2026年高考数学考前冲刺四套卷：压轴观摩卷（三）

**基本信息** 聚焦2026年模考联考压轴题，通过拆解得分步骤（如导数题定义域+求导，解析几何联立+韦达定理）帮助学生稳定获取步骤分，适配三轮冲刺需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|椭圆光学性质、空间距离推广、三棱锥外接球|结合几何直观与空间观念，体现数学眼光| |填空题|3题/15分|抛物线几何性质、取整函数|注重数学语言表达，强化模型观念| |解答题|5题/77分|调和级数应用、函数零点、椭圆切线、排列拆分|突出数学思维，压轴题拆解保底步骤，适配真题趋势|

参考答案 答案速查表 1 2 3 4 5 A A B C B 6 7 8 9 10 B D A BCD BC 11 12 13 14 15 ABC 2 （1） 证明见解析；（2） 证明见解析；（3） 8 16 17 18 19 （1） 见解析；（2） （1） ；（2） 证明见解析 （1） ；（2）（i）证明见解析；（ii） （1） 28；（2）（i） 14；（ii） 证明见解析 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题 1. A 由题意有，由可知，令，，则点与，共线，，. 2. A 由题可知，∴，设，则，，，根据反射规律可知：，∴，∴，∴，整理并化简得，∴，∵，∴，∴，∴，∴直线的斜率为. 3. B 由题意得，，，则等价于.设，则，则在上单调递减，在上单调递增，所以，即，当且仅当时等号成立.由得，，则，又，所以，即，则. 4. C 设，由点在单位球上可得.点到平面的距离分别为，. 计算平方和：. 利用柯西不等式可得：.当且仅当且时，取得最大值. 由题意最大值为5，故，解得，又，所以. 5. B 设，则.由于在和上，利用基底与共线定理可推得. 从而得到，. 已知，即，代入得. 展开并化简得.已知，代入得，即. 则的面积.令，二次函数在时取得最大值64，故. 6. B 由题意知，由为等腰三角形，且，得作垂直轴于，如图所示，则在中，，故，，所以，即，代入直线的方程，得，即，所以所求的椭圆离心率为. 7. D 取中点，连接，∵，∴，，为二面角的平面角，，∴，为等边三角形，。设的外心为，的外心为，中，，为等边三角形，，过作平面的垂线，过作平面的垂线，交点为球心，由二面角计算得，所以表面积为，选D。 8. A 要证，需证.因为，得.构造函数.求导得，故在单调递增.因此.即.令，得，得.由，得，故.综上，. 二、多选题 9. BCD 由于正方形边长为2，周长为8，绳长为10.拉紧时，笔尖P与相邻两点（如B、D）的距离之和为.即在第一象限，轨迹是以B(1,-1), D(-1,1)为焦点的椭圆弧. 此时，，，，.椭圆中心在原点，长轴在上，短轴在第一、三象限平分线上. 由于第一象限的轨迹仅包含短轴部分，轨迹C上任意一点到原点的最小值为短半轴长，B正确.而最大值在坐标轴交界处取得，经计算为，A错误. 四个圆弧拼接的总面积为一个完整的椭圆面积，C正确. 轨迹C为严格凸的封闭曲线，任何直线与其最多有2个公共点，D正确. 10 BC ，当且仅当时等号成立，A错误；，当且仅当时等号成立，B正确；因为，可得，所以，当且仅当时等号成立，C正确；由，得，所以 若，则，，，所以D错误. 11. ABC 底面半径为1，圆锥高. 为的中点，所以截面圆的半径为底面圆的半径的，即截面圆半径为，则圆的面积为，故A正确；如图1，在圆锥的轴截面中，作于点，则，，所以椭圆的长轴长，故B正确；如图2，设抛物线与底面圆的一个交点为，以为原点，为轴，在平面中建立平面直角坐标系如图2，则，，所以，设抛物线方程为，则，解得，则抛物线的焦点到准线的距离为，故C正确；如图3，在与平面垂直且过点的平面内，建立平面直角坐标系，坐标原点与点到底面的距离相等，且在轴上，则，双曲线与底面圆的一个交点为，设双曲线方程为，则，将代入双曲线方程得，解得，所以，故双曲线的离心率为，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题 12. 设，因为且，所以是面积为9的等腰直角三角形，即，. 设到的向量为，则到的向量为（由在第一象限决定纵坐标必须均为正，故且横纵置换方向唯一）. 于是，.代入抛物线方程得： 且 . 两式相减得：.因为，所以. 又因为面积条件可知向量模长平方：. 联立两式解得，. 代入原式求：.故的坐标为. 13. 2 如图，分别过，作准线的垂线交准线于点，，则有，，由，所以有，即，所以，即，所以. 14. 由函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为，当时，，可得，，即，当时，，可得或或，或或，即，当时，，可得或或，或或，或或或或或，即，当时，函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为，当时，函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为，设，则，∴，则可得递推关系：，∴，当时，成立，则，则，∴. 四、解答题 15. （1） 证明见解析；（2） 证明见解析；（3） 8 观摩要点：即使无法完整求解，也应写出：对所证不等式赋值x=1/n后通过累加法进行放缩；理清题干新规则列出招聘到最优两人不同位置的概率表达式，求和并代入调和级数简化后构建函数求导找极值.此部分约可得4-6分. ▎保底步骤（必写，约4分） ① 构造函数和，求导证明不等式.【4分】 ▎冲刺步骤（选看） （1） 令，则，当时，，即在上单调递减，故，即； 令，则，当时，，即在上单调递增，故，即.【4分】 （2） 令，由（1）得，可得：， ，，，叠加可得， ， 由调和级数可得，， 由，可得，得，故.【8分】 （3） 我们不妨把个人记为，其中数字越大表示能力越强，下面列举出被成功选出的方法： ①若和分别在和位，则一定会被选出，， ②若和一个在位，一个在到位，则要求前面剩下的个位置中的数，最大的数在第1位到第位，， ③若和一个在位，一个在到位，则要求前面剩下的个位置中的数，最大的数在第1位到第位，，...... 最后，若和一个在位，一个在到位，则要求前面剩下的个位置中的数，最大的数在第1位到第位，， 则招聘到最优秀的两个人的概率为 由调和级数可得，， 所以， 令，可得，当时， 可得， 令，则，， ，由，可得， 即在上的单调递增，，，故在上有且只有一个解，故在上的单调递减，在上单调递增，又，故在上有唯一根，可得在上的单调递增，在上单调递减，为函数在上的唯一极大值，也是最大值. 由， 可得，， ，，所以， 故当，时，招聘到最优秀的两个人的概率最大.【17分】 16. （1） 单调性见解析；（2） 观摩要点：即使无法完整求解，也应写出：利用恒等式f（x）+f(1/x)=0证明零点倒数配对特性，确定必有一个根为1，求导得到二次方程判别式结合端点极值正负确定参数范围.此部分约可得4-5分. ▎保底步骤（必写，约4分） ① 写出的定义域，并求导.【2分】 ② 令分子为二次方程，写出判别式，作为分类讨论标准.【2分】 ▎冲刺步骤（选看） （1） 的定义域为，. 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，不妨记， 所以在上单调递增，在上递减，在上递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上递减，在上递增.【7分】 （2） 设有三个零点，而. 当且时，由，得到：； 故，又因为，故满足 所以，即在有两个不同的实数根， 所以，得到. 所以在上单增，在上单减，在上单增；【10分】 取，所以， 由设，所以在上递减，故，故在上递减. 故，故 而， 取时，， 故由根的存在性定理可知，当时，必存在三个不同实数，，使得.故.【15分】 17. （1） ；（2） 证明见解析 观摩要点：即使无法完整求解，也应写出：设直线方程并与抛物线联立，写出根与系数的关系，利用几何条件写出斜率关系等式进行化简.此部分约可得3-5分. ▎保底步骤（必写，约3分） ① 利用对称性和距离公式列出参数p的方程并求解.【2分】 ② 设出直线，与抛物线联立写出韦达定理.【1分】 ▎冲刺步骤（选看） （1） 令，则，解得，于是直线过焦点. 因为关于轴对称，所以轴， 在中，，， 则，【4分】 解得，则的方程为.【5分】 （2） 由题意得，与轴不垂直， 不妨设直线，， 联立，整理得，则， 所以，.【8分】 取中点，连接， 则，，【10分】 由，，得， 又，则，所以，【11分】 即，则， 因为，则，【13分】 则，则轴，即轴.【15分】 18. （1） ；（2） （i） 证明见解析；（ii） 观摩要点：即使无法完整求解，也应写出：设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求出中点坐标并计算斜率；利用切点弦定理得出直线方程并比较系数反解出交点坐标.此部分约可得4-6分. ▎保底步骤（必写，约4分） ① 根据椭圆定义及离心率解出，得到椭圆方程.【3分】 ② 设出直线方程与椭圆联立，利用韦达定理写出中点坐标表达式.【1分】 ▎冲刺步骤（选看） （1） 椭圆的离心率为. 设为过的弦，则. 又因为共线，所以. 因此的周长. 由题意，得. 又，. 故椭圆的标准方程.【3分】 （2） （i） 设直线的方程为. 与椭圆联立，得 . 设交点为，则. 故弦中点的坐标为. 于是. 因为，所以. 又， 故是以为首项，为公比的等比数列，即.【8分】 （ii） 由切点弦公式，若两切线交于，则弦的方程为. 而弦即直线，可写为. 比较系数，得. 因为为公共底边，故，其中 由上面交点坐标和中点关系，的重心为. 于是，又. 两距离有相同分母，故. 由，得. 所以.【17分】 19. （1） 28；（2） （i） 14；（ii） 证明见解析 观摩要点：即使无法完整求解，也应写出：依据题目要求利用奇偶性和二进制的性质，分类出是否含有1、含有多少个1的情况进行双射关系证明.此部分约可得3-5分. ▎保底步骤（必写，约3分） ① 列举出时的所有情况，求出求和值.【4分】 ② 列举或借助递推写出时的组合方式，得到对应项数.【5分】 ▎冲刺步骤（选看） （1） 当时，，故所有项的和为28. 解法二：共有种情况，而出现的次数均为个，故所有项之和为.【4分】 （2） （i） 可直接拆分：， ， ， ， ， 故.【9分】 （ii） 先证明：， 任意整数均可拆分成2的非负整数次幂，而2的幂只有1为奇数，要得到奇数，必须用奇数个1，把任意拆分里的1个1去掉，便可得的一个拆分，反过来的任意一个拆分加个1，便得到的一个拆分，所以.【12分】 再证：. 对的拆分项进行分类，共两类：1类为至少含有两个1的拆分项，2类至多含1个1的拆分项， 第1类至少含有两个1的拆分项，将两个1去掉，与的拆分项是一一对应的，故这类拆分的数量为. 2类至多含1个1的拆分项，而总和为偶数，故1的个数只能是0个，于是的拆分项，只需考查的拆分即可，设，这里都是2的幂的形式. 所以，两边同除2得到的拆分，于是的拆分项，与的拆分项是一一对应的，故此类拆分数为. 综上可得：，.【17分】 逐题来源 本卷题号 试题来源 原卷题号 1 2026·重庆·康德三诊 8 2 2026·重庆·育才中学5月适应性训练(二) 8 3 2026·安徽A10联盟·5月最后一卷 8 4 2026·湖北武汉·武昌区5月供题 8 5 2026·山东济南·5月针对性训练 8 6 2026·安徽合肥一六八中学·5月最后一卷 5 7 2026·安徽合肥一六八中学·5月最后一卷 7 8 2026·安徽合肥一六八中学·5月最后一卷 8 9 2026·浙江Z20联盟·第三次学情诊断 11 10 2026·重庆·康德三诊 11 11 2026·安徽A10联盟·5月最后一卷 11 12 2026·浙江Z20联盟·第三次学情诊断 14 13 2026·重庆·康德三诊 14 14 2026·重庆·育才中学5月适应性训练(二) 14 15 2026·重庆·康德三诊 19 16 2026·安徽合肥一六八中学·5月最后一卷 17 17 2026·安徽A10联盟·5月最后一卷 17 18 2026·湖北武汉·武昌区5月供题 19 19 2026·安徽合肥一六八中学·5月最后一卷 19 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 注意事项： 1. 本卷所有题目来自2026年5月全国卷地区模考、联考，选取难度在当前水平之上的压轴题.目标是学会拆解得分步骤，在无法完整求解的情况下，稳定获取步骤分. 2. 不做，只观摩.每道题直接看标准答案，圈出得分点. 3. 拆解保底步骤.导数题锁定“定义域+求导+因式分解”，解析几何锁定“设直线+联立+韦达定理”.无论题目难度如何，均需写出上述内容. 4. 独立复现.盖住答案，能规范写出保底步骤即可，后续部分不作要求.每类压轴题的保底步骤，能在2分钟内规范写出，无遗漏. 5. 本卷只观摩，不要求完整解答.目标是让每道压轴题从“0分”变为“3-5分”，不追求理解全部过程，不深究复杂技巧. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平面中，，，且，若，则的最小值为（ 　　） A. B. 2 C. D. 3 2. 椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点. 设椭圆的两个焦点分别为，如图，光线由点发出射到椭圆上的点处，经反射后到点，再经过轴反射到椭圆上的点，最后反射回点，若光线经过的总路程为，且，则直线的斜率为（ 　　） A. B. C. D. 3. 已知正实数满足，则（ 　　） A. B. C. D. 4. 设平面内动点在单位圆上，到直线的距离分别为，即；推广到空间：动点在单位球上，到平面的距离分别为. 记，则当取最大值为时，（ 　　） A. B. C. D. 5. 在中，，为与的交点，且. 若，则面积的最大值为（ 　　） A. B. C. D. 6. 已知是椭圆的左右焦点，点在椭圆上，为等腰三角形，，则椭圆的离心率为（ 　　） A. B. C. D. 7.在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（ 　　） A. B. C. D. 8. 已知，则下列大小关系正确的是（ 　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在一块木板上绘制平面直角坐标系，在四点处钉上四枚钉子，将长度为10的细绳环放在木板上围出一个封闭区域，且四枚钉子在此区域内. 用一支铅笔拉紧细绳，移动笔尖一周，笔尖在木板上留下了封闭的轨迹，则（ 　　） A. 轨迹上任意一点到原点距离的最大值为3 B. 轨迹上任意一点到原点距离的最小值为 C. 轨迹的面积大于20 D. 直线与轨迹最多有2个公共点 10. 已知，均为正实数，且，则（ 　　） A. B. C. D. 11. 在圆锥中，轴截面是边长为2的等边三角形，是的中点. 用一个平面截圆锥，下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点）、抛物线的一部分、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则下列说法正确的是（ 　　） A. 圆的面积为 B. 椭圆的长轴长为 C. 抛物线的焦点到准线的距离为 D. 双曲线的离心率为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线上的两点均位于第一象限，点在轴正半轴上，满足且. 若的面积为9，则点坐标为________. 13. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为正数的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于点，若，，则实数______. 14. 定义：是不大于的最大整数，是不小于的最小整数，设函数在定义域上值域为，记元素个数为，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 调和级数在工程学、物理学和计算数学中都有广泛的运用. 欧拉证明了调和级数，其中被称为欧拉常数，为误差. 当足够大时，我们近似的认为，在本题中，调和级数均取这个近似值. （1） 证明：当时，； （2） 利用（1）证明； （3） 某公司因为业务拓展，临时举行一次面试，每一个人面试完后，必须当场决定是否留用该面试者. 如果不聘用，面试者会马上转去其它公司. 假设每个面试者的水平均不相同，为了选出其中最好的两人，面试官决定采用以下策略：选择前个候选人作为观察期，记录其中最佳者（记为A）. 在后续候选人中，选择第一个比A更优的候选人（记为B），并继续寻找第二个比A更优者（记为C）. 如果找到满足条件的B，C，则录取B，C，剩下的候选者不再进行面试. 如果后续候选人中没有比A更好的两个人，则招聘失败. 已知有30个候选人来参加面试，估计取多少时，招聘到最优秀的两个人的概率最大？（参考数据：，） 16. 已知函数，其中. （1） 讨论的单调性； （2） 若有三个零点，且，求实数的取值范围. 17. 已知抛物线的焦点为，是上不同的两点（其中在第一象限），点. 当关于轴对称，且时，. （1） 求的方程； （2） 已知为轴上一点（点与不重合），且，若三点共线，，求证：轴. 18. 已知椭圆，左、右焦点分别为，离心率为，过的直线交椭圆于两点，且的周长为，为坐标原点. （1） 求椭圆的方程； （2） 按如下方式依次生成直线：过作直线交椭圆于，其中在轴上方，为弦的中点. 对任意正整数，过作直线，使，记直线的斜率为，且. （） 证明数列是等比数列； （） 已知从椭圆外一点向该椭圆引两条切线，切点分别为，则直线的方程为. 过分别作椭圆的切线，两切线交于点. 设为的重心，记，求数列的通项公式. 19. 将个不同的数的任意一个排列，记为数列. （1） ，有，求的所有元素之和； （2） 将正整数拆分成若干个2的非负整数次幂（）之和，拆分所得的各项之间不考虑顺序，不同的拆分方式的数量记为. 例如：2可以拆分为（1种方式），也可以拆分为（另1种方式），共2种拆分方式，故；3可以拆分为（1种方式），也可以拆分为（另1种方式），共2种拆分方式，故. （） 求； （） 求证：，. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $