时针方向旋转的角度约为（    ） A． B． C． D． 5． 如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交， 于点 和点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点， 连接并延长交于点．若的面积为6，则的面积是（    ） A． B． C． D． 6． 如图，在边长为2的菱形中，对角线交于点，于点，为上一点， ，延长交于点，记，，当的大小发生变化时， 则下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。请将答案填写在答题卡相应位置上 7．计算：的结果是__________． 8．若，，则代数式的值是 ． 9． 某校拟招聘一名优秀教师，小王的面试、笔试、试讲成绩分别为95分、90分、96分． 根据实际需要，综合成绩将面试、笔试和试讲三项得分按的比例确定最后成绩， 那么小王最后的成绩为 分． 10．分式方程的解为 ． 11．设方程的正根介于整数与之间，则 ． 12． 如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆， 则图中阴影部分的面积为 ． 13． 桔槔俗称“吊杆”“秤杆”（如图1），是我国古代农用工具，是一种利用杠杆原理的取水机械， 桔槔示意图如图2所示，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，米，，当点A位于最高点时，，此时，点A到地面的距离为______．    14．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在反比例函数的图象上， 轴于点．将沿翻折，若点的对应点落在该反比例函数的图象上，则的值为 ． 15．如图，在矩形内正好放置一个立方体的表面展开图，正方形是原立方体的一个面， 点，，是原立方体的顶点，展开后点，，，均在矩形的边上， 若点，，在同一直线上，则的值是______． 16．如图，正方形中，E为上一点，于点F，已知，， 过C、D、F的与边交于点G，则的值为_______ 3、 解答题：本题共11小题，第17-18题各7分，19-25题各8分，26-27题各9分，共88分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．解不等式组．并在数轴上表示这个不等式组的解集． 18．尺规作图问题：如图，在平行四边形中，用尺规作的角平分线． 小江：这简单！我们在八上就学过用尺规作角平分线的方法，除此之外，小苏你还有其它做法吗？ 小苏：我想到了！如图，以为圆心，为半径作弧，交于点，连结，则平分． (1) 按照小江的说法，在图中用尺规作的角平分线． (2) 小苏的做法是否正确？若错误，请说明理由；若正确，请证明． 19． 某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满5杯按8折销售． 小丽买了A，B饮料各1杯，用了元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了元． A，B两种饮料每杯分别是多少元？ 20．先化简，再求值：，并从，0，1，2四个数中，选一个合适的数代入求值； 21. 甲一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节， 书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀． (1) 若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为______； (2) 若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签）， 求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 22． 中考体考在即，为掌握本校九年级学生的体育训练成效，从慧学班、雅行班两班各随机抽取20名学生，对其本月体测成绩进行整理、描述和分析．（成绩用x表示，满分50，共分为四组： A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 慧学班20名学生的体测成绩在C组分数段的数据为：47，48，48，49，47，46，48，49． 雅行班20名学生的体测成绩为： 44，48，44，39，45，48，47，47，48，42，48，45，49，50，49，50，49，50，48，50． 两班抽取的学生体测成绩统计表 慧学班 雅行班 平均数 47 47 众数 50 b 中位数 a 48 根据以上信息，解答下列问题： (1) 上述表中，________，________，________； (2) 根据上述数据，你认为哪个班级的学生体测成绩更好？请说明理由（写出一条即可）； (3) 该校九年级共有800名学生参加本月体测，根据以上信息， 试估计此次体测成绩获得满分的学生人数是多少？ 23．如图，菱形的对角线相交于点O，延长至点E，使，连接． (1) 求证：． (2) 若，，求菱形的面积． 24．在一条笔直的公路上依次有三地，小明、小红两人同时出发． 小明从地骑自行车匀速去地拿东西，停留一段时间后，再以相同的速度匀速前往地， 小红步行匀速从地至地．小明、小红两人距地的距离（米） 与时间（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1) 求小明、小红两人的速度． (2) 求小明从地前往地过程中关于的函数表达式． (3) 请求出经过多少时间后，小明与小红相距600米． 25．如为了“让人民群众奔着更好的日子去”，各地广泛进行电商助农销售． 如图，某款直播设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成． 如图是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂，，，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果．    (1) 问悬臂端点到桌面的距离约为多少？ (2) 已知摄像头点到桌面的距离为时拍摄效果较好， 那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少? （参考数据：，，，，，） 26．【综合探究】 运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘． 图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗， 它们都可以看作把抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1） 如图3建立平面直角坐标系，心形叶片对称轴下部的轮廓线可以看作是 二次函数图象的一部分，已知该抛物线经过原点， 顶点D坐标为且与x轴的另一交点为C．求C点坐标及抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2） 如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于A，B两点， 点C，是叶片上的一对对称点，线段交直线AB于点G． 证明是等腰直角三角形并求出线段的长度； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3） 小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是 二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同， 开口相反，已知叶尖P的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点M， 过M作x轴垂线交下方轮廓线于点N，求的最大值． 27． 如图，四边形内接于圆O，为直径，，交于点G，，垂足为E， 交于点F． (1) 如图1，证明：． (2) 如图2，连结，若，求的度数． (3) 如图3，连结，若，，求四边形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $